(完整版)高考数学专题导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：
综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特
点：
（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问
题 .
（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.
分值在12--- 17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.
【考点透视】
1．了解导数概 念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌
握函数在一点处的导数的定义和 导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法 则．了解复合函数的求导
法则，会求某些简单函数的导数．
3．理解可导函数的单调性与其导 数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和
充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实 际问题（一般指单峰函数）的最大值和最
小值．
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理
解导函数的概念.
例1．（2007年北京卷）
f
?
(x)是
f(x)?
1
3
x?2x?1
的导函数，则
f
?
(?1)
的值是 ．
3
2
[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
[解答过程]
Qf
?
(x)?x?2,?f
?
(?1)?
?
?1
?
?2?3.< br>
2
故填3.
例2. ( 2006年湖南卷）设函数
f(x)?< br>x?a
,集合M=
{x|f(x)?0}
,P=
{x|f
'< br>(x)?0}
,若MP,则实
x?1
数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
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[解答过程]由
x?a
?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.
x?1
x?aa?1
?
x?a
?
x?1?
?
x?a
?
Q
y?,?y

?
?
??0.

?
?
22
x?1x?1
??
?
x?1
??
x?1
?


?a?1.
综上可得MP时,
?a?1.
考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函 数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的
切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2007年湖南文）已知函数
f(x)?
极值点．
（I）求
a
2
?4b
的最大值；
（II）当
a< br>2
?4b?8
时，设函数
y?f(x)
在点
A(1，f(1) )
处的切线为
l
，若
l
在点
A
处穿过
函数
y?f(x)
的图象（即动点在点
A
附近沿曲线
y?f(x)
运动，经过点
A
时，从
l
的一侧
进入另一侧），求函数
f (x)
的表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：（I）因为函数
f(x)?
1
3
1
2
x?ax?bx
在区间
[?11)，
，
(1，3]
内各有一个
32
1
3
1
2
x?ax?bx
在区间
[?11)，
，
(1，3]内分别有一个极值点，
32
2
所以
f
?
(x)?x?a x?b
?0
在
[?11)，
，
(1，3]
内分别有一个实根 ，
设两实根为
x
1
，x
2
（
x
1
?x
2
），则
x
2
?x
1
?a
2
?4b
，且
0?x
2
?x
1
≤4
．于是
x
2
?3
，即
a??2
，
b??3
时等号
0?a
2
?4b≤4
，
0?a
2
?4b≤16
， 且当
x
1
??1，
成立．故
a
2
?4b
的 最大值是16．
（II）解法一：由
f
?
(1)?1?a?b
知< br>f(x)
在点
(1，f(1))
处的切线
l
的方程是
21
y?f(1)?f
?
(1)(x?1)
，即
y?(1?a?b )x??a
，
32
因为切线
l
在点
A(1，f(x))< br>处空过
y?f(x)
的图象，
所以
g(x)?f(x)?[(1?a ?b)x?
21
?a]
在
x?1
两边附近的函数值异号，则
32
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x?1
不是
g(x)
的极值点．
而
g(x )
?
1
3
1
2
21
x?ax?bx?(1?a?b )x??a
，且
3232
g
?
(x)?x
2
?a x?b?(1?a?b)?x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
． 若
1??1?a
，则
x?1
和
x??1?a
都是
g(x)
的极值点．
所以
1??1?a
，即
a??2
， 又由
a
2
?4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?
解法二：同解法一得
g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?
1
3
x?x
2
?x
．
3
21
?a]

32
13a3
?(x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a)]
． 322
因为切线
l
在点
A(1，f(1))
处穿过
y? f(x)
的图象，所以
g(x)
在
x?1
两边附近的函数值
异号，于是存在
m
1
，m
2
（
m
1
?1? m
2
）．
当
m
1
?x?1
时，
g(x) ?0
，当
1?x?m
2
时，
g(x)?0
；
或当
m
1
?x?1
时，
g(x)?0
，当
1?x?m< br>2
时，
g(x)?0
．
设
h(x)?x?
?
1?
2
?
?
3a
?
3a
??
x?2?< br>???
，则
2
?
2
??
当
m
1< br>?x?1
时，
h(x)?0
，当
1?x?m
2
时，< br>h(x)?0
；
或当
m
1
?x?1
时，
h (x)?0
，当
1?x?m
2
时，
h(x)?0
．
由
h(1)?0
知
x?1
是
h(x)
的一个极值点，则< br>h(1)?2?1?1?
所以
a??2
，又由
a
2
? 4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?
3a
?0
，
2
1
3
x?x
2
?x
．
3
例4 .（2006年安徽卷）若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0

