职业高中数学学科计划-高中数学和会计那个难
§ 1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
自学引导
1.通过实例分析,了解平均变化率的实际意义.
2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率.
课前热身
Δy
=________.
Δx
Δy
2.平均变化率另一种表示形式:设
Δx
=
x
-
x
0
,则=________,表示函
Δx
数
y
=
f
(
x
)从
x
0
到
x
的平均变化率.
1.函数f
(
x
)在区间[
x
1
,
x
2
]上的平均变化率为
答
案
f?x
2
?-f?x
1
?
1.
x
2-x
1
2.
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?<
br>
Δx
名师讲解
1.如何理解
Δx
,
Δy
的含义
Δx
表示自变量
x
的改变量,即
Δx
=
x
2
-
x
1
;
Δy
表示函数值的改变量,即
Δy
=
f
(
x<
br>2
)-
f
(
x
1
).
2.求平均变化率的步骤
求函数
y
=
f
(
x
)在
[
x
1
,
x
2
]内的平均变化率.
(1)先计算
函数的增量
Δy
=
f
(
x
2
)-
f
(
x
1
).
(2)计算自变量的增量
Δx
=
x
2
-
x
1
.
Δyfx
2
-
fx
1
(3)得平均变化率=.
Δxx
2
-
x
1
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势,且区间长度越
小,表现得越精确.如函数
y
=sin
x
在区间[0,π]上的平均变化率
为0,而在
π
sin-sin0
2
π2
[0,]上的平均变化率为=
.
2ππ
-0
2
在平均变化率的意义中,
f
(
x
2
)-
f
(
x
1
)的值可正、可负,也可以为零.
但
Δx
=
x
2
-
x
1
≠0.
1
典例剖析
题型一
求函数的平均变化率
例1 一物体做直线运动,其路程与时间
t
的关系是
S
=3
t
-
t
2
.
(1)求此物体的初速度;
(2)求
t
=0到
t
=1的平均速度.
分析
t
=0时的速度即为初速度,求平均速度先求路程的改变量
ΔS
=
S
(
1)
-
S
(0),再求时间改变量
Δt
=1-0=1.求商
ΔS
就可以得到平均速度.
Δt
S
3
t
-
t
2
解
(1)由于
v
===3-
t
.
tt
∴当
t
=0时,
v
0
=3,即为初速度. <
br>(2)
ΔS
=
S
(1)-
S
(0)=3×1-12
-0=2
Δt
=1-0=1
ΔS
2
∴
v
===2.
Δt
1
∴从
t
=0到
t
=1的平均速度为2.
误区警示
本题1不要认为
t
=0时,
S
=0.所以初速度是零.
变式训练1 已知函数
f
(
x
)=-
x
2
+
x
的图像上一点(-1,-2)及邻近一点
(-1+
Δx
,-2
+
Δy
),则
A.3
C.3-(
Δx
)
2
解析
Δy
=
f
(-1+
Δx
)-
f
(-1)
=-(-1+
Δx
)
2
+(-1+
Δx
)-(-2
)
=-(
Δx
)
2
+3
Δx
.
Δy<
br>-
Δx
2
+3
Δx
∴==-
Δx
+3
Δy
=( )
Δx
B.3
Δx
-(
Δx
)
2
D.3-
Δx
ΔxΔx
答案 D
题型二
平均变化率的快慢比较
例2 求正弦函数
y
=sin
x
在0到πππ
之间及到之间的平均变化率.并比
632
较大小.
分析
用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率,再比较大小.
π
解
设
y
=sin
x
在0到之间的变化率为
k
1
,则
6
2
π
-sin0
6
3
k
1
==.
ππ-0
6
ππ
y
=sin
x
在到之间的平均变化率为k
2
,
32
sin
ππ3
sin-sin1-
232
3
则
k
2
===
πππ
-
236
33
∵
k
1
-
k
2
=-
π
∴
k
1
>
k
2
.
2-3
π
3
=
2-3
π
3-1
π
.
>0,
π3π
π
答:函数
y
=sin
x
在0到之间的平均变化率为,在到之间的平
均变
6π32
3
化率为
2-3
π
,且
33
>
π
2-3
π
.
πππ
之间和到之间的平均变
332
变式训练2
试比较余弦函数
y
=cos
x
在0到
化率的大小.
π
cos
3
-cos0
π
解 设函数y=cosx在0到<
br>3
之间的平均变化率是k
1
,则k
1
=
π
=
-
3
-0
3
2π
.
ππ
函数y=cosx在3
到
2
之间的平均变化率是k
2
,
ππ
-cos
23
3
则
k
2
==-.
πππ
-
23
333
∵
k
1
-
k
2
=--(-)=>0,
2ππ2
π
∴
k
1
>
k
2
. <
br>πππ
∴函数
y
=cos
x
在0到之间的平均变化率大于在到
之间的平均变化
332
率.
题型三 平均变化率的应用
例3
已知一物体的运动方程为
s
(
t
)=
t
2
+2t
+3,求物体在
t
=1到
t
=1
+
Δt这段时间内的平均速度.
cos
3
分析
由物体运动方程―→写出位移变化量
Δs
―→
Δs
Δt
解 物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的位移增量
Δs=s(1+Δt)-s(1)
=[(1+Δt)
2
+2(1+Δt)+3]-(1
2
+2×1+3)
=(Δt)
2
+4Δt.
