高一数学二次函数试题(有详细解答)

高一数学二次函数试题
一．选择题（共23小题）
1．如果函数f （x）=x
2
+bx+c对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t），那么（ ）
A． f（2）＜f（1）＜fB． f（1）＜f（2）＜fC． f（2）＜f（4）＜fD． f（4）＜f（2）＜f
（4） （4） （1） （1）

考点：二次函数的图象；二次函数的性质．
专题：压轴题；数形结合．
分析：先从条件“对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴，然后结合图象判定函
数值的大小关系即可．
解答：解：∵对任意实数t都有f （2+t）=f （2﹣t）
∴f（x）的对称轴为x=2，而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察
可得f（2）＜f（1）＜f（4），
故选A．

点评：本题考查了二次函数的图象，通过图象比较函数值的大小，数形结合有助于我们的解
题，形象直观．

2．二次函数f（x）=ax
2
+bx+c的 图象开口向下，对称轴为x=1，图象与x轴的两个交点中，
一个交点的横坐标x
1
∈ （2，3），则有
（ ）
A． abc＞0 B． a+b+c＜0 C． a+c＞b D． 3b＜2c

考点：二 次函数的图象；二次函数的性质．
专题：计 算题．
分析：
二次函数f（x）=ax
2
+bx+c 的图象开口向下，对称轴为x=1，可以知道a＜0，b=﹣由
2a，交点的横坐标x
1
∈（2，3），可得到
解答：
：∵二次函数f（x）=ax
2
+bx+c的图象开口向下， 解
∴a＜0，又对称轴为x=1，
∴x=﹣=1，
，从而可得答案．
∴b=﹣2a；

∴f（x）=ax
2
﹣2ax+c．
又与x轴的两个交点中，一个交点的横坐标x
1
∈（2，3），a＜0，
∴即：，
∴，
∴a+c＞﹣2a=b．C符合．
又a＜0，b=﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，排出A，
∵二次函数f（x）=ax
2
+bx+c的图象开口向下，对称轴为x=1，
∴f（1）=a+b+c＞0，排出B，f（﹣1）=f（3），
图象与x轴的两个交点中一个交点的横坐标x
1
∈（2，3），
∴f（﹣1）=f（3）＜0，而f（﹣1）=a﹣b+c=﹣b+c＜0，
∴3b＞2c，排出D．
故选C．
点评：
本题考查了二次函数图象与性 质，关键在于准确把握题目信息的意图，合理转化，特别是
分析与应用是难点．属于中档题．

3．（2011?厦门模拟）已知函数，这两个
函数图象的交点个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点：二 次函数的图象；一次函数的性质与图象．
专题：综 合题．
分析：
题考查的知识 点是指数函数的图象，要求函数y=f（x）的图象与函数y=3
x
的图象本
的交点个 数，我们画出函数的图象后，利用数形结合思想，易得到答案．
解答：
：在同一坐标系下，画出函数y=f（x）的图象与函数y=3
x
的图象如下图： 解

由图可知，两个函数图象共有2个交点
故选B．
点评： 求两个函数图象的交点个数，我们可以使用数形结合的思想，在同一坐标系中，做出两个函数的 图象，
析图象后，即可等到答案．

4．已知函数f（x）=mx
2+（m﹣3）x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实
数m的取值范围是（ ）
A． [0，1] B． （0，1） C． （﹣∞，1） D． （﹣∞，1]

考点：二次函数的图象．
专题：常规题型；计算题；压轴题；分类讨论．
分析：本题考查的是函数的图象问题． 在解答时，应先结合m是否为零对函数是否为二次函
数 进行区别，对于二次函数情况下充分结合图形的特点利用判别式和对称轴即可获得
问题解答．
解答：解：由题意可知：
当m=0时，由f（x）=0 知，﹣3x+1=0，∴＞0，符合题意；
当 m＞0时，由f（0）=1可知：，解得0＜m≤1；
当m＜0时，由f（0）=1可知，函数图象恒与X轴正半轴有一个交点
综上可知，m的取值范围是：（﹣∞，1]．
故选D．
点评：本题考查的是二次函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、
函数与方程的思想以及问题提转化的能力．值得同学们体会和反思．

5．已知，若|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值
范围（ ）
A． （﹣∞﹣1]∪[0，B． [﹣1，0] C． [0，1] D． [﹣1，0）
+∞）

