高中数学典型例题解析导数及应用

.
高中数学典型例题分析
第十章 导数及其应用

§10.1导数及其运算
一、知识导学
1.瞬时变化率：设函数
y?f( x)
在
x
0
附近有定义，当自变量在
x?x
0
附近 改变量为
?x
时，函数值相应地改变
?y?f(x
0
??x)?f( x)
，如果当
?x
趋近于0时，平均变化率
?y
f(x
0< br>??x)?f(x
0
)
?
趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某 个常数c的差的绝
?x?x
对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)
在点
x
0
的瞬时变化率。
2.导数：当
?x
趋近于零时，
f(x
0
??x)?f(x
0
)
趋近 于常数c。可用符号“
?
”记
?x
作：当
?x?0
时，f(x
0
??x)?f(x
0
)
f(x
0
?? x)?f(x
0
)
?c
或记作
lim?c
，符号
? x?0
?x
?x
“
?
”读作“趋近于”。函数在
x
0
的瞬时变化率，通常称作
f(x)
在
x?x
0
处的导数， 并记
作
f
?
(x
0
)
。
3.导函数：如 果
f(x)
在开区间
(a,b)
内每一点
x
都是可导的，则 称
f(x)
在区间
(a,b)
可
导。这样，对开区间
(a, b)
内每个值
x
，都对应一个确定的导数
f
?
(x)
。于是，在区间
(a,b)
内，
f
?
(x)
构成一个新的 函数，我们把这个函数称为函数
y?f(x)
的导函数。记为
f
?
( x)
或
。
y
?
（或
y
?
x
）< br>4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设
f(x)
，
g( x)
是可导的，
则
(f(x)?g(x))
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导
数的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设
f(x)
，
g(x)
是可导的，则
[f(x)g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f (x)g
?
(x)
即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数
乘上第二 个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
word

.
3）函数的商的求导法则：设
f(x)
，
g(x)
是可导的，
g(x )?0
，则
?
?
f(x)
?
g(x)f
?
(x)?f(x)g
?
(x)
?

?
g(x)
?
2
g(x)
??
?
5.复合函数的导数:设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
?
x
??
(x)
,函数
y?f(u)
在点
?
?f
?< br>(u)
,则复合函数
y?f[
?
(x)]
在点
x处有导数,且
x
的对应点
u
处有导数
y
u
??
y
?
x
?y
u
?u
x
.
6.几种常见函数的导数：
?
?nx（x）
(1)
C
?
?0(C为常数)
(2)
nn?1
(n?Q)

(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx

(5)
(lnx)
?
?
x
11
(6)
(log
a
x)
?
?log
a
e

xx
xxx
(7)
(e)
?
?e
(8)
(a)
?
?alna

二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
??
2.运用复合函数的求导法则< br>y
?
x
?y
u
?u
x
,应注意以下几点
（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常
出现如下错误，如(cos2x)
?
??sin2x
实际上应是
?2sin2x
。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如
y?
1
1
4
u?v,v?1?w,w?3x
计算起来就复杂了。
y?< br>选成，
4
(1?3x)
u
3.导数的几何意义与物理意义
导 数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时
速度。对导数的几何 意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够
的重视。
4.
f
?
(x
0
)与f
?
(x)的关系

