高中数学导数及其应用知识点

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导数知识点归纳及其应用
●知识点归纳
一、相关概念
1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x在x
0< br>处有增量
?x
，那么函数y相应地有增量
?y
=f（x
0+
?x
）
－f（x
0
），比值
?y
叫做函数y =f（x）在x
0
到x
0
+
?x
之间的平均变化率，即?x
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
=。如果当
?x?0
时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x
0
?x
?x?x
处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x
0
处的导数，记作 f’（x
0
）或y’|
x?x
0
。
即f’（x
0
）=
lim
说明：
（1）函数f（x）在点 x
0
处可导，是指
?x?0
时，
就说函数在点x
0
处不可导，或说无导数。
（2）
?x
是自变量x在x
0
处的改变量 ，
?x?0
时，而
?y
是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x
0
处的导数的步骤：
① 求 函数的增量
?y
=f（x
0
+
?x
）－f（x
0< br>）；
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)?y
=
lim
。
?x?0
?x
?x
?y?y
有极限。如果不存在极限，
?x?x
② 求平均变化率
?y
f(x< br>0
??x)?f(x
0
)
=；
?x
?x
③ 取极限，得导数f’(x
0
)=
lim
?y
。
?x?0
?x
例：设f(x)= x|x|, 则f′( 0)= .
[解析]：∵
lim
?x?0
f(0??x)?f(0)f(?x)|? x|?x
( 0)=0
?lim?lim?lim|?x|?0
∴f′
?x?0?x?0?x?0
?x?x?x
2．导数的几何意义
函数y =f（x）在点x
0
处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x
0
， f（x
0
））处的切线
11

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的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x
0
，f（x
0
））处的切线的斜率是f’（x
0
）。
相应地，切线方程为y－y
0
=f（x
0
）（x－x
0
）。
例：在函数
y?x?8x
的图象上，其切线的倾斜角小于
是
A．3

B．2
2
3

?
的点中，坐标为整数的点的个数
4
( )
D．0

C．1
[解析]：切线的斜率为
k?y?3x?8

又切线的倾斜角小于
故
0?3x
2
?8?1

解得：
?3?x??
?
，即
0?k?1

4
88
或?x?3

33
故没有坐标为整数的点

3.导数的物理意义
如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v =
s
?
（t）。
如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v′（t）。
例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶
路程
s
看作时间
t
的函数，其图像可能是（ ）
s

s

s

s

O

A．
答：A。
t

O

B．
t

O

C．
t

O

D．
t


练习：已知质点M按规律
s?2t?3
做直线运动（ 位移单位：cm，时间单位：s）。
2
?s
；
?t
?s
（2） 当t=2，
?t?0.001
时，求；
?t
（1） 当t=2，
?t?0.01
时，求
22

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（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。
答案：（1）
cm
s
（2）
cm
s
；（3）8
c m
s

二、导数的运算
1．基本函数的导数公式:
①
C
?
?0;
（C为常数）
②
x
n
??
?
?nx
n?1
;

③
(sinx)
?
?cosx
;
④
(cosx)
?
??sinx
;
xx
⑤
(e)
?
?e;

⑥
(a)
?
?alna
;
xx
1
;
x
1
⑧
?
log
a
x
?
?
?log
a
e
.
x
⑦
?
lnx
??
?
例1：下列求导运算正确的是 ( )
A．(x+
)
?
?1?
xx
1
x
1
1
B．(log
2
x)′=
2
xln2
x
2
C．(3)′=3log
3
e D． (xcosx)′=-2xsinx


例2：设
f
0
(
x
) ＝
sinx< br>，
f
1
(
x
)＝
f
0
′(
x
)，
f
2
(
x
)＝
f
1
′(< br>x
)，…，
f
n＋1
(
x
) ＝
f
n
′(
x
)，
n
∈N，
则
f
2005< br>(
x
)＝ ( )
A．
sinx
B．－
sinx
C．cos
x
D．－
cosx



2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (
u?v)?u?v.

