高中数学导数知识点与习题(内附答案)

数学选修2-2导数及其应用知识点必记

1．函数的平均变化率是什么？
答：平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x
注1：其中
?x
是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么？
答：函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
，则称
?lim
?x?0
?x
?x?0?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，并把这个极限 叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数，记作
f
'(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
，即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x ?0
?x
?x?0
?x
3.平均变化率和导数的几何意义是什么？
答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线
的斜率。
4导数的背景是什么？
答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些？
函数 导函数 不定积分
y?c

y'?
0
————————
x
n?1
?
xdx?
n?1

n
y?x
n
n?N
*

??
y'?nx
n?1


y?a
x
?
a?0,a?1
?

y'?alna

y'?e
x

x
a
x
?
adx?
lna

x
y?e
x

?
edx?e
xx

y?log
a
x
?
a?0,a?1,x?0
?

y'?
y?lnx

y?sinx

1

xlna
1
y'?

x
————————
1
?
x
dx?lnx

y'?cosx

y'??sinx

?
cosxdx?sinx

y?cosx



?
sinxdx??cosx

1 251 25

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
答：若
f
?
x
?
，
g
?
x
?均可导（可积），则有：
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?< br>?f
'
(x)?g
'
(x)

'
?
f(x)?g(x)
?
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)

积的导数运算
特别地：
?
?
Cf
?< br>x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?
?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'(x)
(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
'
'
商的导数运算
?
1
?
?g'(x)
特别地：
?

?'?
2
g
?
x
?
?
g
?
x< br>?
?
复合函数的导数
微积分基本定理
y
x
??y
u
?
?u
x
?

?
f
?
x
?
dx?
（其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?
）
a
b
和差的积分运算
?
b
a
[f
1(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx??
f
2
(x)dx
aa
bb



特别地：
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x)dx?k< br>?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f (x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？
答：①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；
注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？
答：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间，
并列成表格，检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在
这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x )在这个根处取得极小值；如果左
右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？
2 252 25

答：求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如 下：
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值；
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一
个是最小值。
注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤是什么？
答：分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 （“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质有哪些？
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
?
1dx?b?a

a
b
性质5 若
f(x)?0 ,x?
?
a,b
?
，则
?
f(x)dx?0
a
b
①推广：
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
L
?f
m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
L
?
?
f
m
(x)

aaaa
bbbb
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
L< br>?
?
f(x)dx

aac
1
c
k
bc
1
c
2
b
11定积分的取值情况有哪几种？
答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还
可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定
积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定
积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相
反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为
0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识有哪些？
答：（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。
（2）力的积分为功。






3 253 25

数学选修2-2推理与证明知识点必记
13.归纳推理的定义是什么？
答：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
．．．．．．．
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
．．．．
14.归纳推理的思维过程是什么？
答：大致如图：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

15.归纳推理的特点有哪些？
答： ①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的
一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证
明和实验检验，因此，它不能 作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为 进一
步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义是什么？
答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他
方面也相似或相同，这 样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
．．．．
17.类比推理的思维过程是什么？
答：
观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义是什么？
答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照
严格的逻辑法则得到新 结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
．．．．
19．演绎推理的主要形式是什么？答：三段论
20.“三段论”可以表示为什么？
答： ①大前题：M是P ②小前提：S是M ③结论：S是
P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指 出了一个
特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？
答：直接证明是从命题的条件或结论出发， 根据已知的定义、公理、定理，直接
推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.什么是综合法？
答：综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替 前面的条
件，直至推出要证的结论。
23.什么是分析法？
答：分析法就是从所要 证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者
一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法
和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24什么是间接证明？
4 254 25

答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证 实结论的
否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤是什么？
答：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
．．．
26常见的“结论词”与“反义词”有哪些？
原结论词 反义词 原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
一个也没有
至少有两个
至多有n-1个
至少有n+1个
对任意x不成立
p或q
p且q
反义词
存在x使成立
对所有的x都成立 存在x使不成立
?p
且
?q

