(完整版)导数最新文科高考数学真题

2012-2017导数专题

1．（201 4大纲理）曲线
y?xe
x?1
在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ）
A．
2e
B．
e
C．2 D．1
2.(2014新标2理) 设曲线y=ax- ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.(2013浙江文) 已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示，
则该函数的图象是( B )

4．（2012陕西文）设函数f（x）=
2
+lnx 则 （ D ）
x
A．x=
11
为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点
22
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
5.(2014新标2文) 函数
f(x)
在< br>x?x
0
处导数存在，若
p:f(x
0
)?0
：q:x?x
0
是
f(x)
的极值点，则
A．
p
是
q
的充分必要条件 B.
p
是
q
的充分条件，但不是
q
的必要条件
C.
p
是
q
的必要条件，但不是
q
的充分条件 D.
p
既不是
q
的充分条件，也不是
q
的必要条件
【答案】C
6．（2012广东理）曲线
y?x
3
?x?3
在点
?
1,3
?
处的切线方程为___________________ .
【答案】2x-y+1=0
7．（2013广东理）若曲线
y?kx?lnx< br>在点
(1,k)
处的切线平行于
x
轴，则
k?

【答案】-1
2
8．（2013广东文）若曲线
y?ax?lnx
在点
(1,a)
处的切线平行于
x
轴，则
a?
．
1
【答案】
2
9．(2014广东文)曲线
y??5e
x
?3
在点
(0,?2)
处的切线方程为 .
【答案】5x+y+2=0
10．（2013江西文）若曲线y=
x
+1（ α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α= 。
α
第 1 页（共 9 页）

【答案】2
11.(2012新标文) 曲线
y?x(3lnx?1)
在点（1,1）处的切线方 程为____
4x?y?3?0
____
12．（2014江西理）若曲线
y?e
上点
P
处的切线平行于直线
2x?y?1?0
，则点
P
的坐标是________.
【简解】设P(x,e
-x
)，
e
?x
=-
e
=-2,解得x=-ln2，答案(-ln2,2)
1 3．（2014江西文）若曲线
y?xlnx上点P
处的切线平行于直线
2x?y?1 ?0,则点P
的坐标是_______.
【简解】设P(x,xlnx),
?
xlnx
?
?
=1+lnx=2,x=e，答案(e,e)
14．（20 12辽宁文）函数y=
?x
??
?
?x
1
2
x?
㏑x的单调递减区间为（ B ）
2
（A）（
?
1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞） （D）（0，+∞）
15．(2014新标2文) 若函数
f
?
x
?
?kx?lnx
在区间
?
1,???
单调递增，则
k
的取值范围是（ D ）
（A）
?
??,?2
?
（B）
?
??,?1
?
（C）
?
2,??
?
（D）
?
1,??
?

16. (2013新标1文) 函数
f(x)?(1?cosx)sinx
在
[?
?
,
?
]< br>的图象大致为（ ）

【简解】
y
?
=
sinx?(1?cosx)cosx
=-2cos
2
x-cosx+1 =(1+cosx)(1-2cosx)>0,-π3y
??
2
=4cosxsinx+sinx，在x=0处为拐点。选C
17.（2015年新课标2文）已知曲 线
y?x?lnx
在点
?
1,1
?
处的切线与曲线
y?ax?
?
a?2
?
x?1
相切,则
2
a= 8 ．
第 2 页（共 9 页）

18.（2015年陕西文）函数
y? xe
在其极值点处的切线方程为_____
y??
x
1
______ _.
e
19.（2015年天津文）已知函数
f
?
x
?< br>?axlnx,x?
?
0,??
?
,其中a为实数,
f?
?
x
?
为
f
?
x
?
的导函 数,若
f
?
?
1
?
?3
,则a的值为 3 ．
1
20、(2017·全国Ⅰ文，14)曲线y＝x
2
＋在点 (1,2)处的切线方程为___x－y＋1＝0._____．
x
21、(2017·浙江 ，7)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )


22、（2016年天津高考）已知函数
f
(
x
)
?
(2
x
+1)
e
x
,
f
?
(
x
)
为
f(x)
的导函数，则
f
?(0)
的值为_____3_____.
23、（2016年全国III卷高考）已知< br>f
?
x
?
为偶函数，当
x?0
时，
f(x )?e
点
(1,2)
处的切线方程式______________
y?2x
_______________.
24．（2012福建理）已知函数f(x)＝e
x
＋ax
2
－ex，a∈R．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；
【解析】(1)由于f′(x)＝e
x
＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f (1))处切线斜率k＝2a＝0，
所以a＝0，即f(x)＝e
x
－ex．此时f ′(x)＝e
x
－e，由f′(x)＝0得x＝1．
当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0．
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
25.(2013新标1文) 已知函数
f(x)?e(ax?b)?x?4x
，曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))
处切线方程为
x2
?x ?1
?x
，则曲线
y?f
?
x
?
在
y?4 x?4
。（Ⅰ）求
a,b
的值；（Ⅱ）讨论
f(x)
的单调性，并求
f(x)
的极大值。
【简解】 (1)f′(x)＝e
x
(ax＋a＋b)－2x－4. 由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.
1
e
x
－
?
. (2)由(1)知，f(x)＝4e
x
(x＋1)－x
2
－4x. f′(x )＝4e
x
(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)
?
2
??
当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
－2
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e)．
26.(2014新标1文) 设函数
f
?
x
?
?alnx ?
0。求b;⑵若存在
x
0
?1,
使得
f
?
x
0
?
?
1?a
2
x?bx
?
a?1< br>?
，曲线
y?f
?
x
?
在点
?
1， f
?
1
?
?
处的切线斜率为
2
a
，求a的 取值范围。
a?1
第 3 页（共 9 页）

⑴ 【解析】（I）
f(x)?
'
a
?(1? a)x?b
，由题设知
f
'
(1)?0
，解得
b?1
.
x
，
．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1） 可知：f（x）=alnx+
∴
①当a时，则
=
，则当x＞1时，f′（x） ＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，
的充要条件是
；
，即，
∴存在x
0
≥1，使得f（x
0
）＜
解得
②当a＜1时， 则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上
单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在
的充要条件是，
上单调递增．
∴存在x
0
≥1，使得f（x
0
）＜
而=+，不符合题意，应舍去 ．
③若a＞1时，f（1）=
综上可得：
a
的取值范围是
，成立．
．

27.(2013新标2理) 已知函数f(x)＝e
x
－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.
11
【解析】(1)f(x)＝e
x
－ln(x＋m)?f′(x)＝e
x
－?f′(0)＝e
0
－＝0?m＝ 1，定义域为{x|x>－1}，
x＋m0＋m
e
x
?x＋1?－1
1
f′(x)＝e
－＝，显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递 增．
x＋mx＋1
x
28．（2013北京文）已知函数
f(x)?x?x sinx?cosx

（1）若曲线
y?f(x)
在点
(a,f(a ))
处与直线
y?b
相切，求
a
与
b
的值。 （2）若曲线
y?f(x)
与直线
y?b
有两个不同的交点，求
b
的取值范围。
【解析】（1）
f'(x)?2x?xcosx?x(2?cosx )
，因为曲线
y?f(x)
在点
(a,f(a))
处的切线为
y?b

2
所以
?
?
2a?acosa?0
?< br>a?0
?
f'(a)?0
，即
?
2
，解得
?

?
b?1
?
f(a)?b
?
a?asina?c osa?b
第 4 页（共 9 页）

（2）因为
2?cosx?0
，所以当
x?0
时
f'(x)?0
，
f(x)
单调递增；当
x?0
时
f'(x )?0
，
f(x)
单调递
减， 所以当
x?0
时，
f(x)
取得最小值
f(0)?1
， 所以
b
的取值范围是
(1,??)

29．（2012山东）已知函 数
f(x)?
lnx?k
(k
为常数，e=2.71828…是自然对数的底 数)，曲线
y?f(x)
在点
e
x
(1,f(1))
处的切 线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值； (Ⅱ)求
f(x)
的单调区间；
1
?lnx?k
1?k
x
?
f(1)??0
，∴
k?1
. 【解析】(I)
f
?
(x)?
，由已知，
ex
e
1
?lnx?1
111
x
(II)由(I)知，< br>f
?
(x)?
.设
k(x)??lnx?1
，则
k< br>?
(x)??
2
??0
，即
k(x)
在
(0 ,??)
上是减函数，
x
e
xxx
由
k(1)?0
知，当
0?x?1
时
k(x)?0
，从而
f
?
(x )?0
，当
x?1
时
k(x)?0
，从而
f
?(x)?0
.
综上可知，
f(x)
的单调递增区间是
(0,1 )
，单调递减区间是
(1,??)
.
30.(2017·天津文，10)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的
截距为_____1___．
31.（2015年新课标2文）已知
f
?
x
?
?lnx?a
?
1?x
?
.
（I）讨论
f
?
x
?< br>的单调性；（II）当
f
?
x
?
有最大值,且最大值大于2a?2
时,求a的取值范围.

