高中导数题的解题技巧

v1.0 可编辑可修改
导数题的解题技巧
【命题趋向】导数命题趋势：
导数应用：导数－函数单调性－函数极值－函数最值－导数的实际应用．
【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导 数的
定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、 差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数
的导数．
3．理解可导 函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点
两侧 异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．
【例题解析】
考点1 导数的概念
对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理 解导函数的概念.
例1．（2006年辽宁卷）与方程
y?e
2x
?2e
x
?1(x?0)
的曲线关于直线
y?x
对称的曲线的方程为
A.
y?ln(1?x)
B.
y?ln(1?x)
C.
y??ln(1?x)
D.
y??ln(1?x)

[考查目的]本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力
[解答 过程]
y?e
2x
?2e
x
?1(x?0)?(e
x
?1)
2
?y
，
x?0,?e
x
?1
，
即：
e
x
?1?y?x?ln(1?y)
，所以
f
?1< br>(x)?ln(1?x)
.
故选A.
例2. ( 2006年湖南卷）设函 数
f(x)?
x?a
,集合M=
{x|f(x)?0}
,P=
{x|f
'
(x)?0}
,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
x?1
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
[解答 过程]由
x?a
?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.
x?1
x?aa?1
?
x?a
?
x?1?
?
x?a
?
y?,?y

?
?
??0.

?
?22
x?1
?
x?1
?
?
x?1
??
x?1
?


?a?1.
综上可得MP时,
?a?1.

考点2 曲线的切线

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（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y =f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.
典型例题
例3.（2004年重庆卷）已知曲线
y
=
1
x
+
4
，则过点
P
（2，4）的切线方程是____________ _.
3
33
思路启迪：求导来求得切线斜率.
解答过程：
y′=
x
，当
x
=2时，
y
′=4.∴切线的斜率为4.
∴切线的方程为
y
－4=4（
x
－2），即
y
=4
x
－4.
答案：4
x
－
y
－4=0.
例4.（2006年安徽卷）若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线< br>x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0

C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直 线
x?4y?8?0
垂直的直线
l
为
4x?y?m?0
，即
y?x
4
在某一点的导数为4，而
y
?
?4x
3< br>，所以
y?x
4
在(1，
1)处导数为4，此点的切线为
4x ?y?3?0
.
故选A.
例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与
x
+
y
-4
x
+2
y
+
5
=0 相切的直线的方程为 ( )
2
2
2
2
=-3
x< br>或
y
=
1
x
B.
y
=-3
x
或
y
=-
1
x
=-3
x
或
y
=-
1
x
D.
y
=3
x
或
y
=
1
x

3333
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1：设切线的方程为
y?kx,?kx?y?0.

又?
x?2
?
2
?
?
y?1
?
2
?
5
,?圆心为
?
2,?1
?
.

2< br>?
2k?1
k
2
?1
?
51
,?3k
2
?8k?3?0.?k?,k??3.

23
1
?y?x,或y??3x.

3
故选A.
31
?
由 解法2:由解法1知切点坐标为
(
1
,?
3
),
?
?
,
?
,
22
?
22
?
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5
?
?
(x?2)??
y?1
?
?
?
?
,
?
??
x
?
2
?
?
x
2
2


?2 (x?2)?2
?
y?1
?
y
x

?0,
x ?2
?y
x
??.
y?1


1
?.
31
(,)
3
22
?k
1
?y
x

13
(,?)
22
??3,k
2
?y
x

1
x.
3
?y??3x,y?
故选A.
例6.已知两抛物线
C
1
:y?x
2
?2x,C
2
:y??x
2?a
,
a
取何值时
C
1
，
C
2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
思路启迪：先对
C
1
: y?x
2
?2x,C
2
:y??x
2
?a
求导数.
解答过程：函数
y?x
2
?2x
的导数为
y
'?2x?2
，曲线
C
1
在点P(
x
1
,x1
2
?2x
1
)处的切线方程为
2
2
y?(x
1
?2x
1
)?2(x
1
?2)(x?x
1
)
，即
y?2(x
1
?1)x?x
1
①
曲线
C
1
在点Q
(x
2
,?x
2
2
?a)
的切线方程是
y?(?x
2
?a)??2x
2
(x ?x
2
)
即

y??2x
2
x?x
2
2
?a
②
若直线
l
是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是
l
的方 程，故得
22
x
1
?1??x
2
,?x
1
?x
2
?1
，消去
x
2
得方程，
2x
1
?2x
1
?1?a?0

