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高考数学导数解法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 23:12
tags:高中数学导数视频

高中数学一对一学什么-高中数学竞赛知识点播

2020年10月7日发(作者:华叔阳)


高考中数学导数的解法

1、导数的背景:
(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.
如一物体的运动方程是
s?1?t?t2
,其中
s
的单位是米,
t
的单位是秒,那么物体在
t ?3
时的瞬时速度为_____(答:5米秒)
2、导函数的概念:如果函数
f(x )
在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一

x
0
,都对应着一个导数
f
?
?
x
0
?
,这样< br>f(x)
在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新
的函数叫做
f(x)
在开区间(a,b)内的导函数, 记作
f?
?
x
?
?y ??lim
?y
?x?0
?x
?lim
?x?0
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
?x

导函数也简称为导数。
提醒:导数的另一种形式
y
?
x?x
?f< br>?
(x
0
)?lim
f(x)?f(x
0
)

x?x
0
0
x?x
0
如(1)*
y?
?< br>x
2
f(x)?
?
?
ax?b
2
x?1
x?1

x?1
处可导,则
a?

b?

x?1
解:
y?f(x)?
?
x
x?1
?
?
?
ax?b
x?1

x?1

x?1
处可导,必连续
lim
?
f(x)?1

limf(x)?a?b

f(1)?1


a?b?1

?x?0
lim
?
?y?y
?2

lim
?
?a

?x?0
?x?x

a?2

b??1

(2)*已知f(x)在x=a处可导,且f′(a)=b,求下列极限:
(1)
lim
?h?0
f(a?3h)?f(a?h)

2h
f(a?h
2
)?f(a)
(2)
lim

?h?0
h
分析:在导数定义中,增量△x的形式是多种多样,但不论△x选择哪 种形式,△y也必
须选择相对应的形式。利用函数f(x)在
x?a
处可导的条件,可 以将已给定的极限式恒等变形
转化为导数定义的结构形式。
解:(1)
lim
h?0
f(a?3h)?f(a?h)

2h
1 11


f(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)
?lim
h?0h?0
2h2h
f(a?3h)?f(a)?f(a)?f( a?h)
?lim
3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a)
h?0
?lim?lim
2h
2
h?0
3h2
h?0< br>?h
31
?f'(a)?f'(a)?2b
22
?lim
(2 )
lim
h?0
?
f(a?h
2
)?f(a)
?< br>
f(a?h
2
)?f(a)
?lim
?
h
?
h?0
h
h
2
??
f(a?h
2
)?f (a)
?lim?limh?f'(a)?0?0
h?0h?0
h
2

说明:只有深刻理解概念的本质,才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价
变形,使 极限式转化为导数定义的结构形式。
可以证明:可导的奇函数的导函数是偶函数,可导的偶函数的导函数是奇函数
3、求
y?f(x)

x
0
处的导数的步骤:(1)求函数的改变量
?y? f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0< br>?
;(2)
求平均变化率
?y
f
?
x
0??x
?
?f
?
x
0
?
?y
?
;(3)取极限,得导数
f
?
?
x
0
?
?lim

V
x?0
?x
?xVx
也可(1)求
f
?
(x)
,(2)
f
?
(x
0
)
. < br>4、导数的几何意义:函数
f(x)
在点
x
0
处的导数的几何 意义,就是曲线
y?f(x)
在点
P
?
x
0,
f< br>?
x
0
?
?
处的切线的斜率,即曲线
y?f(x)< br>在点
P
?
x
0,
f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率是
f
?
?
x
0
?,相
应地切线的方程是
y?y
0
?f?
?
x
0
??
x?x
0
?