考点：二次函数的图象；一次函数的性质与图象．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
分析：
先画出函数和|f（x）|的图象；利用图象再结合答案即可解
决本题．

解答：
解：函数的图象如图：
|f（x）|的图象如图：
因为|f（x）|≥ax在x∈[﹣1，1]上恒成立，
所以y=ax的图象应在y=|f（x）|的图象的下方，
故须斜率为负，或为0．
当斜率为负时，排除答案A，C；
当a=0，y=0满足要求，排除D．
故选 B．
点评：本题主要考查函数的图象．其中涉及到二次函数，一次函数，分段函数以及带绝对值 的函数的图象，是对函数的大汇总，在画整体带绝对值的函数图象时，注意起翻折原
则是X轴上方的 保持不变，X轴下方的沿x轴对折．

6．已知二次函数f（x）=x
2
﹣ax+4，若f（x+1）是偶函数，则实数a的值为（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． ﹣2 D． 2
考点： 二次函数的图象．
专题： 计算题．
分析： 根据f（ x）求出f（x+1），由f（x+1）是偶函数得到f（x+1）=f（﹣x+1）即可得到关于a的方程，求 出
集即可得到a的值．
解答：
解：∵f（x）=x
2
﹣ax+4，
∴f（x+1）=（x+1）
2
﹣a（x+1）+4
=x
2
+2x+1﹣ax﹣a+4
=x
2
+（2﹣a）x+5﹣a，
f（1﹣x）=（1﹣x）
2
﹣a（1﹣x）+4

=x
2
﹣2x+1﹣a+ax+4
=x
2
+（a﹣2）x+5﹣a．
∵f（x+1）是偶函数，
∴f（x+1）=f（﹣x+1），
∴a﹣2=2﹣a，即a=2．
故选D
点评： 本题考查学生灵活运用函数的奇偶性解决实际问题．是一道基础题．

7 ．已知m＞2，点（m﹣1，y
1
），（m．y
2
），（m+1，y
3
）都在二次函数y=x
2
﹣2x的图象上，
则（ ）
A． B． C． D．
y
1
＜y
2
＜y
3
y
3
＜y
2
＜y
1
y
1
＜y
3
＜y
2
y
2
＜y
1
＜y
3


考点：二次函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：
根据二 次函数的解析式，可判断出二次函数y=x
2
﹣2x的图象形状，进而判断出函数
的单 调性，结合m＞2可得1＜m﹣1＜m＜m+1，结合函数的单调性可判断出y
1
，y
2
，
y
3
的大小．
解答：
解：∵二次函数y=x
2
﹣2x的图象是开口朝上且以直线x=1为对称轴的抛物线
故二次函数y=x
2
﹣2x在区间[1，+∞）上为增函数
又∵m＞2
∴1＜m﹣1＜m＜m+1
∴y
1
＜y
2
＜y
3

故选A
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质， 其中根据函数的解析式分析出函数的单
调性是解答的关键．

8．已知，若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个
公共点，则实数c的取值集合是（ ）
A． {c|c≤﹣5或c=﹣1或c=3} B． {c|c＜﹣5或c=﹣1或c=3}
C． {c|2＜c＜3或c＞4} D． {c|2＜c≤3或c≥4}

考点：二 次函数的图象．
专题：函 数的性质及应用．
分析：作 出函数y=f（x）的图象，然后根据图象确定实数c的取值集合．
解答：
解：作出函数的图象如图：
由y=f（x）﹣c=0得f（x）=c，
所以由图象可知要使方程f（x）=c，恰有两个公共点，则有c=﹣1或c=3或c＜﹣5．
故选B．

点评： 本题主要考查二次函数的图象，以及两个图象的交点问题，利用数形结合是解决这类问题常见的方法．

9．（2011?渭南三模）设函数若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，
则关于x的不 等式f（x）≤1的解集为（ ）
A． （﹣∞，﹣3]∪[﹣B． [﹣3，﹣1] C． [﹣3，﹣1]∪（0，D． [﹣3，+∞）
1，+∞） +∞）

考点：二 次函数的性质；一元二次不等式的解法．
专题：计 算题．
分析：
利用f（﹣4 ）=f（0），f（﹣2）=0，建立方程组，解得b=c=4，由此能
求出关于x的不等式f（x）≤ 1的解集．
解答：
解：∵函数，
f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=0，
∴
解得b=c=4，
∴，
，

