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高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 22:35
tags:高中数学二次函数

高中数学社团活动的开展-练到位高中数学必修二

2020年10月7日发(作者:姜泗长)


基础过关
第1课 二次函数在闭区间上的最值

一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况.

f(x)?ax?bx? c(a?0)
,求
f(x)

x?[m,n]
上的最大值与最小值。
2
?
b4ac?b
2
?
b
?
分析:将f(x)
配方,得顶点为
?
、对称轴为
x??
?,
?
2a
?
2a
4a
??

a?0
时,它的 图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上
f(x)
的最值:
b
(1)当
??
?
m,n
?
时,
f(x)
的最小值 是
2a
2
?
b
?
4ac?b
f
?
?

?
?
4a
?
2a
?
f(x)
的最大值是
f(m)、f(n)
中的较大者。
b
?(??,m)
时,
f(x)

?
m,n
?
上是增函数则
f(x)
的最小值是
f(m)
,最大值是
f(n)

2a
b
(3)当
??(n,??)
时,
f(x)

?
m, n
?
上是减函数则
f(x)
的最大值是
f(m)
,最小值是
f(n)

2a
(2)当
?

a?0
时,可类比得结论。

典型例题

(一)、正向型
是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:
(1)轴定,区间定; (2)轴定,区间变; (3)轴变,区间定; (4)轴变,区间变。
1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定 二次
函数在定区间上的最值”。
例1. 函数
y??x?4x?2
在区间[ 0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。

2
练习. 已知
2x?3x
,求函数
f(x)?x?x?1
的最值。
2
2


2、轴定区间变 二次函数是确定的,但它的定义域区 间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定
函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数< br>f(x)?(x?1)?1
定义在区间
t,t?1
上,求
f(x)的最小值。



1
2
??


例3. 已知
f(x)?x?2x?3
,当< br>x?[t,t?1]

?
t?R
?
时,求
f(x)< br>的最大值.
2




观察前两题的解法,为什么 最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢?这些
问题其实仔细思考就很容易解决。不难 观察:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或
二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二 次函数是开口向上的,在闭区间上,它的最小值在区
间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三 种可能,所以分三种情况讨论;而它的最大值
不可能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪 个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,
当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据 这个理解,不难解释第二个例题为
什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:
b
?
f(n),??n(< br>如图3
)
?
b1
2a
?
?
f(m),??( m?n)(
如图1
)
?
bb
?
?
2a2

a?0

f(x)
max
?
?
f(x)
min
?
?
f(?),m???n(
如图4
)

b 1
2a2a
?
f(n),
?
??(m?n)(
如图2
)
?
b
?
2a2
?
f(m),??m(
如图5< br>)
?
2a
?

b
?
f(n),?? n(
如图6
)
?
b1
?
2a
f(m),??(m? n)(
如图9
)
?
?
?
2a2
bb

a?0

f(x)
max
?
?

?f(?),m???n(
如图7
)
f(x)
min
?
?
2a2a
?
f(n),?
b
?
1
(m?n)(如图10
)
?
?
b
?
2a2
?
f(m ),??m(
如图8
)
?
2a
?

我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,
1


例4. 已知
x
2
?1
,且
a?2?0,求函数
f(x)?x?ax?3
的最值。

[来源:Z&xx&]
2
[来源:]


2
例5. (1) 求
f(x)?x?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。


(2) 求函数
y??x(x?a)

x?[?1,1]
上的最大值。



4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化 的,我们称这种情况是“动
二次函数在动区间上的最值”。
2
2
例6. 已知
y?4a(x?a)

?
a?0
?
,求
u?< br>?
x?3
?
?y
的最小值。
2
[来源学+科+网Z+ X+X+K]






(二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数
f(x )?ax?2ax?1
在区间
[?3,2]
上的最大值为4,求实数
a
的值。
2







x
2
?x
在区间
[m,n]
上的最小值是3
m
最大 值是3
n
,求
m

n
的值。 例
8.
已知函数
f(x)??
2






评注:解法利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了
m
,< br>n
的取值范围,避开了繁
难的分类讨论,解题过程简洁、明了。
1


例9. 已知二次函数
f(x)?ax?(2a?1)x?1
在区间
?
?