?p
或
?q

27.反证法的思维方法是什么？答：正难则反
．．．．
28.如何归缪矛盾？
答：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛
．．．．．．．．．．．．．．．．
盾．
29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤是什么？
．．．
?< br>答：(1)证明：当n取第一个值
．．．．
n
0
?
n
0
?N
?
时命题成立；
(2)假设当n=k (k∈N
*
，且k≥n
0
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
．．．．．
由(1)，(2)可知，命题对于从n
0
开始的所有正整数n都正 确
注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

数学选修2-2数系的扩充和复数的概念知识点必记
30.复数的概念是什么？
答：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，
a
叫实部，
b
叫虚部，数集
．．．．
C?
?
a?bi|a,b?R
?
叫 做复数集。
规定：
a?bi?c?di?
a=c且，强调：两复数不能比较大小，只 有相等或不相
．．．．
b=d
．．．
等。
?
实数 (b? 0)
?
31．数集的关系有哪些？答：
复数Z
?
?
?
一般虚数(a?0)

虚数 (b?0)
?
?
?
?
纯虚数(a?0)
?
32.复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一 对应。
33.什么是复平面？
答：根据复数相等的定义，任何一个复数
z?a?b i
，都可以由一个有序实数对
(a,b)
唯一确定。由于有序实数对
(a,b )
与平面直角坐标系中的点一一对应，因此
5 255 25

复 数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标
系来表示复数的平面叫做复 平面，
x
轴叫做实轴，
y
轴叫做虚轴。实轴上的点都
表示实数，除了 原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
34.如何求复数的模(绝对值)？
答：与复数
z
对应的向量
OZ
的模
r
叫做复数
z?a?bi
的模(也叫绝对值)记作
z或a?bi
。由模的定义可知：
z?a?bi?a
2
?b
2

35.复数的加、减法运算及几何意义是什么？
答：① 复数的加、减法法则：
z
1
?a?bi与z
2
?c?di
， 则
z
1
?z
2
?a?c?(b?d)i
。
注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。
．．
②复数的乘法法则：
(a?bi)(c?di)?
?
ac?bd
?
?
?
ad?bc
?
i
。
③复数的除法法则：
a?bi(a?bi)(c ?di)ac?bdbc?ad
???i

c?di(c?di)(c?di)c2
?d
2
c
2
?d
2
其中
c?di< br>叫做实数化因子
36.什么是共轭复数？
答：两复数
a?bi与a?bi< br>互为共轭复数，当
b?0
时，它们叫做共轭虚数。
常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;

2(3)z?z?z?z?a
2
?b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z ?R

(6)i
4n?1
?i,i
2
4n?2
?? 1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;

2
( 7)
?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i;(8)?i,??i,
??
??i

1?i1?i
?
2
?
?1?3i
3n?1
2
?
?
,
?< br>3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1
是1的立 方虚根，则
1?
?
?
?
?0
，
?
2
(9)
设
?
?

一、题型一：导数在切线方程中的运用
★1.曲线
y?x
在P点处的切线斜率为k,若k=3，则P点为（ ）
A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
3
1
1
C.（2，8） D.（－
2
，－
8
）
★2.曲线
y?
（ ）
6 256 25
1
3
x?x
2
?5
， 过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为
3

?
??3
?
A.
6
B.
4
C.
3
D.
4

二、题型二：导数在单调性中的运用
32
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为( ) ★1.(05广东卷)函数
A.
(2,??)
B.
(??,2)
C.
(??,0)
D.
(0,2)

