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(完整版)高中数学变化率问题导数的概念(老师版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 23:10
tags:高中数学导数视频

高中数学点到直线的距离教案-如何表述高中数学微分更直观

2020年10月7日发(作者:程咬金)





1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念
[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的 求法.3.掌握导数的概念,会用导
数的定义求简单函数在某点处的导数.

知识点一 函数的平均变化率
1.平均变化率的概念
设函数y=f(x),x1
,x
2
是其定义域内不同的两个点,那么函数的变化率可用式子
f?x
2
?-f?x
1
?
表示,我们把这个式子称
x
2< br>-x
1
为函数y=f(x)从x
1
到x
2
的平均变化 率,习惯上用Δx表示x
2
-x
1
,即Δx=x
2
-x1
,可把Δx看作是相对于x
1
的一个
Δy
“增量”,可用x< br>1
+Δx代替x
2
;类似地,Δy=f(x
2
)-f(x1
).于是,平均变化率可以表示为.
Δx
2.求平均变化率
求函数y=f(x)在[x
1
,x
2
]上平均变化率的步骤如下:
(1)求自变量的增量Δx=x
2
-x
1

(2)求函数值的增量Δy=f(x
2
)-f(x
1
);
Δy
f?x
2
?-f?x
1
?f?x
1
+Δx?- f?x
1
?
(3)求平均变化率
==
.
ΔxΔx
x
2
-x
1
思考 (1)如何正确理解Δx,Δy?
(2)平均变化率的几何意义是什么?
答案 (1)Δx 是一个整体符号,而不是Δ与x相乘,其值可取正值、负值,但Δx≠0;Δy也是一个整体符号,若Δx
=x
1
-x
2
,则Δy=f(x
1
)-f(x
2
),而不是Δy=f(x
2
)-f(x
1
),Δy可为正数、负数, 亦可取零.
(2)如图所示:

y=f(x)在区间[x
1
,x
2
]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x
1
,x
2
]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均
Δy
?
变化率的“视觉化”,?
?
Δx
?
越大,曲线y=f(x)在区间[x
1
,x
2
]上越“陡峭”,反之亦然.
平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的 斜率,若函数y=f(x)图象上有两点A(x
1
,f(x
1
)),B(x< br>2
,f(x
2
)),

f?x
2
?-f?x
1
?
=k
AB
.
x
2
-x
1
知识点二 瞬时速度与瞬时变化率
把物体在某 一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改< br>变量,在t
0
+Δt这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是Δs=s(t
0
+Δt)-s(t
0
),那么位移改变量Δs与时间改变量
Δt的比就是这 段时间内物体的平均速度v,即v=
Δs
s?t
0
+Δt?-s?t
0
?

.
ΔtΔt





物理学里,我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t
0
的 速度,即t
0
时刻的瞬时速度,用v表示,物体在t
0

s?t0
+Δt?-s?t
0
?
刻的瞬时速度v就是运动物体在t
0< br>到t
0
+Δt这段时间内的平均变化率
在Δt→0时的极限,即v=
Δ
lim

t

0
Δt
s?t
0
+ Δt?-s?t
0
?
Δs

Δ
lim
.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.
Δt
t

0
Δt
思考 (1)瞬时变化率的实质是什么?
(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么?
答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值,它是刻画函数值在某处变化的快慢.
( 2)①区别:平均变化率刻画函数值在区间[x
1
,x
2
]上变化的快慢,瞬 时变化率刻画函数值在x
0
点处变化的快慢;②
Δy
联系:当Δx趋于0时, 平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x
0
处的瞬时变化率,它是一个固定值.
Δx
知识点三 导数的概念
函数y=f(x)在x=x
0
处的导数
一般地,函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是
Δ
lim
x

0
导数,记作f′(x
0
)或y′|
x?x< br>0
,即f′(x
0
)=
Δ
lim
x
0
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?
Δy
Δ
lim