物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为
Δs
?Δt?
2
+4Δt
=4+Δt.
Δt
=
Δt
变式训练3 一质点作匀速直线运动,其位移
s
与时间
t
的关系为
s
(
t
)=
t
2
+1,
该质点在[2,2+
Δt
](
Δt
>0)上的平
均速度不大于5,求
Δt
的取值范围.
解
质点在[2,2+
Δt
]上的平均速度为
s
2+
Δt
-
s
2
-
v
= Δt
2
=
=
[2+
Δt
+1]-2
2
+1
Δt
4
Δt
+
Δt
Δt
2
=4+
Δt
.
又
-
v
≤5,∴4+
Δt
≤5.
∴
Δt
≤1,又
Δt
>0,
∴
Δt
的取值范围为(0,1].
§ 1.1
函数的单调性与极值
1.1.2 导数的概念
自学引导
1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念建立的一些
实际背景.
2.了解瞬时变化率的含义,知道瞬时变化率就是导数.
3.掌握函数
f
(
x
)在某一点
x
0
处的导数定义,并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点
x
0
处的导数.
4
课前热身
1.瞬时速度.
设物体的运动方程为
S
=
S
(
t
),如果一个物体在时刻
t
0
时位于
S
(
t
0
),在时
刻
t
0
+
Δt
这段时间内,物体的位置增量是
ΔS
=
S
(
t
0
+
Δt
)-
S
(
t
0
).那么位置
增量
ΔS
与时间增量
Δt
的比
,就是这段时间内物体的________,即
v
=
St
0
+
Δt
-
St
0
.
Δt
当这段时间很短,即
Δt
很小时,这个平均速度就接近时刻
t
0
的速度.
Δt
越小,
v
就越接近于时刻
t
0
的速度,当
Δ
t
→0时,这个平均速度的极限
v
=lim
Δt
→0
ΔS
St
0
+
Δt
-
St
0
=lim
就是物体在时刻
t
0
的速度即为________.
ΔtΔt
Δt
→0
2.导数的概念.
设函数
y=
f
(
x
)在区间(
a
,
b
)上有定
义,
x
0
∈(
a
,
b
),当
Δx
无限趋近0时,
Δyfx
0
+
Δx
-
fx
0
比值=无限趋近于一个常数
A
,这个常数
A
就是函数
ΔxΔxf
(
x
)在点
x
=
x
0
处的导数,记
作
f
′(
x
0
)或
y
′|
x
=<
br>x
0
.用符号语言表达为
f
′(
x
0
)Δy
=lim =________
Δx
Δx
→0
答
案
1.平均速度 瞬时速度
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?
Δx
Δx
→
0
名师讲解
1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量
ΔS
=
S
(t
+
Δt
)-
S
(
t
);
ΔS
;
Δt
ΔSSt
+
Δt
-
St
(3)求极限lim
=lim ;
ΔtΔt
(2)求平均速度
v
=
Δt
→0<
br>Δt
→0
5
(4)若极限存在,则瞬时速度
v
=lim
Δt
→0
ΔS
.
Δt
fx
0
+
Δx
-
fx
0
Δx
2.导数还可以如下定义
一般地,函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的瞬时变化率是lim
Δx
→0
=lim
Δx
→0
Δy
.我们称它为函数
y
=
f
(
x
)在<
br>x
=
x
0
处的导数.记作
f
′(
x
0
)或
y
′|
x
=
Δx
Δyfx
0
+
Δx
-
fx
0
=lim .
ΔxΔx
Δx<
br>→0
x
0
,即
f
′(
x
0
)=li
m
Δx
→0
3.对导数概念的理解
(1)“导数”是从现实生活中大量类
似问题里,撇开一些量的具体意义,单
纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念,所以我们应很
自然的理解这
个概念的提出与其实际意义.
(2)某点导数即为函数在这点的变化率.某点导数概念包含着两层含义:
①lim Δx
→0
ΔyΔy
存在,则称
f
(
x
)在x
=
x
0
处可导并且导数即为极限值;②lim
ΔxΔxΔx
→0
不存在,则称
f
(
x
)在
x
=
x
0
处不可导.
(3)
Δx
称为自变量
x的增量,
Δx
可取正值也可取负值,但不可以为0.
(4)令
x
=
x
0
+
Δx
,得
Δx
=
x
-
x
0
,于是
fx
-
fx
0
f
′
(
x
0
)=lim
与定义中的
f
′(
x
0
)=lim
x
-
x
0
x
→
x
0
Δx
→0
fx
0<
br>+
Δx
-
fx
0
意义相同.
Δx
4.求
函数
y
=
f
(
x
)在点
x
0
处的
导数的步骤
(1)求函数的增量:
Δy
=
f
(
x
0
+
Δx
)-
f
(
x
0
);
Δ
yfx
0
+
Δx
-
fx
0
(2)求平均变化率:=
;
Δx
Δy
(3)取极限,得导数:
f
′(
x
0
)=lim .
Δx
Δx
→0
Δx
典例剖析
题型一 物体运动的瞬时速度
1
例1 以初速度
v
0
(
v
0
>0)竖直上抛的物体,
t
秒时高度为
s
(
t
)=
v
0
t
-
gt
2
,
2
求物体在时刻
t
0
处的瞬时速度.
分析
先求出
Δs
,再用定义求
Δs
,当
Δt
→0时的极限值.
