高中数学函数的应用-2019年下高中数学学科知识
导数训练
一、单选题(共
33
题;共
66
分)
1.
曲线
A.
2.
若
在
处的切线方程是(
)
B. C.
,则
D.
等于(
)
A. 0
B. 1 C.
3 D.
3.
下列各式正确的是(
)
A.
4.
函数
A.
5.
曲线
A.
6.
曲线
A.
7.
函数
A.
(a
为常数
) B.
C. D.
+e
的导函数是(
)
B.
在点
B.
C.
C.
D.
D.
处的切线方程为(
)
在点(
1,1
)处的切线方程为(
)
B.
的导函数
B.
C.
(
)
C. D.
,
则该物体在
D.
8.
某运动物体的位移
(单位:米)关于时间
(单位:秒)的函数关系式为
秒时的瞬时速度为(
)
A. 1
米/秒
B. 2
米/秒
C.
3
米/秒
D.
4
米/秒
9.f′(x)
是函数
f(x)
=
x
3
+
2x
+
1
的导函数,则
f′(
-1)
的值为(
)
A.
0 B. 3
C. 4 D.
-
10.
函数
A.
11.
设函数
的导数为(
)
B.
,若
C. D.
,则
等于(
)
C. D. A.
B.
12.
已知曲线
y
=
2x
2
上一点
A(2,8)
,则在点
A
处的切线斜率为
( )
.
A. 4
B. 16 C.
8 D. 2
13.
曲线
在
处的切线的斜率为(
)
C. D. 1
A. -1 B.
14.
下列求导运算的正确是(
)
- 1 -
A.
15.
已知曲线
为常数
B. C. D.
的一条切线的斜率为
2
,则切点的横坐标为
( )
)
与时间
(
单位
: )
的关系是
D.
D.
,则该物体在
A. 1
B. ln2 C.
2 D. e
16.
一物体做直线运动,其位移
(
单位
:
时的瞬时速度是(
)
A.
17.
函数
A.
18.
已知函数
B. C.
C.
的单调增区间是
(
)
B.
的值为(
)
D. A.
B. C.
19.
已知函数
A.
20.
函数
,则
(
)
D. B.
C.
=
的极值点为
( )
A.
B. C.
或
D.
21.
已知函数
A.
A.
23.
若
A.
24.
函数
A.
=
2
C.
=
2
25.
设
A.
,若
B.
B.
22.
函数
,
直线
过点
在点
B.
且与曲线
B. 1 C. 2
D.
处切线方程为(
)
C.
C.
D.
D.
相切
,
则切点的横坐标为
( )
有极大值和极小值,则
的取值范围是(
)
的导数为(
)
B.
=
D.
=
,则
(
)
C.
D.
26.
函数
A.
27.
曲线
A.
28.
已知函数
A.
的单调递减区间为(
)
B.
在点
B.
B.
C.
处的切线方程是
C.
,则函数
的图象在
C.
D.
D.
处的切线方程为(
)
D.
29.
一物体在力
F(x)
=
2x
+
3(x
的单位:
m<
br>,
F
的单位:
N)
的作用下,沿着与力
F
相同的方向
,从
x
=
1
运动到
x
=
4
处,求力
F(x)
所做的功.(
)
- 2 -
A. 24
B. 25 C.
26 D. 27
30.
函数
A.
31.
已知函数
A.
的单调递减区间是(
)
B.
C.
(
)
D.
D.
,则其导数
B.
C.
在
32.
曲线
A.
处的切线倾斜角是(
)
C.
,且
,则
D. B.
33.
已知函数
A.
B.
的值为(
)
D. C.
二、填空题(共
10
题;共
11
分)
34.
函数
35.
已知函数
36.
已知函数
37.
函数
38.
设函数
39.
已知函数
40.
若函数
41.
已知
42.
已知函数
________.
43.
曲线
在点
处的切线方程为
________
.
