高中数学-导数及其应用教案

个性化教学辅导教案

学科: 数学 任课教师： 老师 授课时间： 年 月 日(星期 )
姓名
阶段
年级：高三 教学课题

导数及其应用
计划课时
第（ ）次课
共（ ）次课
基础（√） 提高（√） 巩固（√）
知识点：
方法：
教学
考点：

目标
重
点
重点：
难
难点：
点

课前
检查
作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________
导数及其应用
（一） 主要知识及主要方法：
当自变量在
x?x
0
处有增量
?x
时，则函数
y?f(x)
相
1.
设 函数
y?f(x)
在
x?x
0
处附近有定义，
教
学
内
容
与
教
学
过
程

应地有增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
，如果
?x?0
时，
?y
与
?x
的比
化 率）有极限即
数，记作
y?
?y
（也叫函数的平均变
?x
x ?x
0
?y
无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数
y?f(x)< br>在
x?x
0
处的导
?x
f(x
0
??x)? f(x
0
)
，即
f?(x
0
)?lim

?x?0
?x
在定义式中，设
x?x
0
??x
，则
?x?x?x
0
，当
?x
趋近于
0
时，
x
趋近于
x
0
，因此，导数的
定义式可写成
f?(x
0
)?lim

?x?o
f(x
0
??x)?f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
?lim
.
x?x
0
?xx?x
0
2.
导数的几何意义：
导 数
f?(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x )?f(x
0
)
是函数
y?f(x)
在点
x
0的处瞬时变化率，它反映的函数
?x
y?f(x)
在点
x
0处变化的快慢程度.
它的几何意义是曲线
y?f(x)
上点（
x0
,f(x
0
)
）处的切线的斜率.因此，如果
y?f(x)< br>在点
x
0

可导，则曲线
y?f(x)
在点（< br>x
0
,f(x
0
)
）处的切线方程为
y?f(x< br>0
)?f?(x
0
)(x?x
0
)

3.
导函数(导数):如果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内的每点处都有导数，此时对于每一个
都对应着一个确定的导数
f?(x)
，从而构 成了一个新的函数
f?(x)
, 称这个函数
f?(x)
为
x?(a ,b)
，
函数
y?f(x)
在开区间内的导函数，简称导数，也可记作
y?
，即
f?(x)
＝
y?
＝
lim
函数y?f(x)
在
x
0
处的导数
y?
x?x
0< br>?yf(x??x)?f(x)

?lim
?x?0
?x
?x ?0
?x
就是函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
(x? (a,b))
上导数
f?(x)
在
x
0
处的函数值，即y?

x?x
0
＝
f?(x
0
)
.所 以函数
y?f(x)
在
x
0
处的导数也记作
f?(x
0
)

则称函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
4.
可导: 如 果函数
y?f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点都有导数，
内可导

5.
可导与连续的关系：如果函数
y?f(x)
在点
x< br>0
处可导，那么函数
y?f(x)
在点
x
0
处连续， 反
之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.

6.
求函数
y?f(x)
的导数的一般步骤：
?
1
?
求函数的改变量
?y?f(x??x)?f(x)

?yf(x??x)?f(x)
；
?
?x?x
?y
?lim
y??
f(x)?
取极限，得导数
3
??
? x?0
?x
?
2
?
求平均变化率

7.
几种常见函数的导数：

C'?0
(
C
为常数)；
(x)'?nx
nn?1
(
n?Q
)；

(sinx)'?cosx
；
(cosx)'??sinx
；

(lnx)??
x
11
；
(log
a
x)??log
a
e
，
xx
x

(e)??e
；
(a)??alna

xx

8.
求导法则：
法则
1
：
[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x)
．
法则
2
：
[u(x)v(x)]
?
?u?(x)v(x)?u(x)v?(x)
,
[Cu(x)]
?
?Cu'(x)

?
u
?
u'v?uv'
法则
3
：
??
?(v?0)

2
v
?
v
?

