高考数学导数专题1：导数的概念及运算

导数的概念及运算
1．导数的概念及几何意义
(1)了解导数概念的实际背景．
(2)理解导数的几何意义．
2．导数的运算
(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y ＝的导数．
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
一 导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f (x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′
(x0) 或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0 ＋Δx)－f(x0)).
(2)导数的几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′( x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时
速度就是位移函数 s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数：
称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数．
易错点
1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
二 导数的运算
1．基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则
2．导数的运算法则
(1)[
f
(
x
)±
g
(
x
)]′＝
f
′(
x
)±
g
′(
x
)． (2)[
f
(
x
)·
g
(
x
)]′＝
f
′(
x
)
g
(
x
)＋
f
(
x
)
g
′(< br>x
)．
(3)
?
?
fx
?
′＝
f
′
xgx
－
fxg
′
x
(
g
(< br>x
)≠0)．
?
2
[
gx
]
?
g x
?
3．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x
的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积．
易误提醒
1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号 ，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cos x)′
＝－sin x.
2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.
3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆
易误提醒 < br>1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(
x
)′＝
nx< br>nn
－1
中
n
≠0且
n
∈Q，(cos
x
)′＝－sin
x
.
2．注意公式不要用混，如(
a
)′＝
a
ln
a
，而不是(
a
)′＝
xa
xxxx
－1
.

3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
题型一 导数的概念
1.已知函数f(x)＝2ln 3x＋8x， 求
Δx?0
lim
f(1－2Δx)－f(1)
Δx
的值.
解析
Δx?0
lim
f(1－2Δx)－f(1)
Δx
＝－2Δx?0
lim
f(1－2Δx)－f(1)
－2Δx
＝－2f′(1) ＝－20.
Δy
【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx→0时， 平均变化率
Δx
t2
2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(mi n)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝，则
100
在时刻t＝10 min的降雨强度为( )
1
A. mmmin
5
1
C. mmmin
2














1
B. mmmin
4
D.1 mmmin
【解析】选A.
2
3．(2 015·陕西一检)已知直线
y
＝－
x
＋
m
是曲线
y
＝
x
－3ln
x
的一条切线，则
m
的值为( )
A．0 B．2 C．1 D．3
33
2
解析： 因为直线
y
＝－
x
＋
m
是曲线
y
＝
x
－3ln
x
的切线，所以令
y
′＝2
x
－＝ －1，得
x
＝1，
x
＝－
x
2
(舍)，即切点为( 1,1)，又切点(1,1)在直线
y
＝－
x
＋
m
上，所以
m
＝2，故选B.
4．(2015·洛阳期末)函数
f
(
x
)＝esin
x
的图象在点(0，
f
(0))处的切线的倾斜角为( )
A.
C.
3π

4
π

4
xx
x
π
B.
3
π
D.
6
解析：因为
f
′(
x
)＝esin
x
＋ecos
x
，所以
f
′(0)＝1，即曲线
y
＝
f
(
x
)在点(0，
f
(0))处的切线的< br>斜率为1，
题型二 导数运算
1. 求下列函数的导数.
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
3
(3)y＝
x
.
1－x
【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.
1
(1)y′＝(x＋1＋x2)′
x＋1＋x2
1x1
＝(1＋)＝.
x＋1＋x21＋x21＋x2
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.

1x
)
(3)y′＝(
31－x
1x
)＝(
31－x
2
?
2
3
?
2
3
1－x＋x

(1－x)2
1

(1－x)2
4
?
1
?
33
＝x (1－x)
3
2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4 )，(2,0)，(6,4)，
则f(f(0))＝（ ）；
Δx?0
lim
f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝（ ） (用数字作答).


【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由导数定义
Δx?0lim
f(1＋Δx)－f(1)
Δx
＝f′(1).
当0≤x≤2时，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
3．(20 15·济宁模拟)已知
f
(
x
)＝
x
(2 014＋ln
x
)，
f
′(
x
0
)＝2 015，则
x
0
＝( )
A．e
C．ln 2
2
B．1
D．e
1
解析：由题意可知
f
′(
x
)＝2 014＋ln
x
＋
x
·＝2 015＋ln
x
．由
f
′(
x
0
)＝2 015，得ln
x
0
＝0，解
x
得
x
0
＝1.
答案：B
4．若函数
f
(
x
)＝ln
x
－
f
′(－1)
x
＋3
x
－4，则
f
′ (1)＝________.
1
解析：∵
f
′(
x
)＝－ 2
f
′(－1)
x
＋3，
2
x
∴
f′(－1)＝－1＋2
f
′(－1)＋3，
解得
f
′(－1)＝－2，∴
f
′(1)＝1＋4＋3＝8.
答案：8
5．下列求导运算正确的是( )
1
?
1
?
A.
?
x
＋
?
′＝1＋
2
?
x
?
x
B．(log
2
x
)′＝
2
1

x
ln 2
C．(3)′＝3log
3
e
xx
D．(
x
cos
x
)′＝－2sin
x
11
?
1
?
xx
22
解析：选B
?x
＋
?
′＝1－
2
；(log
2
x
) ′＝；(3)′＝3ln 3；(
x
cos
x
)′＝2
x
cos
x
－
x
sin
x
，
xx
ln 2
?
x
?
故选B.