在
的单调递增区间是
________.
为
,则函数
处的切线方程是
的导函数
,
则
的图像在点
,则
,则
,若
,
则
,则
(
为常数
)
,若
为
的值为
________.
处的切线方程为
________.
________.
________
.
,则
的值为
________
.
________
.
的一个极值点,则
________.
的值为
________.
可导,若
的导函数为
三、解答题(共
7
题;共
55
分)
44.
已知函数
,当
时,有极大值
3.
(
1
)求该函数的解析式;
(
2
)求该函数的解析式;
(
3
)求函数的单调区间
.
(
4
)求函数的单调区间
.
45.
如果函数
f(x)=
46.
已知函数
(I)
若曲线
(II)
若
47.
已知
(
1
)判断
,
求
在点
的单调区间
.
单调性
(a
>
0)
在
x=±1
时有极值,极大值为
4
,极小值为
0
,试求函数
f(x)
的
解析式
.
.
处的切线方程为
,
求
的值;
- 3 -
(
2
)判断
(
3
)当
(
4
)当
48.
已知函数
49.
已知
(
1
)求
(
2
)求
(
3
)若
(
4
)若
50.
已知曲线
单调性
时,求
时,求
的最大值和最小值
的最大值和最小值
,求曲线
在
的值;
的值;
,求
,求
处的切线方程;
的切线方程
的单调区间和极值。
的单调区间和极值。
与
在点
处的切线方程;
时都取得极值.
(
1
)求曲线在点
(
2
)求曲线过点
- 4 -
答案解析部分
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】解:由题意知,
在
则在
即
故答案为:
.
代入求出切线的斜率,代入点斜式方程并化为一般式.
处的切线的斜率
处的切线方程是:
,
,
,
,
【分析】先求出导数,再把
2.
【答案】
B
【考点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解:根据题意,若
则
即
故答案为:
;
.
,
,
【分析】根据题意,由导数的定义可得答案.
3.
【答案】
C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】由基本的求导公式可得:
(a
为常数
)
;
;
;
.
故答案为:
C.
【分析】利用求导公式,从而判断出式子正确的选项。
4.
【答案】
C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】由
故答案为:
C
【分析】结合导数公式求解即可
.
5.
【答案】
B
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】解:
,
,
,
- 5 -
,
曲线
整理,得
故答案为:
【分析】由
6.
【答案】
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解:
则曲线过点
切线方程的斜率
,即
,
,
.
.
,知
,由此能求出曲线
在点
处的切线方程.
在点
处的切线方程为
.
,
所以所求的切线方程为:
故答案为:
.
【分析】求出曲线方程的导函数,把点
求出的斜率和点
7.
【答案】
C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解
:
由
故答案为:
C.
【分析】直接根据函数的求导法则求导即可
.
8.
【答案】
B
【考点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解
:
由
则物体在
故答案为:
B.
【分析】先对函数
9.
【答案】
B
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解:因为
所以
故答案为:
B.
【分析】先由函数
10.
【答案】
D
【考点】导数的运算
【解析】【解答】因为
,
秒时的瞬时速度
,
得
,
得
的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率,由
的坐标写出切线方程即可.
,
所以
.
,
米
秒
.
求导
,
然后求出
t=1
时的导数值
,
即可得到瞬时速度.
,则
,
,求得导函数
,再求
即可得解
.
,
- 6 -
则函数的导函数
故答案为:
D.
【分析】先根据完全平方公式对
解
.
11.
【答案】
D
【考点】导数的运算
【解析】【解答】
案为:
D,
【分析】对函数
12.
【答案】
C
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】由
根据导数的几何意义可得,
在点
处的切线斜率为
,
可得
,
求导,再由
,
,
展开,再运用常见初等函数的求导公式和求导运算法则可求
,
,解得
,故答
可求出实数
的值
.
故答案为:
C.
【分析】求出函数的导数,由切点坐标,令
13.
【答案】
D
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的斜率
【解析】【解答】解:由
曲线
故答案为:
.
