高中数学中二次函数根的分布问题详解详析

二次函数根的分布问题
1、
二次函数
y?f(x)?ax?bx? c(a?0)
在闭区间
[m,n]
上的值域和最值问题
。
① 当对 称轴
x??
2
b
?m
时，函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
[m,n]
是单
2a
2< br>调递增函数，所以
y
max
?f(n)?an?bn?c
，
y
min
?f(m)?am?bm?c
；
2
bm?n
?c( a?0)
在区间
?(m,]
时，函数
y?f(x)?a
2
x ?bx
2a2
bb
(m,?]
上是单调递减函数，在区间
(?,n]
上是单调递增函数，且
2a2a
bb
y
m
?f
a< br>(n)?
x
an
2
?bn?c
，所以，
|??m|? |??n|
2a2a
bbb
y
min
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c
；
2a2a2a
bm?n
③ 当对称轴
x???(,n]
时，函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)在区间
2a2
bb
(m,?]
上是单调递减函数，在区间
(?, n]
上是单调递增函数，且
2a2a
bb
y
m
?
a
f(m)
x
?am
2
?bm?c
，所以，
|??m |?|??n|
2a2a
bbb
y
min
?f(?)?a(?)2
?b(?)?c
；
2a2a2a
b
④ 当对称轴
x ???n
时，函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭 区间
[m,n]
是单
2a
② 当对称轴
x??
调递减函数， 所以
y
max
?f(m)?am?bm?c
，
y
min?f(n)?an?bn?c
。
其中，值域就是在最大值与最小值之间。
综上所述：
22
y
max
bm?n
?
2
f(n)?an?bn?c(x??)
?
?
2a2
?
?
< br>bm?n
?
f(m)?am
2
?bm?c(x??)
?
2a2
?
y
min
b
?
2
f(m)?am?bm ?c(x???m)
?
2a
?
bbbb
?
?
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c(m?x???n)

2a2a2 a2a
?
b
?
2
f(n)?an?bn?c(x???n)
?
2a
?

2.二次函数
y?f(x)? ax
2
?bx?c(a?0)
在区间
(??,n]
上的值域和最值问 题
。
b
2
)?ax?b?x(c?0a)
在
?(??,n ]
时，函数
y?f(x
2a
bb
在
(?(??,?]
单调递减，
,n]
单调递增所以
y?f(x)?ax
2
?bx?c (a?0)
2a2a
bbb
无最大值，最小值
y
min
?f (?)?a(?)
2
?b(?)?c
；
2a2a2a
b
2
② 当对称轴
x??
函数
y?f (x)?ax?bx?c(a?0)
在
(??,n]
上是减
?n
时，
2a
① 当对称轴
x??
函数，所以无最大值，最小值
y
m in
?f(n)?an?bn?c
。

2
2、 二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
在区间
[n,??)
上的值域和最 值问题。
① 当对称轴
x??
b
?(??,n)
时，函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在
[n,??)
2a< br>2
)?ax?
单调递增，所以
y?f(x
y
min
? f(n)?an
2
?bn?c
；
② 当对称轴
x??
递减 ，在
(?
最小值
y
min
b?x(c?a0
无
)< br>最大值，最小值为
bb
?n
时，函数
y?f(x)?ax
2< br>?bx?c(a?0)
在
[n,?]
单调
2a2a
b
,??)
单调递增，所以
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
无最大值，
2a
bbb
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c< br>；
2a2a2a
2
3、
二次函数
y?ax?bx?c(a ?0)
在闭区间
[m,n]
上的值域和最值问题
。
① 当对称轴< br>x??
b
2
函数
y?f(x)?ax?bx?c(a?0)
在 闭区间
[m,n]
是
?m
时，
2a
22
单调递减函 数，所以
y
max
?f(m)?am?bm?c
，
y
min
?f(n)?an?bn?c
；
② 当对称轴
x??
bm?n?(m,]
时，函数
y?f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在区间
2a2
bb
(m,?]
上是单调递增函数，在区间
(?,n ]
上是单调递减函数，且
2a2a
bbbbb
|??m|?|??n|
，所以
y
max
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c
，
2a2a2a2a2a
y
min
?f(n)?an
2
?b n?c
；
③ 当对称轴
x??
bm?n
?c(
?(,n]
时，函数
y?f(x)?a
2
x?bx
2a2
a?0)在区间

bb
]
上是单调递增函数，在区间
(?,n]上是单调递减函数，且
2a2a
bbbbb
|??m|?|??n|
，所 以，
y
max
?f(?)?a(?)
2
?b(?)?c
；< br>2a2a2a2a2a
(m,?
y
min
?f(m)?am
2
?bm?c

④ 当对称轴
x??
b
2
函数
y?f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
[m,n]
是单
?n< br>时，
2a
2
调递增函数，所以
y
max
?f(n)? an?bn?c
，
y
min
?f(m)?am?bm?c
。
其中，值域就是在最大值与最小值之间。
综上所述：
2
y
min
bm?n
?
2
f(n)?an?bn?c(x??)
?
?< br>2a2
?
?

?
f(m)?am
2
?bm? c(x?
b
?
m?n
)
?
2a2
?
ymax
b
?
2
f(m)?am?bm?c(x???m)
?2a
?
bbbb
?
?
?
f(?)?a(?)
2
?b(?)?c(m?x???n)

2a2a2a2a
?
b
?
2
f(n)?an?bn?c(x???n)
?
2a
?

4、 二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
在区间
(??,n]
或
[n,??)
上的值域和最值问题。


2