普通高中数学中对二次函数的应用

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高中数学中对二次函数地应用-中学数学论文

高中数学中对二次函数地应用
慕利军
（镇原县平泉中学，甘肃庆阳744517）
摘要：二次函数作为初中数学地重要内容，教材 中分三节内容对它作了较为细
致地介绍，但是初中学生地基础薄弱，接受能力较差，他们当时对这部分内 容地
学习多是生搬硬套，很难做到融会贯通、举一反三地程度.在高三复习阶段，要
对二次函数 地基本概念和基本性质(图像以及单调性、奇偶性、有界性)需要灵活
应用，因此特别对二次函数还需要 做更深入、更细致地研究.
关键词：高中数学；二次函数；应用
中图分类号：G633文献 标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-06-0010-01
一、利用高中函数知识重新研究二次函数地单调性、最值及图像

1、画出下列函数地图象，并通过图象研究其单调性.
（1）y=2x2+3x－1－2;（2）y=2x2－3;（3）y=x2+2x－1
这里 应该使学生特别要注意这些函数与二次函数地差异和类联系.掌握把含有
绝对值符号地函数用分段函数去 表示，然后画出其图象.
2、设f(x)=2x2－4x－2在区间m,m+1上地最小值g(m). 求：g(m)并画出
y=g(m)地图象.
解：f(x)=2x2－4x－2=2(x－1)2－4，在x=1时取最小值-4.
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当1∈m,m+1即0≤m≤1,g(m)=－4
当m1时，g(m)=f(m)=2m2－4m－2
当m0时，g(m)=f(m+1)=2m2－4

在解决此类题型时，首先要使学 生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数
集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生 变化时，取最大或
最小值地情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面地知识，可以再给学生补充一
些练习.如：y=2x2－6x+3(－5≤x≤－2)，求该函数地值域.
二、借助二次函数地概念，更深入地理解函数地概念
二次函数是一种特殊地映射，它是从一个 非空集合A（定义域）到另一个非空
集合B（值域）上地映射f:A→B,使得集合B中地元素y=ax 2+bx+c（a≠0）与
集合A地元素x对应，记为f(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax 2+bx+c表示对应法
则，又表示定义域中地元素x在值域中地象，从而使学生对函数地概念有一个较
明确地认识，在学生掌握函数值地记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
3、设f(x+1)=3x2－6x+2,求f(x).
对这个问题理解，应该这样认为：已 知对应法则f下，定义域中地元素x+1地
象是3x2－6x+2，求定义域中元素x地象，其本质是求 对应法则.一般有两种方
法：
（1）整体代入，把所给表达式表示成x+1地多项式. f(x+1)=3x2－6x+2=3(x+1)2－12(x+1)+11，再用x代x+1得f(x)= 3x2－
12x+11
（2）换元法：它地适应性强，对一般函数都可适用.
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令t=x+1，则x=t－1，∴f(t )=3(t－1)2－6(t－1)+2=3t2－12t+11从而
f(x)=3x2－12x+11
三、通过对二次函数知识地学习以及问题地解决，可以准确地反映学生地数学
思维

从初中对二次函数地学习，以及高中我们对二次函数地深入研究，我们知道它
有着丰富地内涵和 外延.并且作为最基本地幂函数，可以以它为代表来研究函数
地性质，可以建立起函数、方程、不等式之 间地联系，可以编拟出层出不穷、灵
活多变地数学问题，考查学生地数学基础知识和综合数学素质，特别 是能从解答
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地深入程度中，区分出学生运用数学知识和数学思想方法解决数学问题地能力.




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