高中数学中的导数

浅析高中数学中的导数
摘 要：导数在现行的高中数学教材中处于特殊的地位，是高中
数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问
题的重要工具。通过对导数在新课程 中的地位以及在中学数学解题
应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问
题的能力。
关键词：导数；应用；函数
一、高中数学课程中开设导数及其应用的必要性 < br>微分学是微积分学的重要组成部分，它的基本概念是导数和微
分，其中导数反映出函数相对于自变 量的变化快慢的程度，而微分
则指明当自变量由微小变化时，函数大体上变化多少。二者虽有区
别，但联系紧密。高中学生在学习函数时，主要掌握函数的定义域、
值域、奇偶性、单调性、周期性、有 界性。而这些性质都可以通过
函数的图象表示出来。因而，较为准确地做出函数的图象就显得尤
为重要。如果学生所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以
做出图象。若要遇上较为复杂的函数， 仅用描点法就很难奏效。但
学习导数及其应用之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数
的 单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹
凸区间、拐点；可以利用极限观点找出其 是否有水平渐近线和垂直
渐近线。这样就很快地做出函数的图象。
导数一旦与函数、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广

阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文
中，我将对“导数在高中数学 中的应用”作一些初步的研究。导数
使我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。
二、在代数中的应用
1.对导数几何意义的考查
很好对于导数的几何意义的考察是对导数基础的突出。掌握导
数基础对研究导数很重要。 例1.已知函数f（x）=x2+bx+c的顶点在第四象限，则其导数f′
（x）图象大致是（ ）
■
分析：这是考查求导法则，函数图象与x轴交点情况和方程实
根的关系等基础 知识，考查导数的意义。由图象可知b＜0且f′（x）
＝2x+b，因此函数是增函数且在y轴截距小 于零，故选a。
评论：本题旨在突出导数与极限的联系，突出对基础知识的考
查。
2.判断函数的单调性求函数极值或最值
最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点。它 涉及到高
中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且
需要选择合理的解题 途径。用导数解决这类问题可以使解题过程简
化，步骤清晰，学生也好掌握。应注意函数的极值与最值的 区别与
联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

例2.已知函数x=1是函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+nx+1的一个
极值点， 其中m，n∈r，m＜0。（1）求m与n的关系表达式；（2）
求f（x）的单调区间；并写出极值点 。
分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知
识，第（1）小题根据极值点 处导数为零，可确定m与n的关系；
第（2）小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答< br>案一目了然。
解：（1）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+n
由x= 1是f（x）的一个极值点，知f′（1）=0，即3m-6（m+1）
+n=0，∴n=3m+6。
（2）由（1），得f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+5=3m（x-1）[x-
（1+■）]
由m＜0知，1＞1+■x，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化
如下：
■
由上可知，在区间f（x）和（1，+∞）和（-∞，1+■）上递减，
在区间（1+■，1） 上递增。极值点如表。
3.证明不等式
例3.已知定义在正实数集上的函数f（x）=■x 2+2ax，g（x）
=3a2lnx+b，其中a>0，且b=■a2-3a2lna，求证f（x） ≥g（x）。
解：设f（x）=g（x）-f（x）=■x2+2ax-3a2lnx- b则f′（x）

=x+2a-■=■（x＞0）∵a＞0，∴当x=a时，f′（x）=0，故f（x）
在（0 ，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数，于是函数f（x）
在（0，+∞）上的最小值是f（a ）=f（a）-g（a）=0，故当x＞0
时，有f（x）-g（x）≥0，即f（x）≥g（x）。
4.证明组合恒等式
例4.求证：c1n+2c2n+3c3n+…+ncnn=n×2n-1
分析：先观察等式 左边，很容易联想到二项式（1+x）n；然后
对二项式进行求导，得到n（1+x）n-1=c1n+ 2c2nx+3c3nx2+…+ncnn=n
×2n-1；最后令x=1，就可以得到我们要证的等式 。
证明：（1+x）n=c0n+c1nx+c2nx2+c3nx3+…+cnnxn
对上面等式两边求导，得
n（1+x）n-1=c1n+2c2nx2+3c2nx2+…+ncnnxn
令x=1，得n·2n-1=c1n+2c2n+3c2n+…+ncnnx
原题得证。
5.讨论方程解的个数
例5.a∈r，讨论关于x的方程lnx=ax的解的个数。
分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x有一定的困难,
因此可以利用导数的知识，用数形结 合的方法来做。先作一条与曲
线相切的直线y=kx，求出k的值；再根据a的取值范围，讨论方程lnx=ax的解的个数。
解：依题意可知，方程lnx=ax的解的个数就是直线y=lnx与曲

线y=kx的交点的个数，设直线y=kx与曲线y=lnx相切于点p（t，
lnt）则kt =lnt。
∵（lnt）=■
∴■=k，kt=1=lnt
∴t=e，k=■
四、解决应用问题
例7.如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽
的 最大流量与横断面的面积成正比，比例系数为k（k＞0）。
∴θ=60°时水槽的流量最大。 点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，
在解题的时候要注意这一方法的应用 。随着高考命题改革的不断深
入，高考命题强调知识之间的交叉、渗透和综合。从学科的整体高
度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，是命题的一种趋势，
我们应当研究此类试题，掌握其解法 ，不断提高解题能力
总结：导数的应用问题涉及到很多内容，以上仅仅讨论了三个
方面。现在 我们在高中阶段学习导数的有关知识，可以开阔学生的
视野，接触到极限等新的数学思想和方法，对数学 的新发展将会有
进一步的了解。同时，导数是我们研究中学数学的一个有力工具，
可以解决许多 问题，使我们更加牢固的掌握中学数学的内容，为我
们进一步的学习打下了坚实的基础。
（作者单位 安徽师范大学2011级数计学院研究生）