高中一年级数学函数一二次函数知识点与测试题(卷)

..
高一数学第二单元一二次函数知识点及测试题
一次函数二次函数知识点：
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）

二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可 以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2
点，并连成直线即可。（通常 找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x， y），都满足等式：y=kx+b。（2）
一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于 （-bk，0）正比例函数的图像总
是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数 上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列
出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：
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1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有< br>水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人补充）
1.求函数图像的k值：（y1-y2)(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)
的平方和）

二次函数

I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时 ，开口方向向上，a<0时，
开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,Ia I越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）
的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b2a k=(4ac-b^2)4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x = -b2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P ( -b2a ，(4ac-b^2)4a )
当-b2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
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..
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的
值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=a x^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形
状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表 ：
解析式
y=ax^2
y=a(x-h)^2
y=a(x-h)^2+k
y=ax^2+bx+c
顶点坐标
(0，0)
(h，0)
(h，k)
(-b2a，
[4ac-b^2]4a)
对 称 轴
x=0
x=h
x=h
x=-b2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向 右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以
得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得 到
y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h |个单位，再向上移动k个单位可得到
y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k <0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到
y=a(x-h)^2+ k的图象；
因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式 化为y=a(x-h)^2+k
的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这 给画图象提供了方
便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a> 0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称
轴是直线x=-b2a，顶点坐标是(-b2a，[4ac -b^2]4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b2a时，y随x的增大而减小；当x ≥
-b2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b2a时，y随x的增大而增大；当x ≥
-b2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
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(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴 交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元
二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在 x轴的上方，x为任何实数时，都有
y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有 y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b2a时，y最小(大)值
=(4ac-b^2)4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一
般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称 轴时，可设解析式为顶点式：
y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条 件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x
?)(x-x?)(a≠ 0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二
次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．


二次函数
1．解析式、待定系数法
若
f
?
x
?
?x?bx?c
，且
f
?
1
?
?0
，f
?
3
?
?0
，求
f
?
?1
?
的值．
2
变式1：若二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
的图像的顶点坐标为
?
2,?1
?
，与
y
轴的交点
2
坐标为(0,11)，则
A．
a?1,b??4,c??11
B．
a?3,b?12,c?11

C．
a?3,b??6,c?11
D．
a?3,b??12,c?11

变式2：若
f
?
x< br>?
??x?
?
b?2
?
x?3,x?[b,c]
的图 像
x
=1对称，则
c
=_______．
2
变式3：若二 次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
的图像与
x轴有两个不同的交点
A
?
x
1
,0
?
、
2
B
?
x
2
,0
?
，且
x
1< br>2
?x
2
2
?
几个单位得到？
2．图像特征 26
2
，试问该二次函数的图像由
f
?
x
?
? ?3
?
x?1
?
的图像向上平移
9
将函数
f
?
x
?
??3x?6x?1
配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调 区间及最
2
大值或最小值，并画出它的图像．
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..
变式1：已知二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
，如果
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
(其中
x
1
?x
2
)，则
2
?
x?x
?
f
?
12
?
?

?
2
?
4ac?b
2
bb
A．
?
B．
?
C．
c
D． < br>4a
2aa
变式2：函数
f
?
x
?
?x?p x?q
对任意的
x
均有
f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
，那么
f
?
0
?
、< br>2
f
?
?1
?
、
f
?
1
?
的大小关系是
A．
f
?
1
?
?f
?< br>?1
?
?f
?
0
?
B．< br>f
?
0
?
?f
?
?1
?
?f
?
1
?

C．
f
?
1
?
?f
?
0
?
?f
?
?1
?
D．
f
?
?1
?
?f
?
0
?
?f
?
1
?

变式3：已知函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
的图像如右图所示，
2
y
请至少写出三个 与系数
a
、
b
、
c
有关的正确命题_________．
3．）单调性
已知函数
f
?
x
?
?x?2x，
g
?
x
?
?x?2x
?
x?[2,4]?
．
22
O x
(1)求
f
?
x
?
，
g
?
x
?
的单调区间；(2) 求
f
?
x
?
，
g
?
x
?
的最小值．
变式1：已知函数
f
?
x
?
?x?4ax?2
在区间
?
??,6
?
内单调递减，则
a
的取值范围是
2
A．
a?3
B．
a?3
C．
a??3
D．
a??3