32
f(x)?2x?6x?7
，下列说法不正确的是（ ） ★2．关于函数
A．在区间（
??
，0）内，
f(x)
为增函数 B．在区间（0，2）内，
f(x)
为减函数
?(2,??)
内,
f(x)
C．在区间（2，
??
）内，
f(x)
为增函数 D．在区间（
??
，0）
为增函数
?
★★3．(05江西)已知函 数
y?xf(x)
的图象如右图所示(其中
f'(x)
是函数
f(x )
的导函数)，
下面四个图象中
y?f(x)
的图象大致是（ ）

y

1

x

1

2

y
-2
-1
y
2

y
x
4

2

1

-2
-1
O
4

2

1

2

y
x
-2

-1

O

-1

O
2

1

1

2

x
-2
-1
O
-2
1

1

B

C

A

★★★4、（2010年山东21）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?1nx?ax?
（Ⅰ）当
a
-2
-2
-2
-1
O
2

x
D


1?a
?1(a?R).

x
??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

（Ⅱ）当
a≤
1
时，讨论
f(x)
的单调性．
2
三、导数在最值、极值中的运用：
32
f(x)?x?ax?3x?9< br>，已知
f(x)
在
x??3
时取得极值，则★1.（05全国卷Ⅰ）函 数
a
=（ ）
A．2
3
B. 3
2
C. 4 D.5
★2．函数
y?2x?3x?12x?5
在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16
★★★3.（根据04年天津卷文21改编）已知函数
f(x)?ax
3
?cx?d(a?0)
是R上的奇函
7 257 25

数，当
x?1
时
f(x)
取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；（2）求
f(x)
的单调区间和极大值；
2x ?132
f(x)?xe?ax?bx
★★★4.（根据山东2008年文21改编）设函数， 已知
x??2和x?1
为
f(x)
的极值点。（1）求
a,b
的值；（2）讨论
f(x)
的单调性；


高二数学理导数测试题1
一．选择题
(1) 函数
f(x)?x
3
?3x
2
?1
是减函数的区间为 ( )
A．
(2,??)
B．
(??,2)
C．
(??,0)
D．（0，2）
（2）曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．
y?3x?4
B。
y??3x?2
C。
y??4x?3
D。
y?4x?5
a
2
(3) 函 数
y
＝
a
x
＋1的图象与直线
y
＝
x相切，则
a
＝
( )
111
A． B． C． D．1
842
(4) 函数
f(x)?x
3
?ax
2< br>?3x?9,
已知
f(x)在x??3
时取得极值，则
a
=
( )
A．2 B．3 D．5
?
(5) 在函数
y?x
3
?8x
的图象上，其切线的倾斜 角小于的点中，坐标为整数的
4
点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
（6）函数
f(x)?ax
3
?x?1
有极值的充要条件是 （ ）
A．
a?0
B．
a?0
C．
a?0
D．
a?0

（7）函数
f(x)?3x?4x
3
（
x?
?
0,1
?
的最大值是（ ）
A．
1
B． -1 C．0 D．1
2
C．4
（8）函数
f(x)
=
x
（
x
－1）（< br>x
－2）…（
x
－100）在
x
＝0处的导数值为（ ）
A、0 B、100
2
C、200 D、100！
8 258 25

1
3
?
4
?
x?x
在点?
1，
?
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
3
?
3
?
1212
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9933
二．填空题
3
（1）．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x＋3x－5相切的直线方程
是 。
3
1
2
（2）．设f ( x ) = x－x－2x＋5，当
x?[?1,2]
时，f ( x ) < m恒成立，
2
则实数m的取值范围为 .
（9）曲线
y?
（3）．函数y = f ( x ) = x＋ax＋bx＋a，在x = 1时，有极值10，则a = ,b
= 。
3
（4）．已知函数
f(x)?4x
3
?bx
2
? ax?5
在
x?,x??1
处有极值，那么
a?
；
2
b?

