高中数学 导数 试题及解析

高中数学 导数 试题
一．选择题（共25小题）
1．已知函数 y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述
正确的是（ ）
A．在（﹣∞，0）上为减函数
C．在（4，+∞）上为减函数

B．在x＝0处取得最大值
D．在x＝2处取得最小值

2．如果某物体 的运动方程为S＝2（1﹣t
2
）（S的单位为m，t的单位为S），那么其在1.2S
末的瞬时速度为（ ）
A．﹣4.8mS B．﹣0.88mS C．0.88mS D．2.8mS
3．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②当x＝﹣2时，函数y＝f（x）有极小值；
③函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增；
④当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值．
则上述判断中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．③
的值为（ ）
C．e D．0
4．已知函数f（x）＝（x
3
﹣2x）e
x
，则
A．﹣e B．1
5．若函数f（x）＝x
2
由x＝1至x＝1+△x的平均变化率的取值范围 是（1.975，2.025），
则增量△x的取值范围为（ ）
1

A．（﹣0.025，0.025）
C．（0.025，1）
6．设函数f（x）＝1+sin2x，则等于
A．﹣2 B．0
B．（0，0.025）
D．（﹣0.025，0）
（ ）
C．3 D．2
7．一个物体的运动方程为s＝t
2
﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位 是秒），那么物体在
t＝4秒的瞬时速度是（ ）
A．6米秒 B．7米秒 C．8米秒 D．9米秒
8．若小球自由落体的运动方程为s（t）＝（g为常数），该小球在t＝1到t＝3的平均速度为，在t＝2的瞬时速度为v
2
，则和v
2
关系为（ ）
A．＞v
2
B．＜v
2
C．＝v
2
D．不能确定
＝1，则f'（x
0
）9．已知函数f（x）在x＝x
0处可导，若
＝（ ）
A．2 B．1 C． D．0
10．一物体做直线运 动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是s＝5t﹣t
2
，
则该物体 在t＝3s时的瞬时速度是（ ）
A．﹣1ms B．1ms C．2ms D．6ms
11．一质点按规律s＝2t
3
运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为_____ms ，在t＝1
时的瞬时速度为_____ms．（ ）
A．12，3 B．10，5 C．14，6 D．16，6
12．若函数f（x）＝ax
3
﹣3x
2+x+8存在极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3）
C．（﹣∞，0）∪（0，3]
B．（﹣∞，3]
D．（﹣∞，0）∪（0，3）
为（ ） 13．在函数y＝x
2
图象上 取一点（1，1）及附近一点（1+△x，1+△y），则
A．4△x+2△x
2

14．对于函数
A．2018
B．4+2△x C．△x+2 D．4+△x
，当△x＝2.018时，△y的值是（ ）
B．﹣2018 C．0 D．不能确定
15．函数f（x）＝x
3
﹣e
x
的图象在x＝1处的切线斜率为（ ）
A．3 B．3﹣e C．3+e D．e
16．若函数f（x）＝2lnx+4x2
+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b的取
2

值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣8） B．（﹣8，+∞） C．（﹣∞，8） D．（8，+∞）
，则下17．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝
列不等式正确的是（ ）

A．k＜f'（x
1
）＜f'（x
2
）
C．f'（x
2
）＜f'（x
1
）＜k
18．曲线
A．
B．f'（x
1
）＜k＜f'（x
2
）
D．f'（x
1
）＜f'（x
2
）＜k
的值为（ ）
D．
在x＝1处的切线的倾斜角为α，则
B． C．
19．函数y＝f（ x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正
确的是（ ）

A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜0
B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜0
C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）＜0
D．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜0



20．已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（ ）

A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）
3

B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
21．已知函数（fx）在R上有导函数，（fx）图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）

A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c）
C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）
22．已知函数f（x）在x＝x
0
处的导数为12，则
A．﹣4
23．已知函数
A．4 B．2
B．4
，则
C．﹣2
C．﹣36
B．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）
＝（ ）
D．36
＝（ ）
D．﹣4
24．下列函数中，当x＞0时，随x的增大，增长速度最快的是（ ）
A．y＝x B．y＝2
x
C．y＝3
x
D．
25． 设函数f（x）在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）
的图象可能为 （ ）