特别提醒:
(1)在求曲线 的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点
在曲线上时,此点处的切线的斜 率才是
f
?
(x
0
)
),还是过某点的切线:曲线上某点处
的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只
有一条切线, 也未必和曲线只有一个交点;
(2)求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。
如( 1)P在曲线
y?x
3
?x?
2
上移动,在点P处的切线的倾斜角为 α,则α的取值范围是
3
?
3
?
______(答:
[0, )?[,
?
)
);
24
(2)直线
y?3x?1
是曲线
y?x
3
?a
的一条切线,则实数
a
的值为____ ___(答:-3或1);
(4)曲线
y?x
3
?x?1
在点(1,3)
处的切线方程是______________(答:
4x?y?1?0
);
2 11


(5)已知函数
f(x)??x
3?ax
2
?4x
,又导函数
y?f
'
(x)
的 图象与
x
轴交于
①求
a
的值;②求过点
(0,0)
的曲线
y?f(x)
的切线方程(答:①1;②
y?4x(?k,0),(2k,0) ,k?0


y?
35

x

8
2
3
5、导数的运算法则:
uu
?
v?uv
?

(u?v)
?
?u< br>?
?v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv?
;()
?
?;
v
v
2
6.常见函数的导数公式:
(1)常数函数的导数为0,即
C??0
(C为常数);
(2)
?
x
n
?
??nx
n?1
?
n?Q
?
1
?
1
?1
与此有关的如下:
?
?x?? ?,
??
??
2
xx
??
?
??
?
1
?
1

x??
?
x
2
?
?
??
2x
?
(sinx)
?
?cosx

(cosx)
?
?-sinx;(e
x
)
?
?e
x
;

(a
x
)?a
x
lna;(lnx)
?
?
??
7.(理科)复合函数的导数:
y
?
x
? y
u
?u
x
;

11
x

;(l og
a
)
?
?log
e
a
;
xx
一般按以下三个步骤进行:
(1)适当选定中间变量,正确分解复合关系;
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);
(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数。
也就是说,首先,选定中间变量,分解复合 关系,说明函数关系y=f(μ),μ=f(x);然后
将已知函数对中间变量求导
(y'?
)
,中间变量对自变量求导
(
?
'
x
);最后求
y'
?
?
?
'
x
,并将中间
变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后,可以省略
中间过程。若 遇多重复合,可以相应地多次用中间变量。
如(1)已知函数
f(x)?mx
m?n
的导数为
f
?
(x)?8x
3
,则
m
n< br>?
_____(答:
1
);
4
(2)函数
y?(x ?1)(x?1)
2
的导数为__________(答:
y
?
?3 x
2
?2x?1
);
(3)若对任意
x?R

f
?
(x)?4x
3
,f(1)??1
,则
f(x)
是______(答:
f(x)?x
4
?2

8、函数的单调性:
(1)函数的单调性与导数的关系
①若
f
?
(x)?0
, 则
f(x)
为增函数;若
f
?
(x)?0
,则
f( x)
为减函数;若
f
?
(x)?0
恒成立,

f( x)
为常数函数;若
f
?
(x)
的符号不确定,则
f(x)
不是单调函数。可导函数y=f(x)
3 11


在某个区间内f
?
(x)?0
是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件
②若函 数
y?f(x)
在区间(
a,b
)上单调递增,则
f
?(x)?0
,反之等号不成立(等号不
恒成立时,反过来就成立);若函数
y?f (x)
在区间(
a,b
)上单调递减,则
f
?
(x)?0< br>,反之
等号不成立(等号不恒成立时,反过来就成立)。
提醒:导数求单调性可用于求函数值域,证明不等式(不等式一端化为0)
如(1)函数f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
,其中
a,b,c
为实数,当
a
2
?3b?0
时,
f(x)
的单调< br>性是______(答:增函数);
(2)设
a?0
函数
f(x)? x
3
?ax

[1,??)
上单调函数,则实数
a
的取值范围______(答:

0?a?3

(3)已知函数
f (x)??x
3
?bx(b
为常数)在区间
(0,1)
上单调递增, 且方程
f(x)?0
的根
都在区间
[?2,2]
内,则
b< br>的取值范围是____________(答:
[3,4]
);
(4)已知< br>f(x)?x
2
?1

g(x)?x
4
?2x
2
?2
,设
?
(x)?g(x)?
?
f(x)
, 试问是否存在实数
?
,使
?
(x)

(??,?1)
上是减函数,并且在
(?1,0)
上是增函数?(答:
?
?4

(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求
f
?
(x)
(注意 定义域);(2)求方程
f
?
(x)?0
的根,设根为
x
1
,x
2
,Lx
n
;(3)
x
1
,x
2
,Lx
n
将给定区间分成n+1个子区间(在此有一个比较根
的大小问题 ),再在每一个子区间内判断
f
?
(x)
的符号,由此确定每一子区间的单调 性。
如设函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx

x??1,1
处有极值,且
f(?2)?2
,求
f(x)
的单调区间。
(答:递增区间(-1,1),递减区间
?
??,?1
?,(1,??)