∴当x＞0时，f（x）=﹣2≤1；
当x≤0时，
由f（x）=x
2
+4x+4≤1，
解得﹣3≤x≤﹣1．
综上所述，x的不等式f（x）≤1的解集为{x|x＞0，或﹣3≤x≤﹣1}．
故选C．
点评： 本题考查二次函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意一元二次不等 式的性
和应用．

10．（2011?湖北模拟）设函数f（x）=ax
2
+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，
则（ ）
A． f（5）＜f（2）＜fB． f（﹣1）＜f（2）＜C． f（2）＜f（﹣1）＜D． f（2）＜f（5）＜f
（﹣1） f（5） f（5） （﹣1）

考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：
由于函数f（x） =ax
2
+bx+c，若f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等式
与函数之间的联系及二次函数的对称性即可求解．
解答：
解：因为函数f（x）=ax< br>2
+bx+c且f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，利用不等
式与函数的 联系可以知道：
﹣2，4应为方程ax
2
+bx+c=0的两个根，∴利用二次函数 的韦达定理可以知道：

由此得次二次函数为开口向上，对称轴x=﹣=1，
利用二次函数的图象关于对称轴对称可以知道：f（5）＞f（﹣1）＞f（2）
故选C
点评：此题考查了函数与不等式之间的联系， 二次函数的对称性及利用对称性比较函数值的
大小．

11．（2010?大连模 拟）已知函数y=x
2
﹣4|x|+5在（﹣∞，a）内单调递减，则实数a的取值
范 围是（ ）
a≥0 a≤2
A． a≥﹣2 B． a≤﹣2 C． D．

考点：二 次函数的性质．
专题：计 算题；数形结合．
分析： 对函数y=x
2
﹣4|x|+5取绝对值，画出其对应的图象，利用图象来找实数a的取值 范先
围即可．
解答：
解：因为y=x
2
﹣4|x|+5=其图象如图．

由图得， 函数y=x
2
﹣4|x|+5在（﹣∞，a）内单调递减区间为（﹣∞，﹣2]，
故实数a的取值范围是a≤﹣2．
故选B．

点评： 本题考查了二次函数的图象，通过图象来找函数的单调区间，数形结合有助于我们的解题，形象直观．

12．若函数f（x）=x
2
+2（a+1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数， 则实数a的取值范围是
（ ）
A． a＜﹣5 B． a≤﹣5 C． a＞﹣5 D． a≥﹣5

考点：二次函数的性质．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：由题意可得﹣（a+1）≥4，由此解得 a的取值范围．
解答：解：由题意可得，﹣（a+1）≥4
∴a≤﹣5
故选B
点评：本题主要考查求二次函数的单调性，属于基础题．

13．已知二次函数 f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）（m＜n），若不等式f（x）＞0的解集是（m，
n）且不等式f （x）+2＞0的解集是（α，β），则实数m、n、α、β的大小关系是（ ）
A． m＜α＜β＜n B． α＜m＜n＜β C． m＜α＜n＜β D． α＜m＜β＜n

考点：二 次函数的性质．
专题：计 算题．
分析：令 g（x）=f（x）+2 ，因f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）＞0的解集是（m，n），说明a为
负数，再根据图象变换的性 质可知
f（x）的图象是由g（x）向下平移得来的，α、β是g（x）=0的两根，m和n是f（x ）
=0的两根，画出图象，则可得到答案．
解答：解 ：令g（x）=f（x）+2=a（x﹣α）（x﹣β），f（x）=a（x﹣m）（x﹣n）
则f（x）的图象是由g（x）向下平2个单位长度移得来的，
依题意可知a，b是g（x）=0的两根，
m和n是f（x）=0的两根，α、β是g（x）=0的两根
作出图象如图，可得α＜m＜n＜β，
故选B．

点评： 本题主要考查了一元二次方程根的分布与系数的关系，采用数形结合的方法是解决本题的关键．考查了
生 分析问题和解决的能力，不失为一道成功的考题．

14．已知函数f（x）=﹣x
2
+ax+b
2
﹣b+1，（a，b∈R）对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1 +x）
成立，若当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞0恒成立，则b的取值范围是（ ）
A． ﹣1＜b＜0 B． b＞2 C． b＞2或b＜﹣1 D． b＜﹣1