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
33

'''

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函数乘以第二个函数的导数，即：
(uv)?uv?uv.

若C为常数,则
(Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu
.即常数与函数的积的导数等于常数乘
以函数 的导数：
(Cu)?Cu.

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母 的积，减去分母的导数与分子的积，
''
'''''
'''
?
u'v ?uv'
?
u
?
再除以分母的平方：
??
?
（v< br>?
0）。
2
v
?
v
?

例：设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
f
?
(x)g( x)?f(x)g
?
(x)
＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的 解集是 ( )
A． (-3,0)∪(3,+∞) B． (-3,0)∪(0, 3)
C． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)
[解析]：∵当x＜0时,
f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
＞0 ，即
[f(x)g(x)]?0

∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，
又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0
故当
x??3
时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，
当x>0时，f(x)g(x)为增函数，且f(3)g(3)=0
故当
0?x?3
时，f(x)g(x)＜0
故选D

3.复合函数的导数
形如y=f
?
?
(x
)
?< br>的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：
分解——>求导——>回代。
法则：y＇|
X
= y＇|
U
·u＇|
X
或者< br>f
?
[
?
(x)]?f
?
(
?
)*
?
?
(x)
.

练习：求下列各函数的导数：
（1）
y?
x?x
5
?sinx
x
2

;< br> （2）
y?(x?1)(x?2)(x?3);

44

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xx
?
（3）
y??sin
?
?
1?2cos
2
?
;
（4）
y?
2
?
4
?
1
1?x
?
1
1?x
.



三、导数的应用
1.函数的单调性与导数
'
（1）设函数
y?f(x)
在某个区间 （a，b）可导，如果
f
(x)
?0
，则
f(x)
在此区间 上为
'
增函数；如果
f
(x)?0
，则
f(x)
在 此区间上为减函数。
'
（2）如果在某区间内恒有
f
(x)?0
， 则
f(x)
为常数。
例：函数
f(x)?x?3x?1
是减函数的区间为
A．
(2,??)
B．
(??,2)
C．
(??,0)


2．极点与极值：
D．（0，2）
32
( )
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值 点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜
率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 ，右侧为正；
32
例：函数
f(x)?x?ax?3x?9,
已知
f(x)在x??3
时取得极值，则
a
= ( )
A．2


3．最值：
B．3 C．4 D．5
在区间[a，b]上连续的函数f
(x)
在[a，b]上必有最大值与最小值 。但在开区间（a，b）内
连续函数f（x）不一定有最大值，例如
f(x)?x,x?(?1 ,1)
。
3
求最值步骤：
①求函数?
(x)
在(a，b )内的极值；②求函数?
(x)
在区间端点的值?(a)、?(b)；
③将函数?< br>(x)
的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小
的是最小值 。

55

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说明：< br>（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函
数值中的最大 值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。
（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区 间的函数值得出来的，函数的极值是比较极
值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最 值只有一个，极值只能在区间
内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极 值，极值可能成
为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数
f(x )?x
3
?3x?1
在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 .

●经典例题选讲
例1. 已知函数
y?xf
?
(x)
的图象如图所示（其中
f
?< br>(x)
是函数
f(x)
的导函数），下面
四个图象中
y?f( x)
的图象大致是 ( )



例2.设
f(x)?ax?x
恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

例3. 已知函数
f(x)?x?bx?cx?d
的图象过点P（0,2）,且在点M
(?1,f(?1))
处的
切线方程为
6x?y?7?0
.
（Ⅰ）求函数
y?f(x)
的解析式；
32
3
66

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（Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调区间.


例4. 设 函数
f
?
x
?
?x
3
?bx
2
? cx(x?R)
，已知
g(x)?f(x)?f
?
(x)
是奇函数。
（Ⅰ）求
b
、
c
的值。 （Ⅱ）求
g(x)
的单调区间与极值。

例5. 已知f（x）=
x?ax?bx?c
在x=1，x=
?
（1）求a、b的值。
（2）若对
x?[?1,2]
，都有
f(x)?