2
?
3
?
,2
?
上的最大值为3,求实数a的值。
?
2
?
解后反思:若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参 数与确定函数的参数一
致,可采用先斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、 顶点处取得,不
妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解题过程简洁 、明了。

巩固训练
2
1.函数
y
?x?x?1

[?1,1]
上的最小值和最大值分别是( )
(A)
1 ,3
(B)
2
3
11
,3 (C)
?
,3 (D)
?
, 3
4< br>24
2.函数
y??x?4x?2
在区间
[1,4]
上的最小值是( )
(A)
?7

(B)
?4

(C)
?2

(D)
2
3.函数
y?
8
的最值为( )
2
x?4x?5
[来源学科网]

(A)
最大值为8,最小值为0
(B)
不存在最小值,最大值为8
(C)最小值为0, 不存在最大值
(D)
不存在最小值,也不存在最大值
4.若函数
y?2??x
2
?4x,x?[0,4]
的取值范围是______________________ 5.已知函数
f(x)?ax?(2a?1)x?3(a≠0)在区间[?
22
2
3
,2]
上的最大值是1,则实数a的值为
2< br>6.如果实数
x,y
满足
x?y?1
,那么
(1?xy)(1 ?xy)
有( )
13
(B) 无最大值,最小值为
24
3
(C)最大值为 1, 无最小值 (D) 最大值为1,最小值为
4
(A) 最大值为 1 , 最小值为
7.已知函数y?x?2x?3
在闭区间
[0,m]
上有最大值3,最小值2,则
m< br>的取值范围是( )
(A)
[1,??)
(B)
[0,2]
(C)
[1,2]
(D)
(??,2]

1
2


8.若
x? 0,y?0,x?2y?1
,那么
2x?3y
的最小值为_____________ _____
22
9.设
m?R,x
1
,x
2
是方 程
x?2mx?1?m?0
的两个实根,则
x
1
?x
2的最小值______
22
2
10.设
f(x)?x?4x?4,x? [t,t?1](t?R),
求函数
f(x)
的最小值
g(t)
的解 析式。





11.已知
f(x)
?x?ax?





12. 设
a
为实数,函数
f(x)?2x
2
? (x?a)|x?a|
.
(1) 若
f(0)?1
,求
a
的取值范围;(2) 求
f(x)
的最小值;
(3) 设函数
h(x)?f(x),x?(a, ??)
,直接写出
....
不等式
h(x)?1
的解集(不需给出演 算步骤).










2
2
a
,在区间
[0,1]
上的最大值为
g(a)
,求
g(a)
的最小值。
2
第2课 函数的定义域和值域
基础过关

一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式 的集合.
2.常见的三种题型确定定义域:
① 已知函数的解析式,就是 .
② 复合函数
f[g(x)]
的有关定义域,就要保证内函数
g(x)
的 域是外函数
f(x)
的 域.
③ 实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合.
1


二、值域:
1.函数
y?f(x)
中,与自变量
x
的值 的集合.
2.求函数值域的常用方法:
①观察法; ②配方法; ③反函数法; ④不等式法; ⑤单调性法;
⑥数形法; ⑦判别式法; ⑧有界性法; ⑨换元法
例如:①
y?
12x?1
2
,可采用 法; ②
y?
(x??)
,可采用 法或 法;
3x?2
2?x
2
3
2

y?a[f(x)]?bf(x)?c
,可采用 法; ④
y?x?1?x
,可采用 法;

y?x?1?x
2
,可采用 法; ⑥
y?

典型例题

例1. 求下列函数的定义域:
(1)
y?