Δt
111
解 ∵
Δs
=
v
0
(
t
0
+
Δt
)-
g
(
t
0
+Δt
)
2
-(
v
0
t
0
-
g
t
2
)=(
v
-
gt
)
Δt
-
0
00
222
g
(
Δt
)
2
,
6
Δs
1
=
v
0
-<
br>gt
0
-
g
·
Δt
.
Δt
2Δs
∴当
Δt
→0时,→
v
-
gt
0
.
Δt
0
故物体在时刻
t
0
处的瞬时速度为
v<
br>0
-
gt
0
.
∴
规律技巧 瞬时速度
v
是平均速度
v
在
Δt
→0时的极限.因此,
v<
br>=lim
v
=lim
Δt
→0
Δt
→0
Δs
.
Δt
变式训练1 一作直线运动的物体,其位移
s
与时间t
的关系是
s
=5
t
-
t
2
,
求此物体在
t
=2时的瞬时速度。
解 ∵
Δs
=5
(2+
Δt
)-(2+
Δt
)
2
-(5×2-2
2
)
=
Δt
-(
Δt
)
2
,
Δs
=1-
Δt
.
Δt
Δs
∴
v
=lim =lim
(1-
Δt
)=1.
Δt
∴
Δt
→0
Δt
→0
∴物体在
t
=2时的瞬时速度为1.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 求函数
y
=
x
在
x
=1处的导数.
分析 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法.
解法1
∵
Δy
=1+
Δx
-1,
∴
=
Δy
1+
Δx
-1
==
ΔxΔx
Δx
1
1+
Δx<
br>+1
.
Δx
1+
Δx
+1
∴lim
Δx
→0
Δy
11
=lim =.
Δx
1+Δx
+1
2
Δx
→0
1
∴
y
′|x
=1
=.
2
解法2
(先求导数,再求导数值)
∵Δy=x+Δx-x,
x+Δx-x
Δy
∴
Δx
=
Δx
7
=
1
.
x+Δx+x
11
=.
x+Δx+x
2x
∴y′=lim
Δx
→
0
1<
br>∴y′|
x
=
1
=
2
.
规律技巧 求函数
y
=
fx
在
x
=
x
0
处的导数有
两种方法:一是应用导数定
义;二是先求导数再求导数值.
1
变式训练2 利用定义
求函数
y
=
x
+的导数,并据此求函数在
x
=1处的导数.
解
x
∵
Δy
=(
x
+
Δx
)+
11
-(
x
+)
x
+
Δxx
Δy
1
=1-,
Δxxx
+
Δx
Δy
∴
y
′=lim
Δx
Δx
→0
=lim[1-
Δx
→0
x
1
x
+
Δx
]
1
=1-
2
.
x
1
∴
y
′|
x
=1
=1-
2
=0.
1
=
Δx
-
题型三 导数的应用
例3 某物体按照
s
(
t
)=3
t
2
+2
t
+4的规律作直线运动,求自运动开始到
4s时,物体运动的平均速度和4s时的瞬
时速度.
分析 解答本题,可先求自运动开始到
t
s时的平均速度
v
(
t
)及函数值的增
量
Δs
,自变量的增量
Δt
,再利用公式求解即可.
st
4
解 自运动开始到
t
s时,
物体运动的平均速度
-
v
(
t
)==3
t
+2+,
Δx
,
xx
+
Δx
tt
4
故前4秒物体
的平均速度为
-
v
(
t
)=3×4+2+=15.
4由于
Δs
=3(
t
+
Δt
)
2
+2(
t
+
Δt
)+4-(3
t
2
+2
t
+4)
=(2+6
t
)
Δt
+3(
Δt
)2
,
∴
Δs
=2+6
t
+3
Δt
.
Δt
8
∴lim
Δt
→0
Δs
=2+6
t
.
Δt
∴4s时物体的瞬时速度为2+6×4=26.
规律技巧
导数的物理意义:
1若已知位移
s
与时间
t
的函数关系
s
=
s
速度
v
=
s
′
t
0
;
2若已知速度
v
与时间
t
的函数关系
v
=v
加速度
a
=
v
′
t
0
.
t
t
,则在
t
0
时刻的瞬时
,则在
t0
时刻的瞬时
1
2
变式训练3 竖直上抛一小球,其位移与时间的关系为
h
(
t
)=100
t
-
gt
,
2
试求小球何时瞬时速度为0(
g
≈9.8).
1
解
小球的运动方程为
h
(
t
)=100
t
-
gt2
,
2
11
∴
Δh
=[100(
t
+
Δt
)-
g
(
t
+
Δt
)
2<
br>]-(100
t
-
gt
2
)
22
=∴lim
Δt
→0
Δh
=100-
gt
,
Δt
1
00100
令100-
gt
=0,得
t
==≈10.2(s).
g
9.8
因此,小球被上抛10.2s时速度变为0.
1
100
Δt
-
gtΔt
-
g
(
Δt
)<
br>2
.
2
例4 已知质点
M
按规律
s<
br>=
at
2
+3(单位:cm)做直线运动,且质点
M
在
t
=2s时的瞬时速度为8cms,求
a
的值.
分析 这是一道逆向思维
的题目,知导数
s
′|
t
=2
=8,求系数
a
,先
对
s
求
导,可得含
a
的方程.解出
a
即可.