f< br>?
(x
0
)
表示
f(x)在x?x
0
处的导 数，即
f
?
(x
0
)
是函数在某一点的导数；
f< br>?
(x)
表示函
word

.
数
f(x)
在某给定区间
(a,b)
内的导函数，此时
f
?
(x)
是在
(a,b)
上
x
的函数，即
f
?
(x)
是在
(a,b)
内任一点的导数。
5.导数与连续的关系
若函数
y?f(x)
在
x
0
处可导，则此函数在点
x0
处连续，但逆命题不成立，即函数
y?f(x)
在点
x
0< br>处连续，未必在
x
0
点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必
要条件，而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数
y?f( x)
在
x?x
0
处的导数，表示曲线在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜
率，因
此，曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线方程可如下 求得：
（1）求出函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处的导 数，即曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处
切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0)
，
如果曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f (x
0
))
的切线平行于
y
轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为
x?x
0
.
三、经典例题导讲
[例1]已知
y?(1?cos2x)
,则
y
?
?
.
2
?
1
2
(x?1)(x?1)
?
?
2
[例2]已知函数
f(x)?
?
判断f(x)在x=1处是否可导？
1
?
(x?1)(x?1)
?
?
2
分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . 左右极限是否
存在且相等。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即
lim
＋－
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，△x→0，
?x
包括△ x→0，与△x→0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验
word

.
证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存 在导数，否则不存在
导数.
2
[例3]求
y?2x?3
在点
P(1,5)
和
Q(2,9)
处的切线方程。
分析：点
P
在函数的曲线上，因此过点
P
的切线的斜率就是
y
?
在
x ?1
处的函数值；
点
Q
不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．
点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需
设出切点坐标．
[例4]求证：函数
y?x?
为0的切线方程.
分析： 由导数的几何意义 知，要证函数
y?x?
1
图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率
x
1
的图象上各点处切线的斜率都小于1，
x
只要证它的导函数的函数值都小于 1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.

3
[例5]（02年高考 试题）已知
a?0
，函数
f(x)?x?a
，
x?
?
0,??
?
，设
x
1
?0
，
记曲线
y? f(x)
在点
M(x
1
,f(x
1
))
处的切线为
l
.
（1）求
l
的方程；
（2）设
l
与
x
轴交点为
(x
2
,0)
，求证：
①
x
2
?
1
a
3
； ②若
x
1
?
11
a
3
，则
a
3
?x
2
?x
1

分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .
2
[例6]求抛物线
y?x
上的点到直线
x?y?2?0
的最短距离.
2
分析：可设
P(x,x)
为抛物线上任意一点，则可把点
P到直线的距离表示为自变量
x
的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛 物线方向平移，当直线与抛物
线相切时的切点到直线
x?y?2?0
的距离即为本题所 求.



word

.
四、典型习题导练
1.函数
y?f(x)
在
x?x
0处不可导，则过点
P(x
0
,f(x
0
))
处，曲线< br>y?f(x)
的切线 （ D ）
A．必不存在 B．必定存在 C．必与x轴垂直 D．不同于
上面结论
2.
y?
x?3
在点x=3处的导数是__-16__________.
2
x?3
3.已知
f(x)?ax
3
?3x
2?2
，若
f
?
(?1)?4
，则
a
的值为__ __________.
4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线
y?x
2< br>上的两点，则与直线
PQ
平行的曲线y?x
2
的切线方程是 _____________.
5.如果曲线
y?x
3
?x?10
的某一切线与直线
y?4x?3
平行，求切点
坐标与切线方程.
6．若过 两抛物线
y?x
2
?2x?2
和
y??x
2
?ax ?b
的一个交点为P的
两条切线互相垂直.求证：抛物线
y??x
2
?ax?b
过定点
Q
，并求出定点
Q
的坐标.













word

.
§10.2导数的应用
一、 知识导学
1.可导函数的极值
（1）极值的概念
设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义，且若对
x
0
附近的 所有的点都有
f(x)?f(x
0
)
（或
f(x)?f(x
0
)
），则称
f(x
0
)
为函数的一个极大（小）值，称< br>x
0
为极大（小）值点.
（2）求可导函数
f(x)
极值的步骤:
①求导数
f
?< br>(x)
。求方程
f
?
(x)?0
的根. ②求方程
f(x)?0
的根.
③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数
y?f(x)
在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，< br>左侧附近为负，那么函数
y?f(x)
在这个根处取得极小值.
2.函数的最大值和最小值
（1）设
y?f(x)
是定义在区间
?
a,b
?
上的函数，
y?f(x)
在
(a,b)
内 有导数，求函数