,我们称它为函数y=f(x)在x=x
0
处的Δx
x

0
Δx
f?x
0
+Δx?-f?x< br>0
?
Δy

Δ
lim
.
Δx
x

0
Δx
思考 (1)函数f(x)在x
0
处的导数满足什么条件时存在?
(2)求解函数f(x)在x
0
处导数的步骤是什么?
ΔyΔy
答案 (1)函数f(x)在x
0
处可导,是指Δx→0时,
有极限,如果不存在极限,就说函数在点x
0
处无导数.
ΔxΔx
(2)求解函数f(x)在x
0
处导数的步骤如下:
①求函数值的增量:Δy=f(x
0
+Δx)-f(x
0
); Δy
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?
②求平均变化率: =;
ΔxΔx
③取极限,得导数:f′(x
0
)=
Δ
lim < br>x

0
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?Δy

Δ
lim
.
Δx
x

0
Δx

题型一 求平均变化率
1
例1 求函数y=f(x)=2x
2
+3在x
0
到x0
+Δx之间的平均变化率,并求当x
0
=2,Δx=
时该函数的平均变 化率.
2
解 当自变量从x
0
变化到x
0
+Δx时,函数的平均变化率为
2Δy
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?[2?x
0
+Δx?
2
+3]-?2x
2
0
+3?4x
0
Δ x+2?Δx?
====4x
0
+2Δx.
ΔxΔxΔxΔx
11
当x
0
=2,Δx=
时,平均变化率的值为4×2+2×=9.
22
反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值,所以求函数在给定区 间[x
0
,x
0
+Δx]上的平均
Δy
f?x
0< br>+Δx?-f?x
0
?
变化率问题,即求=的值.
ΔxΔx
Δy
跟踪训练1 (1)已知函数y=f(x)=2x
2
- 1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1+Δx,1+Δy),则= .
Δx



答案 2Δx+4



Δy
解析 因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(Δx)
2
+4Δx,所以平均变化率=2Δx+4.
Δx
1
(2)求函数y=f(x)=2
在x
0
到x
0
+Δx之间的平均变化率(x
0
≠0).
x
Δx?2x
0
+Δx?

?x
0< br>+Δx?
2
x
2
Δx?2x
0
+Δx?2x
0
+Δx
0
11Δy
解 ∵Δy=f(x
0
+Δx)-f( x
0
)=
-=-,∴==-
.
ΔxΔx
?x
0< br>+Δx?
2
x
2
?x
0
+Δx?
2
x
2
?x
0
+Δx?
2
x
2
0
0 0
题型二 实际问题中的瞬时速度
例2 一作直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s =3t-t
2
(位移单位:m,时间单位:s).
(1)求此物体的初速度;
(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;
(3)求t=0到t=2时的平均速度.
s?Δt?-s?0?3Δt-?Δt?
2
解 (1)初速度v
0

Δ
lim

Δ
lim


Δ
lim
(3-Δt)=3.
t

0t

0t

0
ΔtΔt
即物体的初速度为3 ms.
s?2+Δt?-s?2?3?2+Δt?-?2+ Δt?
2
-?3×2-4?-?Δt?
2
-Δt
(2)v


Δ
lim

Δ
lim


Δ
lim


Δ
lim
(-Δt-1)=-1.
t

0t

0t

0t

0
ΔtΔtΔt
即此物体在t=2时的瞬时速度为1 ms,方向与初速度方向相反.
(3)v=
s?2?-s?0?6-4-0
==1. 即t=0到t=2时的平均速度为1 ms.
2
2-0
反思与感悟 作变速直线运动 的物体在不同时刻的速度是不同的,Δt趋近于0,指时间间隔Δt越来越小,但不能
为0,Δt,Δs 在变化中都趋近于0,但它们的比值趋近于一个确定的常数.
1
跟踪训练2 已知一物体作自 由落体运动,下落的高度的表达式为s=
gt
2
,其中g为重力加速度,g≈9.8米 平方秒
2
(s的单位:米).
(1)求t从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度;
(2)求t=3秒时的瞬时速度.
11
解 (1)当t在区间[3,3.1]上时, Δt=3.1-3=0.1(秒),Δs=s(3.1)-s(3)=
g·3.1
2

g·3
2
≈2.989(米).
22
v
1

Δs2.989
≈=29.89(米秒). < br>Δt0.1
同理,当t在区间[3,3.01]上时,v
2
≈29.449(米 秒),当t在区间[3,3.001]上时,v
3
≈29.404 9(米秒),当t在区间[3,3.000
1]上时,v
4
≈29.400 49(米秒).
11
g?3+Δt?
2