C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直 线
x?4y?8?0
垂直的直线
l
为
4x?y?m?0
，即
y?x
4
在某一点的导数为4，而
y
?
?4x
3< br>，所以
y?x
4
在(1，1)处导数为4，此点的切线为
4x?y?3 ?0
.
故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x
2
+y
2
-4x+2y+
5
=0相切的直线的方程为 ( )
2
A.y=-3x或y=
1
x B. y=-3x或y=-
1
x C.y=-3x或y=-
1
x D. y=3x或y=
1
x
3333
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[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：设切线的方程为
y?kx,?kx?y?0.

又?
x?2
?
2
?
?
y?1
?
2
?
5
,?圆心为
?
2,?1
?
.

2< br>?
2k?1
k
2
?1
?
51
,?3k
2
?8k?3?0.?k?,k??3.

23
1
?y?x,或y??3x.

3
故选A.
31
?
由 解法2:由解法1知切点坐标为
(
1
,?
3
),
?
?
,
?
,
22
?
22
?
5
?
?
(x?2)?
?
y?1
?
?
?
?
?
,
??
x
?
?
2?
x
2
2


?2(x?2)?2
?
y? 1
?
y
x

?0,
x?2
?y
x
? ?.
y?1


1
?.
3
?k
1
? y
x

13
(,?)
22
??3,k
2
?y
x

1
x.
3
31
(,)
22
?y ??3x,y?
故选A.
例6.已知两抛物线
C
1
:y?x
2
?2x,C
2
:y??x
2
?a
,
a
取何值时
C
1
，
C
2
有且只有一条公切线，
求出 此时公切线的方程.
思路启迪：先对
C
1
:
y?x
2?
2
x
,
C
2
:
y??x
2
?a
求导数.
解答过程：函数
y
?
x
2
?
2x
的导数为
y
'
?2x?2
，曲线
C
1
在点P(
x
1
,x
1
2
?2x
1
)处的 切线方程为
2
2
y?(x
1
?2x
1
)?2(x< br>1
?2)(x?x
1
)
，即
y?2(x
1
?1)x?x
1
①
曲线
C1
在点Q
(x
2
,?x
2
2
?a)
的 切线方程是
y?(?x
2
?a)??2x
2
(x?x
2)
即

y??2x
2
x?x
2
2
?a
②
若直线
l
是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是
l
的方 程，故得
22
x
1
?1??x
2
,?x
1
?x
2
?1
，消去
x
2
得方程，
2x
1
?2x
1
?1?a?0

2
若△=
4?4?2( 1?a)?0
，即
a??
1
时，解得
x
1
??1
，此时点P、Q重合.
22
∴当时
a??
1
，C
1
和
C
2
有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为
y?x?
1
.
2
4
考点3 导数的应用
中学阶段 所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而
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有力的工具，特别是对于函 数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我
们解决求函数的极值、最值提供了一种简 明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解
的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方 法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．（2006年天津卷）函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如
图所示，则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识
的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间
(a,0)
内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8
.（2007年全国一）设函数
f(x)?2x
3
?3ax
2
?3bx?8c
在
x?1
及
y

y?f
?
(x)
b

a
O


x

x?2
时取得极值．
（Ⅰ）求a
、
b的值；
（Ⅱ）若对于任意的
x?[0，3]
，都有
f(x)?c
2
成立，求c的取值范围．
思路启迪：利用
函数
f(x)?2x
3
? 3ax
2
?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得 极值构造方程组求a
、
b的值．