解
Δs
=
a
(2+
Δt
)
2
+3-(
a
·2
2
+3)
=4
a
·
Δt
+
a
(
Δt
)
2
∴lim
Δt
→0
Δs
=lim
(4
a
+
a
·
Δt
)=4
a
.
Δt
Δt
→0
依题意有4
a
=8,∴
a
=2.
变式训练4 已知
f
(
x
)=
ax
+
b<
br>,且
f
′(1)=2,求实数
a
的值.
解
Δy
=
f
(1+
Δx
)-
f
(1) =
a
(1+
Δx
)+
b
-(
a
+b
)
=
aΔx
.
9
∴
f
′(1)=lim
Δx
→0
Δy
=lim
a
=
a
.
Δx
Δx
→0
又
f
′(1)=2,∴
a
=2.
§ 1.1 函数的单调性与极值
1.1.3 导数的几何意义
自学引导
1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义.
2.会求函数在点(x
0
,y
0
)处的切线方程.
课前热身
1.几何意义:
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的导数
f
′(
x
0<
br>)即为
f
(
x
)所表示的曲线在
x
=
x0
处的切线的斜率,即
k
=
f
′(
x
0
)=lim
Δx
→0
fx
0
+
Δx
-
fx
0
.过点(
x
0
,
f
(
x
0
))的切线方程为________.
Δx
2.物理意
义:如果把函数
y
=
f
(
x
)看作是物体的运动方程(或叫
位移公式),
那么导数
f
′(
x
0
)表示运动物体在时刻<
br>t
0
的速度,即在
x
0
的________.即
vx
0
=
f
′
(
x
0
)=lim
Δx
→0
Δy
.
Δx
3.如果
f
(
x
)在开区间(
a
,
b
)内每一点
x
的
导数都存在,那么称
f
(
x
)在区间
(
a
,
b
)内可导.这样对开区间(
a
,
b
)内每一个值
x,都对应一个确定的导数
f
′
(
x
),于是在区间(
a
,
b
)内
f
′(
x
)构成一个新的函数,我们把这
个函数称为函数
y
=
f
(
x
)的________,记为_
_______,简称为________.今后,如不特别指明某
一点的导数,求导数就是指求导函数
.
1.
y
-
f
(
x
0
)
=
f
′(
x
0
)(
x
-
x
0)
答
2.瞬时速度
案
3.导函数
f
′(x
)(或
y
′
x
、
y
′) 导数
10
名师讲解
1.“
函数
f
(
x
)在点
x
0
处的导数”、“导函数”、
“导数”三者之间的区别与联
系:
“函数
f
(
x
)在点<
br>x
0
处的导数”是一个数值;“导函数”简称“导数”,是一
个函数.所以求函
数在某点处的导数时,一般是先求出函数的导函数,再计算这
点的导函数值.
2.可以利用导数求曲线的切线方程.由于函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的导数,
表示曲线在点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线的斜率.
因此,曲线
y
=
f
(
x
)在点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))
处的切线方程可如
下求得:
(1)求出
f
′(
x
0
),则
f
′(
x
0
)就是点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线的斜率.
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为
y
-
f
(
x
0
)=
f
′(
x
0
)(
x
-
x<
br>0
).
如果曲线
y
=
f
(
x
)在
点
P
(
x
0
,
f
(
x
0
))处的切线平行于
y
轴时(此时导数不存
在),切线方程为
x
=<
br>x
0
.
典例剖析
题型一
求曲线上某点处的切线方程
例1
已知曲线
C
:
y
=
x
3
.
(1)求曲线
C
上横坐标为1的点处的切线方程;
(2)第(1)小题中的切线与曲线
C
是否还有其他的公共点.
分析 先求
出函数
y
=
x
3
在
x
=1处的导数,即切线的斜率
,然后写出切线
方程,最后列方程看交点个数.
解
(1)将
x
=1代入曲线
C
的方程得
y
=1,
∴切点
P
(1,1).
Δy
∵
y
′=lim
Δx
Δx
→0
x
+
Δx
3
-
x<
br>3
=lim
Δx
Δx
→0
=lim
Δx
→0
3
x
2
Δx
+3
xΔx
Δx
2+
Δx
3
=lim[3
x
2
+3
x
Δx
+(
Δx
)
2
]=3
x
2
,
Δx
→0
∴
y
′|
x
=1
=3.
∴过
P
点的切线方程为
y
-1=3(
x
-1),
即3
x
-
y
-2=0.
?
y
=3
x
-1
(2)由
?
3
?
y
=
x
+1
可得
11
(
x
-1)(
x
2
+
x
-2)=0,
解得
x
1
=1,
x
2
=-2,
从而求得公共点为
P
(1,1)或
P
(-2,-8).
说明切线与曲线
C
的公共点除了切点外,还有另外的公共点.
规律技巧 先求出函数
y
=
fx
在
x
=
x
0
处的导数,即曲线在该点处的切线
斜率,再由直线方程的点斜式便可求出切线方程.
11
变式训练1
求双曲线
y
=在点(,2)处的切线的斜率,并写出切线方程.
x
2
1
解 ∵
y
=,
x
Δy
∴
k
=lim =lim
Δx
Δx
→0
Δx
→0
11
-
x
+
Δxx
Δx<
br>
=lim
Δx
→0
-11
=-.
x
2
+
xΔxx
2
1
∴当
x
=时,
k
=-4,∴切线斜率为
k
=-4.