32.
(2017·全国Ⅰ文，21 )已知函数f(x)＝e
x
(e
x
－a)－a
2
x.
(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．
第 5 页（共 9 页）

1．解 (1)函数f( x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e
2
x
－ae
x
－ a
2
＝(2e
x
＋a)(e
x
－a)．
①若a＝0，则f(x)＝e
2
x
在(－∞，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0，得x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
a
－
?
.
③若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln
?
?
2
?
?
－
a
??
时，f′(x)<0 ； 当x∈
?
－∞，ln
??
2
??
?
－
a
?
，＋∞
?
时，f′(x)>0. 当x∈
?
ln
??
2
??
?
－
a
??
上单调递减，在
?
ln
?
－
a
?
，＋∞
?
上单调递增． 故f(x)在
?
－∞，ln
??
2
????
2
??
(2)①若a＝0，则f(x)＝e
2
x
，所以f(x)≥0.
②若a>0，则由(1)知，当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a
2
ln a，
从而当且仅当－a
2
ln a≥0，即0＜a≤1时，f(x)≥0.
a
aa
3
－
?
时，f(x)取得最小值，最小值为f ?
ln
?
－
??
＝a
2
?
－ln?
－
2
?
?
，从而当③若a<0，则由(1)知，当x＝ln< br>?
??
?
2
???
2
??
4
??< br>a
3
－
?
?
≥0，即a≥－2
e
4
时f(x)≥0. 且仅当a
2
?
4
－ln
?
?
2
?
??
综上，a的取值范围是[－2
e
，1]．
33、（ 2016年北京高考）设函数
f
?
x
?
?x?ax?bx?c.
32
3
4
3
（I）求曲线
y?f
?
x
?
.
在点
0,f
?
0
?
处的切线方程；
（II）设
a?b?4
，若函数
f
?
x
?
有三个不同零点，求c的取值范围；
322
解：（I）由
f
?
x< br>?
?x?ax?bx?c
，得
f
?
?
x
?< br>?3x?2ax?b
．因为
f
?
0
?
?c
，
f
?
?
0
?
?b
，
??
所以曲 线
y?f
?
x
?
在点
0,f
?
0
?
处的切线方程为
y?bx?c
．
（II）当
a?b?4
时，
f
?
x
?
?x?4x?4x?c
，所以
f?
?
x
?
?3x?8x?4
．
322
??< br>令
f
?
?
x
?
?0
，得
3x
2
?8x?4?0
，解得
x??2
或
x??
2
．
3
f
?
x
?
与
f
?
?
x
?
在区间
?
??,??
?
上的情况如下：
第 6 页（共 9 页）

x

?
??,?2
?

?

Z

?2

2
??
?2,?
??

3
??
?
2

3
?
2
?
?,??
??

?
3
?
f
?
?
x
?

f
?
x
?

所以，当
c?0
且
c?
0

c

?

]

0

c?
32

27
?

Z

2
?
32
?
?0
时，存在
x
1
?
?
?4,?2
?
，
x
2
?
?
?2,?
?
，
3
?< br>27
?
?
2
?
x
3
?
?
? ,0
?
，使得
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?f
?
x
3
?
?0
．
?
3
?
由
f
?
x
?
的单调 性知，当且仅当
c?
?
0,
?
?
32
?
3 2
?
时，函数
f
?
x
?
?x?4x?4x?c有三个不同零点．
27
?
34、（2016年全国II卷高考） 已知函数
f(x)?(x?1)lnx?a(x?1)
.
（I）当
a?4< br>时，求曲线
y?f(x)
在
?
1,f(1)
?
处的切 线方程；
（Ⅱ）若当
x?
?
1,??
?
时，
f( x)＞0
，求
a
的取值范围.
解析：（I）
f(x)
的定 义域为
(0,??)
.当
a?4
时，
f(x)?(x?1)lnx ?4(x?1),f
?
(x)?lnx?
1
?3
，
f
?
(1)??2,f(1)?0.

x
所以曲线
y?f(x)在
(1,f(1))
处的切线方程为
2x?y?2?0.

（I I）当
x?(1,??)
时，
f(x)?0
等价于
lnx?
a(x?1)
?0.

x?1
a(x?1)
12ax
2?2(1?a)x?1
，则
g
?
(x)???,g(1)?0
，

令
g(x)?lnx?
x(x?1)
2
x(x?1)2
x?1
（i）当
a?2
，
x?(1,??)
时，x?2(1?a)x?1?x?2x?1?0
，
故
g
?
(x )?0,g(x)
在
x?(1,??)
上单调递增，因此
g(x)?0
；
（ii）当
a?2
时，令
g
?
(x)?0
得
x
1
?a?1?(a?1)
2
?1,x
2
?a?1 ?(a?1)
2
?1
，由
x
2
?1
和
x< br>1
x
2
?1
得
22
x
1
?1
，故当
x?(1,x
2
)
时，
g
?
(x)?0< br>，
g(x)
在
x?(1,x
2
)
单调递减，因此g(x)?0
.综上，
a
的取值范围是
?
??,2
?< br>.