解答过程：
（Ⅰ）
f
?
(x)?6x?6ax?3b
， < br>因为函数
2
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得 极值，则有
f
?
(1)?0
，
f
?
(2)?0．
即
?
?
6?6a?3b?0，

?
24? 12a?3b?0
．
f(x)?2x
3
?9x
2
?12x? 8c
，
解得
a??3
，
b?4
．
（Ⅱ）由（Ⅰ ）可知，
f
?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x? 2)
．
当
x?(01)，
时，
当
x?(1，2)
时，
f
?
(x)?0
；
f
?
(x)?0
；
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当
x?(2，3)
时，
f
?
(x)?0
．
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c
，又
f(0)?8c
，< br>f(3)?9?8c
． 所以，当
x?1
时，
则当
x?3?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8c
．
?
0，
3
?
，有
f(x)?c
2
恒成立，
?
0，
因为对于任意的
x?
所以
解得
9?8c?c
2
，
c??1
或
c?9
，
因此
c
的取值范围为
(??，?1)U(9，??)
．
例9.函数
y?2x?4?x?3
的值域是_____________.
思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质
求解，也可以 利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法
求解较为容易。
2x?4?0
得，
解答过程：由
?
x??2
，即函数的定义域为[?2,??)
.
?
?
x?3?0




y'?
112x?3?2x?4
，
??
2x?42x?322x?4?x?3
2x?8
，
2x?3? 2x?4
又
2x?3?2x?4?
?
当
x??2
时，
y'?0
，
?
函数
y?2x?4?x?3
在
(?2,? ?)
上是增函数，而
f(?2)??1
，
?y?2x?4?x?3
的 值域是
[?1,??)
.
例10．（2006年天津卷）已知函数
f
?
x
?
?4x
3
?3x
2
cos
??
3
cos
?
，其中
x?R,
?
为参数，且< br>16
0?
?
?2
?
．
（1）当时
cos< br>?
?0
，判断函数
f
?
x
?
是否有极值；
（2）要使函数
f(x)
的极小值大于零，求参数
?
的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数
?
，函数
f
?x
?
在区间
?
2a?1,a
?
内都是增函数，
求实数
a
的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的 单调性及极值、解不等式等基础
知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当
cos
?
?0
时，
f(x)?4x< br>3
，则
f(x)
在
(??,??)
内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）
f'(x)?12x
2
?6xcos
?
，令
f'(x)?0
，得
x
1
?0,x
2
?
cos?
.
2
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.


① 当
cos
?
?0
时，随x的变化
f'(x)
的符号及
f(x)
的变化情况如下表：
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x
f'(x)

(??,0)

0
0
极大值

(0,
cos
?

)
2
cos
?

2
(
cos
?
,??)

2
+
↗
-
↘
0
极小值
+
↗
f(x)

因此，函数
f(x)
在
x?
cos?
处取得极小值
f(
cos
?
)
，且
f(cos
?
)??
1
cos
3
?
?
3< br>?

2
2
2416
.
要使
f(
co s
?
)?0
，必有
?
1
cos
?
(cos
2
?
?
3
)?0
，可得
0?cos
??
3
.
2
2
44
由于
0?cos
?
?
3
，故
?
?
?
?
?
或
3
?
?
?
?
11
?
.
2
622 6
②当时
cos
?
?0
，随x的变化，
f'(x)
的符号及
f(x)
的变化情况如下表：
x

0

cos
?

cos
?

cos
?
(??,)(,0)

2
(0,??)

2
2
f'(x)

f(x)

+ 0
极大值
- 0
极小值
+
Z

]

16
Z

因此，函数
f(x)在x?0
处取得极小值
f(0)
，且
f(0)?
3
cos
?
.