2
若△=
4?4?2( 1?a)?0
，即
a??
1
时，解得
x
1
??1
，此时点P、Q重合.
22
∴当时
a??
1
，C
1
和
C
2
有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为
y?x?
1
.
24
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的 初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于
函数的单调 性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的
方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高 度重
视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）;
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．（2006年天津卷）函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示， 则函数
f(x)
在开
区间
(a,b)
内有极小值点（ ）
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A．1个
B．2个
C．3个
D． 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础 知识
[解答过程]由图象可见,在区间
(a,0)
内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8. 设
y?f(x)
为三次函数，且图象关于原点对称，当< br>x?
1
时，
f(x)
的极小值为
?1
，求出函数f(x)
的解析式.
2

y
y?f
?
(x)
b

a
O


x

的应用能力.
思路启迪：先设
f(x)?ax3
?bx
2
?cx?d(a?0)
，再利用图象关于原点对称确定系数.
解答过程：设
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d(a? 0)
，因为其图象关于原点对称，即
f(?x)?

?f(x)
，得

?b?0，d?0，
即
f(x)?ax
3
?cx
ax
3
?bx
2
?cx?d?ax
3
?bx
2?cx?d，





由
f'(x)?3ax
2
?c
，
依题意，
f'(
1
)?
3
a?c?0
，
24
11c
f()?a???1
，
282
解之，得
a?4，c??3
.
故所求函数的解析式为
f(x)?4x
3
?3x
.
例9.函数
y?2x?4?x?3
的值域是_____________.
思路启迪 ：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数
的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。
2x?4?0得，解答过程：由
?
x??2
，即函数的定义域为
[?2,??)
.
?
?
x?3?0




y'?
112x?3?2x?4
，
??
2x?42x?322x?4?x?3
2x?8
，
2x?3? 2x?4
又
2x?3?2x?4?
?
当
x??2
时，
y'?0
，
?
函数
y?2x?4?x?3
在
(?2,? ?)
上是增函数，而
f(?2)??1
，
?y?2x?4?x?3
的 值域是
[?1,??)
.
16
例10．（2006年天津卷）已知函数f
?
x
?
?4x
3
?3x
2
cos< br>?
?
3
cos
?
，其中
x?R,
?
为参数，且
0?
?
?2
?
．
（1）当时
cos< br>?
?0
，判断函数
f
?
x
?
是否有极值；
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（2）要使函数
f(x)
的极小值大于零，求参数
?
的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数
?
，函数
f
?x
?
在区间
?
2a?1,a
?
内都是增函数，求实数< br>a
的取值范围．
[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及 极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解
决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.
[解答过程]（Ⅰ）当
cos
?
?0
时，
f(x)?4x
3
，则
f(x)
在
(??,??)
内是增函数，故无极值.
（Ⅱ）
f'(x)?12x
2
?6xcos
?
，令
f'( x)?0
，得
x
1
?0,x
2
?
cos
?
.
2
由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.


①当cos
?
?0
时，随x的变化
f'(x)
的符号及
f( x)
的变化情况如下表：
x
f'(x)

f(x)

(??,0)

0
0
极大值

(0,
cos
?

)
2
cos
?

2
(
cos
?
,??)

2
+
↗
-
↘
0
极小值
+
↗
因此 ，函数
f(x)
在
x?
cos
?
处取得极小值
f(
cos
?
)
，且
f(
cos
?
)??1
cos
3
?
?
3
?

22
2416
.
要使
f(
cos
?
)?0
，必有
?
1
cos
?
(cos
2
?
?
3
)?0
，可得
0?cos
?
?
3
.
2
2
44
由于
0?cos
?
?
3
，故
??
?
?
?
或
3
?
?
?
?11
?
.
2
6226
②当时
cos
?
?0
，随x的变化，
f'(x)
的符号及
f(x)
的变化情况如下 表：
x

f'(x)

f(x)

(??,
cos
?

)
2
cos
?

2
(
cos
?
,0)

2
0

0
(0,??)