2
1
切线方程为
y
-2=-4(
x
-),
2
即4
x
+
y
-4=0.
题型二
求过某点的切线方程
5
例2
求抛物线
y
=
x
过点(,6)的切线方程.
2
5
分析 点(,6)不在抛物线上,先设出切点坐标,求出切线的斜率,利用等2
量关系,求出切点坐标,最后写出切线方程.
解 设此切线在
抛物线上的切点为(
x
0
,
x
2
0
),则
x
0
+
Δx
2
-
x
2
0
y′|
x
=
x
0
=lim =lim
(2
x
0
+
Δx
)=2
x
0
,
2
Δx
Δx
→0
Δx
→0
∴
x
-6
2
0
5
x
0
-
2
x
0
=2,或
x
0
=3.
=2
x
0
,即
x
2
0
-5
x
0
+6=0,解得
12
即切线经过抛物线
y
=
x
2
上的点(2,4),(3,9).
故切线方程分别为
y
-4=4(
x
-2),
y
-
9=6(
x
-3),
即4
x
-
y
-4=0,或6
x
-
y
-9=0为所求的切线方程.
规律技巧 求
切线方程时,注意两种说法:一是在某点处的切线方程,此时点
在曲线上,且以此点为切点;二是过某点
的切线方程,如本例,此时求解时,首
先要设出切点坐标,然后求解.
17
变式训练2 求抛物线
y
=
x
2
过点(4,)的切线方程.
44
1
解
设切线在抛物线上的切点为(
x
0
,
x
2
0
),
4
11
x
0
+
Δx
2
-
x
2
0
44
∴
y
′|
x
=
x
0<
br>=lim
Δx
Δx
→0
111
=lim
(
x
0
+
Δx
)=
x
0
.
24
2
Δx
→0
1
2
7
x
0
-
44<
br>1
∴=
x
.
x
0
-42
0
即x
2
0
-8
x
0
+7=0,
解得
x
0
=7,或
x
0
=1,
1491
即切线过抛物线
y
=
x
2
上的点(7,),(1,),
444
故切线方程分别为
49711
y
-=(
x<
br>-7),或
y
-=(
x
-1),
4242
化简得1
4
x
-4
y
-49=0,或2
x
-4
y
-
1=0,
此即所求的切线方程.
题型三 导数几何意义的综合应用
例3 求曲线
y
=
x
2
在点(3,9)处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积.
分析 由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形,故需求出切线<
br>方程及其在两坐标轴上的截距,代入三角形面积公式计算.
解
Δy
=(3+
Δx
)
2
-3
2
=6
Δx
+(
Δx
)
2
,
∴
f
′(3)=lim
Δx
→0
Δy
=lim
(6+
Δx
)=6.
Δx
Δx
→0
13
∴点(3,9)处的切线方程为
y
-9=6(
x
-3),
即
y
=6
x
-9.
3
切线与两坐标轴的交点分别为(,0),(0,-9).
2
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为
1327
S
=××9=.
224
变式训练3 在曲线
y
=
x
2
上求一点P
,使过点
P
的切线与直线
y
=4
x
-5平行
.
解
设
P
(
x
0
,
x
2
0
),
则
f
′(
x
0
)=lim
Δx
→0
Δy
Δx
2
x
0
+
Δx
=lim
Δx
Δx
→0
-
x
2
0
=lim
(2
x
0
+
Δx
)=2
x
0
.
Δx
→0
由题意可得
2
x
0
=4,∴
x
0
=2.
故点
P
的坐标为(2,4).
§
1.2 导数的计算
1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则
自学引导
1
1.能根据导数的定义,会求函数
y
=
c
,
y
=
x
,
y
=
x
2
,
y
=
x
3
,
y
=,
y
=x
的
x
导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的
导数.
课前热身
1.基本初等函数的导数公式.
原函数
导函数
(1)
f
(
x
)=
c
f
′(
x
)=________
(2)
f
(
x<
br>)=
x
n
(
n
∈Q)
f
′(
x
)=________
(3)
f
(
x
)=sin
x
f
′(
x
)=________
(4)
f
(
x
)=cos
x
f
′(
x
)=________
(5)
f
(
x
)=
a
x
f
′(
x
)=________
14
原函数
导函数
(6)
f
(
x
)=e
x
f
′(
x
)=________
(7)
f
(
x
)=log
a
x
f
′(
x
)=________
(8)
f
(
x
)=ln
x
f
′(
x
)=________
2.导数的运算法则.
(1)[
f
(
x
)±
g
(
x
)]′=______
__;
(2)[
f
(
x
)·
g
(
x)]′=________;
(3)[
fx
]′=________.
gx
1.(1)0
(2)nx
n
-
1
(3)cosx
答
案
(4)-sinx
(5)a
x
lna(a>0)
(6)e
x
1
(7)
xlna
(a>0,且a≠1)
1
(8)
x
2.(1)f′(x)±g′(x)
答
(2)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
案
(3)
f′?x?g?x?-f?x?g′?x?
(g(x)≠0)
[g?x?]
2
15
名师讲解
(3)公式中
n
∈Q,但对于
n
∈R公式也成立.