y?f(x)
在
?
a,b
?
上的最 大值与最小值，可分两步进行.
①求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值.
②将
y?f(x)
在各极值点的极值与
f(a)
、
f(b)
比较，其中最 大的一个为最大值，
最小的一个为最小值.
（2）若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上单调增加，则
f(a)
为函数的最小值，
f (b)
为函数的最大
值；若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上单调递减，则
f(a)
为函数的最大值，
f(b)
为函数的最 小值.
二、疑难知识导析
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数
f
?
(x)
取值为0的点称为函数
f(x)
的驻点可导函数的极值点一 定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数
y?|x|
在点
x?0
处有 极小值
f(0)
=0，可是这里的
f
?
(0)
根本不存在， 所以点
x?0
不是
f(x)
的驻点.
3
(1) 可导函数 的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数
f(x)?x
的导
23
数
f
?
(x)?3x
，在点
x?0
处有
f
?
(0)?0
，即点
x?0
是
f(x)?x
的驻点，但从
f(x)
在
?
??,??
?
上为增函数可知，点
x ?0
不是
f(x)
的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可
word

.
使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
(3) 在求实 际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关
系式，并确定其定义域.如果 定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等
函数，它在自己的定义域内必然可导），并 且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最
大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭 区间上连续，它就一定有最大（小）.
记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只 有一个驻点，那么立即可
以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。
三、经典例题导讲
[例1]已知曲线
S:y??
2
3
x?x
2
?4x
及点
P(0,0)
，求过点
P
的曲线
S
的切线方程 .
3
32
[例2]已知函数
f(x)?ax?3x?x?1
在R
上是减函数，求
a
的取值范围.
x
?ln(1?x)?x
.
1?x
x
点评：由题意构造出 两个函数
f(x)?ln(x?1)?
，
g(x)?ln(x?1)?x
.利 用导
1?x
[例3]当
x?0
，证明不等式
数求函数的单调区间， 从而导出
f(x)?f(0)
及
g(x)?g(0)
是解决本题的关键. < br>[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原
料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公
路.如果 已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应
站C运货到工厂 A所需运费最省?
[例5]（2006年四川）函数
f(x)?3x?3ax?1,g(x) ?f(x)?ax?5
，其中
f(x)
是
f(x)
的导函数.（1） 对满足－1≤
a
≤1的一切
a
的值，都有
g(x)
＜0，求 实数
x
的取值范围；
（2）设
a
＝－
m
，当实数
m
在什么范围内变化时，函数
y
＝
f(x)
的图象与直线< br>y
＝
3只有一个公共点.
[例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动， 桌面上有与点O距离为
a
的另一点A，
问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的 照度？（
?BAO?
?
,BA?r,
照度与
sin
?
成正比，与
r
成反比）
分析：如图，由光学知识，照度
y
与sin
?
成正比，与
r
成反比，
即
y?C
2
2
2
3''
sin
?
（
C
是与灯光强度有 关的常数）要想点
A
处有最
2
r
大的照度，只需求
y
的极值就可以了.
word

.
四、典型习题导练
1．已知函数
f(x)?ax
3
?(2a?1)x
2
?2
，若
x??1
是
y?f(x)
的一个极值点，
则
a
值为 （ ）
A．2 B.-2 C.
2
D.4
7
2.已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?a
2
在
x?1
处有极值为10，则
f(2)
= .
1
3．给出下列三对函数：①
f(x)??,g(x)??x
?1
②
f(x)?ax
2
(a?0)
，
x
g(x)?
x

a
1
③
f(x)??()
x
，
g( x)??log(?x)
；其中有且只有一对函数“既互为反函数，
3
又同是各自定义 域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是
f
?
(x)
，
g
?
(x)?
.
4．已知函数
f(x)?x
3
?3ax
2
?3(a?2)x?1有极大值和极小值，求
a
的取值
范围.
5．已知抛物线
y?? x
2
?2
，过其上一点
P
引抛物线的切线
l
，使< br>l
与两坐标
轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求
l
的方程. < br>6．设
g(y)?1?x
2
?4xy
3
?y
4
在
y?
?
?1,0
?
上的最大值为
f(x)
，< br>x?R
，
（1）求
f(x)
的表达式；（2）求
f(x)
的最大值.