考点：二次函数的性质；函数的图象．
专题：计算题．
分析：先根据条件“对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立”得到对称轴，求出a，再研
究函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，求出函数的最小值，使最小值大于零即可．
解答：解：∵对任意实数x都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，
∴函数f（x）的对称轴为x=1=，解得a=2，
∵函数f（x）的对称轴为x=1，开口向下，
∴函数f（x）在[﹣1，1]上是单调递增函数，
而f（x）＞0恒成立，f（x）
min
=f（﹣1）=b
2
﹣b﹣2＞0，
解得b＜﹣1或b＞2，
故选C
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，二次函数在给定区间上恒成立问题必须从开口方
向，对称轴，判别式及端点的函数值符号4个角度进行考虑．

15．已知函数
A．
，若（f2a+1）＞（fa），则实数a的取值范围是（ ）
B． （﹣∞，﹣3）C．

∪（﹣1，+∞）
D． （﹣3，

﹣1）
考点： 二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，求参数的取值范围．
解答：
解：因为函数，所以作出函数f（x）的图象，则函数f（x）为偶函数，且在（+∞）上单调递增．
则f（2a+1）＞f（a），等价为f（|2a+1|）＞f（|a|），

所以|2a+1|＞|a|，平方得4a
2
+4a+1＞a
2
，即3a
2
+4a+1＞0，
解得
故选A．
．

点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数单调性的应用．
16．不等式（m﹣2）x
2
+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，则实数m的 取值范围是（ ）
A． ﹣2＜m＜2 B． ﹣2≤m≤2 C． ﹣2≤m＜2 D． ﹣2＜m≤2

考点：二次函数的性质．
分析：
式（m﹣2）x2
+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，包括两种情况，一是二次等
项及一次项 系数全为0，常数项小于等于0，而是二次项系数小于0，△小于等于0，
分类讨论后，综合讨论结果， 即可得到答案．
解答：
解：当m=2时，不等式（m﹣2）x
2
+2（m ﹣2）x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都
成立，
故m=2满足条件；
当m ＜2时，若不等式（m﹣2）x
2
+2（m﹣2）x﹣4≤0对一切实数x都成立，
则
解得﹣2≤m＜2
综上满足条件的实数m的取值范围是﹣2≤m≤2
故选B
点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，其中解答时容易忽略m=2时，不等式（m﹣2）
x
2
+2（m﹣2）x﹣4≤0可化为﹣4≤0对一切实数x都成立，而错选C

17．f（x）=ax
2
+bx+c，不等式f（x）＞0的解集是{x |x
1
＜x＜x
2
}，f（0）＞0，则f（x
1
+x2
）
的值（ ）
A． 小于0 B． 大于0
C． 等于0 D． 以上三种情况都有可能

考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：
根据已知条件得到a＜0且x
1
，x< br>2
是ax
2
+bx+c=0的两个根，由韦达定理得到x
1
+ x
2
=
﹣，因为f（0）＞0，得到c＞0，
得到f（x
1
+x
2
）=．
解答：
解：因为不等式f（x）＞0的解集是{x|x
1
＜x＜x
2
}，
所以a＜0且x
1
，x
2
是ax
2
+bx+c=0 的两个根，
所以x
1
+x
2
=﹣，
又因为f（0）＞0，
所以c＞0，
所以f（x
1
+x
2
）=
故选B．
点评：本题考查二次不等式的解集形式、与相应的二次方程的根的关系；考查二次方程的韦
达定理，属于基础题．

18．（2012?山西模拟）二次函数f（x）满足f （4+x）=f（﹣x），且f（2）=1，f（0）=3，
若f（x）在[0，m]上有最小值1，最 大值3，则实数m的取值范围是（ ）
A． [2，4] B． （0，2] C． （0，+∞） D． [2，+∞）

考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：由f（4+x）=f（﹣x）可知f（4）=f（0）=3是最大值，f（2）=1是最小值，而 f（x）
在[0，m]上有最小值1，最大值3，说明m至少得是2，进而可得到答案．
解答：解：由f（4+x）=f（﹣x） ，
可知f（4）=f（0）=3是最大值，而f（2）=1是最小值，
而f（x）在[0，m]上有最小值1，最大值3，则m必须得有2，
又f（4）=f（0）=3，故m也可等于4，
故答案选A．
点评：本题主要考查二次函数的值域和单调性．
19．（2011?绵阳一模）已知函数f （x）=ax
2
+2ax+4（a＞0），若x
1
＜x
2
， x
1
+x
2
=0，则（ ）
A． B．
f（x
1
）=f（x
2
） f（x
1
）＜f（x
2
）
C．
f（x
1
）＞f（x
2
）
D．
f（x
1
）与f（x
2
）的大小不能确定