A． B．
C．
4
D．

二．填空题（共25小题）
26．已知函数f（x）可 导且f′（1）＝﹣2，则
27．已知函数f（x）是可导函数，且f（'a）＝1，则
28． 函数f（x）＝3x
2
在[2，6]内的平均变化率为 ．
29．函数f（x）＝sinx在[﹣，]上的平均变化率是 ．
＝ ．
等于 ．
30．质点运动的速度v＝（18t﹣3t
2
）ms，则 质点由开始运动到停止运动所走过的路程
是 ．
31．若某物体运动规律是S＝t< br>3
﹣6t
2
+5（t＞0），则在t＝ 时的瞬时速度为0．
32．某汽车启动阶段的路程函数S＝2t
3
﹣3t
2
（t的单位是s，S 的单位是m），则t＝2时，
汽车的瞬时速度为 ms．
33．已知一质点的运动方 程为s＝2﹣t
2
，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度
为 ． < br>34．设函数f（x）在x＝1处存在导数为2，则
35．某物体做直线运动，其运动规律是＝ ．
（t的单位是秒，s的单位是米），则它
在t＝2的瞬时速度为 ．（单位：米秒）
36．已知函数y＝x
2
+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是 ．
37．某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为（t的单位为秒，S
的单位为米）， 则它在第4秒末的瞬时速度应该为 米秒．
38．若曲线y＝x
3
﹣x2
在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为 ．
39．已知函数f（x）＝sinx，则＝
40．设函数f（x）的导数为f′（ x），且f（x）＝x
3
+f′（）x
2
﹣x，则f′（1）＝ ．
41．曲线f（x）＝3﹣，在点（0，3）处的切线方程为 ．
2
42． 已知P为函数y＝lnx图象上任意一点，点Q为圆x
2
+（y﹣e
2
﹣1） ＝1上任意一点，
则线段PQ长度的最小值为 ．
43．函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为2x+y﹣3＝0，则f（2）+f（'2）＝ ．
44．已知三次函数f（x）＝ax
3
+bx
2
+cx+d的图 象如图所示，则＝ ．
5

45．如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y＝﹣2x+5，则f（2）+f′（2）＝ ．

46．函数y＝（x﹣1）e
x
的图象在点（1，0）处的切线的斜率是 ．
47．若曲线y＝e
x
+e
﹣
x
的一条切线的斜率是，则切 点的横坐标为 ．
48．已知曲线f（x）＝ax
2
﹣lnx在点（2，f （2））处的切线斜率为，则f（x）的最小
值为 ．
49．已知函数y＝f（x） 的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x+2，则f（1）
+f′（1）＝ ．
50．一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s＝4﹣2t+t
2
，则该 物体在3秒
末的瞬时速度是 ．
6

参考答案与试题解析
一．选择题（共25小题）
1．已知函数y＝f（x），其导 函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述
正确的是（ ）
A．在（﹣∞，0）上为减函数
C．在（4，+∞）上为减函数

B．在x＝0处取得最大值
D．在x＝2处取得最小值

【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．
【解答】解：当0＜x＜2或 x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+
∞）上单调递减，
当2 ＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递
增，
∴当x＝0或x＝4时函数取的极大值，
∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，
无最小值，
故选：C．
【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题． < br>2．如果某物体的运动方程为S＝2（1﹣t
2
）（S的单位为m，t的单位为S），那 么其在1.2S
末的瞬时速度为（ ）
A．﹣4.8mS B．﹣0.88mS C．0.88mS D．2.8mS
【分析】根据瞬时变化率和导数的关系求解即可．
【解答】解：∵S′＝﹣4t，
∴在1.2S末的瞬时速度为S′|
t
＝< br>1.2
＝（﹣4）×1.2＝﹣4.8，
故选：A．
【点评】本题考查了瞬时变化率和导数，考查常见函数的导数，考查计算能力，属
于基础题．
3．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
7

①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②当x＝﹣2时，函数y＝f（x）有极小值；
③函数y＝f（x）在区间（﹣2，2）内单调递增；
④当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值．
则上述判断中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．③
【分析】利用使f′（x）＞0的区间是增区间，使 f′（x）＜0的区间是减区间，导
数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值分别对 ①②③④进行
逐一判定
【解答】解：对于①，函数y＝f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正
确；
对于②，当x＝﹣2时，函数y＝f（x）有极小值，故②正确；
对于③，函数y＝f（x） 当x∈（﹣2，2）时，恒有f′（x）＞0，则函数y＝f（x）在
区间（﹣2，2）内单调递增，故 ③正确；
对于④，当x＝3时，f′（x）≠0，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易
错题．
4．已知函数f（x）＝（x
3
﹣2x）e
x
，则
A．﹣e B．1 C．e
的值为（ ）
D．0
＝f′（1），代值计【分析】先求导，根据导数的定义可得
算即可．
【解答】解：∵f（x）＝（x
3
﹣2x）e
x
，
∴f′ （x）＝（x
3
+3x
2
﹣2x﹣2）e
x
，
8