若
f(0)?0
，则
cos
?
?0
.矛盾.所以当
cos
?
?0
时，
f(x)
的极小值不会大于零.
综上 ，要使函数
f(x)
在
(??,??)
内的极小值大于零，参数
?< br>的取值范围为
(
?
,
?
)?(
3
?
,
11
?
)
.
6226
（III）解：由（II）知，函 数
f(x)
在区间
(??,??)
与
(
cos
?< br>,??)
内都是增函数。
2
由题设，函数
f(x)在(2a?1,a )
内是增函数，则a须满足不等式组
2a?1?a

a?0
或
2a?1?a
1
2a?1?cos
?
2

由（II ），参数时
?
?(
?
,
?
)?(
3
?,
11
?
)
时，
0?cos
?
?
3< br>.要使不等式
2a?1?
1
cos
?
关于参数
?62
4
26
2
2
恒成立，必有
2a?1?
3< br>，即
4?3
?a
.
8
综上，解得
a?0
或
4?3
?a?1
.
8
所以
a
的取值范围是
(??,0)?[
4?3
,1)< br>.
8
例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1 )，其中a
?
-1，求f(x)的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求 法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想
分析问题解决问题的能力
[解答过程 ]由已知得函数
f(x)
的定义域为
(?1,??)
，且
f
'
(x)?
ax?1
(a??1),

x?1
（1）当?1?a?0
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)在
(?1,??)
上单调递减，
（2）当
a?0
时，由
f
'
(x)?0,
解得
x?
1
.

a
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f
'
(x)
、
f(x)
随
x
的 变化情况如下表
x

f
'
(x)

f(x)

1
(?1,)

a
1

a
1
(,??)

a
— 0
极小值
+
]

Z

从上表可知
当
x?(?1,
1
)
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)
在
(?1,
1
)
上单调递减.
aa
当
x?(
1
,??)
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)
在
(
1
,??)
上单调递增.
a
a
综上 所述：当
?1?a?0
时，函数
f(x)
在
(?1,??)
上单调递减.
当
a?0
时，函数
f(x)
在
(?1,1
)
上单调递减，函数
f(x)
在
(
1
,?? )
上单调递增.
a
a
例12．（2006年北京卷）已知函数
f( x)?ax
3
?bx
2
?cx
在点
x
0
处 取得
极大值
5
，其导函数
y?f'(x)
的图象经过点
(1 ,0)
，
(2,0)
，如图所示.
求：
（Ⅰ）
x
0
的值；
（Ⅱ）
a,b,c
的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与
方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能
力
[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在
?
??,1
?
上
上< br>f'
?
x
?
?0
,
故
f(x)
在上递增，在
(1,2)
上递减，
（-?，1 ），（2，+?）
因此
f
?
x
?
在
x?1
处取得极大值，所以
x
0
?1

（Ⅱ）
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c,

'
由
f（

1）=0，（f
'
2）＝0，（f'
1）＝5，
得
?
12a?4b?c?0,

?
?
a?b?c?5,
?
?
3a?2b?c?0,
f'
?< br>x
?
?0
，在
?
1,2
?
上
f'< br>?
x
?
?0
，在
?
2,??
?
解得
a?2,b??9,c?12.

解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
f
'
(x)?m(x?1)(x?2)?mx
2
?3mx?2m,

又
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c,

所以
a?
m
,b??
3
m,c?2m

3 2
f(x)?
m
3
3
2|
x?mx?2mx,

32
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由
f(1)?5，
即
m
?
3
m?2m ?5,
得
m?6,