（5）．已知函数
f(x)?x
3?ax
在R上有两个极值点，则实数
a
的取值范围是

（6）．已知函数
f(x)?x
3
?3ax
2
?3(a?2)x?1
既有极大值又有极小值，则实数
a
的取值范围是
（7）．若函数
f(x)?x
3
?x
2
?mx?1
是R是的单调函数，则实数
m
的取值范围
是
322
（8）． 设点
P
是曲线
y?x
3
?3x?
上的任意一点，
P
点处切线倾斜角为
?
，则
角
?
的取值范围是 。
三．解答题
1．已知函数
f(x)?x
3
?bx
2
?ax?d
的图象过点P（0,2）,且在点M
(?1,f(?1))
处
的 切线方程为
6x?y?7?0
.（Ⅰ）求函数
y?f(x)
的解析式；（Ⅱ） 求函数
y?f(x)
的单调区间.



2．已知函数< br>f(x)?ax
3
?bx
2
?3x
在
x??1
处取得极值.
（Ⅰ）讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线，求此切线方程.


3
3．已知函数
f(x)?ax
3
?(a?2)x
2
?6x?3

22
3
（1）当
a?2
时，求函数
f(x)
极小值；（2 ）试讨论曲线
y?f(x)
与
x
轴公共点
的个数。
9 259 25

4．已知
x?1
是函数
f(x)?mx
3
?3(m?1)x
2
?nx?1
的一个极值点， 其中
m,n?R,m?0
，
（I）求
m
与
n
的关系式； （II）求
f(x)
的单调区间；
（III）当
x?
?
? 1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3
m
，
求
m
的取值范围.


5．设函数
f(x)?2x
3
?3ax
2
?3bx?8c
在
x?1< br>及
x?2
时取得极值．
（Ⅰ）求
a、b
的值；
（ Ⅱ）若对于任意的
x?[0，3]
，都有
f(x)?c
2
成立，求< br>c
的取值范围．


6．已知
f(x)?ax
3< br>?bx
2
?cx
在区间[0,1]上是增函数,在区间
(??,0), (1,??)
上是
13
减函数,又
f
?
()?.

22
(Ⅰ)求
f(x)
的解析式;(Ⅱ)若在区间
[0,m]
(
m
＞0)上恒有
f(x)
≤
x
成立,求
m的取
值范围.


7．设函数
f(x)?ax
3?bx?c
(a?0)
为奇函数，其图象在点
(1,f(1))
处的切线 与直
线
x?6y?7?0
垂直，导函数
f'(x)
的最小值为
?12
．
（Ⅰ）求
a
，
b
，
c
的值；
（Ⅱ）求函数
f(x)
的单调递增区间，并求函数
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值和最小
值．













10 2510 25

高二数学理导数测试题2
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)
1?x
2
1．设
y?
，则
y'?
（ ）． < br>sinx
?2xsinx?(1?x
2
)cosx?2xsinx?(1?x< br>2
)cosx
A． B．
22
sin xsinx
?2xsinx?(1?x
2
)?2xsinx?(1?x
2)
C． D．
sinxsinx
2．设
f(x)?ln
A．
x
2
?1
，则
f'( 2)?
（ ）．
4213
B． C． D．
5555
2x?3f(x)
3．已知
f(3)?2,f'(3)??2
，则
lim
的值为（ ）．
x?3
x?3
A．
?4
B．
0
C．
8
D．不存在
4．曲线
y?x
在点
(2,8)
处的切线方程为（ ）．
A．
y?6x?12
B．
y?12x?16

C．
y?8x?10
D．
y?2x?32

3
(x
2
,0)
，5．已知 函数
f(x)?ax?bx?cx?d
的图象与
x
轴有三个不同交点
(0,0),(x
1
,0)
，
且
f(x)
在
x?1
，
x?2
时取得极值，则
x
1
?x
2
的值 为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．不确定
6．在
R
上的可导函数
f(x)?
取得极小值，则32
1
3
1
2
x?ax?2bx?c
，当
x? (0,1)
取得极大值，当
x?(1,2)
32
b?2
的取值范围是 （ ）．
a?1
111111
A．
(,1)
B．
(,1)
C．
(?,)
D．
(?,)

422422
1
x
?
e(sinx ?cosx)
在区间
[0,]
的值域为（ ）．
22
11 2511 25

7．函数
f(x)?