1
2
变式2：已知函数
f
?
x
?
?x?
?
a ?1
?
x?5
在区间( ,1)上为增函数，那么
f
?
2< br>?
的取
2
值范围是_________．
变式3：已知函数
f
?
x
?
??x?kx
在
[2,4]
上是单调函数 ，求实数
k
的取值范围．
2
4．最值
已知函数
f
?
x
?
?x?2x
，
g
?
x
?
?x?2x
?
x?[2,4]
?
．
22
(1)求
f
?
x
?
，
g
?
x
?
的单调区间 ；(2) 求
f
?
x
?
，
g
?
x
?
的最小值．
变式1：已知函数
f
?
x
?
?x? 2x?3
在区间[0,
m
]上有最大值3，最小值2，则
m
的取2
值范围是
A．
?
1,??
?
B．
?
0,2
?
C．
?
1,2
?
D．
?
??,2
?

变式2：若函数
y?3?x
2
?4
的最大值为
M
，最小值为
m
，则
M
+
m
的值等于________．
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变式3：已知函数
f
?
x
?
?4x?4ax?a?2a?2
在区间[0,2]上的最小值为3，求
a< br>22
的值．
5．奇偶性
已知函数
f
?
x
?
是定义在R上的奇函数，当
x
≥0时，
f
?
x
?
?x
?
1?x
?
．画出函数
f
?
x
?
的图像，并求出函数的解析式．
变式1：若函数
f
?
x?
?
?
m?1
?
x
2
?m
2
?1x?1
是偶函数，则在区间
?
??,0
?
上
f
?
x
?
是
A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数
变式2：若函数
f
?
x
??ax?bx?3a?b
?
a?1?x?2a
?
是偶函数，则点
?
a,b
?
的坐标
2
??
是________．
变式3：设
a
为实数，函数
f(x)?x?|x?a|?1
，
x?R
．
(I)讨论
f(x)
的奇偶性；(II)求
f(x)
的最小值．














6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
2
?
x
2
?4x?3,?3?x?0
?
已知
f(x )?
?
?3x?3,0?x?1
．
?
2
?
?x? 6x?5,1?x?6
(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小 值．
变式1：指出函数
y??x?2x?3
的单调区间．
变式2：已知函数
f(x)?|x?2ax?b|(x?R)
．
给下列命题：①
f(x)
必是偶函数；
2
2
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..
② 当
f(0)?f(2)
时，
f(x)
的图像必关于直线
x
=1对称；
③ 若
a
2
?b?0
，则
f(x)
在区间[
a
，＋∞
)
上是增函数；
④
f(x)
有最大值
|a?b|
．
其中正确的序号是________．③
变式3：设函数
f(x)?x|x|?bx?c,
给出下列4个命题：



①当
c
=0时，
y?f(x)
是奇函数；
②当
b
=0，
c
>0时，方程
f(x)?0
只有一个实根；
③
y?f(x)
的图象关于点（0，
c
）对称；
④方程
f(x)?0
至多有两个实根．
2
上述命题中正确的序号为 ．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
求二次函数
f(x)??2x?6x
在下列定义域上的值域：
(1)定义域为
x?Z0?x?3
；(2) 定义域为
?
?2,1
?
．
变式1：函数
f(x)??2x ?6x
?
?2?x?2
?
的值域是
2
2
???
9
?
9
?
32
?
??
A．
?
?20,
?
B．
?
?20,4
?
C．
?
?20,
?
D．
?
?20,
?

2
?
2
?
2?
??
?
变式2：函数
y
=cos2
x
+si n
x
的值域是__________．
2
变式3：已知二次函数
f
(
x
) =
a

x
+
bx
（
a
、
b
为常数，且
a
≠ 0），满足条件
f
(1
+
x
) =
f
(1－
x
)，且方程
f
(
x
) =
x
有等根．
(1)求
f
(
x
) 的解析式；
(2)是否存在实数
m
、
n
（
m
<
n
），使
f
(
x
) 的定义域和值域分别为 [
m
,
n
] 和 [3
m
,3
n
]，
如果
存在，求出
m
、
n
的值，如果不存在，说明理由．









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..



