高中数学导数题型分析及解题方法

导数题型分析及解题方法
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；
两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。
二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。
32
f(x )?x?3x?2
在区间
?
?1,1
?
上的最大值是 2 1．
2
2．已知函数
y?f(x)?x(x?c)在x?2
处有极大值，则 常数c＝ 6 ；
3
3．函数
y?1?3x?x
有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程
3
?
?1,?3
?
处的切线方程是
y?x?2

y?4x?x
1．曲线在点
4
2．若曲线
f(x)?x?x
在P点处的切线平行于直线
3x?y?0
，则P点的坐标为 （1，0）
4
y?x
3．若曲线的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为
4x?y?3?0

4．求下列直线的方程：
32
2
（1）曲线
y?x?x?1
在P(-1,1)处的切线； （2）曲线
y?x
过点P(3,5)的切线；
32
?y

?3x
2
?2x ?k?y

|
x?－1
?3－2?1
解：（1）
?点P(?1,1)在曲线y?x?x?1上，

， 即x?y?2?0
所以切线方程为
y?1?x?1

（2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为
A(x
0
,y
0)
，则
y
0
?x
0
①又函数的导数为
y?2x
，
2
所以过
2x
0
?
A(x
0
,y
0
)
点的切线的斜率为
k?y

|
x?x
0
?2x
0
，又切线过
A(x
0
,y
0
)
、P(3,5)点，所以有
y
0
?5
x
0
?3< br>?
x
0
?1
?
x
0
?5
?
y?1
或
?
y?25
?
0
②，由①②联立方程组得，< br>?
0
，即切点为（1，1）时，切线斜率为
k
1
?2x
0
?2;
；当切点为（5，25）时，切线斜率为
k
2
?2x0
?10
；所以所求的切线有两条，方程分
即y?2x?1 或y?10x?25
别为
y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，


题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

32
f( x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))
的切线方程为y=3x+1 1．已知函数
第 1 页 共 11 页

（Ⅰ）若函数
f(x)在x??2
处有极值，求
f(x)
的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数
y?f(x)
在[－3，1]上的最大值；
（Ⅲ）若函数
y?f(x)
在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围
322
?
f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f(x)?3x?2ax?b.
解：（1）由
过
y?f(x)上点P(1,f(1))
的切线方程为：
y? f(1)?f
?
(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1) .

而过
y?f(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y?3x?1.

?
3?2a?b?3
?
故
?
a?c??3
?
2a?b?0
即
?
?
a?c??3

①
②
?
∵
y?f(x)在x??2时有极值,故f(?2)?0,??4a? b??12
③
32
f(x)?x?2x?4x?5.
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴
2
?
（2）
f(x )?3x?4x?4?(3x?2)(x?2).

2
?3?x??2时,f
?
(x)?0;当?2?x?时,f
?
(x)?0;
3
当
2
当?x?1时,f
?
(x)?0.?f(x)
极大
?f(?2)? 13
3
又
f(1)?4,?f(x)
在[－3，1]上最大值是13。
2
?
f(x)?3x?2ax?b,
由①知2a+b=0。 （3）y= f(x)在[－2，1]上单调递增，又
2
??
依题意
f(x)
在[ －2，1]上恒有
f(x)
≥0，即
3x?bx?b?0.

x?
①当
b
?1时,f
?
(x)
min
?f
?
(1)?3?b?b?0,?b?6
6
；
b
??2时,f
?
(x)
min
?f
?
(?2)?12?2b?b?0,?b??
6
；
x?
②当
612b?b
2
?2??1 时,f
?
(x)
min
??0,则0?b?6.
b12
③当
综上所述，参数b的取值范围是
[0,??)