考点：二次函数的性质．
分析：
函数值作差进行比较大小，根据条件判f（x< br>1
）﹣f（x
2
）的正负即可．
解答：
解：由题意，可有 f（x
1
）﹣f（x
2
）=（ax
1
2
+2ax< br>1
+4）﹣（ax
2
2
+2ax
2
+4）=a（x< br>1
﹣x
2
）
（x
1
+x
2
）+2a （x
1
﹣x
2
）=a（x
1
﹣x
2
）（x
1
+x
2
+2）
因为a＞0，x
1
＜x
2
，x
1
+x
2
=0
所以a＞0，x
1
﹣x
2
＜0，x
1
+x
2
+2＞0

所以f（x
1
）﹣f（x
2
）＜0
即f（x
1
）＜f（x
2
）．
故选A．
点评：本题主要考查：函数值作差进行比较大小，根据条件判式子的正负．

2 0．二次函数f（x）=ax
2
﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，则实数 a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D． a=﹣3
且a≠0

考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：综合题；分类讨论．
分析：考虑两种情况：当a大于0时，得出二次函数的图象为开口向上的抛物线，根据二次
函 数的增减性得到函数在区间（4，+∞）内是减函数不可能；当a小于0时，得出二
次函数的图象为开口 向下的抛物线，根据二次函数的顶点坐标公式求出此函数的顶点
坐标，因为二次函数f（x）=ax2
﹣2（a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，经过
判断得出关于a的不等式， 求出不等式的解集即可得到实数a的取值范围．
解答：解：当a＞0时，得到二次函数为开口向上的抛物线，与二次函数在区间（4，+∞）
内是减函数矛盾，a取空集；
当a＜0时，二次函数f（x）=ax
2
﹣2 （a﹣1）x+2在区间（4，+∞）内是减函数，
得到x=≤4，解得：a≤﹣．
故选B
点评：此题考查学生灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题， 考查了分类讨论的数学
思想，是一道综合题．

21．函数y=﹣x
2
﹣4x+1，x∈[﹣3，3]的值域为（ ）
A． [﹣∞，5] B． [5，+∞] C． [﹣20，5] D． [﹣4，5]

考点：二 次函数在闭区间上的最值．
专题：计 算题．
分析：先 求出函数的对称轴方程，根据到对称轴距离的远近即可求出其值域．
解答：
：∵f（x）=y=﹣x
2
﹣4x+1 解
=﹣（x+2）
2
+5
对称轴为x=﹣2，开口向下．
所以在[﹣3，﹣2]上递增，在[﹣2，3]上递减．
且3离对称轴距离远．
所以当x=3时，有最小值为f（3）=﹣20．
当x=﹣2时，函数有最大值为f（2）=5．
即值域为[﹣20，5]．
故选C．
点评： 本题主要考查二次函数在闭区间上的最值问题．二次函数在闭区间上的最值 问题，一定要讨论对称轴和
间的位置关系．

22．实数x、y满 足3x
2
+2y
2
=6x，则x
2
+y
2
的最大值为（ ）
A． B． 4 C．

D． 5

考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：计算题．
分析：
把3x
2
+2y
2
=6x化为y
2
=3x﹣x
2
，求出x的取值范围，并代入x
2
+y
2
中消去y，然后根
据二次函 数的性质求出它的最值即可．
解答：
解：∵实数x、y满足3x
2
+2y
2
=6x，
∴y
2
=3x﹣x
2
≥0，因此0≤x≤2，
∴x
2
+y
2
=3x﹣x
2
=（x﹣3）
2
，0≤x ≤2，
∴当x=2时，x
2
+y
2
的最大值为4．
故选B．
点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的最值的知识点， 解答本题的关键是熟练掌握二次
函数的性质，此题难度不大．属中档题．