处的导数得答案.
在
,得
处的切线的斜率为
,
.
,即可得到切线的斜率
.
【分析】求出原函数的导函数,进一步求出函数在
14.
【答案】
B
【考点】导数的运算
【解析】【解答】因为
,
所以,
B
符合题意
.
故答案为:
B
【分析】根据导数的运算公式逐一判断即可
.
15.
【答案】
D
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】
由题意可知
故答案为:
D.
,
(
为常数),
,
,
,因此切点的横坐标为
e
,
【分析】求导数,根据导数的几何意义,求出切线的斜率,即可求出切点的横坐标
.
- 7 -
16.
【答案】
A
【考点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】对
因此,该物体在
故答案为:
A
。
【分析】求导数,根据导数的定义,即可确定物体在
17.
【答案】
A
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
因此,函数
故答案为:
A
。
【分析】求导数,令导函
数大于
0
,解不等式,即可求出函数的单调递增区间
.
18.
【答案】
B
【考点】导数的运算
【解析】【解答】
∵f
(
x
)=
xsinx+cosx
,
∴f′
(
x
)=
sinx+xcosx
﹣sinx
=
xcosx
,
∴f′
()
故答案为:
B
.
【分析】求导数,将
x=
代入,即可求出导函数的值
.
19.
【答案】
D
【考点】函数的值,导数的运算
【解析】【解答】由题意知:
,
本题正确选项:
,分别将
和
代入函数解析式和导函数解析式,进而求得
cos
0
;
的单调递增区间为
,
,
,令
,
,得
或
,
时的瞬时速度
.
求导,得
时的瞬时速度为
,
,
,
【分析】根据函数解析式求得
结果
.
20.
【答案】
B
【考点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】
= =
,
- 8 -
函数
在
上是增函数,在
上是减函数,
所以
x=1
是函数的极小值点,
故答案为:
B.
【分析】求导数,利用导数确定函数的单调性,求出函数的极值点即可
.
21.
【答案】
B
【考点】导数的几何意义
<
br>【解析】【解答】由
f
(
x
)=
e
2x
﹣<
br>1
,
得
f′
(
x
)=
2e
2x
﹣
1
,
设切点为(
),则
f′
(
x
0
)
,
(
x
﹣
,
)
+ln
(
)﹣
1
=
0
.
).
∴
曲线<
br>y
=
f
(
x
)在切点处的切线方程为
y
把点(
0
,﹣
e
)代入,得﹣
e
即
,两边取对数,得(
令
g
(
x
)=(
2
x
﹣
1
)
+ln
(
2x
﹣
1
)﹣
1
,
显然函数
g
(
x
)为(
∴x
=
1
,即
【分析】求导数,
根据导数的几何意义,求出切线的斜率,结合点斜式,得到切线方程,即可求出相应
的横坐标
.
22.
【答案】
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数
根据点斜式得到直线方程为:
故答案为:
A.
<
br>【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点的横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标,再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程。
23.
【答案】
D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】
因为
所以
所以所求
的取值范围是
故答案为:
D.
【分析】求导数,结合导数与函数极值的关系,解不等式即可求出实数
a
的
取值范围
.
24.
【答案】
B
有极大值和极小值,所以
,即
.
,解得
,则
.
有两个不等的实数根
.
或
.
,求导得到
在点
处的斜率为
,
=
1
.
,
+∞
)上的增
函数,又
g
(
1
)=
0
,
故答案为:
B
.
- 9 -
【考点】导数的运算
【解析】【解答】由题意结合导数的运算法则可得:
.
故答案为:
B.
【分析】根据导数的运算法则直接求解即可
.
25.
【答案】
C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】由题意,函数
又由
故答案为:
C
.
【分析】首先对函数进行求导,再结合已知条件得出
26.
【答案】
B
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:
,
令
故函数
,解得
在
递减
.
.
的定义域是
,
。
,即
,解得
,则
,
,
故答案为:
B.