32
2．已知三次函 数
f(x)?x?ax?bx?c
在
x?1
和
x??1
时取 极值，且
f(?2)??4
．
第 2 页 共 11 页

(1) 求函数
y?f(x)
的表达式；
(2) 求函数
y?f(x)
的单调区间和极值；
(3) 若函数
g(x)?f(x ?m)?4m(m?0)
在区间
[m?3,n]
上的值域为
[?4,16]< br>，试求
m
、
n
应满足
的条件．
?
(x)?3x
2
?2ax?bf
解：(1) ，
2
由题意得，
1,?1
是
3x?2ax?b?0
的两个根， 解得，
a?0,b??3
．
3
f(x)?x?3x?2
．
f(?2)??4
c??2
再由可得．∴
?
(x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1)f
(2) ， < br>??
当
x??1
时，
f(x)?0
；当
x??1时，
f(x)?0
；
??
当
?1?x?1
时，
f(x)?0
；当
x?1
时，
f(x)?0
；
?
当
x?1
时，
f(x)?0
．∴函数
f(x)
在区间(??,?1]
上是增函数；
]
上是减函数；在区间
[1,??)
上是增函数． 在区间
[?1, １
函数
f(x)
的极大值是
f(?1)?0
，极小值是
f( 1)??4
．
(3) 函数
g(x)
的图象是由
f(x )
的图象向右平移
m
个单位，向上平移4
m
个单位得到的，
所以，函数
f(x)
在区间
[?3,n?m]
上的值域为
[?4? 4m,16?4m]
（
m?0
）．
而
f(?3)??20
，∴
?4?4m??20
，即
m?4
．
于是，函数< br>f(x)
在区间
[?3,n?4]
上的值域为
[?20,0]
．
令
f(x)?0
得
x??1
或
x?2
．由f(x)
的单调性知，
?1剟n?4
综上所述，
m
、
n
应满足的条件是：
m?4
，且
3剟n

3．设函数
f(x)?x(x?a)(x?b)
．
（1）若
f(x )
的图象与直线
5x?y?8?0
相切，切点横坐标为２，且
f(x)
在
x?1
处取极值，
求实数
a,b
的值；
2
，即
3剟n

6
．
6
．
第 3 页 共 11 页

（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函 数
f(x)
总有两个不同的极值点．
?
解：（1）
f(x)?3x?2(a?b)x?ab.
2
??
由题意
f(2)?5,f(1)?0
，代入上式，解之得：a=1 ，b=1．
2
?
3x?2(a?1)x?a?0.
< br>令f(x)?0得方程
（2）当b=1时，
2
??4(a?a?1)?0,故方程有两个不同实根
x
1
,x
2
． 因
''f(x)?3(x?x)(x?x)f
x?x
12
12
不妨设，由可判断
(x)
的符号如下：
'''
f(x)f(x)f(x)
＞０ x?x时，x?x?x时，x?x时，
1122
当＞０；当＜０；当
因此
x
1
是极大值点，
x
2
是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数 ，函数
f(x)
总有两个不同的
极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象

f
1．如右图：是f（x）的导函数，
(x)
的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ）





（A） （B） （C） （D）
2．函数

6
4
2
-4 -2
y
6
4
2
-4 -2
y
6
4
2
x
-4 -2
y
6
4
2
y 2 4
-2
-4
x
o
2 4
-2
-4
x
y
y?
1
3
x?4x?1的图像为
3
( A )
o 2 4
-2
-4
x o 2 4
-2
-4

32
3．方程
2x?6x?7?0在(0,2)内根的个数为
( B )
A、0 B、1 C、2 D、3


题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
第 4 页 共 11 页

1
f(x)??x
3
?2ax
2
?3a
2
x?b,0?a?1.
3
1．设函数
（1）求函数
f(x)
的单调区间、极值.
?
（2）若当
x?[a ?1,a?2]
时，恒有
|f(x)|?a
，试确定a的取值范围.
22< br>x?a,x
2
?3a
?
?
f(x)??x?4ax?3a解：（1）=
?(x?3a)(x?a)
，令
f(x)?0
得
1

列表如下：
x （-∞，a） a （a，3a） 3a
+

0
极大
（3a，+∞）
-

f
?
(x)

f(x)

-

0
极小

∴
f(x)
在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
4
f
极小
(x)?b?a
3
x?a
时，
3
，
x?3a
时，
f
极小
(x)?b

22
?
f(x)??x?4ax?3a
（2）∵
0?a?1
，∴对称轴
x?2a?a?1
，
?
∴
f(x)
在[a+1，a+2]上单调递减
∴
?
??(a?1)
2
?4a(a?1)?3a
2
?2a?1f
Max
，
?
??(a?2)
2
?4a(a?2 )?3a
2
?4a?4f
min