(4)特别注意
n
为负数或分数时,求导不要搞错.如
2.两函数和差的求导法则的推广
(1)[
f
(
x
)±<
br>g
(
x
)]′=
f
′(
x
)±
g<
br>′(
x
)
此法则可以推广到有限个可导函数的情形.[
f
1
(
x
)±
f
2
(
x
)±…±
f<
br>n
(
x
)]′=
f
1
′(
x
)±<
br>f
2
′(
x
)±…±
f
n
′(
x<
br>).
(2)[
af
(
x
)±
bg
(
x
)]′=
af
′(
x
)±
bg
′(
x
)(
a
,
b
为常数).
3.两函数商的求导法则
f
′
xgx
-
fxg
′
x
?
fx
?
??
′=(
g
(
x<
br>)≠0),
g
2
x
?
gx
?
g
′
x
?
1
?
?
′=-
2
当
f
(
x
)=1时,则有
?
(
g
(
x
)≠0
).
gx
?
gx
?
这是一个函数倒数的求导法则.
4.求导运算的技巧
在求导数中,有些函数表示形式很复杂,直接求导比较困难,但经过化
简整
理,有可能很简单,这时再求导可能很简便,也就是说,先把复杂式子化简后再
求导,减少
运算量.
题型一 求导函数
例1 求下列函数的导数.
(1)
y
=
x
12
;
1
(2)
y
=
3
;
x
3
(3)
y
=
x
2
.
分析
这三个小题都可归为
x
n
类,用公式(
x
n
)′=
nx
n
-1
完成.
典例剖析
解 (1)<
br>y
′=(
x
)′=12
x
12-1
=12
x
11
.
1
(2)
y
′=(
3
)′=(<
br>x
-3
)′=-3
x
-3-1
=-3
x
-4
.
12
x
16
变式训练1 求下列函数的导数.
(1)
f
(
x
)=10
x
;
(2)
f
(
x
)=log
2
x
;
(3)
g
(
t
)=e
t
.
解 (1)
f
′(
x
)=(10
x
)′=10
x<
br>ln10.
1
(2)
f
′(
x
)=(log
2
x
)′=.
x
ln2
tt
(3)
g
′(
t
)=(e)′=e.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)
求函数
y
=
a
x
,在点
P
(3,
f
(3))处的导数;
(2)求函数
y
=ln
x
在点
Q<
br>(5,ln5)处的导数.
分析 先按求导公式求出导函数,再求导函数在相应点的函数值.
解 (1)∵
y
=
a
x
,
∴
y
′=(
a
x
)′=
a
x
ln
a
.
则
y
′|
x
=3
=
a
3
l
n
a
.
1
(2)∵
y
=ln
x
,∴y
′=(ln
x
)′=.
x
1
则
y
′|
x
=5
=.
5
规律技巧 求函数在某定点点在函数曲线上的导数,一般过程是:①先求导
函数;②
把定点的横坐标代入导函数求出导数值.
变式训练2 求下列函数在某点处的导数.
(1)
y
=log
a
x
,
x
=2;
π
(2)
y
=cos
x
,
x
=;
4
(3)
y
=2
x
+
x
,
x
=
1;
π
(4)
y
=sin
x
,
x
=.
3
1
解
(1)∵
y
=log
a
x
,∴
y
′=.
x
ln
a
1
则
y
′|
x
=2
=.
2ln
a
(2)∵
y
=cos
x
,∴
y<
br>′=-sin
x
.
ππ2
则
y
′|
x
==-sin=-.
442
17
3
3
119
则
y
′|
x
=1
=6+=. <
br>33
(4)∵
y
=sin
x
,∴
y
′=co
s
x
.
ππ1
则
y
′|
x
==cos=.
332
题型三 利用运算法则求导数
例3 求下列函数的导数.
(1)
y
=
x
2
·sin
x
+cos
x
;
ln
x
(2)
y
=;
x
+1
(3)
f
(
x
)=(
x
3
+1)(2
x
2
+8
x
-5);
1+
x
1-
x
(4)
f
(
x
)=+ .
1-
x
1+
x
分析
对于(1)、(2)可以利用公式直接求导,(3)、(4)先化简再求导.
解 (1)
y
′=(
x
2
sin
x
+cos
x
)′
=(
x
2
sin
x
)′+(cos
x
)′
=2
x
sin
x
+
x
2
cos
x
-sin
x
=(2
x
-1)sin
x
+
x
2
cos
x
.
ln
x
(2)
y
′=()′
x
+1
11
x
+1-ln
x
1-ln
x
+
xx
x-
x
ln
x
+1
===.
x
+1
2
x
+1
2
xx
+1
2
(3)∵
f
(
x
)=(
x
3
+1)(2
x
2
+8
x
-5)
=2
x
5
+8
x
4-5
x
3
+2
x
2
+8
x
-5 f
′(
x
)=(2
x
5
+8
x
4-5
x
3
+2
x
2
+8
x
-5)′
=10
x
4
+32
x
3
-15
x
2
+4
x
+8.
1+
x
1-
x
(4)∵
f
(
x
)=+
1-
x
1+
x
=
1+
x
1-
x
2
+
1-
x
1-<
br>x
2
=
2
∴
f
′(
x
)=(
44′
-2)′=
1-
x
1+
x
4
=-2, <
br>1-
x
1-
x
1-
x
-41-
x
′
=
1-
x
2
4
1-
x
2
.
规律技巧 运用求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分析函数
y=
f
(
x
)的结构特征,对于直接求导很繁琐的,一定要先化简,再求导
.