变式训练1:求下列函数的定义域:
sinx
可采用 法等.
2?cosx
(x?1)
0
|x|?x
(2)
y?
1
3
x?3
2
?5?x
2
;
y?x?1·x?1

x
2
?(x?1)
(2)
y??(5x?4)
0
; (1)
y?
lg(4 x?3)
12?x?x
2
lg(2?x)
0





2. 设函数
y?f(x)
的定义域为[0,1],求下列函数 的定义域
(1)
y?f(3x)
; (2)
y?f()
(3)
y?f(x?)?f(x?)







1
x
1
3
1
3
(4)
y?f(x?a)?f(x?a)
1


变式训练2:若函数f(x)
的定义域是[0,1],则
f(x?a)?f(x?a)
(0<a<)的 定义域是 ( )
A.
?
1
2
[a,1
 
?a]
C.
[?a,1
 
?a]
[0,1]
例3. 求下列函数的值域:
x
2
?x
;
(2)
y?x?1?2x
(1)
y?
2
x?x?1


[来源:学#科#网]
e
x
?1
(3)
y?
x
e?1



[来源:学科网]



变式训练3:求下列函数的值域:
(1)
y?






例4.若函数
f(x)?







变式训练4:已知函数
f(x)?x?4ax?2a?6

(1)求函数的值域为[0,+∞)时的
a
的值;
(2)若函数的值均为非负值,求函数
f(a)?2?aa?3
的值域







2
1?x
2x?5
(2)
y?x?1?x
2

1
2

b
> 1),求
a

b
的值
x?x?a
的定义域和值域均为[1,
b

2


1


第3课 指数、对数和幂函数
基础过关
0

-p
m
n
n
m

0,
.
m
1.指数:(1) 规定:① a= (a≠0); ② a= ;

a?

a

(

a

?

rsr?sr?sr
(a?0

,
s?
R) ②
(a
r
)
s
?

a

a?0,

s?
R) ③
(a?b)
r
?

a

r

?b
(2) 运算性质:①
a?a?

a
(a>0, r
(
(a>0, r
(

a?0,b?0,r
2.指数函数:
① 定义:函数 称为指数函数,
② 性质: 1) 函数的定义域为 ; 2) 函数的值域为 ; 3)恒过定点 ,
4) 当________时函数为减函数, 当_______时为增函数.
③ 函数图象:





3.对数:(1) 定义:如果
a
b
?N
(a?0,且a?1)
,那么 ,其中
a
称为对数的底,N称为真数.
m
(2) 基本性质:①
log
a
1?

0
; ②
log
a
a?

1
; ③
a
log
a
N
?

N
.④
log
a
n
b
= 换底公式
log
a
N


4.对数函数: ① 定义:函数 称为对数函数,
② 性质 1) 函数的定义域为 ; 2) 函数的值域为 ;3)恒过定点 ,
4) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数;
5) 函数
y?log
a
x
与函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
互为反函数.
③ 函数图象:





5.幂函数:① 定义:我们把形如 的函数称为幂函数,其中 是自变量, 是常数;
② 性质:(1)幂函数的图象都过点 ; (2)任何幂函数都不过 象限;
(3)当
?
?0
时,幂函数在
[0,??)
上 ;当
?
?0
时,幂函数在
(0,??)
上 ;
(4)当
?
??2,2
时,幂函数是 ;当
?
??1,1,3,
时,幂函数是 .
③ 函数图象:




1
3
1


1.指数函数
3
7
1
例1. 已知a=,b=9. 求:(1)
a
2
a
?3
?
9
3
a
?8
?
3
?1?1
a?b
.
a
15
;
(2)
?1
(ab)




变式训练1:化简下列各式(其中各字母均为正数):
2
(1)



(a
3
?b
?1
)
2
?a
2
?b
3
6
?
111
a?b
5
2
11
?
5
1
3
?2?3
2
3
2
?1
;
(2)
a?b?(?3ab)?(4a?b).

