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最新高考数学第二轮专题复习-二次函数 (含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 22:33
tags:高中数学二次函数

乐学七中高中数学必修二答案-高中数学必修一第一章集合检测卷

2020年10月7日发(作者:蓝孟)



二次函数
知能目标
1. 了解二函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系,
掌握一元二次不等式的解法.
2. 掌握二次函数
f(x)
?
ax
2
?
bx?
c

(a
?
0)
的性质与图象特征.
综合脉络
1. 二次函数
f(x)
?
ax
2
?< br>bx
?
c

(a
?
0)
的图象是抛物线, 以直线
x??
为对称轴, 顶点为
b4ac?b
2
(?, )

2a4a
b
2a
它与
x
轴交点的横坐标是方程
f(x)?0
的根, 它在
x
轴上截得线段长
为:
|x
1
?x
2
|?

(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
2
b
2?4ac
. 当
a?0

b
2
?4ac?0
时, 有
f(x)?0
恒成立;
|a|
f(x)?0
恒成立.

a?0

b
2
?
4ac
?
0
时 ,
顶点式:
双根式:
等函数
二次函数常用的另两种表达形式为:
f(x)
?
a(x
?
h)
2
?
k

,
其中
(h, k)
为抛物线顶点
f(x)
?
a(x
?
x
1
)(x
?
x
2
)

,
其中
x
1

x
2
为方程
ax< br>2
?bx?c ?0
的两根.
2. 二次函数是与其他知识联系密切、实际应用广泛的一类基本初
尽管在初中学过, 但在高中有关函数理论的指导下, 其性质和
应用的讨论达到相当的深度,
因而是高中灵活多变, 重点考查的内容之一. 复习中要熟练做到:
(1) 能灵活运用图象及其性质解决问题 (比如二次方程实根分布问
题);
(2) 注意用数形结合的思想来解决一元二次函数, 一元二次方程,
一元二次不等式的相关问题



(包括与解析几何联系的问题);
(3) 注意化归思想在一员二次函数及相关知识中的运用, 注意应用
题中创建二次函数的模型.
(一) 典型例题讲解:
例1. (1) 不等式
f(x)
?
ax
2
?
x
?
c
?
0
的解集为
{x|?2?x ?1}
, 则函数
y?f(?x)
的图象

( )
(2) 已知
k??4
, 则函数
( )
A. 1 B.
?1
C.
2k?1

D.
?2k?1










例2. 已知二次函数
f(x)
?
ax
2
?
x

y?cos2x?k(cosx?1)
的最小值是



(1) 若对于任意
m,n?
R, 有
f(
m?n
)?
1
[f(m)
?
f(n)]
成立, 求实
22

a
的取值范围;
(2) 若
x?[0, 1]
时,有
|f(x)| ?1
, 试求实数
a
的取值范围.
















例3. 设
f(x)?x
2
?
2ax
?
2,
的取值范围.






当x∈
[?1, ?)
时,
f(x)?a
恒成立, 求实数a













(二) 专题测试与练习:
一. 选择题
1. 若关于x的不等式
x2
?
4x
?
m
对任意x∈
( )
D.
m??3


2. 已知函数y=
x
2
?
4ax ( 1
?
x
?
3 )
是单调递增函数, 则实数a的取值
范围是 ( )
A.
D.
[

3. 设函数
f(x)?
ax
2
?
bx
?
c ( a
?
0 )
, 对任意实数t都有
f( 2?t )?f( 2?t )
成立. 问:在函
数值
( )

(0, 1]
恒成立, 则
A.
m??4
B.
m??3
C.
?3?m?0

1
(??,
]

2
B.
(??, 1]
C.
13
[, ]

22
3
,
??
)

2
f(?1)

f(1)

f(2)

f (5)
中, 最小的一个不可能是



A.
D.
f(?1)
B.
ax
2
?
bx
?
2
?
0
f(1)
C.
11
(?, )
23
f(2)

f(5)

4. 不等式
( )
的解集是, 则
a?b
等于
A. -4 B. 14 C. -10
D. 10

5. 当
1?x?3
时,二次函数
( )
A.