32
所以
a?2,b??9,c?12

例13．（2006年湖北 卷）设
x?3
是函数
f
?
x
?
?
?
x
2
?ax?b
?
e
3?x
?
x?R
?
的一个极值点.
（Ⅰ）求
a
与
b
的关系式（用
a
表示
b
），并求
f
?
x
?
的单调区间；
25
?
x2
（Ⅱ）设
a?0
，
g
?
x
?
?
?
?
a?
?
e
.若存在
?
1
,
?
2
?
?
0,4
?
使得< br>f
?
?
1
?
?g
?
?
2
?
?1
成立，求
a
的取值范
?
4
?
围. < br>[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决
问题 的能力.
[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x
2
＋(a－2)x＋b
－
a ]e
3x
,
由f `(3)=0，得 －[3
2
＋(a－2)3＋b
－
a ]e
33
＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x
2
＋(a－2)x－3－2a
－
a ]e
3
－
－
x
－
－
＝－[x
2
＋(a－2)x－3
－
3a ]e
3x
＝－(x
－
3)(x＋a+1)e
3x
.
令f `(x)＝0，得x
1
＝3或x
2
＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0
，
那么a≠－4.
当a<－4时，x
2
>3＝x
1
，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0
，
f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x
2
<3＝x
1
，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0
，
f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调
递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)
，
f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e
3
<0
，
f (4)＝（2a＋13）e
1
>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e
3
，a＋6].
又
g(x)?(a
2
?
25
)e
x
在区间[0，4]上是增函 数，
4
－
－
且它在区间[0，4]上的值域是[a
2
＋< br>25
，（a
2
＋
25
）e
4
]，
44
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由于（a
2
＋
25
）－（a＋6）＝a
2－a＋
1
＝（
a?
1
）
2
≥0，所以只须仅须
4
42
（a
2
＋
25
）－（a＋6）<1且a>0 ，解得03
.
42
故a的取值范围是（0，
3
）.
2
例14 （2007年全国二）
已知函数
f(x)?
1
3
ax?bx
2
?(2?b)x?1

3
在
x?x
1
处取得极大值，在
x?x
2
处取得极小值，且
0?x1
?1?x
2
?2
．
（1）证明
a?0
；
（2）若z=a+2b,求z的取值范围。
2
[解答过程]求函数
f(x)
的导数
f
?
(x)?ax?2bx?2?b
．
（Ⅰ）由函 数
f(x)
在
x?x
1
处取得极大值，在
x?x
2
处取得极小值，知
x
1
，x
2
是
f
?(x)?0
的两个根．
所以
f
?
(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)

当
x?x
1
时，f(x)
为增函数，
f
?
(x)?0
，由
x?x
1
?0
，
x?x
2
?0
得
a?0
． < br>?
f
?
(0)?0
?
2?b?0
??
（Ⅱ） 在题设下，
0?x
1
?1?x
2
?2
等价于
?f
?
(1)?0
即
?
a?2b?2?b?0
． ?
f
?
(2)?0
?
4a?4b?2?b?0
???
2?b?0
?
化简得
?
a?3b?2?0
．
?
4a?5b?2?0
?
此不等式组表示的区域为平面
aOb
上三 条直线：
2?b?0，a?3b?2?0，

4a?5b?2?0
．
2)C(4，2)
． 所围成的
△ABC的内部，其三个顶点分别为：
A
?
，
?
，B(2，，
z
在这三点的值依次为
所以
z
的取值范围为
?




?
46
?
?
77
?
b
16
，6，8
．
7
?
16
?
，8
?
．
7
??
2
1
O
B(2，2)

?< br>46
?
A
?
，
?
?
77
?

C(4，2)

2 4
a

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小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性
规划有机结合．
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. （2007年重庆文）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比 为2：1，问该
长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考查目的 ]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决
实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为
h?
18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0＜x＜
?.
2
??
故长方体的体积为
V(x)?2x
2
(4 .5?3x)?9x
2
?6x
3
(m
3
)
3
(0＜x＜).

2
从而
V?(x)?18x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.
2
时，V′（x）＜0，
3
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而 最大体积V＝V′（x）＝9×1
2
-6×1
3
（m
3
）， 此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m
3
。
例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y
（升）关于行驶速度
x
（千米小时）的函数解析式可以表示为：
当0 ＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
y?
13
x
3
?x?8( 0?x?120).
已知甲、乙两地相距100千米.
12800080
（I）当汽 车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考查目 的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决
实际问题的能力.
[解答过程]（I）当
x?40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
?2.5
小时，
40
要耗没
(
13
?40
3??40?8)?2.5?17.5
（升）.
12800080
答：当汽车以4 0千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速度为
x
千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
小时，设耗油量为
h(x)
升， 依
x
题意得
h(x)?(
131001
2
80015
x
3
?x?8).?x??(0?x?120),

12800080x1 280x4
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x800x
3
?80
3
h'(x)??< br>2
?(0?x?120).

2
640x640x
令
h'(x)?0,
得
x?80.

当
x?(0,80)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；当
x?(80,120)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数.
当
x?80
时，
h(x)< br>取到极小值
h(80)?11.25.