6

2xx
例2. 函数f(x)=x-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3 ,则f(b)与f(c)的大小关系是 ( )
xxxxxx
A.f(b)≤f(c) B.f(b)≥f(c) C.f(b)>f(c) D.大小关系随x的不同而不同


变式训练2:已知实数a、b满足等式
(
1
a
1
b
)?()
,下列五个关系式中,不可能成立的关系式有( )
23

① 0<b<a; ②a<b<0; ③0<a<b; ④b<a<0; ⑤a=b.


例3.
(1)f(x)=3
x
2
?5x?4
; (2)g(x)=-
(
1
x
1
)?4()
x
?5< br>.
42







变式训练3:求下列函数的单调递增区间:
(1)y=(
)





1
2
6?x?2x
2
; (2)y=2
x
2
?x?6
.
1


e
x
a
?
是R上的偶函数. 例4.设a>0,f(x)=
ae
x
(1)求a的值; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.







变式训练4:已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2即
f(x ?2)?f(x)
,且当x∈(0,1)时,
2
x
f(x)=
x. (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式;(2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
4?1


[来源:学_科_网Z_X_X_K

]



2.对数函数
例1 计算:(1)
log
2?





变式训练1:化简求值.





例2 比较下列各组数的大小.

[来源:Z#xx#]
(2?3)
(2)2(lg
3
2
)+lg
2
·lg5+
2
(lg2)
2
?lg2?1
;
[来源:学#科#网]

(1)(lg2)2
+lg2·lg50+lg25;(2)(log
3
2+log
92)·(log
4
3+log
8
3).
1)
log< br>3
2
与log
5
6
;
35
2)log
1.1
0.7与log
1.2
0.7;



1


变式训练2:已知0<a<1,b>1,ab>1,则log
a< br>1
,logb,log
1
的大小关系是 ( )
b< br>ab
b

a
1
?logb?log
1
b
ab
b

B.
logb?log
aa
11 1111
?log
b
C.
log
a
b?log
b
?log
a
D.
log
b
?log
a
?log
a
b

bbbbbb


例3已知函数f(x)=log
a
x(a >0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的
取值范围.




变式训练3:已知函数f(x)=log
2
(x-ax-a)在区间(-∞,
取值范围.




2
1-
3
]上是单调递减函数.求实数a的
1?x
.(1)求
f(x)
的定义域; (2)判断
f(x)
的奇偶性并予以证明;
1?x
3
(3)若
f(x)?0
求实数
x
的取值范围
例4 已知函数
f(x)?log
1







变式训练4 已知
f(x) ?log
a
1?x
(a?0,a?1).
(1)求f(x)的定义域;(2) 判断f(x)的奇偶性并
1?x
予以证明;(3)求使f(x)>0的x取值范围.






3.幂函数
例1.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性:
(1)
y?x?x
(2)
y?x?x


1
2?2
1
2
?
1
2
(3)
f(x)?x?3(?x)

1
2
1
4


变式训练1:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性:
(1)
y?x



33
例2比较大小:(1)
1.5,1.7
(2)
(?1.2),(?1.25)

30.5
?1?1?2
(3)
5.25,5.26,5.26
(4)
0.5,3,log
3
0.5

?
4
3
(2)
y?x
(3)
y?x
5
4
?
1
2

1
2
1
2




变式训练2:将下列各组数用小于号从小到大排列:
1
?
2
?1
55
(1)
2.5,(?1.4),(?3)
(2)
0.16,0.5,6.25
(3)
()
3
,()
3
,log
2

33
3
3
??
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
2
3
2
3
2
3
3
4
3
2
3
8




例3已知幂函数
y?x
m
2
? 2m?3

m?Z
)的图象与
x
轴、
y
轴都无交点 ,且关于原点对称,求
m
的值.
分析:幂函数图象与
x
轴、
y
轴都无交点,则指数小于或等于零;图象关于原点对称,则函数为奇函
数.结合
m ?Z
,便可逐步确定
m
的值.








变式训练3:证明幂函数
f(x)?x









1
?
1
2

(0,??)
上是减函数.

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