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高一数学知识点必修一：二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax +bx+c
（a ，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开
口方向向上，a则称y为x的二次函 数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax +bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h) +k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x？) (x-x？)[仅限于与x轴有交点A（x？，0）和B
（x？，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b2ak=(4ac-b )4ax？，x？=(-b±√b -4ac)2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x 的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b2a。
对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b2a，(4ac-b )4a)
当-b2a=0时，P在y轴上；当Δ=b -4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b -4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b -4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b -4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数
（x=-b±√b －4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax +bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax +bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax ，y=a(x-h) ，y=a(x-h) +k，y=ax +bx+c(各
式中，a≠0)的图象形 状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称
轴如下表：
解析式
顶点坐标
对称轴
y=ax
(0，0)
x=0
y=a(x-h)
(h，0)
x=h
y=a(x-h) +k
(h，k)
x=h
y=ax +bx+c
(-b2a，[4ac-b ]4a)
x=-b2a
当h>0时，y=a(x-h) 的图象可由抛物线y=ax 向右平行移动h个
单位得到，
当h当h>0，k>0时，将抛物线y=ax 向右平行移动h个单位，再
向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h) +k的图象；

当h>0，k当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移
动k个单位可得到y=a(x-h) +k的图象；
当h因此，研究抛物线y=ax +bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将
一般式化为y=a(x-h) +k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物
线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax +bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a3．抛
物线y=ax +bx+c(a≠0 )，若a>0，当x≤-b2a时，y随x的增大而减小；
当x≥-b2a时，y随x的增大而增大．若 a4．抛物线y=ax +bx+c的
图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b -4ac>0，图象与 x轴交于两点A(x？，0)和B(x？，0)，
其中的x1，x2是一元二次方程ax +bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x？-x？|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当
a5．抛物线y=ax +bx+c 的最值：如果a>0(a顶点的横坐标，是取得
最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对
应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax +bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或 对称轴时，可设解析式为

顶点式：y=a(x-h) +k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式
为两根式：y=a(x-x？)(x -x？)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的
综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考
题，往往以大题形式出现．