因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1. y=e
sin
x
cos(sinx)，则y′(0)等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.2
2.经过原点且与曲线y=
x?9
相切的方程是( )
x?5
A.x+y=0或
x
+y=0
25










B.x－y=0或
x
+y=0
25
C.x+y=0或
x
－y=0
25
D.x－y=0或
x
－y=0
25
3.设f(x)可 导，且f′(0)=0,又
lim
f
?
(x)
=－1,则f(0)( )
x?0
x
A.可能不是f(x)的极值
C.一定是f(x)的极小值








B.一定是f(x)的极值
D.等于0
4.设函数f
n
(x)= n
2
x
2
(1－x)
n
(n为正整数)，则f
n< br>(x)在［0,1］上的最大值为( )
A.0 B.1 C.
(1?
2
)
n

2?n
D.
4(
n
)
n?1

n?2
5、函数y=(x
2
-1)
3
+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax
3
+3x
2
+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、
10
B、
13
C、
16
D、
19

3333
7.过抛物线y=x
2
上的点M（
1
,
1
）的切线的倾斜角 是( )
24
A、30
0
B、45
0
C、60
0
D、90
0

8.函数f(x)=x
3
-6bx+3b在（0，1） 内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，
1
）
2
9.函数y=x
3
-3x+3在[
?
3
,
5
]上的最小值是( )
22
A、
89
B、1
8
C、
33
D、5
8
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10、若f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c，且f(0 )=0为函数的极值，则( )
A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
11、已知函数y=2x3
+ax
2
+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）
1 2、方程6x
5
-15x
4
+10x
3
+1=0的实数解的 集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若f′(x
0
)=2,
l im
f(x
0
?k)?f(x
0
)
=_________.
k?0
2k
14.设f(x)=x(x+1)(x+2)… (x+n),则f′(0)=_________.
15.函数f(x)=log
a
(3x
2
+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.
16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大.
三、解答题
17.已知曲线C：y=x
3
－3x
2
+2x ,直线l:y=kx,且l与C切于点(x
0
,y
0
)(x
0
≠0)，求直线l的方程及切
点坐标.
18.求函数f(x)=p
2
x< br>2
(1-x)
p
(p∈N
+
)，在[0，1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a
2
上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数 .
20.求函数的导数
(1)y=(x
2
－2x+3)e
2
x
;
(2)y=
3
x
.
1?x
21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 ms
脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.
22.求和S
n
=1
2
+2
2
x+3
2
x
2
+…+n
2
x
n
－
1
,(x≠0,n∈N
*
).
的速度离开墙
23.设f (x)=ax
3
+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.
24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx
2
+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值；
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(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：a
b
＞b
a
.
26.设关于x的方程2x
2
－ax－2=0的两根为
α< br>、
β
(
α
＜
β
),函数f(x)=
4x?a
.
x
2
?1
(1)求f(
α
)·f(
β
)的值；
(2)证明f(x)是［
α
，
β
］上的增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［
α
，
β
］上的最大值与最小 值之差最小？


【参考答案】
一、1.解析：y′=e
sin
x
［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e
0
(1－0)=1.
答案：B
2.解析：设切点为(x
0
,y< br>0
),则切线的斜率为k=
y
0
,另一方面，y′=(
x?9
)′=
?4
x
0
x?5
(x?5)
2
,故
y′(x
0
)=k,即
yx
0
?9
?4
?
0
?
2
x
0
x
0
(x
0
?5)
(x
0
?5)
5
或x
0
2
+18x
0
+45=0得x
0
(1)
=－3,y
0
(2)< br>=－15,对应有
?4
(?3?5)
3
y
0
(1)< br>=3,y
0
(2)
=
?15?9
?
3
,因此 得两个切点A(－3，3)或B(－15,
3
),从而得y′(A)=
?15?55
=－1及
y′(B)=
?41