g·3
2
2
Δs
s?3+Δt?-s?3?
2
1
(2)
===g(6+Δt),
ΔtΔtΔt2
lim
Δt

0
Δs1

Δ
lim
g(6+Δt)=3g≈29.4(米秒).所以t=3秒时的瞬时速度约为29.4米秒.
Δt
t

0
2
题型三 函数在某点处的导数
1
例3 求函数y=x-在x=1处的导数.
x





Δx
Δx+
1+Δx
11ΔxΔy1
解 Δy=(1+Δx)--(1-
)=Δx+
,==1+,
1Δx
1+Δx1 +Δx
Δx
1+Δx

Δ
lim

x

0
Δy1

Δ
lim
(1+)=2,从而y′|
x

1
=2.
Δx
x

0
1+Δx
反思与感悟 求函数在x=x
0
处的导数的步骤:
(1)求函数值的增量,Δy=f(x
0
+Δx)-f(x
0
);
Δy
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?
(2)求平均 变化率,
=;
ΔxΔx
(3)取极限,f′(x
0
)=
Δ
lim
x

0
Δy
.
Δx
4
跟踪训练3 求函数y=
2
在x=2处的导数;
x
?Δx?
2
+4Δx
Δx+4
444Δy
解 ∵Δy=-=-1=-,∴=-,
Δx
?Δx+2?
2
2
2
?Δx+2?
2
?Δx+2?
2
?Δx+2?
2

Δ
lim

x

0


因对导数的概念理解不到位致误

例4 设函数f(x)在x
0
处可导,且f′(x
0
)已知,求下列各式的极限值.
(1)lim
Δx

0
(2)lim
h
0
f?x
0
-Δx?-f?x
0
?

Δx
f?x
0
+h?-f?x
0
-h?
.
2h
f?x
0
-Δx?-f?x
0
?
=f′(x
0
).
Δx
Δx+4
Δy
=-
Δ
lim

=-1.
x

0
?Δx+2?
2
Δx
错解 (1)
Δ
lim

x

0
(2)lim
h

0
f?x
0
+h?-f?x
0
-h?
1
f?x
0
+h?-f?x
0
-h?
1

lim

f′(x
0
).
2h2
h

0
h2
错因分析 在导数的定义中,增量Δx的 形式是多种多样的,但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.如
(1)中Δx的改变量为Δ x=x
0
-(x
0
-Δx),(2)中Δx的改变量为2h=(x
0
+h)-(x
0
-h).
正解 (1)
Δ
lim

x

0
(2)lim
h

0
f?x0
-Δx?-f?x
0
?f?x
0
-Δx?-f?x
0
?f?x
0
-Δx?-f?x
0
?
=-
Δ
lim

=-lim

=-f′(x
0
).
-< br>Δx

0
x

0
Δx
-Δx-Δx
f?x
0
+h?-f?x
0
-h?f?x
0
+h?-f?x
0
-h?

2
lim

=f′(x
0
).
h

0
2h2h
防范措施 自变量的改变量Δx的值为变后量与变前量之差.

1.在求解平均变化率时,自变量的变化量Δx应满足( )
A.Δx>0
C.Δx≠0
B.Δx<0
D.Δx可为任意实数



答案 C
Δy
解析 因平均变化率为,故Δx≠0.
Δx



2.沿直线运动的物体从时间t到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么
Δ
lim
t

0
A.从时间t到t+Δt时物体的平均速度
B.t时刻物体的瞬时速度
C.当时间为Δt时物体的速度
D.从时间t到t+Δt时位移的平均变化率
答案 B
ΔsΔs
解析 v=,而
Δ
lim

则为t时刻物体的瞬时速度.
t

0
ΔtΔt
3.函数f(x)=x在x=1处的导数为 .
1
答案
2
解析 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=1+Δx-1,