word

.
§10.3定积分与微积分基本定理
一、知识导学
1．可微：若函数
y?f(x)
在
x
0
的增量
?x
可以表示为
?x
的线性函数
A?x
（
A
是常数）
与较
?x
高阶的无穷小量之和:
?y?A?x?o(?x)
（1）,则称函数
f
在点
x
0
可微，（1）中
的
A?x
称为 函数
f
在点
x
0
的微分，记作
dy
x?x
0
?A?x
或
df(x)
x?x
0
?A?x
.函数
f(x)
在
点
x
0
可微的充要条件是函数
f(x)
在
x
0
可导，这时（1）式中的
A
等于
f
?
(x
0
)
.若函数
y?f(x)
在区间
I
上每点都可微，则称
f(x)
为
I
上的可微函数.函数
y?f(x )
在
I
上的微
分记作
dy?f
?
(x)?x
.
2．微积分基本定理：如果
F
?
(x)?f(x)
，且
f(x)
在
[a,b]
上可积.则
?
a
f(x)dx? F(b)?F(a)
.其中
F(x)
叫做
f(x)
的一个原函数.
由于
[F(x)?c]
?
?f(x)
，
F(x)?c
也是
f(x)
的原函数，其中
c
为常数.
二、疑难知识导析
1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重
要的数 学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.
1）一般情况下，对于区间的 分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者
?
趋
近于0，这样所有的小区间的 长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择
将区间等份成
n
份，这样 只要2其中的使
b
1
?0
就可以了.
n
2）对每个小区间 内
?
i
的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.
3）求极限的时候，不是
n??
，而是
?
?0
.
2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，
一般情况下选那个 不带常数的。因为
?
a
b
b
f(x)dx?[F(x)?c]
b
a
?F(x)
a
?F(b)?F(a)
.
3．利用定 积分来求面积时，特别是位于
x
轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行
计算，然后 求两部分的代数和.
三 、经典例题导讲
[例1]求曲线
y?sinx
与
x
轴在区间
[0,2
?
]
上所围成阴影部分的面积S.
word

.
分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二 部分的积分不是阴影部分的面积，而
是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。
[例2]用微积分基本定理证明
?
a
b
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
（
a?c?b
）
ac
cb
分析：即寻找
f(x)
的原函数代入进行运算。
[例3]根据等式求常数
a
的值。
1）
?
?a
a
x
2
dx?18(a?0)
2）
?
a
e
dx
?3

x
x
(x?0)


100
分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入
a
求解
[例4 ]某产品生产x个单位时的边际收入
R
?
(x)?200?
（１） 求生产了50个单位时的总收入。
（２） 如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。
[例5]一个带电量为
Q
的电荷放在
x
轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作
用下沿
x
轴方向从
x?a
处移动到
x?b
处时电场力对它所作的功。
分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。
2
[例6]一质点以速度
V(t)?t?t?6(ms)
沿直线运动。求在时间间隔
(1,4)
上的位 移。
分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。












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四、典型习题导练
1.
?
3
1
2
x
dx?
( )
1111
A.
?
B.
ln3?ln2
C.
ln2?ln3
D.
?

3223
2．
?
cosxdx?
（ ）
0
2
?
A．0 B.2 C.-2 D.4
3．
?
x(a?x)dx?2
，则
a?
。
0
1
?
111
?
4．利用概念求极限：
lim n
?

??
?
?
222
?
n??
(n?2)(n?n)
??
(n?1)
5．求下列定积分；
（1）
?
(x?x)dx
（2）
?
2
?
cosdx

1
2
?1
?
?
2
6．写出下面函数在给定区间上的总和
S
n?
?
f(x
i
)?x
及
S
10
,S< br>100
,S
1000
的表达式
i?1
n
f(x)?x
3

x?[0,1]
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