6. 已知
f(x)?
ax
2
?
bx
?
c ( a
?
0 )
的对称轴方程为
x?2
, 则下列判断正确的
是 ( )
A.
f(
f(x)
?
2x
2
?6x
?
c
的值域为
D.
[f(1), f(3)]
B.
[f(0), f(3)]

3
[f(1), f(
)]

2
C.
3
[f(), f(3)]

2
f(??2)?f(?)
B.
f(
2
)
?
f(
?
)
2
C.
f(
2
)?f(?)
2
D.
2
)?f(?)

2

二. 填空题
7. 若二次函数
f(x
1
?x
2
)?


8. 已知
f(x)?
f(x)?
ax
2
?
bx
, 有< br>f(x
1
?1)?f(x
2
?1)(x
1
?x
2
?2)
, 则
.
x
2
,
g(x)
是一次函数且为增函数, 若
f[g(x)]?
4x
2
?20x?25,

g(x)?

.



9. 已知函数
f(x)?

log< br>2
(x
2
?
ax
?
a)
在区间
(? ?, 1?
实数a的范围
是 .

3)
上是增函数, 则
10. 若
?

?
是关于x 的方程
x
2
?
2kx
?
k
?
6
?
0
的两个实根, 则
(??1)
2
?(??1)
2
的最小
值为 .

三. 解答题
11. 已知二次函数
f(x)
满足
f(2?x)?f(2?x)
, 其图象顶点为A, 图象
与x轴交于点
B
(?1, 0)
和C点, 且△ABC的面积为18, 写出此二次函数的解析
式.











12. 若
f( x)
?
1
?
2a
?
2acosx
?
2si n
2
x
恒大于0, 求实数a的取值范围.











13. 已知
?a?1
, 若
f(x)?ax
2
?2x?1
在区间
[1, 3]
上的最大值为
M(a)
,
最小值为
N(a)
, 令
g(a)?M(a)?N(a)
.
1
3
(1) 求
g(a)
的函数表达式;
(2) 判断
g(a)
的单调性, 并求出
g(a)
的最小值.




























14. 设二次函数
f(x )
?
ax
2
?
bx
?
c
(a?0)
, 方程
f(x)?x?0
的两根
x
1
,x
2


1?x
1
?x
2
?
.
(1)当
x
?
(0,x
1
)
时, 证明:
x?f(x)?x
1
;

x
0
?
x1
2
1
a
(2)设函数
f(x)
的图象关于直线
x?x
0
对称, 证明:









.








二次函数解答
(一) 典型例题
例1 (1) C; (2) A.

例2 (1) 因函数
f(x)
是二次函数得
a?0

又因对于任意
m,n?
R, 有
f(
m?n
)?
1
[f(m)
?
f(n)]
成立, 得到函数
f(x)

22
凹函数,
从而得出
a?0

(2) 由
|f(x)|?1
等价于
?1?f(x)?1
, 即
?
1
?
ax
2
?
x
?
1
, 而x
?[0,1]
,
① 当
x?0
时,
a?0
,
?
1
?
ax
2
?
x
?
1
式显然成立;
② 当x
?(0,1]
时,
恒成立.

t??
[1,
??
)
, 则有
?t
2
1
?a?t
2
?t,
所以只须
x
2
?
?
a?(?t?t)
max
??2
??2 ?a?0,

?
2
?
?
a?(t?t)
min?0
?
1
?
ax
2
?
x
?
1
式化为
?
1111
??a??

x
2
x< br>x
2
x
x
?(0,1]


a?0
, 故得到
?2?x?0
.
综上所述, a的取值范围是
[?2,0)
.

例3
?
当x∈
[?1, ?)
时,
f(x)?a
恒成立,
?
只要
f(x)
的最小值大于等于a即可,



f(x)?
(x?a)
2
?2?a
2

(1) 当x
?a
?
[?1, ?)
时,
(2) 当x
?a
?
(? ?,?1)
时,
f(a)
min
?
2
?
a
2
?
a
??
2
?a
?
1

f(
?
1)
min
?
(
?
1
?
a)
2
?
2
?
a2
?
a
??
3
?
a
??
1

综上所述:
a?[?3,1]


(二) 专题测试与练习
一. 选择题
题1 2 3 4 5 6

答D A B C C C


二. 填空题
7. 0 8.
2x?5;
9.
10. 8 .
三. 解答题
11. 解:对称轴为
x?2
, 顶点坐标为
(2, k)

设二次函数解析式为:
f(x)
?
a(x
?
2)
2
?
k
, 设
C(n, 0)
,
?
n?1
2
?2?n?5?C(5, 0)

?18?
|?1?5|?|k|
2
?k??6.