+

0
极大值
-

+

极小值
因此，函数
f(x)在x? 0
处取得极小值
f(0)
，且
f(0)?
3
cos
?
.

16
若
f(0)?0
，则
cos
?
?0
.矛盾.所以当
cos
?
?0
时，
f(x)< br>的极小值不会大于零.
综上，要使函数
f(x)
在
(??,??)< br>内的极小值大于零，参数
?
的取值范围为
(
?
,
?< br>)?(
3
?
,
11
?
)
.
622 6
（III）解：由（II）知，函数
f(x)
在区间
(??,??)
与
(
cos
?
,??)
内都是增函数。
2
由题 设，函数
f(x)在(2a?1,a)
内是增函数，则a须满足不等式组
2a?1?a

a?0
或
2a?1?a
1
2a?1?cos
?
2

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由（II），参数时
?
?(
?
,
?
)?(
3
?
,
11
?
)
时，
0?cos
?
?
3
.要使不等式
2a?1?
1
cos
?
关于参 数
?
恒成立，必有
2a?1?
3
，
6226
22
4
即
4?3
?a
.
8
综上，解得
a?0
或
4?3
?a?1
.
8
所以
a
的取值范围是
(??,0)?[
4?3
,1)< br>.
8
例11．(2006年山东卷)设函数
f
(
x
)=
ax
－(
a
+1)ln(
x
+1)，其中
a< br>?
-1，求
f
(
x
)的单调区间.
[考查目的]本 题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数
f(x)
的定义域为
(?1,??)
，且
f
'
(x)?
ax?1
(a??1),

x?1
（1）当
?1?a?0
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)
在
(?1,??)
上单调递减，
（2）当
a?0
时，由
f
'
(x)?0,
解得
x?
1
.

a
f
'
(x)
、
f(x)
随
x
的 变化情况如下表
x

f
'
(x)

f(x)

1
(?1,)

a
1

a
1
(,??)

a
—

0
极小值
+

从上表可知
当
x?(?1,
1< br>)
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)
在< br>(?1,
1
)
上单调递减.
aa
当
x?(
1
,??)
时，
f
'
(x)?0,
函数
f(x)< br>在
(
1
,??)
上单调递增.
aa
综上所述：当< br>?1?a?0
时，函数
f(x)
在
(?1,??)
上单调递减 .
当
a?0
时，函数
f(x)
在
(?1,
1)
上单调递减，函数
f(x)
在
(
1
,??)
上单调递增.
a
a
例12．（2006年北京卷）已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx
在点
x
0
处取得
y?f'(x)
的图象经过点
(1,0)
，
(2,0)
，如图所示 .求：
极大值
5
，其导函数
（Ⅰ）
x
0
的值；
（Ⅱ）
a,b,c
的值.
[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的
综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 < br>[解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在
?
??,1
?
上
f'
?
x
?
?0
，在
?
1,2
?
上
f'
?
x
?
?0
，在
?
2,??
?
上
f'
?
x
?
?0
,
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故
f(x)
在上递增，在
(1,2)
上递减，
（-?，1 ），（2，+?）
因此
f
?
x
?
在
x?1
处取得极大值，所以
x
0
?1

（Ⅱ）
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c,

'
由
f（

1）=0，（f
'
2）＝0，（f'
1）＝5，
?
3a?2b?c?0,
得
?
12a?4 b?c?0,

?
?
a?b?c?5,
?
解得
a? 2,b??9,c?12.

解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）设
f
'
(x)?m(x?1)(x?2)?mx
2
?3mx?2m,