18
变式训练3 求下列函数的导数.
(1)
y
=tan
x
;
11
(2)
y
=+;
1-
x
1+
x
(3)
y
=1+sincos; <
br>22
(4)
y
=
xx
x
x
+1
-2
x
.
sin
x
,
cos
x
sinx
sin
x
′cos
x
-sin
x
cosx
∴
y
′=()′=
cos
x
cos
2
x
cos
2
x
+sin
2
x
1
==.
2
cos
x
cos
2
x
112
(2)∵<
br>y
=+=,
1-
x
1+
x
1-
x
2-21-
x
′2
∴
y
′=()′==.
1-
x
1-
x
2
1-
x
2
xx
1
(3)
∵
y
=1+sincos=1+sin
x
,
222
11<
br>∴
y
′=(1+sin
x
)′=cos
x
.
22
解 (1)
y
=tan
x
=
(4)
y
′=(
′
x
x
+1
x
+1-
x
x
=-2ln2
x
+1
2
=
1
x
+1
2
)′-(2)′
x
-2
x
ln2.
题型四 求切线方程
例4 求过点(
1,-1)的曲线
y
=
x
3
-2
x
的切线方程.
分析 点(1,-1)虽然在曲线上,但它不一定是切点,故应先求切点.
解 设
P
(
x
0
,
y
0
)为切点,则切线的斜率为
f
′(
x
0
)=3
x
2
故切线方程为
0
-2,
y
-
y
0
=(3
x
2
0<
br>-2)(
x
-
x
0
),
2
即
y<
br>-(
x
3
0
-2
x
0
)=(3
x<
br>0
-2)(
x
-
x
0
),
又知切线过点(1,-1)代入上述方程,
2
得-1-(
x
3
0
-2
x
0
)=(3
x
0<
br>-2)(1-
x
0
),
1
解得
x
0
=1,或
x
0
=-,
2
19
17
∴切点为(1,-1)或(-,).
28
故所求的切线方程为
y
+1=
x
-1,
751
或
y
-=-(
x
+),
842
即
x
-
y
-2=0,或5
x
+4
y
-1=0
.
规律技巧 1在求曲线的切线方程时,注意两个“说法”:求曲线在点
P<
br>处的切线方程和求曲线过点
P
的切线方程.在点
P
处的切线,一定是以
点
P
为
切点,过点
P
的切线,
不论点
P
在不在曲线上,点
P
不一定是切点.
2求过点
P
的曲线的切线方程的步骤为:先设出切点坐标为
x
0
,
y
0
,然后写出切线方程
y
-
y
0
=
f
′x
0
x
-
x
0
,代入点
P
的坐标,求
出
x
0
,
y
0
,再写出切线方程.
变式训练4 已知曲线
y
=
x
3
-3
x
,
过点(0,16)作曲线的切线,求曲线的切线方
程.
解
设切点为(
x
1
,
y
1
),则切线的斜率
k
=
y
′
|
x
=
x
1
=3
x
2
1
-3,
∴切线方程为
y
=(3
x
2
1
-3)
x<
br>+16.
又切点在切线上,
∴
y
1
=(3
x2
1
-3)
x
1
+16.
2
∴
x<
br>3
1
-3
x
1
=(3
x
1
-3)<
br>x
1
+16,
解得
x
1
=-2.
∴切线方程为
y
=9
x
+16,
即9
x
-
y
+16=0
§ 1.2 导数的计算
1.2.2 复合函数的导数
自学引导
能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合
函数(仅限
于形如
f
(
ax
+
b
))的导数.
课前热身
1.复合函数的概念.
一般地,对于两个函数
y
=<
br>f
(
u
)和
u
=
g
(
x
)
,如果通过变量
u
,
y
可以表示成
x
的函数,那么称这个函
数为函数________和________的复合函数,记作
20
________.
2.复合函数
y
=
f
(
g
(
x
))的导数和函数
y
=<
br>f
(
u
),
u
=
g
(
x
)
的导数间的关系
为________.即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的乘积.
1.
y
=
f
(
u
)
u
=
g
(
x
)
y
=
f
(
g
(
x
))
答
案
2.
y
′
x
=
y
′
u
·
u
′
x
名师讲解
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析出复合过程;
(3)一般从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数.
典例剖析
2.求复合函数导数的方法步骤
(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选择中间变量;
(2)求每一层基本初等函数的导数;
(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
题型一
复合函数的求导方法
例1 求下列函数的导数.
(1)y=
1
;
?1-3x?
4
(2)y=cosx
2
;
π
(3)y=sin(2x-
3
);
(4)y=1+x
2
.
分析 注意中间变量的选取,分层求导.
21
1
解
(1)令u=1-3x,则y=
4
=u
-
4
,
u
∴y′
u
=-4u
5
,u′
x
=-3.
-
12
∴y′
x
=y′
u
·u′
x
=12u=.
?1-3x?
5
-
5
(2)令u=x
2<
br>,则y=cosu,
∴y′
x
=y′
u
·u′
x
=-sinu·2x
=-2xsinx
2
.
π
(3)令u=2x-
3
,则y=sinu,
∴y′
x
=y′
u
·u′
x
=cosu·2
π
=2cos(2x-
3
).
1
2
(4)令u=1+x
2
,则y=u ,
1
∴
y′
x
=y′
u
·u′
x
=
2
u
-
=x·u
1
2
=
x
.