∴
故选：D．
＝f′（1）＝（1+3﹣2﹣2）e＝0，
【点评】本题考查了导数的定义和求导法则，属于基础题．
5．若函数f（x）＝x
2
由x＝1至x＝1+△x的平均变化率的取值范围是（1.975，2.025），
则增量△ x的取值范围为（ ）
A．（﹣0.025，0.025）
C．（0.025，1）
【分析】利用平均变化率的意义即可得出．
【解答】解∵函数f（x）在区间[1，1+△x ]上的增量△y＝f（1+△x）﹣f（1）＝（△
x+1）
2
﹣1
2
＝△x
2
+2△x
∴f（x）在区间[1，1+△x]上上的平均变化率为
∵△x+2∈（1.975，2.025），
∴△x∈（﹣0.025，0.025），
故选：A．
【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．
6．设函数f（x）＝1+sin2x，则等于
A．﹣2 B．0 C．3
（ ）
D．2
＝△x+2
B．（0，0.025）
D．（﹣0.025，0）
【分析】利用导数的定义，即可得出结论．
【解答】解：∵f′（x）＝
．
故选：D．
【点评】本题考查导数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．
7．一个物体的运动方程为 s＝t
2
﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在
t＝4秒的瞬时 速度是（ ）
A．6米秒 B．7米秒 C．8米秒 D．9米秒
2cos2x，∴
【分析】根据导数的物理意义，求出函数在t＝4处的导数即可．
【解答】解：∵s＝s（t）＝t
2
﹣t+2，
∴s'（t）＝2t﹣1，
∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），
即s'（4）＝2×4﹣1＝7（米秒），
故选：B．
9

【点评】本题主要考查导数的物理意义，根据导数的公式直接进行计算即可，比较
基础． 8．若小球自由落体的运动方程为s（t）＝（g为常数），该小球在t＝1到t＝3
的平均速度为 ，在t＝2的瞬时速度为v
2
，则和v
2
关系为（ ）
A．＞v
2
B．＜v
2
C．＝v
2
D．不能确定
【分析】求函数的导数，根据导数的物理意义进行求解即可．
【解答】解：平均速度为＝
∵s（t）＝，
＝＝2g，
∴s′（t）＝gt，
t＝2的瞬时速度为v
2
，
∴v
2
＝s′（2）＝g×2＝2g，
∴＝v
2

故选：C．
【点评】本题主要考查导数的计算和函数的变化率，比较基础．
9．已知函数f（x）在x＝x
0
处可导，若
＝（ ）
A．2 B．1 C． D．0
＝1，则f'（x
0
）
【分析】根据题意，由极限的 性质分析可得＝2×
，由导数的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，若＝2×
＝2f′（x
0
）＝1，
则f'（x
0
）＝，
故选：C．
【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质，属于基础题．
10

10．一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关 系是s＝5t﹣t
2
，
则该物体在t＝3s时的瞬时速度是（ ）
A．﹣1ms B．1ms C．2ms D．6ms
【分析】根据题意，求出s＝5t﹣t
2
，令t＝3计算可得答案．
【解答 】解：根据题意，位移s与时间t的关系是s＝5t﹣t
2
，其导数s′（t）＝5﹣
2t，
则有s′（3）＝5﹣2×3＝﹣1，
即该物体在t＝3s时的瞬时速度是﹣1ms；
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及变化率的计算，属于基础题．
11．一质点按规律s ＝2t
3
运动，则其在时间段[1，2]内的平均速度为_____ms，在t＝1
时 的瞬时速度为_____ms．（ ）
A．12，3 B．10，5 C．14，6 D．16，6
＝【分析】根据题意，由变化率公式可得在时间段[1，2]内的平均速度为
，计算可得答案， 求出函数的导数，进而可得s′（1）的值，由瞬
时变化率公式计算可得答案．
【解答】解： 根据题意，一质点按规律s＝2t
3
运动，则其在时间段[1，2]内的平均速
度为＝ ＝14ms，
其导数s′（t）＝6t
2
，则s′（1）＝6，则在t＝1时的瞬时速度为6ms
故选：C．
【点评】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率与瞬时变化率的定义，属于基
础题． 12．若函数f（x）＝ax
3
﹣3x
2
+x+8存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，3）
C．（﹣∞，0）∪（0，3]
B．（﹣∞，3]
D．（﹣∞，0）∪（0，3）
【分析】由函数的极值得：① 当a＝0时，x＝为函数的极值点，②当a≠0时，函
数存在极值点，则△＝36﹣12a＞0，解得a ＜3且a≠0，综合①②得：实数a的取
值范围是a＜3，得解．
【解答】解：因为f（x）＝ax
3
﹣3x
2
+x+8，
所以f′（x）＝3ax
2
﹣6x+1，
11