1111
A．
[,e
2
]
B．
(,e
2
)
C．
[1,e
2
]
D．
(1,e
2
)

2222
8．积分
?
?
?
?
?
a
?a
a
2
?x
2dx?
（ ）．
B．A．
1
?
a
2

4
1
?
a
2

2
C．
?
a
2
D．
2
?
a
2

x
2
y
2
9．由双曲线
2
?
2
?1
，直线
y?b,y??b
围成的图形绕
y
轴旋转一周所得旋转体的体
ab
积为（ ）
A．
8
?
ab
2

3
2
B．
8
2
?
ab

3
C．
4
2
4
?
ab
D．
?
ab
2

33
10．由抛物线
y?2x与直线
y?x?4
所围成的图形的面积是（ ）．
A．
18
B．
38

3
C．
16

3
D．
16

11．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为
V
，则其表面积最小时，底面边长为（ ）．
Ａ．
3
V
Ｂ．
3
2V
Ｃ．
3
4V
D．
2
3
V

12．某人要剪一个如图所示的实心纸花瓣，纸花瓣的边界
由六段全等的正弦曲线弧
y?sinx(0?x?
?
)
组成，其中
曲线的六个交点正好是一个正六边形的六个顶点，则这个
纸花瓣的面积为（ ）．
A．
6?33
?
B．
12?

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题4分，共16分。请将答案填在答题卷相应空格上。）
33
13 ．曲线
y?x
在点
(a,a)(a?0)
处的切线与
x
轴、 直线
x?a
所围成的三角形的面积为
2
33
2
33
2
?
C．
6?
?
2
D．
6?
?

22
1
，则
a?
_________ 。
6
14 ．一点沿直线运动，如果由始点起经过
t
秒后的位移是
S?
为零的时刻是__ _____________。
1
4
3
3
t?t?2t
2
，那么速度
45
12 2512 25

15．
lim(
n??
12n
????)?
_______________. < br>n
2
?1n
2
?2
2
n
2
?n2
16．
?
4
0
(|x?1|?|x?3|)dx?
____________。
三、解答题：（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分10分）
已知向量
a?(x
2
,x?1), b?(1?x,t)
，若函数
f(x)?a?b
在区间
(?1,1)
上是增函数，
求
t
的取值范围。



（18）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?ax?bx?3x
在
x??1
处取得极值. < br>(1)讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的 极大值还是极小值;
(2)过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线,求此切线方程.



（19）（本小题满分14分）
设
0?x?a
，求函数
f(x)?3x?8x?6x?24x
的最大值和最 小值。



（20）（本小题满分12分）
用半径为
R
的圆形铁皮剪出一个圆心角为
?
的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆
心 角
?
多大时，容器的容积最大？



432
32
13 2513 25

(21) （本小题满分12分）
直线
y?kx
分抛物线
y?x?x
与
x
轴所围成图形为面积相等的两个部分,求
k
的值.



(22) （本小题满分14分）
已知函数
f(x)?lnx,g(x) ?
2
1
2
ax?bx,a?0
。
2
（1）若
b?2
，且函数
h(x)?f(x)?g(x)
存在单调递减区间，求
a
的取值范围。
（2）设函数
f(x)
的图象
C
1
与函数
g(x)
的图象
C
2
交于点
P,Q
，过线段
PQ
的中点作
x
轴的垂线分别交
C
1
、< br>C
2
于点
M,N
。证明：
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的
切线不平行。