1+Δx-1
Δy1
==,
ΔxΔx
1+Δx+1
Δy
=lim

Δx
Δx

0
11

.
1+Δx+1
2
Δs
为( )
Δt
∴f′(1)=
Δ
lim

x

0< br>4.设f(x)在x
0
处可导,若
Δ
lim
x

0
1
答案
A
3
解析
Δ
lim

x

0
f?x
0
+3 Δx?-f?x
0
?
=A,则f′(x
0
)= .
Δx
f?x
0
+3Δx?-f?x
0
?f?x
0< br>+3Δx?-f?x
0
?
1
=3

lim

=3f′(x
)=A.故f′(x)=A.
00
x

0< br>Δx3Δx3
1
5.以初速度为v
0
(v
0
>0)作 竖直上抛运动的物体,t秒时的高度为s(t)=v
0
t-gt
2
,求物体在 t
0
时刻的瞬时加速度.
2
111Δs1
2
解 ∵Δs= v
0
(t
0
+Δt)-g(t
0
+Δt)
2
-v
0
t
0
+gt
2
=v
0
-gt0
-gΔt.
0
=(v
0
-gt
0
)Δt- g(Δt)
,∴
222Δt2
Δs
当Δt→0时,→v
0
- gt
0
.∴物体在t
0
时刻的瞬时速度为v
0
-gt
0
.
Δt
由此,类似地可得到物体运动的速度函数为
Δv
v< br>0
-g?t
0
+Δt?-?v
0
-gt
0
?
v(t)=v
0
-gt,∴
==-g.
ΔtΔt
Δv
∴当Δt→0时,→-g.
Δt
故物体在t
0
时刻的瞬时加速度为-g.

Δy
1.求平均变化率的步骤:(1)求Δy,Δx.(2)求.
Δx
ΔsΔs
2.求瞬时速度的一般步骤:(1)求Δs及Δt.(2)求. (3)求
Δ
lim .
t

0
ΔtΔt





Δy
.(3)y′|
x?x
0

Δ
lim

x

0
Δx
3.利用定义求函数f(x)在x=x
0
处的导数:(1)求函数的改变量Δy=f(x
0
+Δx)-f(x
0
). (2)求
f?x
0
+Δx?-f?x
0
?
Δx
.

一、选择题
1.质点运动规律s=t
2
+3,则在时间[3,3 +Δt]中,相应的平均速度等于( )
A.6+Δt B.6+Δt+
9
Δt

C.3+Δt D.9+Δt
答案 A
解析 因为v=
s?3+Δt?-s?3?6Δt+?Δt?
2
Δt
Δt
=6+Δt.故选A.
2.设函数f(x)在点x
0
附 近有定义,且有f(x
0
+Δx)-f(x
0
)=aΔx+b(Δx)
2
(a,b为常数),则( )
A.f′(x)=a B.f′(x
0
)=a
C.f′(x)=b D.f′(x
0
)=b
答案 B
x
f?x
0
+ Δx?-f?x
0
?aΔx+b?Δx?
2
解析 由导数定义得f′(
0
)=
Δ
lim
x

0

Δx

Δ
lim
x

0

Δx
=a.故选B.
3如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是( )

A.1 B.-1
C.2 D.-2
答案 B
解析
Δy
f?
Δx

3?-f?1?
3-1< br>=
1-3
2
=-1.
4.如果某物体的运动方程为s=2(1-t
2
) (s的单位为m,t的单位为s),那么其在1.2 s末的瞬时速度为(
A.-4.8 ms B.-0.88 ms
C.0.88 ms D.4.8 ms
答案 A
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数,利用导数的定义即可求得. 5.设函数f(x)可导,则
f?1+3Δx?-f?1?
Δ
lim
x< br>→
0

3Δx
等于( )
A.f′(1) B.3f′(1) C.
1
3
f′(1) D.f′(3)
答案 A
)



解析
Δ
lim

x

0
f?1+3Δx?-f?1?
=f′(1).
3Δx



1
6.一个质点沿直线运动 ,如果由始点起经过t秒后的位移为s=t
3
-3t
2
+8t,那么速度为零 的时刻是( )
3
A.1秒末
C.4秒末
答案 D
解析 据导数的定义,得s′=t
2
-6t+8,令s′=0,即t
2
-6t+8=0.
解得t=2或t=4,故速度为零的时刻为2秒末和4秒末.
二、填空题
2
7.已知函数y=
+3,当x由2变到1.5时,函数的增量Δy= .
x
1
答案
3
22
41
+3
?
?
+3
?
=-1=
.
解析 Δy=f(1.5)- f(2)=
?
?
1.5
??
2
?
33
8. 已知函数f(x)=
1
答案 -
2
f?1+Δx?-f?1?