又f（x）＝ax
3
﹣3x
2
+x+8存在极值点，
①当a＝0时，x＝为函数的极值点，
②当a≠0时，函数存在极值点，
则△＝36﹣12a＞0，解得a＜3且a≠0，
综合①②得：
实数a的取值范围是a＜3，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的极值，属简单题．
13．在函数y＝x
2
图象上 取一点（1，1）及附近一点（1+△x，1+△y），则
A．4△x+2△x
2
B．4+2△x C．△x+2
为（ ）
D．4+△x
【分析】先算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值，再化简即可求得．
【解答】解：△y＝（1+△x）
2
﹣1＝（△x）
2
+2△x，
∴＝△x+2，
故选：C．
【点评】本题主要考查变化的快慢与变化率．通过计算函数值的变化来解，比较简
单．
14．对于函数
A．2018
，当△x＝2.018时，△y的值是（ ）
B．﹣2018 C．0 D．不能确定
【分析】根据函数的变化率即可判断．
【解答】解：∵函数y＝，
∴△y＝﹣═
∵△x＝2.018，
∴△y＝
不确定，
故选：D．
【点评】本题考查了变化量的概念，属于容易题，难度不大．
15．函数f（x）＝x
3
﹣e
x
的图象在x＝1处的切线斜率为（ ）
A．3 B．3﹣e C．3+e D．e
，
【分析】根据题意，求出函数的 导数，即可得f′（1）的值，由导数的几何意义分
析可得答案．
12

【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x
3
﹣e
x
，其导数f′（x）＝3x
2
﹣e
x
，
则f′（1）＝ 3﹣e，即函数f（x）＝x
3
﹣e
x
的图象在x＝1处的切线斜率k＝3﹣ e；
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及导数的计算，属于基础题． 16．若函数f（x）＝2lnx+4x
2
+bx+5的图象上的任意一点的切线斜率都大 于0，则b的取
值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣8） B．（﹣8，+∞） C．（﹣∞，8） D．（8，+∞）
【分析】根据题意，分析函数的定义域，求出其导数，由导数的 几何意义分析可得f′
（x）＝+8x+b＞0在（0，+∞）上恒成立，变形可得b＞﹣（+8x）在 （0，+∞）
上恒成立，结合基本不等式的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 f（x）＝2lnx+4x
2
+bx+5，其定义域为（0，+∞），
其导数f′（x）＝+8x+b，
若函数f（x）的图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 则有f′（x）＝+8x+b＞0
在（0，+∞）上恒成立，
变形可得b＞﹣（+8x）在（0，+∞）上恒成立，
又由+8x≥2×＝8，当且仅当x＝时等号成立，即+8x有最小值8，
若b＞﹣（+8x ）在（0，+∞）上恒成立，必有b＞﹣8，即b的取值范围为（﹣8，
+∞）；
故选：B．
【点评】本题考查函数导数的几何意义，涉及函数的最值，属于基础题．
17．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，设k＝
列不等式正确的是（ ）
，则下

A．k＜f'（x
1
）＜f'（x
2
）
C．f'（x
2
）＜f'（x
1
）＜k
B．f'（x
1
）＜k＜f'（x
2
）
D．f'（x
1
）＜f'（x
2
）＜k
【分析】根据图象及导数的几何意义即可判断．
13

【解答】解：函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，
∴f′（x
1
）＜k＜f′（x
2
）．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的几何意义以及函数的变化率，属于基础题．
18．曲线
A．
在x＝1处的切线的倾斜角为α，则
B． C．
的值为（ ）
D．
【分析】曲线在x＝1处的切线的倾斜角为α，所以y′|< br>x
＝
1
＝tanα，所以
＝﹣sin2α＝﹣
【解答】解：依 题意，y′＝+
所以
＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于
基础题． < br>19．函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正
确的是（ ）
＝﹣
，所以tanα＝
，将tanα代入即可．
＝3，
＝﹣＝﹣＝﹣sin2α＝﹣