(3)利用导数函数的单调性确定参变数(已知函数
f(x)
的单调性)
转化为
f
?
(x)?0或f
?
(x)?0
恒成立
7、函数的极值:
(1)定义:设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义,如果对
x
0
附近所有的点,都有
f(x)?f(x0
)

就说是
f(x
0
)
函数
f(x )
的一个极大值。记作
y
极大值

f(x
0
),如果对
x
0
附近所有的点,都有
f(x)?f(x
0
)
,就说是
f(x
0
)
函数
f(x)
的一个极小值 。记作
y
极小值

f(x
0
)
。极大值和极小值统
4 11


称为极值。
(2)求函数
y?f(x)
在某个区间上的极值的步骤:(i)求导数
f
?
(x)
;(ii)求方程< br>f
?
(x)?0
的根
x
0
;(iii)检查
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
的根
x
0
的左右的符号:“左正右负”
?
f(x)

x
0

取极大值;“左负右正”
?
f(x)

x
0处取极小值。
注:导数为零的点未必是极值点,
特别提醒:
(1)
x
0
是极值点的充要条件是
x
0
点两侧导数异号,而不仅是
f?
?
x
0
?
=0,
f?
?
x
0
?
=0是
x
0
为极值点的必要而不充分条件。
(2)给 出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑
f
?
(x
0
)?0
,又要考虑检验“左正右负”
(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记! (3)第二步中蕴含着比
较根的大小问题,第三步中通常总结成表.
如(1)函数
y?(x
2
?1)
3
?1
的极值点
A.极大值点
x??1
B.极大值点
x?0

C.极小值点
x?0
D.极小值点
x?1
(答:C); (2)已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?(a?6)x?1< br>有极大值和极小值,则实数
a
的取值范围是
_____(答:
a?6

a??3
);
(3)函数f
?
x
?
?x
3
?ax
2
?bx?a
2
在x?1
处有极小值10,则a+b的值为____(答:-7);
(4 )已知函数
f(x)?x
3
?bx
2
?cx?d
在区间[- 1,2 ]上是减函数,那么b+c有最___值___
(答:大,
?
15

2
8、函数的最大值和最小值: < br>(1)定义:函数
f(x)
在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点 值
中的“最大值”;函数
f(x)
在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值 与其端点值
中的“最小值”。
(2)求函数
y?f(x)
在[
a, b
]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数
y?f(x)
在(
a,b
)内的极值(极大值或极小值);
(2)将
y?f(x)
的各极值与
f(a)

f(b)
比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个
5 11


为最小值。
注:第一步中其实不必求出极值,只要找到导数为零点处的 函数值即可;闭区间上的连续函
数必有最值
如(1)函数
y?2x
3
?3x
2
?12x?5
在[0,3]上的最大值、最小值分别是______
(答:5;
?15
);
(2)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器 的框架,如果所制作容器的底面的一边比
另一边长0.5m。那么高为多少时容器的容积最大?并求出它 的最大容积。(答:高为1.2米时,
9
容积最大为
cm
3

5
y
特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时,要
注 意列表!(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),
研究函数的性态,数形结合解 决方程不等式等相关问题。
O
y?f
?
(x)
a
b x
如(1)
f
?
(x)

f(x)
的导函数,< br>f
?
(x)
的图象如右图所示,则
f(x)
的图象只可能是
( 答:D )
y
y


y y
O
a
b
A、
x
O
a

b
B、
x
O
a
b
C、
x
O
a
b
D、
x


(2)方程
x< br>3
?6x
2
?9x?10?0
的实根的个数为______(答:1) ;
(3)已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?x
,抛物线
C:x
2
?y
,当
x?(1,2)
时,函数
f(x)
的图象在抛
物线
C:x
2
?y
的上方,求
a
的取值范围(答:
a??1
)。
9.定积分
(1) 定积分的定义:分割—近似代替—求和—取极限
?
b
a
f(x)dx=li m
?
f(
?
i
)?x
i

n??
i=1
n
(2)定积分几何意义:

