高一数学二次函数题型复习总结

基本初等函数
1、常函数：
y?C,C
为任意常数。图像：平行于x轴直线。
2、一次函数：
y?ax?b(a?0)
。图像：直线。
3、二次函数：< br>y?ax
2
?bx?c
(
a?
0)
。图像:抛物线。
4、幂函数：
y?x
a
,
自变量在底数。图像：根据a不同的取值， 图像性质不同。
5、指数函数：
y?a
x
,
自变量在指数。图像：
a?1
递增，
0?a?1
递减，均过（0,1）点。
6、对数函数 ：
y
?log
a
x
，
x?(0,??)
。图像：< br>a?1
递增，
0?a?1
递减，均过（1,0）点。
7、正弦函数：
y?sinx
。周期函数。
8、余弦函数：
y?cosx
。周期函数。
9、正切函数：
y?tanx
。周期函数。
其他函数均由以上函数通过加、减、乘、除、开方、乘方所得。
2
第一课：二次函数
y?ax?bx?c(a?0)


??0

a?0

??0

??0

a?0

??0

??0

??0

图像

定义域

单调性

值域
对称性
x?R
（有时题目会给
x
指定区间）






主要考察：二次函数的图像、值域。
值域问题的根本在图像，图像根本在单调性，单调性的根本在对称轴和开口方向。
1

题型一、求二次函数最值
1、无指定区间、对称轴固定
例1：（1 ）求
f
(
x
)
?x
2
?x?
6
的 值域 （2）求
f(x)?x
2
?x?a
的值域




2、无指定区间、对称轴不固定
例2：（1） 求
f
(
x
)
?x
2
?ax?
6
的值域 （2）求
f(x)?ax
2
?x?6(a?0)
的值域




3、区间固定、对称轴固定
例3：（1）求
f
(x
)
?x
2
?x?
6
在
?
-1,1< br>?
的值域 （2）求
f(x)?ax
2
?ax?6(a?0)在
?
-1,1
?
的值域





4、区间固定、对阵轴动
例4：（1）求
f
(
x
)
?x
2
?ax?
6
在
?
0,4
?的最小值




2

（2 ）求
f
(
x
)
?x
2
?ax?
6
在
?
0,4
?
的最大值







（3）升级：








5、对称轴固定、区间动
例5：
f
(x
)
?x
2
?
4
x?
3,
x?
?
t
,
t?
1
?
，把该函数最小值记为
g(t)

求（1）
g(t)
的表达式 （2）
g(t)
在
t?
?
?3,3
?
的最值







3

< br>练习：
f
(
x
)
?x
2
?
4
x?
3,
x?
?
t
,
t?
1
?
，求该函数最大值。







题型二、给定二次函数最值，求参数
例6：若函数
f(x)??x
2
?2ax?1?a
在
x?
?
0,1
?
时有最大值2，求a 的值。





?
3
?
练习 ：已知二次函数
f
(
x
)
?ax
2
?
(2
a?
1)
x?
1
在区间
?
?,2
?
上的最大值为3，求实数a的值。
?
2
?





例7：若函数
f(x)?




4
3
2
x?
3
x?
4
在区间
?
0,m
?
上的值域为
?
0,4
?
，求m范围。
4

练习：若函数
f
(
x
)
?x2
?ax?
5
对于任意
x
都有
f(x)?f(?4?x )
，在区间
?
m,0
?
上的值域为
?
1,5
?
，
求m范围。






题型三、二次函数恒成立、存在性问题

f(x)?0
恒成立
f(x)?0
恒成立
?x使f(x)?0


?x使f(x)?0


图像法
?
a?0
x?R
时
?

?
??0
?
a?0
x?R
时
?

?
??0
x?
?
a,b
?
时具体看图像（考虑开口、
?
、对称轴）

最值法
参变分离
变更主元

f(x)
min
?0

f(x)
max
?0

f(x)
max
?0

f(x)
min
?0

将参数和自变量分离在不等式两边，再采取最值法。
将参数作为自变量重设函数，二次函数转成一次函数处理。
例8：函数
ax
2
?ax?
1
?
0
恒成立，求a的范围。
方法一： 方法二：






5

< br>例9：
x?
?
?2,2
?
时，不等式
x
2< br>?ax?3?a
恒成立，求a 范围。








例10：
a?
?
?1,1
?
，不等式
x
2
?
(
a?
4)
x?
4?
2
a?
0
恒成立，求a范围.
方法一： 方法二：









例11：
?x?
?
0,??
?
,
使
ax< br>2
?3x?1?x
成立，求a的取值范围。






??
6

课 后 练 习
1 、若函数
f
(
x
)
?x
2
?
2
x ?
2
，当
x?
?
t,t?1
?
时的最小值为
g(t)
，最大值为
h(t)

（1）求
g(t)
（2）求
g(t)
在
t?
?
?3,?2
?
时的最值 （3）求
h(t)














2、已知函数
f
(
x
)
?ax
2
?
2
ax?
1< br>在区间
?
?3,2
?
上的最大值为4，求实数a的值。









7

x
2
2、已知函数
f(x)???
x
在区间
?
m,n
?
上的值域为
?
3m,3n
?
，求m、 n的值。
2







3 、
f(x)?x
2
?2mx?2,x?
?
?1,??
?,f(x)?m恒成立
，求m范围。









a
??
5、
?x?
?< br>2,
??
?
,lg
?
x??
2
?
? 0恒成立
，求a范围。
x
??
8