8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
当
a,b,c
具有什么关 系时，二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
的函数值恒大于 零？恒小于
2
零？
2
变式1：已知函数
f
(
x
) = lg (
a

x
+ 2
x
+ 1) ．
(I)若函数
f
(
x
) 的定义域为
R
，求实数
a
的取值范围；
(II)若函数
f
(
x
) 的值域为
R
，求实数
a
的取值范围．






变式2：已知函数< br>f(x)?x?ax?3?a
，若
x?
?
?2,2
?
时，有
f(x)?2
恒成立，求
a
2
的取值范围．









2
变式3：若
f
(
x
) =
x
+
bx
+
c
，不论
?
、
?
为何实数，恒有
f
(sin
?
)≥0，
f
(2
+ cos
?
)≤0．
(I) 求证：
b
+
c
= －1；
(II) 求证：
c
≥3；
(III) 若函数
f
(sin
?
) 的最大值为 8，求
b
、
c
的值．











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9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系 右图是二次函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
的图像，它 与
x
轴交于点
?
x
1
,0
?
和
?
x
2
,0
?
，试确
2
定
a,b,c
以及
x
1
x
2
，
x
1
?x
2< br>的符号．




变式1：二次函数
y?ax?b
与一次函数
y?ax?b(a?b)
在同一个直角坐标系的图像为







2
y
1
x
1
x
O
1
x
2

y



y

O

y


y

x


O

x

O
A．
2：
x

O
B．
直线
x

C．
D．
与抛物线


变式
y?mx?3
C
1
:y?x
2
?5mx?4m,C
2
:y?x
2
?(2m?1)x
?m
2
?3,

C
3
:y?x
2
?3mx?2m?3
中至少有一条相交，则m的取值范 围是．







变式3：对于函数
f
(
x
)，若存在
x
0
? R，使
f
(
x
0
) =
x
0
成立，则称
x
0
为
f
(
x
) 的不
2
动点．如果函数
f
(
x
) =
a

x
+
bx
+ 1（
a
> 0）有两个相异的不动点
x
1
、
x
2
．
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..
1
(I)若
x
1
< 1 <
x
2
，且
f
(
x
) 的图象关于直线
x
=
m
对称，求证
m
> ；
2
(II)若 |
x
1
| < 2 且 |
x
1
－
x
2
| = 2，求
b
的取值范围．



















10．（北师大版第52页例3）应用
绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮 料．根据以前的统计数据，若零售价定为
每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元 ，则可多销售40瓶．在每月的进
货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为 多少元和从工厂购进
多少瓶时，才可获得最大的利润？
变式1：在抛物线
f
?
x
?
??x?ax
与
x
轴所围成图形的内接
2< br>y
矩形(一边在
x
轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，
其中
a
是正实数．













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AD
x
O
B
C

..





变式2：某民营企业生产
A
，
B
两种产品，根据市场调查与预测，
A
产品的利润与投资成正比，其关系如图 一；
B
产品的利润与投资的算术
平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位： 万元）

(1) 分别将
A
、
B
两种产品的利润表示为投资的函数关
系式；
(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入
A
，
B
两
种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才
能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？













变式3：设
a
为实 数，记函数
f(x)?a1?x
2
?1?x?1?x
的最大值为
g< br>(
a
) ．
1
（Ⅰ）求
g
(
a
) ；（Ⅱ）试求满足
g(a)?g()
的所有实数
a
．
a
















..下载可编辑..

..


























二次函数答案
1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法
?
b
?
?
2a
?2
?
?
a?3
2
?
?
4ac?b
??1
，解得
?
b??12，故选D． 变式1： 解：由题意可知
?
?
c?11
?
4a< br>?
?
c?11
?
?
变式2： 解：由题意可知
b?2 0?c
?1
，解得
b
=0，∴
?1
，解得
c
=2．
22
2
变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为
f
?
x
?
??3
?
x?1
?
?k
，
展开得
f
?
x
?
??3x?6x?3?k
， 2
∴
x
1
?x
2
?2,x
1
x
2
?
3?k
，
3
..下载可编辑..