又
f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c,

所以
a?
m
,b??
3
m,c?2m

3 2
f(x)?
m
3
3
2|
x?mx?2mx,
< br>32
32
由
f(1)?5，
即
m
?
3
m?2m?5,
得
m?6,

所以
a?2,b??9,c?12

例13．（2006年湖北卷）设
x?3
是函数
f
?
x
?
?
?
x
2
?ax?b
?
e
3?x
?
x?R
?
的一 个极值点.
（Ⅰ）求
a
与
b
的关系式（用
a
表示
b
），并求
f
?
x
?
的单调区间；
25
?
x2
（Ⅱ）设
a?0
，
g
?
x
?
?
?
?
a?
?
e
.若存在
?
1
,
?
2
?
?
0,4
?
使得
f?
?
1
?
?g
?
?
2
?
?1
成立，求
a
的取值范围.
?
4
?
[考查目的]本 小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答过程]（Ⅰ）
f `(x)
＝－[
x
＋(
a
－2)
x
＋
b－a
]
e
由
f `(3)=0
，得 －[
3
＋(
a
－2)3＋
b－a
]
e
2
2
2
3－x
,
3－3
＝0，即得b＝－3－2
a
，
则
f `(x)< br>＝[
x
＋(
a
－2)
x
－3－2
a－a ]
e
＝－[
x
＋(
a
－2)
x
－3
－3a
]
e
2
3－x

3－x
＝－(< br>x－3
)(
x
＋
a+
1)
e
3－x
.
令
f `(x)
＝0，得
x
1
＝3或
x
2
＝－
a
－1，由于
x
＝3是极值点，
所以
x+a+
1≠0
，
那么
a
≠－4.
当
a
<－4时，
x
2
>3＝
x
1
，则
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v1.0 可编辑可修改
在区间（－∞，3）上，
f `(x)
<0，
f (x)
为减函数；
在区间（3，―
a
―1）上，
f `(x)>0，f (x)
为增函数；
在区间（―
a
―1，＋∞）上，
f `(x)
<0，
f (x)
为减函数.
当
a
>－4时，< br>x
2
<3＝
x
1
，则
在区间（－∞，―
a
―1）上，
f `(x)
<0，
f (x)
为减函数；
在区间（―
a
―1，3）上，
f `(x)>0，f (x)
为增函数；
在区间（3，＋∞）上，
f `(x)
<0，
f (x)
为减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当
a
>0时，
f (x)
在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么
f (x)
在
区间[0，4]上的值域是[
min(f (0)，f (4)
)，
f (3)
]，
而
f (0)
＝－（2
a
＋3）
e<0，f (4)
＝（2
a
＋13）
e>0
，
f (3)
＝
a
＋6，
那么
f (x)
在区间[0，4]上的 值域是[－（2
a
＋3）
e
，
a
＋6].
又g(x)?(a
2
?
25
)e
x
在区间[0，4]上是 增函数，
4
3
3－1
且它在区间[0，4]上的值域是[
a
＋
25
，（
a
＋
25
）
e
]，
22
4
4
22
4
2
由于（
a
＋
25
）－（
a
＋6）＝
a
－
a
＋
1
＝（
a?
1
）≥0，所以只须仅须
4
42
（
a
＋
25
）－（
a
＋6）<1且
a
>0，解得0<< br>a
<
3
.
2
42
故
a
的取值范围是（0，
3
）.
2
例14 （2004年天津卷）已知函数
f
（
x
）=ax
+
bx
－3
x
在
x
=±1处取得极值.
（1）讨论
f
（1）和
f
（－1）是函数
f
（x
）的极大值还是极小值；
（2）过点
A
（0，16）作曲线
y
=
f
（
x
）的切线，求出此切线方程.
思路启迪：（1 ）分析
x
=±1处的极值情况，关键是分析
x
=±1左右
f
?
（
x
）的符号.（2）要分清点
A
（0，16）是
否在曲 线上.
解答过程：：（1）
f
?
（
x
）=3
ax
+2
bx
－3，依题意，
f
?
（1）=
f
?
（－1）=0，
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2
32

v1.0 可编辑可修改
3a?2b?3?0,
即
?
?
?
3a?2b?3?0.< br>解得
a
=1，
b
=0.
∴
f
（
x
）=
x
－3
x
，
f
?
（
x
）=3
x
－3=3（
x
+1）（
x
－1）.
令
f
?
（
x
）=0，得
x
=－1，
x
=1.
若
x
∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则
f
?
（
x
）＞0，
故
f
（
x
）在（－∞，－1）上是 增函数，
f
（
x
）在（1，+∞）上是增函数.
若
x∈（－1，1），则
f
?
（
x
）＜0，故
f
（
x
）在（－1，1）上是减函数.
所以
f
（－1）=2是极大值，
f
（1）=－2是极小值.
（2）曲线
y
=
x
－3
x
，点
A
（0， 16）不在曲线上，设切点
M
（
x
0
，
y
0
），则
y
0
=
x
0
－3
x
.
2
∵
f
?
（
x
0
）=3
x
0－3，
33
32
∴切线方程为
y
－
y
0=3（
x
0
－1）（
x
－
x
0
）.
代入
A
（0，16）得16－
x
0
+3
x
0
=3（
x
0
－1）（0－
x
0
）.
解 得
x
0
=－2，∴
M
（－2，－2），切线方程为9
x－
y
+16=0.
小结：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器 （切、焊损耗不 计）.有人应用数
学知识作了如下设计：如图（a）,在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分 围成一个长方形，该长方体的高
为小正方形的边长，如图（b）.