6．函数
f
(
x
)＝(
x
＋2
a
)(
x
－
a
)的导数为( )
A．2(
x
－
a
)
C．3(
x
－
a
)
23
22
222
B．2(
x
＋
a
)
D．3(
x
＋
a
)
23
22
22
解析：选C ∵
f
(
x
)＝ (
x
＋2
a
)(
x
－
a
)＝
x< br>－3
ax
＋2
a
，
∴
f
′(
x
)＝3(
x
－
a
)．
6．函数
f
(
x
)＝
ax
＋3
x
＋2，若
f
′(－1)＝4，则
a
的值是( )
A.
C.
19

3
13

3
2
32
22
16
B.
3
10
D.
3
解析：选D 因为
f
′(
x
)＝3
ax
＋6
x
，
所以
f
′(－1)＝3
a
－6＝4，
10
所以
a
＝.
3
4．(2016·天津高考)已知函数
f
(
x
)＝(2
x
＋1)e，
f
′(x
)为
f
(
x
)的导函数，则
f
′(0)的值 为________．
解析：因为
f
(
x
)＝(2
x
＋1)e，
所以
f
′(
x
)＝2e＋(2
x
＋1)e＝(2
x
＋3)e，
所以
f
′(0)＝3e＝3.
答案：3
题型三 导数的几何意义
导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常 出现在解答题中前几问，难度较
低．归纳起来常见的命题探究角度有：
1．求切线方程问题．
2．确定切点坐标问题．
3．已知切线问题求参数．
4．切线的综合应用．
求切线方程问题
ln
x
－2
x
1．(2015·云南一 检)函数
f
(
x
)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )
0
x
x
xxx
x
已知切线求参数范围
3．(2 015·河北五校联考)若曲线
C
1
：
y
＝
ax
(
a
>0)与曲线
C
2
：
y
＝e存在公共切线，则< br>a
的取值范
围为( )
2
x
?
e
?A.
?
，＋∞
?

?
8
?
?
e
?
C.
?
，＋∞
?

?
4
?
2
2
2
?
e
?
B.
?
0，?

?
8
?
?
e
?
D.
?< br>0，
?

?
4
?
x
2
2
2
解析：结合函数
y
＝
ax
(
a
>0)和
y
＝e的图象可知，要使曲线
C
1
：
y
＝
ax
(
a
>0)与曲线
C
2
：
y
＝e存
ee ·
x
－e·2
x
在公共切线，只要
ax
＝e在(0，＋∞) 上有解，从而
a
＝
2
.令
h
(
x
)＝2
(
x
>0)，则
h
′(
x
)＝
4< br>2
x
x
e
xxx
2
x
xxx

22
x
－2e
x
ee
＝，令
h
′(
x
)＝0，得
x
＝2，易知
h
(
x
)
m in
＝
h
(2)＝，所以
a
≥.
x
3
44
答案：C
切线的综合应用
4．(2015·重 庆一诊)若点
P
是函数
f
(
x
)＝
x
－l n
x
图象上的任意一点，则点
P
到直线
x
－
y< br>－2
＝0的最小距离为( )
A.
2

2
B.2
D．3
2
1
C.
2
1< br>2
解析：由
f
′(
x
)＝2
x
－＝1得x
＝1(负值舍去)，所以曲线
y
＝
f
(
x
) ＝
x
－ln
x
上的切线斜率为1
x
|1－1－2|
的点是(1,1)，所以点
P
到直线
x
－
y
－2＝0的最 小距离为＝2，故选B.
2
答案：B

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面：
(1)已知切点A
(
x
0
，
f
(
x
0
))求 斜率
k
，即求该点处的导数值：
k
＝
f
′(
x0
)．
(2)已知斜率
k
，求切点
A
(
x< br>1
，
f
(
x
1
))，即解方程
f
′ (
x
1
)＝
k
.
(3)已知过某点
M
(
x
1
，
f
(
x
1
))(不是切点)的切线 斜率为
k
时，常需设出切点
A
(
x
0
，
f
(
x
0
))，利用
k
＝
fx
1
－
fx
0
求解．
x
1
－
x
0

易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误
15
32
1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线
y
＝
x
和
y
＝
ax
＋
x
－9都相切，则
a
等于( )
4
25
A．－1或－
64
21
B．－1或
4