..
∴
x
2
2
1
?x
2
2< br>?
?
x
1
?x
2
?
?2x
262
?
3?k
?
1
x
2
?
9
， 即
4?
3
?
26
4
9
，解得
k?
3
．
所以，该二次函数的图像是由
f
?
x
?
?? 3
?
x?1
?
2
的图像向上平移
4
3
单位得到的，它的
解析式是
f
?
x
?
??3
?x?1
?
2
?
45
3
，即
f
?
x
?
??3x
2
?6x?
3
．
2．（北师大版第52页例2）图像特征
变式1： 解：根据题意可知
x
1
?x
2
2
??
b
2a
，∴
f
?
?
x
?
4ac?b
2
1
?x
2
?
2
?
?
?
4a
，故选D．
变式2： 解：∵f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
，∴抛 物线
f
?
x
?
?x
2
?px?q
的对称轴 是
x?1
，
∴
?
p
2
?1
即
p??2
，
∴
f
?
x
?
?x
2
?2x?q
，∴
f
?
0
?
?q
、
f
?
?1
?
?3? q
、
f
?
1
?
??1?q
，
故有
f
?
?1
?
?f
?
0
?
?f
?
1
?
，选C．
y
变式3： 解：观察函数图像可得：
①
a
>0(开口方向)；②
c
=1(和
y
轴的交点)；
③
4a?2b?1?0(和
x
轴的交点)；④
a?b?1?0
(
f
?
1
?
?0
)；
⑤
b
2
?4a?0
(判别式)；⑥
1??
b
2a
?2
(对称轴)．
3．（人教A版第43页B组第1题）单调性
O
变式1： 解：函数
f< br>?
x
?
?x
2
?4ax?2
图像是开口向上的抛物线 ，
其对称轴是
x??2a
，
由已知函数在区间
?
??,6
?
内单调递减可知区间
?
??,6
?
应在直线
x? ?2a
的左侧，
∴
?2a?6
，解得
a??3
，故选D．
变式2：解：函数
f
?
x
?
?x
2
??
a?1
?
x?5
在区间(
1
2
,1)上为 增函数，由于其图像(抛
物线)开口向上，所以其对称轴
x?
a?11
2或与直线
x?
2
重合或位于直线
x?
1
2
的左 侧，即
应有
a?1
2
?
1
2
，解得
a?2
，
∴
f
?
2
?
?4?
?
a? 1
?
?2?5?7
，即
f
?
2
?
?7．
变式3：解：函数
f
?
x
?
??x
2?kx
的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称
轴是
x?
k2
，
..下载可编辑..
x

..
∵ 已知函数在
[2,4]
上是单调函数，∴ 区间
[2,4]
应在直线
x?
k
2
的左侧或右侧，
即有
k
2
?2
或
k
2
?4
，解得
k?4
或
k?8
．
4．（人教A版第43页B组第1题）最值
y
变式1： 解：作出函数
f
?
x
?
?x
2
?2x?3
的图像，







O

开口向上，对称轴上
x
=1，顶点是(1，2)， 和
y
轴的交点是(0，3)，
∴
m
的取值范围是
1?m?2
，故选C．
变式2： 解： 函数有意义，应有
?x
2
?4?0
，解得
?2?x?2
，
∴
0??x
2
?4?4
?
0??x
2
?4?2
?
0?3?x
2
?4?6
，
∴
M
=6，
m
=0，故
M
+
m
=6．
2
变式3： 解：函数
f
?
x
?
的表达式可化为< br>f
?
x
?
?4
?
?
a
?
?
x?
2
?
?
?
?
2?2a
?
．
① 当
0?
a
2
?2
，即
0?a?4
时，
f
?
x
?
有最小值
2?2a
，依题意应有
2?2a?3
，
解得
a??
1
2
，这个值与
0?a ?4
相矛盾．
②当
a
2
?0
，即
a?0
时，
f
?
0
?
?a
2
?2a?2
是最小值 ，依题意应有
a
2
?2a?2?3
，
解得
a?1?2
，又∵
a?0
，∴
a?1?2
为所求．
③当
a
2
?2
，即
a?4
时，
f
?
2
?
?16?8a?a
2
?2a?2
是最小值，
依题意应有
16?8a ?a
2
?2a?2?3
，解得
a?5?10
，又∵
a?4< br>，∴
a?5?10
为所求．
综上所述，
a?1?2
或
a?5?10
．
5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
变式1： 解：函数
f
?x
?
?
?
m?1
?
x
2
?
?
m
2
?1
?
x?1
是偶函数 ?
m
2
?1?0
?
m??1
，
..下载可编辑..
x