A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜0
B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜0
C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）＜0
D．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜0



【 分析】根据题意，设M（2，f（2））、N（3，f（3））为函数的上的点，由导数的几
何意义分析 可得f′（3）与f′（2）的几何意义，又由f（3）﹣f（2）＝
为直线MN的斜率，结合图象分析 可得答案．
【解答】解：根据题意，设M（2，f（2））、N（3，f（3））为函数的上的点，
则f′（2）为函数f（x）在x＝2处切线的斜率，
14
，

f′（3）为函数f（x）在x＝3处切线的斜率，
f（3）﹣f（2）＝，为直线MN的斜率，
结合图象分析可得f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜0；
故选：D．

【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率大小比较，属于基础题．
20．已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（ ）

A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）
B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）
C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）
D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）
【分析】由题意，分析f′（3）、f（ 3）﹣f（2）、f′（2）所表示的几何意义，结合
图形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，由导数的几何意义：
f′（3）表示函数在x＝3处切线的斜率，
f′（2）表示函数在x＝2处切线的斜率，
f（3）﹣f（2）＝，为点（2，f（2））和点（3，f（2））连线的斜率，
结合图象可得：0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．
21．已知函数（fx）在R上有导函数，（fx）图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
15

A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c）
C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）
B．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）
【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（ a）、f′（b）、f′（c）分析函数在
x＝a、x＝b和x＝c处切线的斜率，结合函数的图象分析 可得答案．
【解答】解：根据题意，f′（a）、f′（b）、f′（c）分析函数在x＝a、x＝b 和x＝c
处切线的斜率，
则有f'（a）＜0＜f'（b）＜f'（c），
故选：A．
【点评】本题考查导数的几何意义，注意比较函数的切线的斜率，属于基础题．
22．已知函数f（x）在x＝x
0
处的导数为12，则
A．﹣4 B．4 C．﹣36
＝（ ）
D．36
＝×【分析】根据题意，由极限的性质可得则
，结合导数的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）在x＝x
0
处的导数为12，
则
故选：B．
【点评】本题考查极限的计算以及导数的定义，属于基础题．
23．已知函数
A．4 B．2
，则
C．﹣2
＝（ ）
D．﹣4
＝×＝＝4；
【分析】根据函数的导数的极限定义进行转化求解得2f′（0），然后求函数的导数
即可．
【解答】解：＝2
16
＝2f′（0），

∵，
∴f′（x）＝3x﹣2e
x
，
则f′（0）＝0﹣2e
0
＝﹣2，
则2f′（0）＝﹣4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的导数的 计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本
题的关键．
24．下列函数中，当x＞0时，随x的增大，增长速度最快的是（ ）
A．y＝x B．y＝2
x
C．y＝3
x
D．
【分析】根据题意，依次计算函数的导数，比较导数的大小，由导数的几何意义分
析可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x，其导数y′＝1，
对于B，y＝2
x
，其导数y′＝2
x
ln2，
对于C，y＝3
x
，其导数y′＝3
x
ln3，
对于D，y＝log
3
x，其导数y′＝，
分析可得：随x的增大，增长速度最快的是y＝3
x
，
故选：C．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及判定，注意导数的几何意义，
25．设函数f（x） 在定义域内可导，y＝f（x）的图象如图所示，则导函数y＝f′（x）
的图象可能为（ ）

A． B．
17

C． D．
【 分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的
符号的关系判断出导 函数的符号，判断出导函数的图象
【解答】解：由f（x）的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，
再减，
在y轴的右侧，函数单调递减，
∴导函数y＝f′（x）的图象可能为区间（﹣∞，0）内，先有f′（x）＞0，
再有f′（x）＜0，在（0，+∞）再有f′（x）＞0．
故选：A．
【点评】 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大
于0时原函数单调递增，当导函 数小于0时原函数单调递减，属于基础题
二．填空题（共25小题）
26．已知函数f（x ）可导且f′（1）＝﹣2，则
【分析】先根据导数定义得出f'（x
o
）＝
【解答】解：根据导数的定义，
＝﹣f'（x）＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．
27．已知函数f（x）是可导函数，且 f'（a）＝1，则
【分析】根据题意，由极限的运算公式可得
＝3f'（a），计算即可得答 案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）中，f'（a）＝1，
＝3×
故答案为：3．
【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的运算，属于基础题．
28．函数f（x）＝3x
2
在[2，6]内的平均变化率为 24 ．
＝3f'（a）＝3；
等于 3 ．
＝3×
＝
＝ 1 ．
，再计算即可．
18