??
25
(?15?5)
2
,由于切线过原点，故得切线：l
A
:y=－x或lB
:y=－
x
.
25
答案：A
3.解析：由
lim
f
?
(0)
=－1,故存在含有
x
0的区间(a, b)使当x∈(a,b),x≠0时
x?0
f
?
(0)
＜0,于是当
x
x∈(a,0)
时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f (x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.
答案：B
4.解析：∵f′
n
(x)=2xn
2
(1－x)
n
－n
3
x
2
(1－x)
n
-1
=n
2
x(1－x)
n
-1
［2(1－x)－nx］,令f′
n
(x)=0,得
x
1=0,x
2
=1,x
3
=
2
,易知f
n
(x)在x=
2
时取得最大值，最大值f
n
(
2
)=n< br>2
(
2
)
2
(1－
2?n2?n2?n2?n
2
)
n
=4·(
2
)
n
+1
2?n2? n
.
答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C
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二、13.解析：根据导数的定义：f′(x
0
)=
lim
f[(x
0
?(?k)]?f(x
0
)
(这时
?x??k
)
k?0
?k
?
lim
f(x
0
?k)?f(x0
)1f(x
0
?k)?f(x
0
)
?
lim
[??]
k?0k?0
2k2?k

1f(x
0
? k)?f(x
0
)1
??
lim
??f
?
(x0
)??1.
2
k?0
?k2
答案：－1
14.解析 ：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+ xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！
答案：n!
15.解析：函数的定义域是x＞
1
或x＜－2,f′(x)=
3
log
a
e
.(3x
2
+5x－2)′=
(6x?5)?log
a
e
,
(3x?1)(x?2)
3x?5 x?2
2
①若a＞1,则当x＞
1
时，log
a
e＞0,6 x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(
1
,+∞ )上
33
是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函 数.
②若0＜a＜1,则当x＞
1
时，f′(x)＜0,∴f(x)在(
1
,+∞)上是减函数，当x＜－2时，
33
f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.
答案：(－∞,－2)
16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+
R
2
?x
2
,解得
x
2
=h(2R－h),于是内接三角形的面积为
S=x·h=
( 2Rh?h
2
)?h?(2Rh
3
?h
4
),
< br>从而
S
?
?
1
(2Rh
3
?h
4< br>)
?
2
(2Rh
3
?h
4
)
?
2
?
1h
2
(3R?2h)
?(2Rh
3< br>?h
4
)
2
(6Rh
2
?4h
3
) ?
2
(2R?h)h
3
1
1

.
令S′= 0,解得h=
3
R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：
2
h
(0,
3
R)
2
3
R
2
(
3
,2R)
2
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S′
S
+ 0
－
增函数 最大值 减函数
由此表可知，当x=
3
R时，等腰三角形面积最大.
2
答案：
3
R
2
三、17. 解：由l过原点，知k=< br>y
0
(x
0
≠0),点(x
0
,y
0
)在曲线C上，y
0
=x
0
3
－3x
0
2
+2x
0
,
x
0
∴
y
0
=x
0
2
－3x
0
+2,y′=3x
2
－6x+2,k=3x< br>0
2
－6x
0
+2
x
0
又k=
y
0
,∴3x
0
2
－6x
0
+2=x
02
－3x
0
+2,2x
0
2
－3x
0
=0,∴x
0
=0或x
0
=
3
.
x
0
2
由x≠0,知x
0
=
3
,
2
∴y
0
=(
3
)
3
－3(
3
)
2
+2·
3
=－
3
.∴k=
y
0
=－
1
.
2228
x
0
4
∴l方程y=－
1
x 切点(
3
，－
3
).
428
18.
f'(x)? p
2
x(1?x)
p?1
[2?(2?p)x]
,
令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=
2

2?p
,
.
在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，
f(
∴
[f(x)]
max
?4(
p
2?p

)
2?p
p
p?2

2
)?4()
2?p2?p
.
19.设双曲线上任一点P（x
0
，y
0
）,
k?y|
x?x
0
??
a
2
x
0
2< br> ,
??
a
2
x
0
2
∴ 切线方程
y?y
0
(x?x
0
)
,
令y=0，则x=2x
0

令x=0，则
y?
2a
.
x
0
2
∴
S?
1
|x||y|?2a
2
.
2
20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得
lny=ln(x
2< br>－2x+3)+lne
2
x
=ln(x
2
－2x+3)+2x ,
1(x
2
?2x?3)
?
2x?22(x
2
? x?2)
??y
?
?
2
?2?
2
?2?
2
yx?2x?3x?2x?3x?2x?3.
2(x
2
?x?2)2(x2
?x?2)
?y
?
?
2
?y?
2
? (x
2
?2x?3)?e
2x
.
x?2x?3x?2x?3
22x
?2(x?x?2)?e.