.. 当
m?1
时，
f
?
x
?
?1
是常数； 当
m??1
时，
f
?
x
?
??2x?1
， 在区间
?
??,0
?
上
f
?
x
?
2
是增函数，故选D．
变式2：解：根据题意可知应有
a?1?2a?0
且
b?0
，即
a?
的坐标是
?
,0
?
．
变式3： 解：（I）当
a?0
时，函数
f(?x)?(?x)?|?x|? 1?f(x)
，此时，
f(x)
为
偶函数；
当
a?0时，
f(a)?a?1
，
f(?a)?a?2|a|?1
，

f(a)?f(?a)
，
f(a)??f(?a)
，此时
f(x)< br>既不是奇函数，也不是偶函数．
（II）（
i
）当
x?a
时，
f(x)?x
2
?x?a?1?(x?)
2
?a?
若
a?
22
2
1
且
b?0
，∴点
?
a,b
?
3
?
1
?
3
?
?
1
2
3
，
4
1
，则函数
f(x)
在
(??, a]
上单调递减，从而函数
f(x)
在
(??,a]
上的
2
2
最小值为
f(a)?a?1
．
若
a?
113< br>，则函数
f(x)
在
(??,a]
上的最小值为
f()??a
，且
224
1
f()?f(a)
．
2
3
，
4
113
若
a??
，则函数f(x)
在
(??,a]
上的最小值为
f(?)??a
，且224
（
ii
）当
x?a
时，函数
f(x)?x
2
?x?a?1?(x?)
2
?a?
1
2
1
f( ?)?f(a)
，
2
1
若
a??
，则函数
f(x )
在
[a,??)
上单调递增，从而函数
f(x)
在
[a, ??)
上的
2
最小值为
f(a)?a?1
．
综上，当a??
2
13
时，函数
f(x)
的最小值为
?a
；
24
11
2
当
??a?
时，函数
f(x)< br>的最小值为
a?1
；
22
13
当
a?
时， 函数
f(x)
的最小值为
?a
．
24
6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间．
..下载可编辑..

..
当
x?0
时，
y??x< br>2
?2x?3??
?
x?1
?
?4
，
当< br>x?0
时，
y??x
2
?2x?3??
?
x?1?
?4
．
作出函数图像，由图像可得单调区间．






2
2
y
O x
在?
??,?1
?
和
?
0,1
?
上，函数是增函 数；在
?
?1,0
?
和
?
1,??
?
上， 函数是减函数．
变式2： 解：若
a?1,b?1,
则
f(x)?|x?2 x?1|?x?2x?1
，显然不是偶函数，所以①
是不正确的；
若
a?? 1,b??4,
则
f(x)?|x?2x?4|
，满足
f(0)?f(2)< br>，但
f(x)
的图像不关于
直线
x
=1对称，所以②是不正确 的；
若
a
2
?b?0
，则
f(x)?|x?2ax?b| ?x?2ax?b
，图像是开口向上的抛物线，其
对称轴是
x?a
，∴
f(x)
在区间[
a
，＋∞
)
上是增函数，即③是正确的； 显然函数
f(x)?|x?2ax?b|
?
x?R
?
没有最大值 ，所以④是不正确的．
2
2
?
?
x?bx?c,x?0
变式3： 解：
f(x)?x|x|?bx?c?
?
，
2
?
?
?x?bx?c,x?0
22
2
22
(1)当
c
=0时，
f(x)?xx?bx
，满足
f(?x)??f
?
x
?，是奇函数，所以①是正确的；
2
?
?
x?c,x?0
(2) 当
b
=0，
c
>0时，
f(x)?xx?c?
?
，
2
?
?
?x?c,x?0
?
x
2
?c?0
?
?x
2
?c?0
方程
f(x)?0
即
?
或
?
，
x?0x?0
??
?
x
2< br>?c?0
?
?x
2
?c?0
显然方程
?
无解 ；方程
?
的唯一解是
x??c
，所以② 是正确
?
x?0
?
x?0
的；
(3)设
?
x
0
,y
0
?
是函数
f(x)?x|x|?bx?c图像上的任一点，应有
y
0
?x
0
|x
0
|? bx
0
?c
，
..下载可编辑..

..
而该点关于（0，
c
）对称的点是
?
?x
0
,2c ?y
0
?
，代入检验
2c?y
0
??x
0
|x
0
|?bx
0
?c
即
?y
0
??x< br>0
|x
0
|?bx
0
?c
，也即
y
0
?x
0
|x
0
|?bx
0
?c
，所以< br>?
?x
0
,2c?y
0
?
也是函数
f(x) ?x|x|?bx?c
图像上的点，所以③是正确的；
(4)若
b??1,c?0
，则
f(x)?x|x|?x
，显然方程
x|x|?x?0
有三个根 ，所以④ 是
不正确的．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
变式1： 解 ：作出函数
f(x)??2x?6x
?
?2?x?2
?
的图象，容易 发现在
?
?2,
?
上
2
2
?
?
3
?
?
是增函数，在
?
,2
?
上是减函数，求出f(?2)??20
，
f(2)?4
，
f()?
?
3< br>?
2
?
?
3
2
9
，注意到函
2数定义不包含
x??2
，所以函数值域是
?
?20,
?
．
2
?
?
9
?
?
变式2：解：∵
y
= cos2
x
+sin
x
=－2sin
x+sin
x
+1，令
t
= sin
x
? [－1,1]，
2
则
y
=－2
t
+
t
+ 1，其中
t
? [－1,1]，
99
∴
y
? [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
88
变式3： 解：(I) ∵
f
(1 +
x
) =
f
(1－
x
)，
∴ － = 1，
2
a
又方程
f
(
x
) =
x
有等根 ?
a