?
|?a
|f< br>?
|?a
|f
min
?
依题
|f(x)|?a
?
Max
， 即
|2a?1|?a,|4a?4|?a

4
4
?a?1
[,1)
解得
5
，又
0?a?1
∴a的取值范围是
5


2
2．已知函数f（x）＝ x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
3
与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函
数 f（x）的单调区间
（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f（x）?c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f?（x）＝3x2＋2ax＋b
－
由f?（
21241
－a＋b＝0－
3
）＝
93
，f?（ 1）＝3＋2a＋b＝0得a＝
2
，b＝－2
f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
第 5 页 共 11 页

x
22
（－?，－
3
） －
3

0
2
（－
3
，1）
－
1 （1，＋?）
f?（x） ＋
f（x）
?
0 ＋
极大值
?
极小值
?
22
所以函数f（x）的递增区间是（－?，－
3）与（1，＋?），递减区间是（－
3
，1）
1222
（2）f（x） ＝x3－
2
x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－
3
时，f（x）＝
27
＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2

题型六：利用导数研究方程的根
3
1
1．已知平面向量
a
=(
3
,－1).
b
=(
2
,
2
).
（1）若存在不同时为零的实 数k和t，使
x
=
a
+(t2－3)
b
，
y
=-k
a
+t
b
，
x
⊥
y
，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
解：(1)∵
x
⊥
y
，∴
x?y
=0 即[
a
+(t2-3)
b
]·(-k
a
+t
b
)=0.
整理后得-k
a
+[t-k(t2-3)]
a?b
+ (t2-3)·
b
=0
22
1
∵
a?b
=0，
a
=4，
b
=1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=
4
t(t2-3)
22
11
(2)讨论方程
4
t(t2- 3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=
4
t(t2-3)与直线y=k的交点个
数.
3
3
于是f′(t)=
4
(t2-1)=
4
(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2= 1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
t
f′(t)
F(t)
(-∞,-1)
+
↗
-1
0
极大值
(-1,1)
-
↘
1
0
极小值
(1,+ ∞)
+
↗
1
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=
2
.
第 6 页 共 11 页

1
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－
2

1
函数f(t)=
4
t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11
(1)当k＞
2
或k＜－
2
时, 方程f(t)－k=0有且只有一解；
11
(2)当k=
2
或k=－
2
时,方程f(t)－k=0有两解；
11
(3) 当－
2
＜k＜
2
时,方程f(t)－k=0有三解.



题型七：导数与不等式的综合
3
a?0,函数f(x)?x?ax
在
[1,??)
上是单调函数. 1．设
（1）求实数
a
的取值范围；
（2）设
x
0
f(x
0
)?x
0
f(f(x
0
))?x
0≥1，
f(x)
≥1，且，求证：.
22
???
y?f(x) ?3x?a,y?0,即a?3x,
这
?
?
1,??
f(x)
解：（1） 若在上是单调递减函数，则须
样的实数a不存在.故
f(x)
在
?
1,??
?
上不可能是单调递减函数.
2
若
f(x)
在
?
1,??
?
上是单调递增函数，则
a
≤
3x
，
2
?
?
x?1,??,故3x?3
.从而0x?f(x
0
)
（2）方法1、可知
f(x)
在
?
1,??
?
上只能为单调增函数. 若1≤
0
，则
f(x
0
)?f(f(x
0
))?x
0
矛盾,
只有
若 1≤
f(x
0
)?x
0
,则f(f(x
0
))?f (x
0
),即x
0
?f(x
0
)
矛盾，故
f(x
0
)?x
0
成立.
方法2：设
f(x
0
)?u,则f(u)?x
0

，
3
?x
0
?ax
0
?u,u
3
?au? x
0
,
两式相减得
32
(x
0
?u
3)?a(x
0
?u)?u?x
0
?(x
0
?u)(x< br>0
?x
0
u?u
2
?1?a)?0,?x
0
22
?x
0
?x
0
u?u
2
?3,又0?a?3? x
0
?x
0
u?u
2
?1?a?0
≥1,u≥1，
，
第 7 页 共 11 页

3
f(x)?( x
2
?)(x?a)
2
2．已知
a
为实数，函数
（1）若函数
f(x)
的图象上有与
x
轴平行的切线，求
a
的取值范围
（2）若
f'(?1)?0
，（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间 < br>（Ⅱ）证明对任意的
x
1
、x
2
?(?1,0)
，不 等式
|f(x
1
)?f(x
2
)|?
5
16
恒成立
f(x)?x
3
?ax
2
?
解：
333
x?a?f'(x)?3x
2
?2ax?
22
，
2