x
a
x
b
32
2
请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积
V
1
；
由于上述 设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容
积
V
2
?V
1
.
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v1.0 可编辑可修改
解答过程： （1）设切去的正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面的边长为4-2x,高为x，所以,
V1
?(4?2x)
2
x?4(x
3
?4x
2
? 4x)
,
(0?x?2)
.
∴
V
'
1
?4(3x
2
?8x?4)
.
令
V
'
1
?0
,得
x
1
?
2
,x
2
?2
(舍去).
3
而
V
'
1
?12(x?
2
)(x?2)
,
3
又当
x?
2
时,
V
'
1
?0
.
3
当
2
?x?2
时,
V
'
1
?0
,
3
∴当
x?
2
时,
V
1
取最大值
128
.
327
（2）重新设计方案如下：
如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1 的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一
边的中间；如图③，将图②焊成长方体容 器。







4
图①
3
1
1
2
2
图②
2
图③
3
新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积

V< br>2
?3?2?1?6
，显然
V
2
?V
1
.
故第二种方案符合要求.
例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量y
（升）关于行驶速度
x
（千米小时）的函数解析式可以表示为：
y?
13
x
3
?x?8(0?x?120).
已知甲、乙两地相距100 千米.
12800080
（I）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少最少为多少升
[考查目的] 本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解 答过程]（I）当
x?40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
?2.5小时，
40
要耗没
(
13
?40
3
??40 ?8)?2.5?17.5
（升）.
12800080
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v1.0 可编辑可修改
答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。
（II）当速 度为
x
千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
100
小时，设耗油量为
h(x)
升，依题意得
x
131001
2
80015
h( x)?(x
3
?x?8).?x??(0?x?120),

12800080x1280x4

x800x
3
?80
3
h'(x)???(0?x?120).

640x
2
640x2
令
h'(x)?0,
得
x?80.

当
x? (0,80)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；当
x?(80,12 0)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数.
当
x?80
时，
h(x)
取到极小值
h(80)?11.25.

因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1.
y
=
e

sin
x
cos(sin
x
)， 则
y
′(0)等于( )
B.1
x?5
C.－1
2.经过原点且与曲线
y
=
x?9
相切的方程是( )
+
y
=0或
x
+
y
=0
25
25








－
y
=0或
x
+
y
=0
25
25
+
y
=0或
x
－
y
=0 －
y
=0或
x
－
y
=0
3.设
f
(
x
)可导，且
f
′(0)=0,又
lim
f
?
(x)
=－1,则
f
(0)( )
x?0
x
A.可能不是
f
(
x
)的极值
C.一定是
f
(
x
)的极小值
22










B.一定是
f
(
x
)的极值
D.等于0
4.设 函数
f
n
(
x
)=
nx
(1－
x
)(
n
为正整数)，则
f
n
(
x
)在［0,1］上 的最大值为( )

23
n
B.1 C.
(1?
2
)
n

2?n
D.
4(
n
)
n?1

n?2
5、函数y=(x-1)+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值
(x)=ax+3x+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、
10
B、
13
C、
16
D、
19

