高中数学必修3研修总结-2020浙江高中数学竞赛
二次函数根的分布问题
1、
二次函数
y?f(x)?ax?bx?
c(a?0)
在闭区间
[m,n]
上的值域和最值问题
。
① 当对
称轴
x??
2
b
?m
时,函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
[m,n]
是单
2a
2<
br>调递增函数,所以
y
max
?f(n)?an?bn?c
,
y
min
?f(m)?am?bm?c
;
2
bm?n
?c(
a?0)
在区间
?(m,]
时,函数
y?f(x)?a
2
x
?bx
2a2
bb
(m,?]
上是单调递减函数,在区间
(?,n]
上是单调递增函数,且
2a2a
bb
y
m
?f
a<
br>(n)?
x
an
2
?bn?c
,所以,
|??m|?
|??n|
2a2a
bbb
y
min
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c
;
2a2a2a
bm?n
③ 当对称轴
x???(,n]
时,函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)在区间
2a2
bb
(m,?]
上是单调递减函数,在区间
(?,
n]
上是单调递增函数,且
2a2a
bb
y
m
?
a
f(m)
x
?am
2
?bm?c
,所以,
|??m
|?|??n|
2a2a
bbb
y
min
?f(?)?a(?)2
?b(?)?c
;
2a2a2a
b
④ 当对称轴
x
???n
时,函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭
区间
[m,n]
是单
2a
② 当对称轴
x??
调递减函数,
所以
y
max
?f(m)?am?bm?c
,
y
min?f(n)?an?bn?c
。
其中,值域就是在最大值与最小值之间。
综上所述:
22
y
max
bm?n
?
2
f(n)?an?bn?c(x??)
?
?
2a2
?
?
<
br>bm?n
?
f(m)?am
2
?bm?c(x??)
?
2a2
?
y
min
b
?
2
f(m)?am?bm
?c(x???m)
?
2a
?
bbbb
?
?
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c(m?x???n)
2a2a2
a2a
?
b
?
2
f(n)?an?bn?c(x???n)
?
2a
?
2.二次函数
y?f(x)?
ax
2
?bx?c(a?0)
在区间
(??,n]
上的值域和最值问
题
。
b
2
)?ax?b?x(c?0a)
在
?(??,n
]
时,函数
y?f(x
2a
bb
在
(?(??,?]
单调递减,
,n]
单调递增所以
y?f(x)?ax
2
?bx?c
(a?0)
2a2a
bbb
无最大值,最小值
y
min
?f
(?)?a(?)
2
?b(?)?c
;
2a2a2a
b
2
② 当对称轴
x??
函数
y?f
(x)?ax?bx?c(a?0)
在
(??,n]
上是减
?n
时,
2a
① 当对称轴
x??
函数,所以无最大值,最小值
y
m
in
?f(n)?an?bn?c
。
2
2、 二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
在区间
[n,??)
上的值域和最
值问题。
① 当对称轴
x??
b
?(??,n)
时,函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在
[n,??)
2a<
br>2
)?ax?
单调递增,所以
y?f(x
y
min
?
f(n)?an
2
?bn?c
;
② 当对称轴
x??
递减
,在
(?
最小值
y
min
b?x(c?a0
无
)<
br>最大值,最小值为
bb
?n
时,函数
y?f(x)?ax
2<
br>?bx?c(a?0)
在
[n,?]
单调
2a2a
b
,??)
单调递增,所以
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
无最大值,
2a
bbb
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c<
br>;
2a2a2a
2
3、
二次函数
y?ax?bx?c(a
?0)
在闭区间
[m,n]
上的值域和最值问题
。
① 当对称轴<
br>x??
b
2
函数
y?f(x)?ax?bx?c(a?0)
在
闭区间
[m,n]
是
?m
时,
2a
22
单调递减函
数,所以
y
max
?f(m)?am?bm?c
,
y
min
?f(n)?an?bn?c
;
② 当对称轴
x??
bm?n?(m,]
时,函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在区间
2a2
bb
(m,?]
上是单调递增函数,在区间
(?,n
]
上是单调递减函数,且
2a2a
bbbbb
|??m|?|??n|
,所以
y
max
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c
,
2a2a2a2a2a
y
min
?f(n)?an
2
?b
n?c
;
③ 当对称轴
x??
bm?n
?c(
?(,n]
时,函数
y?f(x)?a
2
x?bx
2a2
a?0)在区间
bb
]
上是单调递增函数,在区间
(?,n]上是单调递减函数,且
2a2a
bbbbb
|??m|?|??n|
,所
以,
y
max
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c
;<
br>2a2a2a2a2a
(m,?
y
min
?f(m)?am
2
?bm?c
④ 当对称轴
x??
b
2
函数
y?f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
[m,n]
是单
?n<
br>时,
2a
2
调递增函数,所以
y
max
?f(n)?
an?bn?c
,
y
min
?f(m)?am?bm?c
。
其中,值域就是在最大值与最小值之间。
综上所述:
2
y
min
bm?n
?
2
f(n)?an?bn?c(x??)
?
?<
br>2a2
?
?
?
f(m)?am
2
?bm?
c(x?
b
?
m?n
)
?
2a2
?
ymax
b
?
2
f(m)?am?bm?c(x???m)
?2a
?
bbbb
?
?
?
f(?)?a(?)
2
?b(?)?c(m?x???n)
2a2a2a2a
?
b
?
2
f(n)?an?bn?c(x???n)
?
2a
?
4、 二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
在区间
(??,n]
或
[n,??)
上的值域和最值问题。
2
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