高二数学理导数测试题3
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5，共50分）
1. f(x)=
x
3
,
f'(x
0
)
=6，则
x
0
= ( )
(
A
)
2
(
B
) －
2
(
C
)
?
2
(
D
) ±1
2．若函数f(x)=2x
2
+1，图象上P(1, 3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)， 则
（ ）
A 4 B 4Δx C 4+2Δx D 2Δx
3.若
f
?
?
x
0
?
?2,则lim
f
?
x
0
?k
?
?f
?
x
0
?
的值 为（ ）
2k
?y
=
?x
k?0
A．-2 B. 2 C.-1 D. 1
4、曲线y=x
3
+x-2在点P0
处的切线平行于直线y=4x，则点P
0
的坐标是（ ）
A．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)
14 2514 25

5.函数y=2x-3x-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）
A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
6.设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为（ ）
A．单调递增， B、有增有减 C、单调递减， D、不确定
7. 已知f(x)=
3
x
·sinx，则f’(1)=( )
A .
32
111
+cos1 B. sin1+cos1 C. sin1-cos1
333
1+cos1
8. 若函数f(x)在区间（a ，b）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)
在（a， b）内有（ ）A f(x) 〉0 B f(x)〈 0 C f(x) = 0 D
无法确定
9. 抛物线
y
=(1-2x)
2
在点
x
=

1 0.函数
y?ln
?
2x
2
?1
?
的导数是( )
A.
C.
3
处的切线方程为（ ）
2
A. y
=0
B
.8
x
－
y
－8=0
C．

x
=1
D .

y
=0或者8
x
－
y
－8=0
4x1
B.
2x
2
?12x
2
?1
?
4x4x
D.
2x
2
?1ln102x
2
?1log
2
e
???
二、填空题(每小题5分，共20分)
11.若f(x)=x
3< br>＋3ax
2
＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是
___ ______
3
12.若函数
y?x
3
?x
2
? a
在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的
2
最小值
是______________
13.函数y=(1－sinx)
2
的导 数是
y
?
?
________________
14.设有长为a ，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线
上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此 矩形的周长最大时，
a
=_______________
b
15 2515 25

三、解答题：本大题6小题，共80分，解答写出文字说明、证明过 程或演算
步骤)。
3
15．(本题满分12分)设f(x)=x
3
+,求函数f(x)的单调区间及其极值；
x




16. (本题满分12分)求证：若x>0,则ln(1＋x)>




17. (本题满分14分)已知函数f(x)=4x
3
+ax
2
+bx＋5在x=－1与x=
x
;
1?x
3
处有极值。
2
(1)写出函数的解析式；
(2)求出函数的单调区间；
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值。




18. (本题满分14分) 做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面
积的价格为20元，侧面 的材料每单位面积价格为15元，问锅炉的底面直径与
高的比为多少时，造价最低？




19. (本题满分14分)已知函数f(x)=ax
4＋bx
3
＋cx
2
＋dx＋e是偶函数，它的图象
过点A(0, -1)，且在x=1处的切线方程是2x+y－2=0,求函数f(x)的表达式。




20. (本题满分14分) 如图，由y=0，x=8，y=x
2围成的曲边三角形，在曲线弧
OB上求一点M，使得过M所作的y=x
2
的切线P Q与OA，AB围成的三角形PQA面
积最大。
B
Q
M

16 2516 25
o
P
A

高二数学理导数测试题1
参考解答

一．BBDDD CDDA
二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、
?18,?3
5、
(??,0)
6、
?< br>2
?
?
1
[0,]?[,
?
)
7、 8、
,??)
(??,?1)?(2,??)
?
23
3
?< br>三．1．解：（Ⅰ）由
f(x)
的图象经过P（0，2），知d=2，所以
f( x)?x
3
?bx
2
?cx?2,f
?
(x)?3x
2
?2bx?c.
由在
M(?1,f(?1))
处的切线方程是
6 x?y?7?0
知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f
?
(? 1)?6.