3333
2
7.过抛物线y=x上的点M（
1
,
1
）的切线的倾斜角是( )
32
D、无法确定极值情况
24
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v1.0 可编辑可修改
A、30
0
B、45 C、60
3
00
D、90
0
8.函数f(x)=x-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )
A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，
1
） 2
3
9.函数y=x-3x+3在[
?
3
,
5
]上的最小值是( )
22
A、
89
B、1 C、
33
D、5
8
32
8
10、若f(x)= x+ax+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( )
A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
11、已知函数y=2x+ax+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A、（2，3） B、（3，+∞）
543
32
C、（2，+∞） D、（-∞，3）
12、方程6x-15x+10x+1=0的实数解的集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二、填空题
13.若
f
′(
x
0
)=2,
lim
f(x
0
?k)?f(x
0
)
=_________.
k?0
2k
14.设
f
(
x)=
x
(
x
+1)(
x
+2)…(
x
+
n
),则
f
′(0)=_________.
15.函数
f
(
x
)=log
a
(3
x
+5
x－2)(
a
＞0且
a
≠1)的单调区间_________.
16.在半径为
R
的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最 大.
三、解答题
17.已知曲线
C
：
y
=
x< br>－3
x
+2
x
,直线
l
:
y
=kx
,且
l
与
C
切于点(
x
0
,y
0
)(
x
0
≠0)，求直线
l
的方程及切点 坐标.
18.求函数f(x)=px(1-x)(p∈N
+
)，在[0，1]内的最大值.
19.证明双曲线xy=a上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数.
20.求函数的导数
(1)
y
=(
x
－2
x+3)
e
;
(2)
y
=
3
x
. < br>1?x
22
x
2
22p
32
2
21.有一个 长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 ms
墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.
22.求和
S
n
=1+2
x
+3
x
+…+
nx
3
22222
n
－1
的 速度离开墙脚滑动，求当其下端离开
,(
x
≠0,
n
∈N). *
23.设
f
(
x
)=
ax
+
x恰有三个单调区间，试确定
a
的取值范围，并求其单调区间.
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v1.0 可编辑可修改
24.设
x
=1与
x
=2是函数
f
(
x< br>)=
a
ln
x
+
bx
+
x
的两个极 值点.
(1)试确定常数
a
和
b
的值；
(2)试判断< br>x
=1,
x
=2是函数
f
(
x
)的极大值还 是极小值，并说明理由.
25.已知
a
、
b
为实数，且
b
＞
a
＞
e
,其中
e
为自然对数的底，求证：
a
＞
b
.
26.设关于
x
的方程2
x
－
ax
－2=0的两根为
α
、
β
(
α
＜< br>β
),函数
f
(
x
)=
4x?a
.
2
2
ba
x
2
?1
(1)求
f
(
α
)·
f
(
β
)的值；
(2)证明
f
(
x
)是［
α
，
β
］上的增函数；
(3)当a
为何值时，
f
(
x
)在区间［
α
，
β
］上的最大值与最小值之差最小


【参考答案】
一、1.解析：
y
′=
e
答案：B
2.解析：设切点为(
x
0
,
y
0
),则切线的斜率为
k
=y
0
,另一方面，
y
′=(
x?9
)′=
?4
x
0
sin
x
［cos
x
cos(sin
x
)－cos
x
sin(sin
x
)］,
y
′(0 )=
e
(1－0)=1.
0
x?5
(x?5)
2
,故
y
′(
x< br>0
)=
k
,即
y
0
x
0
?9
或
x
0
2
+18
x
0
+45=0得
x< br>0
(1)
=－3,
y
0
(2)
=－15,对应有y
0
(1)
=3,
y
0
(2)
=
?1 5?93
,因此得两个切
?4
?
??
?15?55
(x0
?5)
2
x
0
x
0
(x
0
?5)
点
A
(－3，3)或
B
(－15,
3
),从 而得
y
′(
A
)=
5
?4
(?3?5)
3
=－1及
y
′(
B
)=
?41
故得切线：l
A
:
y
=
??
,由于切线过原点，
225
(?15?5)
－
x
或
l
B
:
y
=－
x
.
25
答案：A
3.解析：由
lim< br>f
?
(0)
=－1,故存在含有
x
0的区间(
a,
b
)使当
x
∈(
a
,
b
),
x
≠0时
x?0
f
?
(0)
＜0,于是当
xx
∈(
a
,0)时
f
′(0)＞0,当
x
∈( 0,
b
)时，
f
′(0)＜0,这样
f
(
x
)在(
a
,0)上单增，在(0,
b
)上单减.
答案：B 4.解析：∵
f
′
n
(
x
)=2
xn
(1－
x
)－
nx
(1－
x
)
2
n
32
n
-12
n
-1
=
nx
(1－
x< br>)［2(1－
x
)－
nx
］,令
f
′
n(
x
)=0,得
x
1
=0,
x
2
=1 ,
x
3
=
2
,易
2?n
22
nn
+1
知
f
n
(
x
)在
x
=
2时取得最大值，最大值
f
n
(
2
)=
n
(2
)(1－
2
)=4·(
2
).
2?n2?n2?n2?n2?n
答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C
二、13.解析：根据导数的定义 ：
f
′(
x
0
)=
lim
f[(x
0?(?k)]?f(x
0
)
(这时
?x??k
)
k?0
?k
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v1.0 可编辑可修改
?
lim
f(x
0
?k)?f(x
0
)1f(x
0
?k)?f(x
0
)
?
lim
[??]
k?0k?0
2k2?k