?A(2, ?6)
, 即有
y?a(x?2)
2
?6
,
由点坐标代入得:
a??
2
3
,

?y?
2
(x?2)2
?6

?y??
2
3
(x?2)
2
3
?6


12. 解:
f(x)
?
1
?
2a
?
2acosx
?
2sin
2
x
?< br>2cos
2
x
?
2acosx
?
2a
?1.


[2?3,2];




t?cosx
, 则
t?[?1, 1]
, 由题意得
2t
2
?
2at
?
2a
?
1
?
0

t?[?1, 1]
时恒成
立,
2t
2
?2at?2a?1?0
可变为
2a(t?1)?2t
2
?1
…………(1)

t??1
时上面不等式(1)显然成立, 当
t??1
时, 因为
t?1?0
, 所以
不等式(1)可
变为
a?
2t< br>2
?12t
2
?
2(t?1)
, 令
g(t)?
1
2(t?1)
,

g(t)?
2 t
2
?2?1
2(t?1)
?(t?1)?
1
2(t?1)
?
2
?
2
?
2

(当且仅当
t? 1?
1
2(t?1)
?t?
2
2
?
1
时取 等号)
因此a的取值范围是
(??, 2?2)
.

13. 解:(1) 函数
f(x)
?
ax
2
?
2 x
?
1
的对称轴为直线
x?
1
a
,
1
3
?a?1,?1?
1
a
?3

f(x)

[1,3]

N(a)?f(
1
a
)?1?
1
a

①当
1?
1
a
?
2
时,即
1
2
?a?1
时,
M(a)?f(3)?9a?5

②当2
?
1
a
?
3
时,即
11
3
?a?
2
时,
M(a)?f(1)?a?1

?
9a?
1
?6,
1
?a
?g(a)?M(a)?N(a)?
?
?
?
a2
?1
?
1

?
?
a?
1
a
?2,
1
3
?a?
2
(2)
g(a)

[
111
2
,1]
上单调递增 ,在
[
3
,
2
)上单调递减,

g(a)
min
?g(
11
2
)?
2
.
14. 解:证明:(1)令
F(x)?f(x)?x
.
?x
1< br>,x
2
是方程
f(x)?x?0
的两根,∴
F(x)?a(x ?x
1
)(x?x
2
)
.

x
?
(0,

x
1
)
时, 由于
x
1
?x
2
,
所以
(x?x
1
)(x?x
2
)?0
.
又因
a?0
,得
F(x )
?
a(x
?
x
1
)(x
?
x
2
)
?
0
.




f(x)?x?0,
从而得到
x?f(x)

又因x
1
?
f(x)
?
x
1
?
[x
?
F(x)]
?
(x
1
?
x)[1
?
a (x
?
x
2
)]
,

0?x
1
?x
2
?
1
,∴
x
1
?x?0
.
a

1
?
a(x
?
x
2
)
?< br>1
?
ax
?
ax
2

x
1
?f(x)?0,即f(x)?x
1
.
综上可知
x?f(x)?x
1
.
(2)由题意知
x0
??
?
1
?
ax
2
?
0
,
b
,
?x
1
,x
2
是方程
f(x)?x? 0
的两根,
2a

x
1
,x
2
是方程
ax
2
?(b?1)x?c?0
的两根,

x
1
?x
2

x
0
?
1?bc
,x
1
x
2
?
.
aa

?
b
?
a(x
1
?
x
2
)
?
1

b
a(x
1
?x
2
)?1ax
1
?ax
2< br>?1
??
.
2a2a2a
axx
又因
ax
2
?
1
, ∴
x
0
?
1
?
1
.
2a2
??


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