【分析】根据题意，由平均变化率的计算公式可得
得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x
2
，
其在区间[2，6]内的平均变化率
故答案为：24．
＝＝
＝，进而计算可
＝24；
【点评】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率的计算公式，属于基础题．
29．函数f（x）＝sinx在[﹣，]上的平均变化率是 ．
【分析】利用平均变化率的定义即可求出．
【解答】解：函数f（x）＝sinx在[﹣，]上的平均变化率为：
＝
故答案为：
＝
【点评】本题考查了平均变化率的定义及其求法问题，是基础题．
30．质点运 动的速度v＝（18t﹣3t
2
）ms，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程
是 108 ．
【分析】由速度为0求出t的值为0和6，求出速度函数在[0，6]上的定积分即可．
【解答】解：由18t﹣3t
2
＝0，得t＝0或t＝6．
当t∈[0，6]时，质点运动的路程为S＝
×6
2
＝108；
故答案为：108．
【点评】本题考查了定积分，考查了定积分的物理意义，关键是对题意的理解，是
基础题． < br>31．若某物体运动规律是S＝t
3
﹣6t
2
+5（t＞0），则在t ＝ 4 时的瞬时速度为0．
【分析】利用导数的几何意义即可得出．
【解答】解：∵质点按规律S＝t
3
﹣6t
2
+5运动，
∴S′＝3t
2
﹣12t，
令S′＝3t
2
﹣12t＝0，
解得t＝4，
∴质点在4s时的瞬时速度为0．
19
（18t﹣3t
2
）dt＝＝﹣6
3
+9

故答案为：4
【点评】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的 关
系时，求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．
32．某汽车启动阶段的路程函 数S＝2t
3
﹣3t
2
（t的单位是s，S的单位是m），则t＝2时，汽车的瞬时速度为 12 ms．
【分析】根据导数的物理意义，计算函数s（t）＝2t
3
﹣3t
2
的导数，将t＝2代入其中，
计算即可得答案．
【解 答】解：根据题意，位移s与时间t的关系是s（t）＝2t
3
﹣3t
2
，
则s′（t）＝6t
2
﹣6t，
则s′（2）＝24﹣12＝12，
即t＝2s时，汽车的瞬时速度为12ms，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，属于简单题．
33．已知一质 点的运动方程为s＝2﹣t
2
，则该质点在一段时间[0，2]内的平均速度为 ﹣
2 ．
【分析】别求出经过0秒种的位移与经过2秒种的位移，根据平均速度的求解公式
平均速度 ＝位移÷时间，建立等式关系即可．
【解答】解：由题意＝
故答案为：﹣2
【点评 】本题主要考查了函数的平均变化率公式，注意平均速度与瞬时速度的区别，
属于基础题．
34．设函数f（x）在x＝1处存在导数为2，则
【分析】利用极限概念直接求解．
【解答】解：
故答案为：
【点评】本题考查函数的极限的求法，是基础题，解题时要 认真审题，注意极限定
义的合理运用．
35．某物体做直线运动，其运动规律是
在t＝2的瞬时速度为
（t的单位是秒，s的单位是米），则它
＝＝f′（1）＝
＝ ．
＝﹣2，
．（单位：米秒）
20

【分析】 根据题意，求出s＝t
2
+的导数，分析可得该物体在2秒末的瞬时速度就是
t＝2时 的导数值，将t＝2代入导数即可得答案．
【解答】解：根据题意，s＝t
2
+，
则其导数s′＝2t﹣，
， 该物体在3秒末的瞬时速度就是t＝3时的导数值，即s′|< br>t
＝
2
＝4﹣＝
故答案为：．
【点评】本题考查导数的意义，关键明确导数的意义．
36．已知函数y＝x
2
+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率是 2+△x ．
【分析】利用平均变化率的意义即可得出．
【解答】解：函数y＝x
2
+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：
＝2+△x．
故答案为：2+△x．
【点评】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．
37．某物体作直线运动，其 位移S与时间t的运动规律为
的单位为米），则它在第4秒末的瞬时速度应该为 米秒．
（t的单位为秒，S
【分析】物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．
【解答】解：
∴S′＝1+，
＝，
，
∴它在4秒末的瞬时速度为1+
故答案为：．
【点评】本题考查变化的快慢与变化率 ，解答本题关键是理解导数的物理意义，由
此转化为求导数的问题．
38．若曲线y＝x3
﹣x
2
在点P处的切线l与直线y＝﹣x垂直，则切线l的方程为 y＝x
﹣1或 ．
，并且可据题意得出y＝x
3
﹣x
2
在 点P
，解出x
0
，从而可得出点P的坐标，
【分析】根据题意可设P
处的切线斜率为1，从而可得出
根据直线的点斜式方程进而求出切线的方程．
21