23． 已知函数f（x）=x
2
﹣2x+5，x∈[2，4]，若存在实数x∈[2，4]使m﹣f（ x）＞0成立，
则m的取值范围为（ ）
A． （5，+∞） B． （13，+∞） C． （4，+∞） D． （﹣∞，13）

考点：二 次函数在闭区间上的最值．
专题：计 算题．
分析：
在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立，等价 于x∈[2，4]，m＞f（x）
min
．利用存
配方法求二次函数的最小值，即可得 结论．
解答：
解：存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立，等价于x∈[2， 4]，m＞f（x）
min
．
∵函数f（x）=x
2
﹣2x+5=（x﹣1）
2
+4
∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1
∵x∈[2，4]，
∴x=2时，f（x）
min
=f（2）=2
2
﹣2×2+5=5
∴m＞5
故选A．
点评： 本题考查的重点是存在性问题，解题的关键是求二次函 数的最小值，存在实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）
成立，等价于x∈[2，4]，m＞f（x）< br>min
．易错点是与对于任意实数x∈[2，4]，使m﹣f（x）＞0成立问题
混淆．

二．解答题（共7小题）
24．已知函数f（x）=|x
2
﹣2x|﹣1
（1）在坐标系中画出函数f（x）的简图；
（2）观察图象，写出函数f（x）的单调增区间及函数f（x）的零点个数；
（3）利用图象，写出使方程f（x）+a=0有四个不同解的实数a的取值范围．

考点：二 次函数的图象．
专题：数 形结合；分类讨论．
分析：（ 1）分类讨论，去掉绝对值，化简函数的解析式，结合函数的解析式画出函数的图
象．
（2）结合图象写出函数的单调增区间，以及函数的零点个数．
（3）要使方程f（x）+a=0有四个不同解，需函数f（x）的图象和 y=﹣a 有4个交
点，结合
图象列出不等式，求得实数a的取值范围．
解答：
： 解（1）∵函数f（x）=|x
2
﹣2x|﹣1，当x＜0或x＞2时，函数f（x）=x2
﹣2x﹣1，
当 0≤x≤2时，f（x）=﹣x
2
+2x﹣1，如右图所示．
（2）由函数的图象可得，增区间为[0，1]，[2，+∞），函数f（x）有三个零点．
（3）要使方程f（x）+a=0有四个不同解，需函数f（x）的图象和 y=﹣a 有4个交
点，
∴﹣1＜﹣a＜0，∴0＜a＜1．

点评： 本题考查由函数的解析式做出函数图象的方法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．

25．（2011?徐汇区三模）已知函数f（x）=|x|?（a﹣x），a∈R．
（1）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（3）若不等式|x|?（a﹣x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

考点：二 次函数的图象；函数单调性的性质；函数恒成立问题．
专题：计 算题．
分析：（ 1）首先对x分类讨论，去掉绝对值符号；然后根据二次函数的 图象特征，即可画
出其草图；而其单调性，观察图象显而易见．
（2）由x∈[0，2]易于 把函数f（x）化简为二次函数，再把其单调减区间表示出来，
进而根据f（x）在x∈[0，2]上是 单调递减函数，可得a的不等式，则a可求．
（3）要用分离参数的方法把a分离出来，需对x=0单 独讨论；由于0＜x≤2时，
恒成立，则利用导数法求出x+的最小值即可．
解答：
解：（1）a=4时，
f（x）的图象如图所示，
所以其单调递增区间为[0，2]．
（2）x∈[0，2]时，
∴f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，+∞）上单调递减．
又函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，所以
解得a≤0．
（3）当x=0时，0≤6成立，所以a∈R；
当0＜x≤2时，
即
设
，只要
，则g′（x）=1﹣
，

，∴g（x）在上递减，在上递增，
．

，
∴当0＜x≤2时，g（x）
min
=g（2）=5．
所以a≤5．
综上，|x|（a﹣x）≤6对x∈[0，2]恒成立的实数a的取值范围是（﹣∞，5]．

点评： 二次函数的图象与性质是解决更复杂函数问题的前提，必须把此基础打牢；
分离参数法是求解不等式恒 成立问题的常用思想方法，它是通过分离参数转化为不含参数的函数的最值
题求解．
26．（2013?宁德模拟）已知二次函数f（x）=ax
2
+bx+1为偶函数，且f （﹣1）=﹣1．
（I ）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x） +（2﹣k）x在区间（﹣2，2）上单调递增，求实数k的取值范
围．