35．(2017·北京文，20)已知函数f(x)＝e
x
cos x－x.
第 7 页（共 9 页）

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
π
0，
?
上的最大值和最小值．
(2)求函数f(x)在区间
?
?
2
?
4．解 (1)因为f(x)＝e
x
cos x－x，所以f′(x)＝e
x
(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0.
又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝e
x
(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝e
x
(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2e
x
sin x.
ππ
0，
?
时，h′(x) ＜0，所以h(x)在区间
?
0，
?
上单调递减， 当x∈
?
?
2
??
2
?
ππ
0，
?
有h(x)＜ h(0)＝0，即f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间
?
0，
?
上单调 递减， 所以对任意x∈
?
?
2
??
2
?
πππ
0，
?
上的最大值为f(0)＝1，最小值为f
??
＝－.
因此f(x)在区间
?
?
2
??
2
?2
11
36．(2017·山东文，20)已知函数f(x)＝x
3
－< br>ax
2
，a∈R.
32
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
6．解 (1)由题意f′(x)＝ x
2
－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x
2
－2x，所 以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
37、
(2016新课标1)
已知函数f(x)=(x -2)e
x
+a(x -1)
2
.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.
解：(Ⅰ) f

'(x)=(x -1)e
x
+a(2x -2)=(x -1)(e
x
+2a). x∈R …2分
(1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f

'(x)<0，f(x)单调递减；
在(1,+∞)上，f

'(x)>0，f(x)单调递增。 …3分
(2)当a<0时，令f

'(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).
e
①若a=
?
，ln(-2a) =1，f

'(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增。
2
e
②若a>
?
，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f

'(x)<0，f(x)单调递减；
2
在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f

'(x)>0，f(x)单调递增。
e< br>③若a<
?
，ln(-2a)>1，在(1,ln(-2a))上，f

'(x)<0，f(x)单调递减；
2
在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f

'(x)>0，f(x)单调递增。…7分
(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)e
x
只有一个零点，不合要求。 …8分
(2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增。
aa
最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且bb
<.
22
a3
从而f(b) >
(b?2)?a(b?1)
2
?a(b
2
?b)?0
，所 以f(x)有两个零点. …10分
22
e
(3)当a<0时，在(-∞,1]上， f(x)<0恒成立；若a≥
?
，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，
2
e
不存在两个零点。若a<
?
，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递 减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存
2
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在两个零点。
综上a的取值范围是(0,1). …12分
38、(2015年新课标1卷)设函数
f
?
x
?
?e
2x
?alnx
.
（I）讨论
f
?
x
?
的导函数
f
?
?
x
?
的零点的个数；
（II）证 明：当
a?0
时
f
?
x
?
?2a?aln
2
.
a
2x
解：（I）
f
?
x
?
的定义域为
?
0,??
?
,f
?
?
x
?
?2e?
a
(x?0)
.
x
当
a
≤0时 ，
f
?
?
x
?
?0，f
?
?
x< br>?
没有零点；
当
a?0
时，因为
e
单调递增，?
当b满足0＜b＜
2x
a
单调递减，所以
f
?
?
x
?
在
?
0,??
?
单调递增，又
f
?
?
a
?
?0
，
x
a1
且b＜ 时，
f
?
(b)?0
，故当
a
＜0时
f
?
?
x
?
存在唯一零点. ……6分
44
（II）由（I ），可设
f
?
?
x
?
在
?
0,??
?
的唯一零点为
x
0
，当
x?
?
0，x
0
?
时，
f
?
?
x
?
＜0；
当
x?
?
x
0
，??
?
时，
f
?< br>?
x
?
＞0.
故
f
?
x
?
在
?
0，??
?
单调递减，在
?
x
0
， ??
?
单调递增，所以
x?x
0
时，
f
?
x
?
取得最小值，最小值为
f
?
x
0
?
.
由于
2e
2x
0
?
aa22
?0
，所以< br>f
?
x
0
?
??2ax
0
?a1n?2a? a1n
.
x
0
2x
0
aa
故当
a?0< br>时，
f
?
x
?
?2a?a1n
2
. ……12分
a



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