设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u?
x
?
?
?(x)
，函数
y?f(u)
在点
x
的对应点
u
9.
复合函数的导数：
处有导数
y?
u
?f?
?
u
?
，则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处也有导数，且
y'
x
?y'
u< br>?u'
x
或
'
f?
x
(
?
(x) )?f?(u)?
?
?(x)


10.
复合函数的求导 法则：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间
变量对自变量的导数

11.
复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代

12.
导数的几何意义是曲线
y?f(x)
在点（
x
0,f(x
0
)
）处的切线的斜率，即
k?f?(x
0
)
，
要注意“过点
A
的曲线的切线方程”与“在点
A
处的切 线方程”是不尽相同的，后者
A
必为切点，
前者未必是切点.

问题1．
?
1
?
已知
lim



△x?0
f(x
0
?2△x)?f(x
0
)
?1< br>，求
f?(x
0
)

3△x
?
2
?
设函数
f(x)
在点
x
0
处可导，求
lim
h?0


f(x
0
?h)?f(x
0
?h)

2h

?
5
?
对于
R< br>上可导的任意函数
f(x)
，若满足
?
x?1
?
f? (x)
≥
0
，则必有
A.
f(0)?f(2)
?2f
?
1
?

B.
f(0)?f(2)
≤
2f
?
1
?

C.

f(0)?f(2)
≥
2f
?
1
?

D.
f(0)?f(2)
?2f
?
1
?



?
6
?
设函数
f(x)
，
g(x)在
?
a,b
?
上均可导，且
f?(x)?g?(x)
， 则当
a?x?b
时，有

A.
f(x)?g(x)

B.
f(x)?g(x)

C.
f(x)?g(a)?g(x)?f(a)

D.
f(x)?g(b)?g(x)?f(b)



问题 2．
f(x)
的导函数
y?f
?
(x)
的图象如图所示，则
y?f(x)
的图象最有可能的是









问题3．求下列函数的导数：
e
x
?1
?
1
?< br>y?
?
1?sinx
?
；
?
4
?
y?
x
；
e?1
2

?
6
?



y?e
x
?lnx

?
7
?
y?



sinx
；
?
8
?
y?
?
x
2
?1
?
?sinx?x? cosx

1?cosx
?
9
?




y?3
x
?e
x
?2
x
?e

?
10
?
y?3x
3
?4x?
?
2x?1
?

??
问题4．
?
1
?
求过点
P
?
1,1
?
且与曲线
y?x
相切的直线方程.
3



?
2
?
过点
?
?1,0
?
作抛物线
y?x
2
?x?1
的切线，则其中一条 切线为
A.

2x?y?2?0

B.

3x?y?3?0

C.

x?y?1?0

D.

x?y?1?0



1
3
x?m
的一条切线方程是
y?4x?4
，则
m
的值为
3
4284282
13

A.

B.

?

C.
或
?

D.
或
?

33333
3
?
3
?
已知曲线
y?




（三）课后作业：

1.
若
f?(x
0
)?2
,求
lim



k?0
f(x
0
?k)?f(x
0
)

2 k
2.
已知
f(x)?x
2
?2xf?(2)
，则
f?(2)?



（四）走向高考：
7.
过原点作曲线
y?e
x
的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为


8.
设函数
f(x)?cos


?
3x?
?
（
0?
?
?
?
），若
f(x)?f?(x)< br>是奇函数，则
?
?

?
9.
设f
0
(x)?sinx
，
f
1
(x)?f
0< br>?(x)
，
f
2
(x)?f
1
?(x)
，… ，
f
n?1
(x)?f
n
?(x)
，
n?N
，则
f
2005
(x)?

A.
sinx

B.
?sinx

C.
cosx

D.
?cosx




10.
若曲线< br>y?x
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为

A.
4x?y?3?0
；
B.
x ?4y?5?0
；
C.
4x?y?3?0
；
D.
x?4y? 3?0


4
11.
曲线
y?e
在点
?< br>4,e
2
?
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
A.


1
x
2
9
2
e

2

B.
4e

2

C.
2e

2

D.
e

2
x
2
1
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为
12.
已知曲线
y?
4
2
A.
1

B.
2

C.
3

D.
4

13.
已知函数y?f(x)
的图象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?

1
x?2
，则
f(1)?f
?
(1)?