x
+ (
b
－1)
x
= 0 有等根，
1
2
∴ △= (
b
－1) = 0 ?
b
= 1 ?
a
= － ，
2
1
2
∴
f
(
x
) = －
x
+
x
．
2
(II) ∵
f
(
x
) 为开口向下的抛物线，对称轴为
x
= 1，
1? 当
m
≥1 时，
f
(
x
) 在 [
m
,
n
] 上是减函数，
1
2
∴ 3
m
=
f
(
x
)
min
=
f
(
n
) = －
n
+
n

2

1
2
3
n
=
f
(
x
)
max
=
f
(
m
) = －
m
+
m
，
2
1
2 2
两式相减得：3 (
m
－
n
) = － (
n
－
m
) + (
n
－
m
)，
2
∵ 1≤
m
<
n
，上式除以
m
－
n
得：
m
+
n
= 8，
2
代入 (*) 化简得：
n
－8
n
+ 48 = 0 无实数解．
2? 当
n
≤1 时，
f
(
x
) 在 [
m
,
n
] 上是增函数，
1
2
∴ 3
m
=
f
(
x
)
min
=
f
(
m
) = －
m
+
m
，
2
(*)，
2
2
b
..下载可编辑..

..

1
2
3
n
=
f
(
x
)
max
=
f
(
n
) = －
n
+
n
，
2
∴
m
= －4，
n
= 0．
3? 当
m
≤1≤
n
时，对称轴
x
= 1 ? [
m
,
n
]，
11
∴ 3
n
=
f
(
x
)
max
=
f
(1) = ?
n
= 与
n
≥1 矛盾．
26
综合上述知，存在
m
= －4、
n
= 0 满足条件．
8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
2
变式1： 解：(I) 函数
f
(
x
) 的定义域为
R
，即不等式
a

x
+ 2
x
+ 1 > 0 的解集为
R
，
?

a
> 0
∴应有
?
?
a
> 1，
?
△= 4－4
a
< 0
∴ 实数
a
的取值范围是(1,+?) ．
2
(II) 函数
f
(
x
) 的值域为
R
，即
a

x
+ 2
x
+ 1 能够取 (0,+?) 的所有值．
2
1? 当
a
= 0 时，
a

x
+ 2
x
+ 1 = 2
x
+ 1满足要求；
?

a
> 0
2? 当
a
≠ 0 时，应有
?
? 0 <
a
≤1．
?
△= 4－4
a
≥0
∴ 实数
a
的取值范围是[0,1] ．
变式2： 解法一：(转化为最值)
f(x)?2
在
?
?2,2
?
上恒成立，即
f(x)?x
2
?ax ?1?a?0
在
?
?2,2
?
上恒成立．
2
⑴
??a?4
?
1?a
?
?0
，
??2?22?a??2?22
；
?
??a
2
?4(1? a)?0
?
f(2)?0
?
?
⑵
?
f(?2)?0
，
??5?a??22?2
．
?
?
?
a
?2或?
a
??2
?
?22
综上所述
?5?a?22?2< br>．
解法二：（运用根的分布）
⑴当
?
在；
a5
??2
，即
a?4
时，应有
g(a)?f(?2)?7?3a?2
， 即
a?
，
?a
不存
23
aa
2
a?a?3?2
， ⑵当
?2???2
，即
?4?a?4
时，应有
g(a)?f(?)??
24
2
即
－22?2?a?22?2
，
??4?a?22?2
；
a
?2
，即
a??4
时，应有
g(a)?f(2)?7?a?2
，即
a??5
，
2
??5?a??4

⑶当
?
综上所述
?5?a?22?2
．
..下载可编辑..