【分析】首先得出函数的定义域,以及函数的导函数,再令
27.
【答案】
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】曲线
曲线
即
x
﹣
y+1=0
.
故答案为:
A
.
【分析】根据题意首先得
出函数的导函数,从而得出在点(
0
,
1
)处的切线方程。
28.
【答案】
C
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】
当
根据点斜式可得
故答案为:
C
。
,时
,
),
。
,解得
y′=e
x
+xe
x
,
所以在点
(0,1)
处切线的斜率为
1
.
从而得出函数的单调递减区间。
在点(
0
,
1
)
处的切线方程是:
y
﹣
1=x
.
,即点的坐标为(
1
,
化成一般式为
- 10 -
【分析】求导数,结合导数的几何意义,求出切线的斜率,根据点斜式,即可求出切线方程
.
29.
【答案】
A
【考点】定积分的简单应用
【解析】【解答】由变力作功公式,得到
故答案为:
A
【分析】根据微积分基本定理,求出定积分,即可求出变力所做的功
.
30.
【答案】
D
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令
解得
函数
故答案为:
D
.
【分析】求导数,令导数小于
0
,即可求出函数的单调递减区间
.
31.
【答案】
C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】
∵
故答案为:
C.
【分析】直接求导函数即可
.
32.
【答案】
D
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】对函数求导则
故答案为:
【分析】求导数,根据导数的几何意义,即可得到直线的倾斜角
.
33.
【答案】
C
【考点】导数的运算
【解析】【解答】由题意可得
解得
,
,将
带入可得
,
.
,则
,则倾斜角为
.
,根据对数函数求导公式可得
,
,
的单调递减区间是
.
故答案为:
C
。
- 11 -
【分析】利用求导公式结合求导的运算法则,用已知条件求出
二、填空题
34.
【答案】
和
进行求导:
解得,
,
,
,
和
的单调性.
在
在
在
,
,
上单调递增;
上单调递减;
上单调递增;
的值。
【考点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解:对函数
令
当
当
当
故答案为:
【分析】首先对
35.
【答案】
,则
时,
时,
时,
求导,求出导函数的零点,根据导函数来判断函数
【考点】导数的运算
【解析】【解答】解:
故答案为:
的导函数,再代入求值即可
.
【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出
36.
【答案】
【解析】【解答】因为
所以函数
又
因此,函数
即
故答案为
的图像在点
,
的图像在点
.
处的切线方程为
,
,
,所以
处的切线斜率为
,
,
【考点】导数的几何意义
【分析】先对函数求导,根据题意求出切线斜率,进而可得切线方程
.
37.
【答案】
9
【考点】函数的值,利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解:因为函数
,
故答案为:
【分析】根据函数在一点处的切线的定义可知,切线方程过切点,且切
线的斜率为函数在切点处的导数
值。
38.
【答案】
3
【考点】变化的快慢与变化率
在
处的切线方程是
- 12 -
【解析】【解答】因为
所以
故
.
,即
,
,
【分析】根据导数的定义,即可确定相应的导函数的值
.
39.
【答案】
【考点】导数的运算
【解析】【解答】因为
令
则
所以
【分析】求导数,将
x=1
代入,即可求出
40.
【答案】
3
【考点】导数的运算
【解析】【解答】
【分析】求导数,将
x=1
代入,求出
41.
【答案】
,则
,所以
【分析】根据导数的运算法则得出结果。
42.
【答案】
0
;
1
【考点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由题意,函数
因为
即
【分析】首先根据题意得出函数的导函数,结合已知条件得出
43.
【答案】
y=2x–2
【考点】导数的几何意义
【解析】【解答】解:由
则曲线
在点
,得
处的切线的斜率为
,即
.
,
,
从而得出
a
的值。
为
,
的一个极值点,即
.
,则
,解得
,
,
,所以
.
【考点】导数的运算
【解析】【解答】设
,
即可
.
,
,
,故填
3.
的值
.