2
14.
曲线
y?x
3
?2x
2
?4x? 2
在点
(1,?3)
处的切线方程是

?
a
?
设曲线
y?x
n
(1?x)
在
x? 2
处的切线与
y
轴交点的纵坐标为
a
n
，则数列
?
n
?
的
15.
对正整数
n
，
?
n ?1
?
前
n
项和的公式是


16.
已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?3x
在
x??1
处取得极值.

?
1
?
讨 论
f(1)
和
f(?1)
函数的
f(x)
的极大值还是极小 值；
?
2
?
过点
A(0,16)
作曲线
y?











导数的应用
f(x)
的切线，求此切线方程.
（一） 主要知识及主要方法：
1.
利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:
?
1
?
求
f?(x)
;
?
2
?
确定
f?(x)
在
?
a,b
?
内符号;
?
3
?
若
f?(x)?0
在
?
a,b
?
上恒成立，则< br>f(x)
在
?
a,b
?

上
是增函数 ；若
f?(x)?0
在
?
a,b
?
上恒成立，则
f (x)
在
?
a,b
?
上是减函数
①
f?(x)? 0
?
f(x)
为增函数（
f?(x)?0
?
f(x)
为减函数）.
②
f(x)
在区间
?
a,b
?
上 是增函数
?
f?(x)
≥
0
在
?
a,b
?
上恒成立 ；
f(x)
在区间
?
a,b
?
上为减 函数
?
f?(x)
≤
0
在
?
a,b
?上恒成立 .

2.
极大值： 一般地，设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义，如果对
x
0
附近的所有的点，都有
f(x)?f(x
0
)
，就说
f(x
0
)
是函数
f(x)
的一个极大值，记作
y
极大值
?f(x
0
)
，
x
0
是极大值点.

3.
极小值：一般地， 设函数
f(x)
在
x
0
附近有定义，如果对
x
0< br>附近的所有的点，都有
f(x)?f(x
0
)
就说
f(x0
)
是函数
f(x)
的一个极小值，记作
y
极小值?f(x
0
)
，
x
0
是极小值点.

4.
极大值与极小值统称为极值
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （
1
）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最 大或
最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（
2
）函数 的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极xs大值或极小值可以不止一
个.
（< br>3
）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，< br>x
1
是极大值点，
x
4
是极小值点，而
f(x
4
)
>
f(x
1
)
.
（
4
） 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、
最小值的点可能 在区间的内部，也可能在区间的端点.
5.
当
f(x)
在点
x0
连续时，判别
f(x
0
)
是极大、极小值的方法:
若
x
0
满足
f
?
(x
0
)?0
， 且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0是
f(x)
的极值点，
f(x
0
)
是极
值，并 且如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左正右负”， 则
x
0
是
f(x)
的极大值点，
f(x
0
)
是极大值；如
果
f
?
(x)
在
x
0两侧满足“左负右正”，则
x
0
是
f(x)
的极小值点，
f(x
0
)
是极小值.

6.
求可导函数
f(x)
的极值的步骤:
?
1
?
确定函数的定义区间，求导数
f
?
(x)
?
2
?< br>求方程
f
?
(x)?0
的根
?
3
?
用函数的导数为
0
的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查
f
?
(x)
在
方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f(x )
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
f(x)
在这个根处取得极小值；如果 左右不改变符号，那么
f(x)
在这个根处无极值.如果函数在某
些点处连续但不可导 ，也需要考虑这些点是否是极值点 .

7.
函数的最大值和最小值: 一般地，在 闭区间
?
a,b
?
上连续的函数
f(x)
在
?a,b
?
上必有最大值与最
小值．
说明：
?
1
?
在开区间
(a,b)
内连续的函数
f(x)
不一定有最大值与最 小值．如函数
f(x)?
1
在
x
(0,??)
内连续，但没 有最大值与最小值；
?
2
?
函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的 ；函数的极值是比较极值点附近函数值得
出的．
?
3
?
函数
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上连续，是
f(x)
在闭区间
?
a,b
?
上有最大值与最小值的充分条件
而非必要条件 ．
?
4
?
函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极 值可能不止一个，也可
能没有一个.