..
变式3： 证明：(I) 依题意，
f
(sin ) =
f
(1)≥0，
f
(2 + cos
?
) =
f
(1)≤0，
2
∴
f
(1) = 0 ? 1 +
b
+
c
= 0 ?
b
+
c
= －1，
2
(II) 由 (I) 得：
f
(
x
) =
x
－(
c
+ 1)
x
+
c
(*)
2
∵
f
(2 + cos
?
)≤0 ? (2 + cos
?
)－(
c
+ 1) (2 + cos
?
) +
c
≤0
? (1 + cos
?
) [
c
－(2 + cos
?
)]≥0，对任意
?
成立．
∵ 1 + cos
?
≥0 ?
c
≥2 + cos
?
，
∴
c
≥(2 + cos
?
)
max
= 3．
2
(III) 由 (*) 得：
f
(sin
?
) = sin
?
－(
c
+ 1) sin
?
+
c
，
2
设
t
= sin
?
，则
g
(
t
) =
f
(sin
?
) =
t
－(
c
+ 1)
t
+
c
，－1≤
t
≤1，
这是一开口向上的抛物线，对称轴为
t
=
3 + 1
由 (II) 知：
t
≥ = 2，
2
∴
g
(
t
) 在 [－1,1] 上为减函数．
∴
g
(
t
)
max
=
g
(－1) = 1 + (
c
+ 1) +
c
= 2
c
+ 2 = 8，
∴
c
= 3
∴
b
= －
c
－1 = －4．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系
变式1： 解：二次函数
y?a x?b
与一次函数图象
y?ax?b
交于两点
(o,b)
、
2
?
c
+ 1
2
，
(1,a?b)
，由二次函
数图象知
a,b
同号，而由
B ,C
中一次函数图象知
a,b
异号，互相矛盾，故舍去
B,C
． < br>又由
a?b
知，当
a?b?0
时，
?
b
?? 1
，此时与
A
中图形不符，当
0?a?b
时，
a
?
b
??1
，与
D
中图形相符．
a
2： 解：原命 题可变为：求方程
mx?3?x
2
?5mx?4m
，变式
mx?3? x
2
?(2m?1)x?m
2
?3
，
mx?3?x
2
?3mx?2m?3
中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程
均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的
m
的值，即得所求．
?
(4m)
2
?4(?4m?3)?0,
?
3
22
解不等式组
?
(m?1)?4m?0,
得
??m??1
，
2
?
4m
2
?4(?2m)?0,
?
故符合条件的
m
取值范围是
m??
3
或
m??1
．
2
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..
变式3： 解：(I) 由
f
(
x
) 表达式得
m
= － ，
2
a
∵
g
(
x
) =
f
(
x
)－
x
=
a

x
+ (
b
－1)
x
+ 1，
a
> 0，
由
x
1
，
x
2
是方程
f
(
x
) =
x
的两相异根，且
x
1
< 1 <
x
2
，
2
b
bb
11
∴
g
(1) < 0 ?
a
+
b
< 0 ? － > 1 ? － > ，即
m
> ．
a
2
a
22
(II) △= (
b
－1)－4
a
> 0 ? (
b
－1) > 4
a
，

1－
b
1

x
1
+
x
2
= ，
x
1
x
2
= ，
2 2
aa
1－
b
2
4
2 2 2
∴ |
x
1
－
x
2
| = (
x
1
+
x
2
)－4
x
1
x
2
= ( )－ = 2，
aa
∴ (
b
－1) = 4
a
+ 4
a
(*)
又 |
x
1
－
x
2
| = 2，
1－
b
∴
x
1
、
x
2
到
g
(
x
) 对称轴
x
= 的距离都为1，
2
a
要
g
(
x
) = 0 有一根属于 (－2,2)，
1－
b
则
g
(
x
) 对称轴
x
= ? (－3,3)，
2
a
∴ －3 <
2 2
b
－11
< 3 ?
a
> |
b
－1 |，
2
a
6
21
2 2
把代入 (*) 得：(
b
－1) > |
b
－1 | + (
b
－1)，
39
17
解得：
b
< 或
b
> ，
44
17
∴
b
的取值范围是：(－?, )∪( ,+?)．
44
10．（北师大版第52页例3）应用
变式1： 解：设矩形
ABCD
在
x
轴上的边是
BC
，
BC
的长是
x(0<
x
<
a
)，
?
a?xa
2
? x
2
?
?
a?x
?
,
,0
?
，A 点的坐标为
?
则B点的坐标为
?
?
．
4
?
?
2
?
?
2
设矩形
ABCD
的周长为
P
，
?
a
2
?x
2
?
1
2
a
2
1a
2
2
则
P
=2
?
x?
?
??x?2x???
?
x?2
?
??2
(0<< br>x
<
a
)．
42222
??
a
2
?x
2
① 若
a>2，则当
x
=2时，矩形的周长
P
有最大值，这时矩形两边的长分别为 2和，
4
两边之比为8:
a
2
?4
；
??
1a
2
2
?2
无最大值，也就是说周长最大的内接②若0 <
a< br>≤2，此时函数
P
=
?
?
x?2
?
?
22
矩形不存在．
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..
综上所述，当
a
>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:
a
2< br>?4
；当0 <
a
≤2时，
周长最大的内接矩形不存在．
变式2： 解：(I) 依题意设
A
、
B
两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