【解答】解：据题意设P
y′＝3x
2
﹣2x，
∴
∴
∴切线l的方程为
故答案为：
，解得，或1，
，且y ＝x
3
﹣x
2
在点P处的切线斜率为1，
，或P（1，0），
或y＝x﹣1．
或y＝x﹣1．
【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率的关系 ，导数的几何意义，直线的点斜
式方程，考查了计算能力，属于基础题．
39．已知函数f（x）＝sinx，则
【分析】根据题意，由极限的运算性质可得
＝ ﹣2
＝2×
＝2f′（π），结合导数的计算公式求出f′（π）的值，
即可得答案．
【解答】解：根据题意，
＝2f′（π），
又由f（x）＝sinx，则f′（x）＝cosx，则有f′（π）＝cosπ＝﹣1，
则
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的计算以及导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题．
40．设函数 f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝x
3
+f′（）x
2
﹣x，则f ′（1）＝ 0 ．
【分析】根据题意，求出函数的导数f′（x）＝3x
2
+2f ′（）x﹣1，令x＝可得：
f′（）＝3（）
2
+2f′（）x﹣1，解可得f′（ ）的值，即可得f′（x）的解
析式，将x＝1代入计算可得答案．
【解答】解：根据题意， f（x）＝x
3
+f′（）x
2
﹣x，其导数f′（x）＝3x
2< br>+2f′（）
x﹣1，
令x＝可得：f′（）＝3（）
2
+2f′（）?﹣1，解可得f′（）＝﹣1，
则f′（x）＝3x
2
﹣2x﹣1，
故f′（1）＝3﹣2﹣1＝0，
22
＝﹣2；
＝2×

故答案为：0．
【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
41．曲线f（x）＝3﹣，在点（0，3）处的切线方程为 x+y﹣3＝0 ．
【分析】 由导数的几何意义得：f′（0）＝﹣1，所以在点（0，3）处的切线方程为
y﹣3＝﹣x，即x+y +3＝0，得解．
【解答】解：由f（x）＝3﹣
则f′（x）＝，
，
所以f′（0）＝﹣1，
所以在点（0，3）处的切线方程为y﹣3＝﹣x，
即x+y﹣3＝0，
故答案为：x+y﹣3＝0．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属简单题．
2
42．已知P为函数y＝lnx 图象上任意一点，点Q为圆x
2
+（y﹣e
2
﹣1）＝1上任意一点，
则线段PQ长度的最小值为 e﹣1 ．
【分析】圆x
2
+（y﹣e
2< br>﹣1）
2
＝1的圆心坐标为：C（0，e
2
+1）．y＝lnx对x求 导可
得：y′＝．设与曲线y＝lnx相切的切点为M（x
0
，lnx
0），且满足CM与切线垂直．
可得?＝﹣1，解得x
0
，进而得出答案． 【解答】解：圆x
2
+（y﹣e
2
﹣1）
2
＝1的圆心 坐标为：C（0，e
2
+1）．
y＝lnx对x求导可得：y′＝．
设与 曲线y＝lnx相切的切点为M（x
0
，lnx
0
），且满足CM与切线垂直 ．
则
化为：lnx
0
+
?＝﹣1，
﹣e
2
﹣1＝0，
令g（x）＝lnx+x
2
﹣e
2
﹣1在（0，+∞）上单调递增，且g（e）＝0．
∴x
0
＝e．
∴切点为：（e，1）．
∴线段PQ长度的最小值＝
故答案为：e﹣1．
23
﹣1＝e﹣1．

【点评】本题考查了导数的几何意 义、直线与圆的位置关系、斜率计算公式，考查
了推理能力与计算能力，属于难题．
43．函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为2x+y﹣3＝0，则f（2）+f（'2）＝ ﹣3 ．
【分析】先将x＝2代入切线方程可求出f（2），再由切点处的导数为切线斜率可求
出f'（2）的值，最后相加即可．
【解答】解：由已知切点在切线上，
所以f（2）＝﹣1，
切点处的导数为切线斜率，
所以f'（2）＝﹣2，
所以f（2）+f′（2）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查导数 的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点
的切线的斜率．
44．已知三次函数f （x）＝ax
3
+bx
2
+cx+d的图象如图所示，则＝ 1 ．