考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（I）由偶函数的图象关于y轴对称，可得b值，进而根据f（﹣1）=﹣1，可得a值，
进而可得函数f（x）的解析式；
（II）若函数g（x）=f（x）+（2﹣k）x在区间 （﹣2，2）上单调递减，可得区间（﹣
2，2）在对称轴的左侧，进而得到实数k的取值范围
解答：
解：（I）∵二次函数f（x）=ax
2
+bx+1为偶函数，
故函数f（x）的图象关于y轴对称
即x=﹣=0，即b=0
又∵f（﹣1）=a+1=﹣1，即a=﹣2．
故f（x）=﹣2x
2
+1
（II）由（I）得g（x）=f（x）+（2﹣k）x=﹣2x
2
+（2﹣k）x+ 1
故函数g（x）的图象是开口朝下，且以x=
故函数g（x）在（﹣∞，]上单调递增，
为对称轴的抛物线
又∵函数g（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，
∴≥2
解得k≤﹣6
故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣6]
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数
的图象和性质，是解答的关键．

27．（2011?武进区模拟）设函数f（x ）=ax
2
+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为﹣a，f（x）=0
两个实根为x
1
、x
2
．

（1）求x
1
﹣x
2
的值；
（2）若关于 x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a
的取值范围；
（3）若﹣2＜x
1
＜0，求b的取值范围．

考点：二次函数的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）由
，知
，由此能求出x
1
﹣x
2
的值．
（2）设x
1
＜x
2
，f（x）+2x=ax
2
﹣（a（x
1
+x
2
）﹣2）x+ax
1
x
2
，在（x
1
，x
2
）不存在最
小值，由此能求出a的取值范围．
（3）由
解答：解： （1）
∵
，，知．由此能求出b的取值范围．
∴
∴x
1
﹣x
2
=±2．（4分）
（2）不妨 设x
1
＜x
2
；f（x）+2x=ax
2
﹣（a（x
1
+x
2
）﹣2）x+ax
1
x
2
，在（x1
，x
2
）不存
在最小值，
∴或（8分）
又x
2
﹣x
1
=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）
（3）∵，
∴
又﹣2＜x
1
＜0
∴x
2
=x
1
﹣2
∴
（12分）
在x
1
∈（﹣2，0）上为增函数．

∴（16分）
点评：本昰考查二次函数的性质， 解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
28．（2009?惠州模拟）（1）已知二次函数f（x）=ax
2
+bx+c，满足f（ 0）=f（1）=0，且f（x）
的最小值是，求f（x）的解析式；
（2）设f（x）=x
2
﹣2ax+2，当x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用待定系数法求a，b，c．
（2）要求当x∈[﹣1，+∞）时，f（x ）≥a恒成立，实质是求函数f（x）在[﹣1，+∞）
上的最小值即可．
解答：
解：（1）由二次函数图象的对称性，可设，（a＞0）
又f（0）=0，∴a=1．
故f（x）=x
2
﹣x…（4分）
（2）要使x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）
min
≥a，
当a≤﹣1时，f（x）
min
=f（﹣1）=3+2a…（6分）
即3+2a≥a?a≥﹣3
故此时﹣3≤a≤﹣1…（8分）
当a＞﹣1时，，
若x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立?f（x）
min
≥a，
即2﹣a
2
≥a?a
2
+a﹣2≤0?﹣2≤a≤1
故此时﹣1＜a≤1…（12分）
综上当﹣3≤a≤﹣1时，x∈[﹣1，+∞），f（x）≥a恒成立 …（14分）
点评：本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式， 以及二次函数在给定区间上的最值
求法，要求利用数形结合的思想去求解．

29．（2012?成都一模）已知函数f（x）=x
2
﹣2mx+2﹣m．
（I）若不等式f（x）≥x﹣mx在R上恒成立，求实数m的取值范围；
（II）记A={y|y=f（x），0≤x≤1}，且A?[0，+∞]，求实数m的最大值．