f
(
x
) =
kx
，
g
(
x
) =
mx
，
5
由
f
(1) =
k
= 0.25，
g
(4) = 2
m
= 2.5 ?
m
= ，
4
15
∴
f
(
x
) =
x
（
x
≥0），
g
(
x
) =
x
．
44
(II) 设企业在
B
产品投资
x
万元，则在
A
产品投资 10－
x
万元，
1515
2
65
∴ 企业的利润
y
= (10－
x
) +
x
= [－(
x
－ ) + ]（0≤
x
≤10），
44424
565
∴
x
= ，即
x
= 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元．
216
答：在
A
产品投资 3.75 万元，在
B
产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万
元．
变式3： 解：设
t ?1?x?1?x
，要使
t
有意义，必须
1?x?0
且
1? x?0
，即
?1?x?1
，
∵
t
2
?2?21? x
2
?[2,4]
，且
t?0
……①
∴
t
的取值范围是
[2,2]
．
由①得：
1?x
2
?
??
1
2
t?1
，
2
1
2
at?t?a
，
t?[2,2]
．
2
1
（I）由题意知
g(a)
即为函数
m(t)
?at< br>2
?t?a
，
t?[2,2]
的最大值，
2
当a?0
时，
m(t)?t
，
t?[2,2]
，有
g(a )
=2；
11
当
a?0
时，此时直线
t??
是抛 物线
m(t)
?at
2
?t?a
的对称轴，
a2
不妨设
m(t)?a(t
2
?1)?t?
∴可分以下几种情况进行讨论： < br>（1）当
a?0
时，函数
y?m(t)
，
t?[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，
1
2
1
?0
知
m (t)
在
t?[2,2]
上单调递增，故
g(a)?m(2)
?a? 2
；
a
（2）当
a?0
时，，函数
y?m(t)
，
t?[2,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段，
由
t??
2
1
?(0,2]
即
a??
时，
g(a)
?m(2) ?2
，
2
a
21
111
,?]
时，
g( a)
?m(?)??a?
若
t??
?(2,2]
即
a?(?
，
22
aa2a
11
若
t??
?(2,??)< br>即
a?(?,0)
时，
g(a)?m(2)
?a?2
．
a2
若
t??
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..
?
?
a?2
?
1
?
综上所述，有
g(a)
=
?
?a?
2a
?
?
2
?
?a
1
(a??)
2
21
,(??a??)
．
22
2
(a??)
2
aaa
1111
（II）若
a
>0，则 >0，此时g(
a
)=g( ) ?
a
+2= +2 ?
a
= ?
a
=1(舍去
a
=
－1)；
1111
若－ <
a
<0，则 <－2，此时g(
a
)=g( ) ?
a
+2=2 ?
a
=－2+2 <－ (舍
2
aa
2
去)；
若－
2 11
<
a
≤－ ，则－2≤ <－2 ，
22
a
112
此时g(
a
)=g( ) ? －
a
－ = 2 ?
a
=－ (舍去)；
a
2
a
2
若－2 ≤
a
≤－
2 12
，则－2 ≤ ≤－ ，
2
a
2
1
此时g(
a
)=g( ) ? 2 =2 恒成立；
a
若－2≤
a
<－2 ，则－
2 11
< ≤－ ，
2
a
2
112
此时g(
a
)=g( ) ? 2 =－
a
－ ?
a
=－ (舍去)；
a
2
a
2
11
若
a
<－2，则－ < <0，
2
a
1
此时g(
a
)=g( ) ? 2 =
a
+2?
a
=－2+2 >－2 (舍去) ．
a
2< br>1
综上所述，满足
g(a)?g()
的所有实数
a
为：
?2?a??
或
a?1
．
a
2



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