725
C．－或－
464
32
7
D．－或7
4
[解析] 因为
y
＝
x
，所以
y
′＝3
x
，
设过(1,0)的直线与
y
＝
x
相切于点(
x
0
，
x
0
)，
则在该点处的切线斜率为
k
＝3
x
0
，
3
3223
所以切线方程为
y
－
x
0
＝3
x
0
(
x
－
x
0
)，即
y
＝3
x
0
x
－2
x
0
，又(1,0)在切线上，则
x0
＝0或
x
0
＝，当
2
2
33
x0
＝0时，由
y
＝0与
y
＝
ax
2
＋
x
－9相切，可得
a
＝－，
3272715
2
当
x
0
＝时，由
y
＝
x
－与
y
＝< br>ax
＋
x
－9相切，可得
a
＝－1，所以选A.
2444
[答案] A
2.(2015·兰州一模)已知直线
y
＝ 2
x
＋1与曲线
y
＝
x
＋
ax
＋
b
相切于点(1,3)，则实数
b
的值为
________．
解析 ：因为函数
y
＝
x
＋
ax
＋
b
的导函数为
y
′＝3
x
＋
a
，所以此函数的图象在点(1,3)处的切 线斜
?
?
3＋
a
＝2，
率为3＋
a
，所以
?
?
3＝1＋
a
＋
b
，
?
32< br>3
15
4
25
64

?
?
a
＝－1，
解得
?
?
b
＝3.
?


答案：3
[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误．
[防范措施]
对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式， 求导法则及导数的计算
原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选 择相应的方法求解．

随堂测试
1、已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f( 1))处的切线方程x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( )
1
A.

2
3
C．

2
【答案】D
1
【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1, f ′(1)＝
.∴f(1)＋
2
2f ′(1)＝2.故选D.
2、曲线y＝sin x＋e
x
在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0
C．2x－y＋1＝0
【答案】C
【解析】y′＝cos x＋e
x
，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
B．x－2y＋2＝0
D．3x－y＋1＝0
B．1
D．2

3
、
.
已知奇函数
y=f(x)
在区间
(-∞,0]
上的解析式为
f(x)=x
2
+x,
则曲线
y =f(x)
在横坐标为
1
的点处的切线方程
是
(

)
A.x+y+1=0
C.3x-y-1=0
【答案】
B


【解析】由函数
y=f(x)
为奇 函数
,
可得
f(x)
在
[0,+∞)
内的解析式为
f(x)=-x
2
+x,
故切点为
(1,0).
因为
f'(x)=-2x+1,
所以
f'(1)=-1,
故切线方程为
y=-(x-1),
即
x+y-1=0.
1
4、已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f ′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是( )
2
2
A．－

3
4
C．

3
【答案】D
－6
3112tan x
【解析】因为f ′(x)＝cos x＋sin x＝
sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝
＝＝
.< br>22
1－tan
2
x1－9
4
故选D.
1
5、过函数f(x)＝x
3
－x
2
图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜 角的范围为( )
3
3π
0，
?

A.
?4
??
3π
?
C.
?
?
4
，π
?

【答案】B
π
【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x )＝x
2
－2x＝(x－1)
2
－1≥－1，即k＝tan α≥－1，解得 0≤α<
2
或
π3π
3π
0，
?
∪
?，π
?
.故选B.
≤α<π，即切线倾斜角的范围为
?
?2
??
4
?
4
π3π
0，
?
∪
?
，π
?
B．
?
?
2
??
4
?
π3π
?
D．
?
?
2
，
4
?< br>
4
B．－
3
3
D．
4
B.x+y-1=0
D.3x-y+1=0
ln x
6．(2015·长春二模)若函数f(x)＝
，则f′(2)＝________.
x
1－ln x1－ln 2
解析：由f′(x)＝，得f′(2)＝
.
x
2
4
1－ln 2
答案：
4
7．如果f′(x )是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f(x)上任意一
点的切线的倾斜角α的取值范围是________．
解析：根据已知可得f′(x)≥ 3，即曲线y＝f(x)上任意一点的切线的斜率k＝tan α≥ 3，结合

ππ?
正切函数的图象，可知α∈
?
?
3
，
2
?< br>.
ππ
?
答案：
?
?
3
，
2?

8．已知函数f(x)＝x
3
＋(1－a)x
2
－ a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f ′(x)＝3x
2
＋2(1－a)x－a(a＋2)．
?
?
f?0?＝b＝0，
(1)由题意得
?

?
f ′?0?＝－a?a＋2?＝－3，
?

解得b＝0，a＝－3或1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f ′(x)＝3x
2
＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴ Δ＝4(1－a)
2
＋12a(a＋2)>0，即4a
2
＋4a＋1>0，
1
∴a≠－
.
2
11
－∞，－
?
∪?
－，＋∞
?
. ∴a的取值范围是
?
2
??
2
??
1
94．(2016·临沂一模)已知函数f(x)＝x
3
－ 2x
2
＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
3
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x
2
－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)
2
－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
k≥－1，
?
?
则由 (2)中条件并结合(1)中结论可知，
?
1

－≥－1，
?
?
k
解得－1≤k<0或k≥1，
故由－1≤x
2
－4x＋3<0或x
2
－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．