8.
利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数
f(x)
的图象可以 看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行
比较，就可以得出函数的最值了． 设函数
f(x)
在
?
a,b
?
上连续，在
(a ,b)
内可导，则求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最 大值与最小值的步骤
如下：
?
1
?
求
f(x)
在< br>(a,b)
内的极值；

?
2
?
将
f (x)
的各极值与
f(a)
、
f(b)
比较得出函数
f(x )
在
?
a,b
?
上的最值p

9.
求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法.

10.< br>构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，
变 主元为辅元，变分式为整式.

11.
通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函 数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为
助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索.


（二）典例分析：
问题1．
?
1
?
函数
y?f(x)
在定义域
(?
3
,3)
内可导，其图象 如图所示，记
y?f(x)
的导函数为
2

y?f
?
(x)
，则不等式
f
?
(x)?0
的解集为
1
A.
[?,1]?
?
2,3
?

3
148

B.
[?1,]?[,]

233
31
C.
[?,]?
?
1,2
?

22





?
3
?
14
?
8
?
D.
?
?,?1
?
?[,]?
?
,3
?

?
2
?
23
?
3
?

?
3
?
设
f(x),g(x)
均是定义在
R
上的奇函数，当< br>x?0
时，
f?(x)g(x)?
f(?2)?0
，则不等式
f(x)?g(x)?0
的解集是
f(x)g?(x)?0
，且
A.
?
?2,0
?
U
?
2,??
?

B.
?
?2,2
?

C.
?
??,?2< br>?
U
?
2,??
?

D.
?
??, ?2
?
U
?
0,2
?


问题2．
?
1
?
如果函数
f(x)??x?bx
在区间
?
0,1
?
上单调递增，并且方程
f(x)?0
的根都在区间
3

?
?2,2
?
内，则
b
的取值范围为

?
2
?
已知
f(x)?1?2x?x
2
，那么
g(x)?f
?
f(x)
?

A.
在区间
?
?2,1
?
上单调递增
B.
在
?
0,2
?
上单调递增
C.
在
?
?1,1
?
上单调递增
D.
在
?
1,2
?
上单调递增

?3
?
函数
f(x)?x
3
?6x?5,x?R
，
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于
x
的 方程
f(x)?a
有
3
个不同实根，求实数
a
的取值范围.
（Ⅲ）已知当
x?(1,??)
时，
f(x)
≥
k(x?1 )
恒成立，求实数
k
的取值范围.










2ax?a
2
?1
问题3．已知函数
f(x)?
(x?R)
，其中
a?R
．
2
x?1
（Ⅰ）当
a?1
时，求曲线
y?f(x)
在点
(2，f(2))
处的切线方程；
（Ⅱ）当
a?0
时，求函数
f(x)
的单调区间与极值．

问题4．已知定义在正实数集上的函数
f(x)?
1
2
x?2ax
，
g(x)?3a
2
lnx?b
，其中
a?0
．设两
2
曲线
y?f(x)
，
y?g(x)
有公共点，且在该点处的切线 相同．
（Ⅰ）用
a
表示
b
，并求
b
的最大值；
（Ⅱ）求证：
f(x)
≥
g(x)
（
x?0
）．











2.
若函数
y?f(x)
在
R
上可导且满足不等 式
xf?(x)?f(x)?0
恒成立，且常数
a,b
满足
a?b< br>，则
下列不等式一定成立的是
A.
af(a)?bf(b)

B.
af(b)?bf(a)

C.
af(a)?bf(b)

D.
af(b)?bf(a)


3.
求满足条件的
a
的范围：
?
1
?
使
y?sinx?ax
为
R
上增函数，则
a
的范围是
?
2
?
使
y?x
3
?ax?a
为
R
上增函数，则
a
的范围是

?
3
?
使
f(x)?ax
3
?x
2
?x?5
为
R
上增函数，则
a
的范围是

4.
证明方程
x
3
?3x?c?0
在
?
0,1?
上至多有一实根.