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(2)两端取对数，得
ln|y|=
1
(ln|x|－ln|1－x|),
3
两边解x求导，得
111?111
?y
?
?(?)?,
y3x1?x3x(1?x)
?y
?
?
111x
3
??y?.
3x(1?x)3x(1?x)1?x
315

21.解：设经时 间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－
25?9t
2
,当下端移开1.4 m时，t
0
=
1?4
?
7
,
?
1
2
又s′=－
(25－9t)
2
·(－9· 2t)=9t
2
1
1
25?9t
2
,
所以s′( t
0
)=9×
7
15
?
1
25?9?(
7
2
)
15
=0.875(ms).
22.解：(1)当x=1时， S
n
=1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=
1
n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x
2
+…+nx
n
-1
6
nn?1
=
1?(n?1)x?nx
,两边同乘以x,得
(1?x)
2
x+2x
2
+3x2
+…+nx
n
=
x?(n?1)x
S
n
=1
2
+2
2
x
2
+3
2
x
2
+…+n
2
x
n
-1
(1?x)
3
n?1
2
?nx
n?2
(1?x)
两边对x求导，得

2n2 n?12n?2
=
1?x?(n?1)x?(2n?2n?1)x?nx
.
23.解：f′(x)=3ax
2
+1.
若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.
若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾. 若a＜0,∵f′(x)=3a(x+
1
3|a|
)·(x－
1
3|a|
1
3|a|
),此时f(x)恰有三个单调区间.
)和(
1
3|a|
∴a＜0且单调减区间为(－∞,－
单调增区间为(－
1
3|a|
,+∞)，
,
1
3|a|
).
24.解：f′(x)=
a
+2bx+1,
x
(1) 由极值点的 必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且
a
+4b+1=0,
2
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解方程组可得a=－
2
,b=－
1
,∴f(x)=－2
lnx－
1
x
2
+x,
3636
(2)f ′(x)=－
2
x
-1
－
1
x+1,当x∈(0,1)时， f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′
33
( x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值
5
,在x=2处函数取得极大值
4< br>－
2
ln2.
633
25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证a
b
＞b
a
,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e ),则
f′(b)=lna－
a
.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且
a＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函
bb数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb ,∴a
b
＞b
a
.
证法二：要证a
b
＞b
a
,只要证blna＞alnb(e＜a＜b
)
,即证
(x)=
1 ?lnx
＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
x
2
,设f(x)=
lnx
(x＞e)，则f′
x
∴f(a)＞f(b) ,即
lna
?
lnb
,∴a
b
＞b
a
.
ab
26.解：(1)f(
α
)=
2
?8
a?16 ?a
,f(
β
)=
2
?8
a?16?a
,f(< br>α
)=f(
β
)=4,
(2)设
φ
(x)=2x< br>2
－ax－2,则当
α
＜x＜
β
时，
φ
(x )＜0,
(4x?a)
?
(x
2
?1)?(4x?a)(x
2
?1)
?
4(x
2
?1)?2x(4x?a)

f
?
(x)??
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
2
??
2(2x
2
?ax?2)2
?
(x)
??
2
?0

222
(x?1)(x?1)
.
∴函数f(x)在(
α
，
β
)上是增函数.
(3)函 数f(x)在［
α
，
β
］上最大值f(
β
)＞0,最小值f (
α
)＜0,
∵|f(
α
)·f(
β
)|=4, ∴当且仅当f(
β
)=－f(
α
)=2时，f(
β
)－f(
α
)=|f(
β
)|+|f(
α
)|取最小值4，此时a=0,f(
β
)=2.

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