考点：二 次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
专题：函 数的性质及应用．
分析：
I）由题意可得 x
2
﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即 x
2
﹣（m+1）x+2﹣m≥0（
恒成立，由判别式小于或等于零求得实数m的取值范围．
（II）由题意可得x
2
﹣2mx+2﹣m≥0 在[0，1]上恒成立，分m＜0、 0≤m≤1、m＞1三
种情况分别求出实数m的取值范围，再去并集，即得所求．
解答：
：解（I）由题意可得 x
2
﹣2mx+2﹣m≥x﹣mx在R上恒成立，即 x
2
﹣（m+1）x+2﹣
m≥0恒成立，
∴△=（m+1）
2
﹣4（2﹣m）≤0，解得﹣7≤m≤1，
故实数m的取值范围为[﹣7，1]．

（II）由题意可得，A={y|y=f（x），0≤x≤1}={y|y≥0 在[0，1]上恒成立}，
即x
2
﹣2mx+2﹣m≥0 在[0，1]上恒成立．
当m＜0时，y=f（x）=x
2
﹣2mx+2﹣m在[0，1]上的最小值为f（0 ）=2﹣m≥0，m≤2．
当 0≤m≤1时，y=f（x）=x
2
﹣2mx+2﹣ m在[0，1]上的最小值为f（m）=2﹣m﹣m
2
≥0，
解得﹣2≤m≤1，
故此时0≤m≤1．
当m＞1时，y=f（x）=x
2
﹣2mx+2﹣m在 [0，1]上的最小值为f（1）=﹣3m+3≥0，m≤1．
故此时m的值不存在．
综上，实数m的取值范围为（﹣∞，1]，
故实数m的最大值为1．
点评： 本题 主要考查求二次函数在闭区间上的最值，求函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论
数学思 想，属于中档题．

30．已知函数f（x）=﹣2x
2
+（a+3）x +1﹣2a，g（x）=x（1﹣2x）+a，其中a∈R．
（1）若函数f（x）是偶函数，求函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值；
（2）用函数的单调性的定义证明：当a=﹣2时，f（x）在区间上为减函数；
（3）当x∈[﹣1，3]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象上方，求实数a的取值范围．

考点：二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的判断与证明；奇偶性与单调性的综合．
专题：计算题．
分析：（1）根据偶函数的定义f（x）=f（﹣x） ，求出a的值和函数解析式，进而求出最小
值；
（2）先设x
1
＜x
2
，x
1
、
x2
∈，推出f（x
1
）＞f（x
2
），从而可以证明结论； < br>（3）首先由题意得出（a+2）x+1﹣3a＞0在[﹣1，3]上恒成立．转化成求函数h（x）=（a+2）x+1﹣3a的最小值，要采取分类讨论次函数的斜率与单调性的关系，求出a
的取值 范围．
解答：解： （1）函数f（x）是偶函数
∴f（x）=f（﹣x），即：﹣2x< br>2
+（a+3）x+1﹣2a=﹣2x
2
﹣（a+3）x+1﹣2a
∴a=﹣3
则f（x）=﹣2x
2
+7
∴对称轴为x=0
∴最小值f（3）=﹣11
（2）∵a=﹣2
∴f（x）=﹣2x
2
+x+5
设x
1
＜x
2
，x
1
、
x
2
∈
f（x
1
）﹣ f（x
2
）=﹣2x
1
2
+x
1
+5+2x
2
2
﹣x
2
﹣5=（x
2
﹣x
1
）[2 （x
1
+x
2
）﹣1]
∵x
1
＜x
2
，∴x
2
＞x
1

∵x
1
、
x< br>2
∈∴2（x
1
+x
2
）＞1∴2（x
1
+ x
2
）﹣1＞0
∴f（x
1
）﹣f（x
2
）＞0 即f（x
1
）＞f（x
2
）

∴当a=﹣2时，f（x）在区间上为减函数．
（3）由题意得﹣2x
2
+（a+3）x+1﹣2a＞x（1﹣2x）+a在[﹣1，3]上恒成立．即（a+2）
x+1﹣3a＞0在[﹣1，3]上恒成立．
设h（x）=（a+2）x+1﹣3a，
①若a＞﹣2，该函数是增函数，只需f（﹣1）＞0即可，
则f（﹣1）=﹣4a﹣1＞0，解得a＜﹣，所以﹣2＜a＜﹣；
②若a＜﹣2，该函数是减函数，只需f（3）＞0即可，
则f（3）=7＞0，，所以a＜﹣2满足；
③若a=﹣2，则该函数是y=7，它总在x轴上方，所以a=﹣2满足要求．
故a的取值范围是a＜

．