【分析】求导数得出f′（x）＝3ax
2
+2bx+c，由图象可看出， x＝﹣1，2是f（x）的
两个极值点，从而得出x＝﹣1，2是方程3ax
2
+2b x+c＝0的两实数根，根据韦达定理
即可得出，从而得出，从而得到
．
【解答】解：f′（x）＝3ax
2
+2bx+c；
根据图象知，x＝﹣1，2是f（x）的两个极值点；
∴x＝﹣1，2是方程3ax
2
+2bx+c＝0的两实数根；
根据韦达定理，；
∴2b＝﹣3a，c＝﹣6a；
24

∴
故答案为：1．
．
【点评】考查基本初等函数的求导，函数极值点的定义，根据函数导数求极值点的
方法．
45．如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y＝﹣2x+5，则f（2）+f′（2）＝ ﹣
1 ．

【分析】根据导数的几何意义和切线方程求出f′（2），把x＝2代入 切线方程求出f
（2），代入即可求出f（2）+f′（2）的值．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣2x+5，
∴f′（2）＝﹣2，f（2）＝﹣4+5＝1，
∴f（2）+f′（2）＝﹣2+1＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题考查导数的几何意义，以及切点在切线上的灵活应用，属于基础题．
46．函数y＝（x﹣1）e
x
的图象在点（1，0）处的切线的斜率是 e ． < br>【分析】根据在函数图象上某点的切线的斜率是该函数在该点的导数值，从而只需
求函数y＝（x ﹣1）e
x
在点（1，0）处的导数即可．
【解答】解：y′＝xe
x
，
∴x＝1时，y′＝e，
∴y＝（x﹣1）e
x
的图象在点（1，0）处的切线的斜率为e．
故答案为：e．
【点评】本题考查了导数的几何意义，基本初等函数积的导数的求导公式，考 查了
计算能力，属于基础题．
47．若曲线y＝e
x
+e
﹣
x
的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 ln2 ．
【分析】设切点的横坐标为x0
，求导数由题意可得x
0
的方程，解方程可得．
【解答】解：∵f（ x）＝e
x
+e
x
，∴f′（x）＝e
x
﹣e
x< br>，
﹣﹣
25

设切点的横坐标为x
0，可得e
x0
﹣e
整理可得2（
解得＝2，或
）
2﹣3
＝
﹣
x0
＝
﹣2＝0，
（舍去）
∴x
0
＝ln2
故答案为：ln2
【点评】本题考查导数值与切线斜率的关系，涉及一元二次方程的求解，属基础题．
48．已 知曲线f（x）＝ax
2
﹣lnx在点（2，f（2））处的切线斜率为，则f（x）的最小< br>值为 ．
【分析】求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值，解关于导函数的不等< br>式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
【解答】解：f′（x）＝2ax﹣，
f′（2）＝4a﹣＝，解得：a＝，
故f（x）＝x
2
﹣lnx，
f′（x）＝x﹣＝
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故f（x）
min
＝f（1）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
49．已知 函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y＝x+2，则f（1）
+f′（1） ＝ 3 ．
【分析】因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f（1）的值，又因为
切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′（1）的值，把f（1）和f′（1）
代入即可．
【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，
∴点M在切线上，
，
26

∴f（1）＝+2＝，
∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是y＝x+2，
∴切线斜率是，
即f′（1）＝，
∴f（1）+f'（1）＝+＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查函数的切线斜率与导数的关系，属于导数的几何意义的 应用，
属于基础题．
50．一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s＝4﹣2t +t
2
，则该物体在3秒
末的瞬时速度是 4米秒 ．
【分析】此类运动问 题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的
瞬时速度，解答本题可以先求s＝4﹣2t +t
2
的导数，再求得t＝3秒时的导数，即可得
到所求的瞬时速度．
【解 答】解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s＝4﹣2t+t
2
，
∴s′＝2t﹣2
∴该物体在3秒末的瞬时速度是s′|
x
＝
3< br>＝2×3﹣2＝4米秒，
故答案为4米秒．
【点评】本题主要考查了变化的快慢与变 化率，正确解答本题关键是理解导数的物
理意义，属于基础题．
27