例6. 已知
x?1
是函数
f(x)?mx?3(m?1)x?nx?1
的一个极值点 ，其中
32
32
2
时，都取得极值。
3
1
恒成立，求c的取值范围。
c
m,n?R,m?0
，
（I）求
m
与
n
的关系式；
（II）求
f(x)
的单调区间；
（III）当
x?
?< br>?1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3
m
，求
m
的
取值范围.


例7：（ 2009天津理20）已知函数
f(x)?(x?ax?2a?3a)e(x?R),
其中a?R

（1） 当
a?0
时，求曲线
y?f(x)在点(1,f(1))
处的切线的斜率；
（2） 当
a?
22x
2
时，求函数
f(x)
的单调区间与极值。
3
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知< br>识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。






77

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参考答案：
例1
[解析]：由函数
y?xf
?
(x)
的图象可知：
当
x??1
时，
xf
?
(x)
<0，
f
?
(x)
>0，此时
f(x)
增
当
?1?x?0
时，
xf
?
(x)
>0，
f
?
(x)<0，此时
f(x)
减
当
0?x?1
时，
xf
?
(x)
<0，
f
?
(x)
<0，此时
f(x)
减
当
x?1
时，
xf
?
(x)
>0，< br>f
?
(x)
>0，此时
f(x)
增，故选C
例2.

2
解：
f
?
(x)?3ax?1

若
a?0
，
f
?
(x)?0
对
x?(?? ,??)
恒成立，此时
f(x)
只有一个单调区间，矛盾
若
a?0
，
f
?
(x)?1?0
∴
x?(??,??)
，
f(x)
也只有一个单调区间，矛盾
若
a?0
∵
f
?
(x)?3a(x?
1< br>3|a|
)?(x?
1
3|a|
)
，此时
f(x)< br>恰有三个单调区间
∴
a?0
且单调减区间为
(??,?
1
3|a|
)
和
(
1
3|a|
,??)
，单 调增区间为
(?

1
3|a|
,
1
3|a|
)

例3
.
解：（Ⅰ）由
f(x)
的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
f(x)?x?bx?cx?2,

32
f
?
(x)?3x
2
?2bx?c.

由在
M(?1,f(?1))
处的切线方程是
6x?y?7?0
，知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f
?
(?1)?6.

88

v1.0 可编辑可修改
?
3?2b?c ?6,
?
2b?c?3,
?
?
即
?
解得b?c?? 3.

?
?1?b?c?2?1.
?
b?c?0,
故所求的解析式是
f(x)?x?3x?3x?2.

（Ⅱ）
f
?
(x)?3x?6x?3.
解得
x
1
?1?2,x
2
?1?
当
1?2?x?1?
2
32
令3x
2
?6x?3?0,即x
2
?2x?1?0.

2.
当
x?1?2,或x?1?2时,f
?
(x)?0;

2时,f
?
(x)?0.

故
f(x)?x
3?3x
2
?3x?2在(??,1?2)
内是增函数，
在
(1 ?2,1?2)
内是减函数，在
(1?2,??)
内是增函数.

例4.
322
解：（Ⅰ）∵
f
?
x
?
?x?bx?cx
，∴
f
?
?
x
?
?3x?2bx ?c
。从而
g(x)?f(x)?f
?
(x)?x
3
?bx
2
?cx?(3x
2
?2bx?c)
＝
x
3
?(b?3)x
2
?(c?2b)x?c
是
一个奇函数，所以
g(0)?0
得
c?0
，由奇函数定义得
b?3
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
g(x)?x?6x
，从而
g
?
(x)?3x? 6
，由此可知，
32
(??,?2)
和
(2,??)
是函 数
g(x)
是单调递增区间；
(?2,2)
是函数
g(x)
是单调
递减区间；
g(x)
在
x??2
时，取得极大值，极大值为
42
，
g(x)
在
x?2
时，取得极小值，极小值为
?42
。
例5.
解：（1）由题意f（x）=
3x?2ax?b
的两个根分别为1 和
?