函数
f(x)
的图象有与
x
轴平行的切线，
?f'(x) ?0
有实数解
3933
???4a
2
?4?3??0a
2
?（??，?2][2，??）
a
22
，所以的取值范围是
22 ，
?3?2a?
39931
?0a??f'(x)?3x
2?x??3(x?)(x?1)
24
，
222
，
11
f'(x)?0,?1?x??
2
；由
2

f '(?1)?0
，
由
f'(x)?0,x??1
或
x??
1 1
(??,?1),(?,??)(?1,?)
?f(x)
的单调递增区间是
22
；单调减区间为
f(?1)?
2514927
f(?)?f(0)?< br>8
，
f(x)
的极小值为
216
，又
8

2749
m?
8
，最小值
16

27495
??
81616

易知
f(x)
的最大 值为
?f(x)
在
[?1，0]
上的最大值
M?
?
对任意
x
1
,x
2
?(?1,0)
，恒有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?M?m?


题型八：导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱， 上部的形状是侧棱长为3m的正六
棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心
o1
的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为
xm
，则
1?x?4

第 8 页 共 11 页

222
3?(x?1)?8?2x?x
由题设可得正六棱锥 底面边长为：，（单位：
m
）
6?
故底面正六边形的面积为：
33 3
?(?(8?2x?x
2
)
22
2
8?2x?x)
=
24
，（单位：
m
）
帐篷的体积为：
V（x）?3
1
33
(16?12x?x
3
)
(8?2x?x2
)
[(x?1)?1]
?
3
2
2
3
（单位：
m
）
V（'x）?
求导得
3
(12?3x
2
)
2
。
（x）?0
，解得
x??2
（不合题 意，舍去）令
V'
，
x?2
，
（x）?0
，
V（ x）
当
1?x?2
时，
V'
为增函数；
（x）?0
，
V（x）
当
2?x?4
时，
V'
为减函数。
∴当
x?2
时，
V（x）
最大。
3
答：当OO1 为
2
m
时，帐篷的体积最大，最大体积为
163
m
。

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y
（升）关于 行驶速度
x
（千米
y?
小时）的函数解析式可以表示为：
13
x
3
?x?8(0?x?120).
12800080

已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100< br>?2.5
解：（I）当
x?40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
40小时，
13
(?40
3
??40?8)?2.5?17.5
8 0
要耗没
128000
（升）。
100
（II）当速度为
x
千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x
小时，设耗油量为
h(x)
升，
131001
2
80015
h(x)?(x
3
?x ?8).?x??(0?x?120),
12800080x1280x4
依题意得
x800x
3
?80
3
h'(x)??
2
?(0?x?12 0).
2
640x640x

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令
h'(x)?0,
得
x?80.

当
x?(0,80)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；
当
x?(80,120)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数。
?
当
x?80
时，
h(x)
取到极小值
h(80) ?11.25.

因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80
千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。


题型九：导数与向量的结合
a?(
1．设平面向量
3113
，?) ,b?(，).
2222
若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使
x?a?( t
2
?k)b,y??sa?tb,且x?y，

（1）求函数关系式
S?f(t)
；
??
?
上是单调函数，求k的取值范围。 （2）若函数
S?f(t)
在
?
1，
a?(
解：（1）
3113
,?),b?(,) .
a?b?1，a?b?0
2222

又x?y,x?y?0，得
2
?
a?（t?k）（b
?
?0，
??
?sa?tb）
即?sa?（tt
2
?k）b-（t?st
2
?sk）a?b?0。
??s?（t
2
?k）t?0，故s?（ft）?t
3
?kt。

（2）
22
f
?
（t）?3t
2
?k且f（t）在
?
1，??
?
上是单调函数，

??
?0
则在
?
1,??
?
上有
f(t)?0或f（t）
?
(t)?0?3t
2
?k?0?k?3t
2
?k?(3t
2
)
min
?k?3f
由；
?
(t)?0?3t
2
?k?0?k?3t
2
f
由。
因为在t∈
?
1,???
上
3t
是增函数，所以不存在k，使
k?3t
在
?< br>1,??
?
上恒成立。故k的取值范
2
2
围是
k?3
。
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