1f(x
0
?k)?f(x
0
)1
??
lim
?? f
?
(x
0
)??1.
2
k?0
?k2
答 案：－1
14.解析：设
g
(
x
)=(
x
+1) (
x
+2)……(
x
+
n
),则
f
(x
)=
xg
(
x
),于是
f
′(
x< br>)=
g
(
x
)+
xg
′(
x
),
f
′(0)=
g
(0)+0·
g
′(0)=
g(0)=1·2·…
n
=
n
！
答案：
n
!
15.解析：函数的定义域是
x
＞
1
或
x
＜－2,
f
′(
x
)=
3
log
a
e
.( 3
x
2
+5
x
－2)′=
(6x?5)?log
a
e
,
(3x?1)(x?2)
3x
2
?5x?2
①若
a
＞1,则当
x
＞
1
时，log
a
e
＞0,6
x
+5＞0,(3
x
－1)(
x
+2)＞ 0,∴
f
′(
x
)＞0,∴函数
f
(
x
) 在(
1
,+∞)上是增函数，
x
＜
33
－2时，
f
′(
x
)＜0.∴函数
f
(
x
)在(－∞,－2) 上是减函数.
②若0＜
a
＜1,则当
x
＞
1
时，
f
′(
x
)＜0,∴
f
(
x
)在(
1
,+∞)上是减函数，当
x
＜－2时，
33
f
′(< br>x
)＞0,∴
f
(
x
)在(－∞,－2)上是增函数.
答案：(－∞,－2)
16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2
x
, 高为
h
，那么
h
=
AO
+
BO
=
R
+
R
2
?x
2
,解得
x
2
=
h
(2
R
－
h
),于是内接三角形的面积为
S< br>=
x
·
h
=
(2Rh?h
2
)?h?(2R h
3
?h
4
),

1
从而
S
?< br>?
1
(2Rh
3
?h
4
)
?
2(2Rh
3
?h
4
)
?

2
?
1h
2
(3R?2h)
3423
2
?(2Rh?h)(6Rh?4 h)?
2
(2R?h)h
3
1

.
令
S< br>′=0,解得
h
=
3
R
,由于不考虑不存在的情况，所在区间 (0,2
R
)上列表如下：
2
h

S
′
S

2
(0,
3
R
)
2
3
R

2
(
3
,2
R
)
2
+
增函数
0 －
最大值 减函数
由此表可知，当
x
=
3
R
时，等腰三角形面积最大.
答案：
3
R

2
三、17. 解：由
l
过 原点，知
k
=
y
0
(
x
0
≠0),点(< br>x
0
,
y
0
)在曲线C上，
y
0
=
x
0
－3
x
0
+2
x
0
,
32
x
0
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∴
y
0
=
x
0
－3
x
0
+2,
y
′=3
x
－6
x
+2,
k
=3
x
0
－6
x
0
+2
222
x
0
又
k
=
y
0
,∴3
x
0
－6
x
0
+2=
x
0
－3
x
0
+2,2
x
0
－3
x
0
=0,∴
x
0
=0或
x
0
=
3
.
222
x
0
2
由
x
≠0,知
x
0
=
3
,
2
∴
y
0
=(< br>3
)－3(
3
)+2·
3
=－
3
.∴
k
=
y
0
=－
1
.
32
2228x
0
4
∴
l
方程
y
=－
1
x
切点(
3
，－
3
).
428
18.
f '(x)?p
2
x(1?x)
p?1
[2?(2?p)x]
,
令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=
2
,
2?p
p
p?2
.
2
)?4()
2?p2?p
在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，
f(
∴
[f(x)]
max
?4(
p
2?p
.
)2?p
19.设双曲线上任一点P（x
0
，y
0
）,