5.
如果
f
?
(x)
是二次函数, 且
f
?
(x)
的图象开口向上,顶点坐标为
(1,?3)
, 那么曲线
y?f(x)
上
任一点的切线的倾斜角
?
的取值范围是
A.
(0,


2
?
?
2
??
2
?
?
2
?
]

B.
[0,)U[,
?
)

C.
[0,]U[,
?
)

D.
[,]

3
2323
23
2
等于
6.
如图，是函数f(x)?x
3
?bx
2
?cx?d
的大致图像，则
x
1
2
?x
2

A.
C.
8

9
B.
16

9
10

9
28

D.
9
7.
函数
f(x)
的定义域是开区间
?
a,b
?
,导函数
f?(x)
在?
a,b
?
内
的图象如图所示，则函数
f(x)
在开区间内有极小值点
y
y?f?
?
x
?
b
A.
1
个
B.
2
个
C.
3
个
D.
4
个

a
O
x
8.
函数< br>f(x)?ax
3
?bx
2
?2x
的图象如图所示，
且
x
1
?x
2
?0
，则有
A.
a?0,b?0

B.
a?0,b?0

C.
a?0,b?0

D.
a?0,b?0





9.
已知：
x?1
，证明不等式：
x?ln
?
1?x
?

10.
设
f(x)?ax
3
?x
恰有三个单调区 间，试确定
a
的取值范围，并求出这三个单调区间



11.
已知函数
f(x)?ln
?
x?a
?
?x
2
?x
在
x?0
处取得极值．
?
1
?
求实数
a
的值；
?
2
?
若关于
x
的方
5
x?b
在区间
?
0,2
?
上恰有两个不同的实数根，求实 数
b
的取值范围；
?
3
?
证明：对任
2
n ?1n?1
?
2
都成立． 意的正整数
n
，不等式
ln
nn
程
f(x)??








（四）走向高考： < br>??)
上的非负可导函数，且满足
xf
?
(x)?f(x)
≤
0
．对任意正数
a,b
，若
12.
f(x)
是定义 在
(0，
a?b
，则必有
A.
af(b)
≤
bf(a)

B.
bf(a)
≤
af(b)

C.
af(a)
≤
f(b)

D.
bf(b)
≤
f(a)






对于任意实数
x
，有
f(x)
≥
0< br>，
13.
已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
的导数为
f
?
(x)
，
f
?
(0)?0
，

则
f(1)
的最小值为
f
?
(0)

A.
3

B.



53

C.
2

D.

22
14.
函数
y?xcosx?sinx
在下面哪个区间内是增函数
?
?
3
?
A.
?
,< br>?
22



??
3
?
5
?
?
,

B.C.
?
,2
?
??
???

D.
?
2
?
,3
?
?

??22
?
1
15.
曲线
y?x
3
在点
( a,a
3
)
(a?0)
处的切线与
x
轴、直线
x? a
所围成的三角形的面积为，则
6
a?





17.
已知函数
f(x)?ax
4
lnx?bx
4
?c(x?0)
在
x?1
处取得极值
?3? c
，其中
a，b
为常数．
（Ⅰ）试确定
a，b
的值；
（Ⅱ）讨论函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅲ）若对任意
x?0，不等式
f(x)≥?2c
恒成立，求
c
的取值范围．







2

18.< br>设函数
f(x)?ln(x?a)?x
2

（Ⅰ）若当
x?? 1
时，
f(x)
取得极值，求
a
的值，并讨论
f(x)的单调性；
（Ⅱ）若
f(x)
存在极值，求
a
的取值范围，并 证明所有极值之和大于
ln














e
．
2
19.
设函数
f(x)?e
x
?e
?x
．
（Ⅰ）证明：
f(x)
的导数
f
?
(x)≥2
；
（Ⅱ）若对所有
x≥0
都有
f(x)≥ax
，求
a
的取值范围．






11
在区间
?
6,??
?
内为增函数，
20.
若函数
f(x) ?x
3
?ax
2
?
?
a?1
?
x?1在区间
?
1,4
?
内为减函数，
32
试求实数
a
的取值范围.

课后
作业________________________________; 巩固复习_______________________________;
巩固
预习布置____________________________

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