?
f(x)dx (f(x)?0)
表示y=f(x)与x轴,x=a,x=b所围成曲边梯形的面积
a
b

?
f(x)dx (f(x)?0)
表示y=f(x)与x轴,x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数
a
b
6 11


(3)定积分的基本性质:

?
kf(x)dx=k
?
f(x)dx

aa< br>bb

?
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx =
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx

aaa
bbb

?
f(x)dx=
?
f (x)dx+
?
f(x)dx

aac
bcb
(4)求定积分的方法:
①定义法:分割—近似代替—求和—取极限
②利用定积分几何意义

(x)=f(x)
③微积分基本定理
?
f(x)?F(b)-F(a),其中F
b
a











小学二(2)班班规

一、 安全方面
1、 每天课间不能追逐打闹。
2、 中午和下午放学要结伴回家。
3、 公路上走路要沿右边走,过马路要注意交通安全。
4、 不能在上学路上玩耍、逗留。
二、学习方面
7 11


1、每天到校后,不允许在走廊玩耍打闹,要进教室读书。
2、每节课铃声一响,要快速坐好,安静地等老师来上课。
3、课堂上不做小动作,不与同桌说悄悄话, 认真思考,积极回答问题。
4、养成学前预习、学后复习的好习惯。每天按时完成作业,保证字迹工整,
卷面整洁。
5、考试时做到认真审题,不交头接耳,不抄袭,独立完成答卷。
三、升旗排队和两操方面
1、升旗时,要快速出教室排好队,做到快、静、齐,安静整齐地排队走出
课室门,班长负责监 督。
2、上午第二节后,快速坐好,按要求做好眼保健操。
3、下午预备铃声一响,在座位上做眼保健操。
四、卫生方面
1、每组值日生早晨7:35到校做值日。
2、要求各负其责,打扫要迅速彻底,打扫完毕劳动工具要摆放整齐。
3、卫生监督员(剑锋,锶妍,炜薪)要按时到岗,除负责自己的值日工作
外,还要做好记录。
五、 一日常规
1、每天学生到齐后,班长要检查红领巾。
2、劳动委员组织检查卫生。
3、 每天负责领读的学生要督促学生学习。
4、 上课前需唱一首歌,由文娱委员负责。
5、 做好两操。
6、 放学后,先做作业,然后帮助家长至少做一件家务事。
7、 如果有人违反班规,要到老师处说明原因。
班训:

8 11


坐如钟 站如松 快如风 静无声


班规:

课堂听讲坐如钟,精神集中认真听;

排队升旗站如松,做操到位展雄风;

做事迅速快如风,样样事情记得清;

自习课上静无声,踏实学习不放松;

个人努力进步快,团结向上集体荣;

我为领巾添光彩,标兵集体记我功。




加分标准


1
2
3
考核项目
单元考试满分
单元考试85分以上
课堂小测满分
加分值
+2
+1
+1
+3
+2
9 11
备注





4 期中、期末考试满分
5 在红领巾广播站投稿


一次
6 在校级活动中获奖 +5
+3

7 作业十次全对得一颗

8 课堂上得到表扬 +1
+1
+2



9 班干部工作认真负责
10 做好事、有利于班集体
和学校的事
11 进步比较明显 +2
本组值日生
每人加2分


12 连续一周该组值日卫
生达标






扣分标准



考核项目 扣分值






10 11
备注
1 没交作业、不做晚作业 -1

2 忘带书本、学具
3 迟到
-1

-1

4 在课堂上被老师点名 -2
5 不穿校服,不戴红领巾 -1

6 吃零食、带钱、带玩具 -2


7 说脏话、打架
8 座位周围有垃圾
-3

-2

请家长,写保证书

9 课间操、眼保健操不认-1
真做
10 升旗时违反纪律 -2



11 来学校不进教室,在走-1

廊聊天打闹
12 体育课打闹说话、排队-2

不整齐

注:每人基本分60分起,学期末核算总分,作为学期评先依据。






11 11

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