2
1+x
-
1
2
·2x
规律技巧 求复合函
数的导数,要分清函数的复合关系,对于分式型的可化
为幂的形式求导,关键选好中间变量.最后将中间
变量代回到原自变量的函数.
变式训练1 求下列函数的导数.
1
(1)
y
=;
1+3
x
5
π
(2)
y
=sin(
x
2
-);
6
(3)
y
=ln(ln
x
);
(4)
y
=e
2
2
x
+1
.
1
解 (1)令
u
=1+3
x
,则
y
=
5
=
u
-5
,
u
∴
y
′
x
=
y
′
u
·
u
′
x
=-5<
br>u
-6
·3
22
=-15<
br>u
=-
(2)令
u
=
x
2
-
-6<
br>15
1+3
x
6
.
π
,则
y
=sin
u
,
6
∴
y
′
x
=
y
′
u
·
u
′
x
ππ
=cos
u
·(
x
2
-)′=2<
br>x
cos
u
=2
x
cos(
x
2
-
).
66
(3)令
u
=ln
x
,则
y
=
ln
u
,
∴
y
′
x
=
y
′u
·
u
′
x
111
=·=.
ux
x
ln
x
(4)令
u
=2
x
2
+1,则<
br>y
=e
u
,
∴
y
′
x
=
y
′
u
·
u
′
x
=e
u
·4x
=4
x
·e.
例2 求下列函数的导数.
(1)
y
=(
x
2
-4)
2
;
(2)
y
=log
2
(2
x
2
+3
x+1);
(3)
y
=e
sin(
ax
+
b<
br>)
分析 先将复合函数分解,找出中间变量,然后按复合函数求导公式
y′=
y
′
u
·
u
′
x
进行求导.
解 (1)方法1:
y
=(
x
2
-4)
2
=
x
4
-8
x
2
+16
∴
y
′=(
x
4
-8
x
2
+16)′
=4
x
3
-16
x
.
方法2:
y
′=2(
x
2
-4)(
x
2
-4)′
=2(
x
2
-4)·2
x
=4
x
3
-16
x
.
(2)
y
′=[log
2
(2
x
2
+3
x
+1)
]′
1
=·(2
x
2
+3
x
+1)′
2
2
x
+3
x
+1ln2
4
x
+3
=.
2
2
x
+3
x
+1ln2
(3)
y
′=[e
sin(
ax
+
b
)
]′=e
sin(
ax
+
b
)
[sin(
ax
+
b
)]′
sin(
ax
+
b
)
=e·cos(ax
+
b
)·(
ax
+
b
)′
=<
br>a
cos(
ax
+
b
)·e
sin(
ax<
br>+
b
).
规律技巧
求复合函数的导数,当复合步骤熟练后,可以直接求导.
变式训练2
求下列函数的导数.
(1)
y
=3
x
2
+1;
(2)
y
=sin
3
x
+sin
x
3
.
23
2
2
x
+1
3
3
解
(1)
y
=3
x
2
+1=(3
x
2
+1)
,
2
-
1
3
∴
y
′=(3
x
2
+1)
(3
x
2
+1)′
3
2
-
12
x
3
2
=(3
x
+1)
·6
x
=.
3
3
3
x
2
+1
2
(2)
y
′=(sin
3
x
+sin
x
3
)′
=3sin
2
x
·(sin
x
)′+cos
x3
·(
x
3
)′
=3sin
2
x
·
cos
x
+3
x
2
cos
x
3
.
题型二 求导法则的综合应用
例3 已知函数
f
(
x
)是关于
x
的二次函数,其导函数为
f
′(
x<
br>),且?
x
∈R,
x
2
f
′(
x
)
-(2
x
-1)
f
(
x
)=1恒成立,求函数
f<
br>(
x
)的解析式.
分析 可设
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
=0(
a
≠0
),利用待定系数法求出
a
,
b
,
c
的
值.
解 设
f
(
x
)=
ax
2
+
b
x
+
c
(
a
≠0),
则
f
′(
x
)=2
ax
+
b
.
又
x
2
f
′(
x
)-(2
x
-1
)
f
(
x
)
22
=
x
(2
ax
+
b
)-(2
x
-1)(
ax
+
bx+
c
)
=(
a
-
b
)
x
2
+(
b
-2
c
)
x
+
c
=1恒成
立,
1
3
?
a
-
b
=0,
∴
?
b
-2
c
=0,
?
c
=1,
?
a
=2,
∴
?
b
=2,
?<
br>c
=1.
∴
f
(
x
)=2x
2
+2
x
+1.
变式训练3 已知函数
f
(
x
)是关于
x
的三次函数,且
f
(0)=3,
f
′(0)=0,
f
′(1)=-3,
f
′(2)=0,求
f
(
x
)的解析式.
解 设
f
(
x
)=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+<
br>d
(
a
≠0),
则
f
′(
x
)=
3
ax
2
+2
bx
+
c
.
由
f
(0)=3,得
d
=3,
由
f
′(0)=0,得
c
=0,
?
3
a
+2
b
=-3,
由
f
′
(1)=-3,
f
′(2)=0,得
?
?
12
a
+
4
b
=0,
?
a
=1,
解得
?
?
b
=-3.
∴
f
(
x<
br>)=
x
3
-3
x
2
+3.
24
25
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