2
2

3
由韦达定理，得：1
?
则
a??
2a
b
2
2
=
?
，
?1?(?)

3
3
33
1
，
b??2

2
3< br>1
2
x?2x?c
，f

（x）=
3x
2?x?2

2
22


当
x?[?1,?)时，
f
(
x
)
?
0
，当
x?(?,1)
时，
f
(
x
)
?
0
，当
x?(1,2]
时，
f
(
x
)
?
0
，
33
（2）由（1），有f（x）=
x?
99

v1.0 可编辑可修改
当
x??
22
2
1
?c
，
f(?1)??c,f(2)?2?c
， 时，
f(x)
有极大值
27
3
2
∴ 当
x?[ ?1,2]
，
f(x)
的最大值为
f(2)?2?c

对
x?[?1,2]
，都有
f(x)?
解得
0?c?
例6.
解：(I)
f
?
(x)?3mx?6 (m?1)x?n
因为
x?1
是函数
f(x)
的一个极值点, 所以
f
?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3m?6

（II）由（I）知，
f
?
(x)? 3mx?6(m?1)x?3m?6
=
3m(x?1)
?
x?
?1?
2
2
11
恒成立，∴
2?c?
，
cc
2?1,
或
c??2?1,

?
?
?
?
2
?
?
?
?

m
?
?
当
m?0
时，有
1?1?
2
，当
x
变化时，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下表：
m
2

m
2
??
1?,1
?

?
?
m
?
1
x

f
?
(x)

f(x)

2
??
??,1?
??

m
??
1?
?
1,??
?

?0

单调递减
?0

调调递减
0
极小值
?0

单调递增
0
极大值
故有上表知，当
m ?0
时，
f(x)
在
?
??,1?
在
(1?
?
?
2
?
?
单调递减，
m
?
2
,1)
单调递增，在
(1,??)
上单调递减.
m
2
（ III）由已知得
f
?
(x)?3m
，即
mx?2(m?1)x?2 ?0

22
22
(m?1)x??0
即
x
2
?(m?1)x??0,x?
?
?1,1
?
①
mm
mm
12
设
g(x)?x
2
?2(1?)x?
，其函数开口向上 ，由题意知①式恒成立，
mm
又
m?0
所以
x
2
?
22
?
?
g(?1)?0
?
1?2???0
4< br>所以
?
解之得
??m
又
m?0

?< br>?
mm
3
?
g(1)?0
?
?1?0
?所以
?
4
?
4
?
?m?0
即
m
的取值范围为
?
?,0
?

3
?
3
?
1010

v1.0 可编辑可修改
例7.
解：（I）
当a?0时，f(x)?x
2
e
x
，f'(x)?(x
2
?2x)e
x
，故f'(1)?3 e.

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.

（II）
f'(x)?
?
x
2
?(a?2)x?2a
2< br>?4a
?
e
x
.

令f'(x)?0，解得x??2 a，或x?a?2.由a?
2
3
知，?2a?a?2.

以下分两种情况讨论。
（1）
若a
＞
2
3
，则< br>?2a
＜
a?2
.当
x
变化时，
f'(x)，f(x )
的变化情况如下表：
x

?
??，?2a
?

?2a

?
?2a，a?2
?

a?2

?
a?2，??
?


+ 0 — 0 +

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(??，?2a)，(a?2，??)内是增函 数，在(?2a，a?2)内是减函数.

函数f(x)在x??2a处取得极大值f(?2a )，且f(?2a)?3ae
?2a
.

函数f(x)在x?a?2处取得极 小值f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)e
a?2
.

（2）若a
＜
2
3
，则
?2a
＞
a?2
，当
x
变化时，
f'(x)，f(x)
的变化情况如下表：
x

?
??，a?2
?

a?2

?
a?2，?2a
?

?2a

?
?2a，??
?


+ 0 — 0 +

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)在(??，a?2)，(?2a，??)内是增函 数，在(a?2，?2a)内是减函数。

函数f(x)在x?a?2处取得极大值f(a?2 )，且f(a?2)?(4?3a)e
a?2
.



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