Δ
lim

x
0
Δx
1
-1
1+Δx

Δ
lim

x

0
Δx

9.如图所示,函数y=f(x) 在[x
1
,x
2
],[x
2
,x
3
],[ x
3
,x
4
]这几个区间内,平均变化率最大的一个区间是 .
1
=-
.
2
1+Δx?1+1+Δx?
-1
1
,则f′(1)= .
x
B.1秒末和2秒末
D.2秒末和4秒末
解析 f′(1)=
Δ
lim

x

0

答案 [x
3
,x
4
]
f?x
2
?-f?x
1
?
解析 由平均变化率的定义可知, 函数y=f(x)在区间[x
1
,x
2
],[x
2
,x3
],[x
3
,x
4
]上的平均变化率分别为:
x
2
-x
1
f?x
3
?-f?x
2
? f?x
4
?-f?x
3
?
,,结合图象可以发现函数y=f(x)的 平均变化率最大的一个区间是[x
3
,x
4
].
x
3-x
2
x
4
-x
3
10.子弹在枪筒中的运动可以看作 是匀加速直线运动.如果它的加速度是a=5×10
5
ms
2
,子弹从枪口射出所用的时间
为1.6×10
3
s,则子弹射出枪口时的瞬时速度为 ms.
答案 800
1
解析 运动方程为s=
at
2
.
2
111Δs 1Δs
2
∵Δs=
a(t
0
+Δt)
2

at
2
=at
0
+aΔt,∴v=
Δ
lim
=at
0
.
0
=at
0
Δt+a(Δt)
,∴
t

0
Δt222Δt2
又∵a=5×10
5
ms
2
,t
0
=1.6×10
3
s,∴v=at
0
=8×10
2
=800(ms).
三、解答题
11.求函数y=f(x)=2x
2
+4x在x=3处的导数.





解 Δy =2(3+Δx)
2
+4(3+Δx)-(2×3
2
+4×3)=12Δx+ 2(Δx)
2
+4Δx=2(Δx)
2
+16Δx,
Δy
2?Δx?
2
+16Δx
Δy
∴==2Δx+16.∴y′|
x
3

Δ
lim
=lim
(2Δx+16)=16.
x

0
Δx
Δx

0
ΔxΔx
12.若函数f(x)=ax
2
+c,且f′(1)=2,求a的值 .
解 ∵f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)
2
+c-a-c
=a(Δx)
2
+2aΔx.
f?1+Δx?-f?1?a?Δx?
2
+2aΔx
∴f′(1)=
Δ
lim


Δ
lim


Δ
lim
(aΔx+2a)=2a,即2a=2,∴a=1.
x

0x

0 x

0
ΔxΔx
π
13.试比较正弦函数y=sin x在x=0和x=
附近的平均变化率哪一个大.
2
解 当自变量从0变到Δx时,函数的平均变化率为k
1

sin Δx-sin 0
sin Δx

.
ΔxΔx
ππ
sin?
+Δx?-sin
22
cos Δ x-1
ππ
当自变量从变到Δx+时,函数的平均变化率为k
2


.
22ΔxΔx
π
由于是在x=0和x=的附近的平均变化率,可知Δx较 小,但Δx既可化为正,又可化为负.
2
当Δx>0时,k
1
>0,k2
<0,此时有k
1
>k
2
.
π
2sin?Δx-
?+1
4
sin Δx
cos Δx-1sin Δx-cos Δx+1
当Δx<0时,k
1
-k
2

-==
.
ΔxΔxΔxΔx
πππ2π
∵Δx<0,∴Δx-<-,∴sin(Δx-
)<-
,从而有2sin(Δx-
)<-1,
44424
π
2si n(Δx-)+1<0,∴k
1
-k
2
>0,即k
1
>k< br>2
.
4
π
综上可知,正弦函数y=sin x在x=0附近的平均变化率大于在x=附近的平均变化率.
2

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