?
3?2b?c?6,
?
2b?c?3,
?< br>?
即
?
解得b?c??3.
故所求的解析式是
?
? 1?b?c?2?1.
?
b?c?0,
f(x)?x
3
?3x
2
?3x?2.

（2）
f
?
(x)?3x
2< br>?6x?3.令3x
2
?6x?3?0,即x
2
?2x?1?0.解得
当
x
1
?1?2,x
2
?1?2.
当
x?1?2,或x?1?2时,f
?
(x)?0;
1?2?x?1?2时,f
?
(x)?0.
故
f(x)?x
3
?3x
2
?3x?2在(??,1?2)
内是增函数，
在
(1?2,1?2)
内是减 函数，在
(1?2,??)
内是增函数.
2．（Ⅰ）解：
f
?(x)?3ax
2
?2bx?3
，依题意，
f
?
(1) ?f
?
(?1)?0
，即
?
3a?2b?3?0,
解得
a?1,b?0
.
?
?
3a?2b?3?0.
∴
f(x)?x
3
?3x,f
?
(x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1)
.
令
f
?
(x)?0
，得
x??1,x?1
. 若
x?(??,?1)?(1,??)
，则
f
?
(x)?0，
故
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数，
f(x )
在
(1,??)
上是增函数.
若
x?(?1,1)
，则
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
(?1,1)上是减函数.
所以，
f(?1)?2
是极大值；
f(1)??2
是极小值. （Ⅱ）解：曲线方程为
y?x
3
?3x
，点
A(0,16)不在曲线上.
3
?3x
0
. 设切点为
M(x
0,y
0
)
，则点M的坐标满足
y
0
?x
022
?1)
，故切线的方程为
y?y
0
?3(x
0?1)(x?x
0
)
因
f
?
(x
0
)?3(x
0
32
?3x
0
)?3(x
0
?1)( 0?x
0
)
注意到点A（0，16）在切线上，有
16?(x
0< br>3
??8
，解得
x
0
??2
. 化简得
x< br>0
所以，切点为
M(?2,?2)
，切线方程为
9x?y?16?0< br>.
17 2517 25

2a
3．解：（1）
f
'
(x)?3ax
2
?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),< br>f(x)
极小值为
f(1)??

a2
（2）①若
a ?0
，则
f(x)??3(x?1)
2
，
?f(x)
的图像 与
x
轴只有一个交点；
②若
a?0
，
?
f(x )
极大值为
f(1)??
?f(x)
的图像与
x
轴有三个交 点；
a2
?0
，
Qf(x)
的极小值为
f()?0
，
2a
③若
0?a?2
，
f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；
④若
a?2
，则
f
'
(x)?6(x ?1)
2
?0
，
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个 交点；
2133
⑤若
a?2
，由（1）知
f(x)
的极大 值为
f()??4(?)
2
??0
，
?f(x)
的图
aa44
像与
x
轴只有一个交点；
综上知，若
a?0,f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；若
a?0
，
f(x)
的图像与
x
轴
有三个交点。
4．解(I)
f
?
( x)?3mx
2
?6(m?1)x?n
因为
x?1
是函数
f (x)
的一个极值点,
所以
f
?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3m?6

?
?
2
?
?
（II）由（I）知，
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x?
?< br>1?
?
?

?
?
m
?
?
当
m?0
时，有
1?1?


x

f
?
(x)

f(x)

2
，当
x
变化时，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下表：
m
2
??
??,1?
??

m
??
1?
2

m
2
??
1?,1
?

?
m
??
1
0
极大值
?
1,??
?

?0

单调递减
?0

调调递减
0
极小值
?0

单调递增
2
??
故有上表知，当
m?0
时，
f( x)
在
?
??,1?
?
单调递减，
m
??
在
(1?
2
,1)
单调递增，在
(1,??)
上单调递减 .
m
（III）由已知得
f
?
(x)?3m
，即
mx
2
?2(m?1)x?2?0

18 2518 25