则所求切线方程为
- 13 -
【分析】求导数,根据导数的几何意义,求出切线的斜率,结合点斜式求出切线方程即可
.
三、解答题
44.
【答案】
(
1
)解:
∵
∴
由题意得:当
即
.
时,
,解得
,
.
.
,
,
.
,
∴
函数的解析式为:
综上所述,结论为:
(
2
)解:由题(
1
)知
令
令
得
得
或
,
,
,
,
,
,
∴
函数的单调递增区间为
函数的单调递减区间为
45.
【答案】
解:
依题意知
.
,
.
,
为方程
的两根.
.
时,
递增
有下表
0
递减
0
0
递减
.
1
0
递增
,
解得:
同理
综上,
,
,
,
时,方程组无解,
处的切线方程为
46.
【答案】
解:(
Ⅰ
)
因为函数
在点
- 14 -
解得
(
Ⅱ
)
令
因为
,
得
,
所以
时,
故
在区间
.
上单调递增
,
在区间
,
得
单调递增,在区间
,
单调递减
上单调递减
或
.
时,
;
.
47.
【答案】
(
1
)解:
令
所以,
(
2
)解:
令
所以,
(
3
)解:由(
1
)知,当
时,
有最小值
;当
时,
或
时,
或
得
在区间
或
,
得
在区间
或
得
单调递增,在区间
,
单调递减
有极小值
时,
有极小值
时,
,又
有最大值
1.
,又
有最大值
1.
,
所以当
(
4
)解:由(
1
)知,当
时,
有最小值
;当
,
所以当
48.
【答案】
解:依题意可知:
,
∴
切线方程为
,即
,
49.
【答案】
(
1
)解:
f′
(x
)=
3x
2
+
2ax
+
b
=
0
.由题设知
x
=
1
,
x
=-
∴
-
点.
(
2
)解:f′
(
x
)=
3x
2
+
2ax
+b
=
0
.由题设知
x
=
1
,
x
=-
∴
-
点.
a
=
1
-
,
=
1×
.
∴ a
=-
a
=
1
-
,
=
1×
.
∴ a
=-
为
f′
(
x
)=
0
的解.
都是极值,
b
=-
2
.经检验,这时
x
=
1与
x
=-
为
f′
(
x
)=
0
的解.
都是极值,
b
=-
2
.经检验,这时
x
=
1与
x
=-
- 15 -
(
3
)解:
f
(
x
)=
x
3
-
∴f
(
x
)=
x
3
-
x
+
递增
x
2
-2x
+
c
,由
f
(-
1
)=-
1-
+
2
+
c
=
,得
c
=
1
.
x
2
-
2x
+
1
.
0
极大值
-
递减
1
0
极小值
.当
x
=-
+
递增
时,(
x
)有极大
∴f
(
x
)的递增区间为
值
f
(
4
)解:
f
(
x
)=
x
3
-
∴f
(
x
)=
x
3
-
x
+
递增
=
和(
1
,+
∞
),递减区间为
.
;当
x
=
1
时,
f
(
x
)有极小值<
br>f
(
1
)=-
x
2
-
2x
+
c
,由
f
(-
1
)=-
1
-
+
2
+
c
=
,得
c
=
1
.
x
2
-
2x
+
1
.
0
极大值
-
递减
1
0
极小值
.当
x
=-
+
递增
时,(
x
)有极大
∴f
(
x
)的递增区间为
值
f
=
和(
1
,+
∞
),递减区间为
.
;当
x
=
1
时,
f
(
x
)有极小值
f
(
1
)=-
,
∴
在点
50.
【答案】
(
1
)解:
∵
∴
曲线在点
(
2
)解:设曲线
则切线的斜率
∴
切线方程为
∵
点
∴
∴
故所求切线方程为
在该切线上,
∴
,
∴
,解得
处的切线的斜率
,即
,
处的切线方程为
与过点
,
的切线相切于点
,
,即
,即
,
或
或
.
.
.
,
- 16 -
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