k?y|
x?x
??
0
a
2
x
0
2
,
a
2
x
0
2
∴ 切线方程
y?y
0
??(x?x
0
)
,
令y=0，则x=2x
0

令x=0，则
y?
2a
.
x
0
2
∴
S?
1
|x||y|?2a
2
.
2
20.解：(1)注意到
y
＞0,两端取对数，得
ln
y
=ln(
x
－2
x
+3)+ln
e
=ln(x
－2
x
+3)+2
x,

1(x
2
?2x?3)
?
2x?22(x
2
?x?2)
??y
??
2
?2?
2
?2?
2
yx?2x?3x?2x?3x ?2x?3.
?y
?
?
2(x
2
?x?2)2(x
2
?x?2)
?y?
2
?(x
2
?2x?3)?e
2x
.
2
x?2x?3x?2x?3
?2(x
2
?x?2) ?e
2x
.
22
x
2

(2)两端取对数，得
ln|
y
|=
1
(ln|
x
|－ln|1－
x
|),
3
两边解
x
求导，得
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111?111
?y
?
?(?)?,
y3x1?x3x(1?x)< br>?y
?
?
111x
3
??y?.
3x(1?x)3x (1?x)1?x

21.解：设经时间
t
秒梯子上端下滑
s
米,则
s
=5－
25?9t
2
,当下端移开1.4 m时，
t
0
=
1?4
?
7
,
315
?
1
2
又
s
′=－ (25－9
t
)
2
·(－9·2
t
)=9
t
2
1
1
25?9t
2
,
所以
s
′(
t
0< br>)=9×
7
15
?
1
25?9?(
2
=(m s).
7
2
)
15
2222
22.解：(1)当
x
=1时，
S
n
=1+2+3+…+
n
=
1
n
(
n
+1)(2
n
+1),当
x
≠1时，1+ 2
x
+3
x
+…+
nx
6
n
-1
nn?1
=
1?(n?1)x?nx
,两边
(1?x)
2
同 乘以
x
,得
x
+2
x
2
+3
x
2
+…+
nx
n
=
x?(n?1)x
S
n
=1
2
+2
2
x
2
+3
2
x
2< br>+…+
n
2
x
n
-1
(1?x)
3
2
n?1
2
?nx
n?2
两边对
x
求导，得
(1?x)

2n2n?12n?2
=
1?x?(n?1)x?(2 n?2n?1)x?nx
.
23.解：
f
′(
x
)=3
ax
+1.
若
a
＞0,
f
′(
x
)＞0对
x
∈(－∞ ,+∞)恒成立，此时
f
(
x
)只有一个单调区间，矛盾.
若a
=0,
f
′(
x
)=1＞0,∴
x
∈(－∞ ,+∞),
f
(
x
)也只有一个单调区间，矛盾.
若
a< br>＜0,∵
f
′(
x
)=3
a
(
x
+
1
3|a|
)·(
x
－
1
3|a|
13|a|
),此时
f
(
x
)恰有三个单调区间.
1< br>3|a|
∴
a
＜0且单调减区间为(－∞,－
单调增区间为(－
1
3|a|
)和(,+∞)，
,
1
3|a|
). < br>24.解：
f
′(
x
)=
a
+2
bx
+1,
x
(1) 由极值点的必要条件可知：
f
′(1)=
f< br>′(2)=0,即
a
+2
b
+1=0,且
a
+4b
+1=0,
2
解方程组可得
a
=－
2
,< br>b
=－
1
,∴
f
(
x
)=－
2ln
x
－
1
x
+
x,

2
3 636
(2)
f
′(
x
)=－
2
x
－1
x
+1,当
x
∈(0,1)时，
f
′(
x< br>)＜0,当
x
∈(1,2)时，
f
′(
x
)＞0,当
x
∈(2,+∞)时，
f
′(
x
)＜0,
-133
故在
x
=1处函数
f
(
x
)取得极小值< br>5
,在
x
=2处函数取得极大值
4
－
2
ln 2.
633
25.证法一：∵
b
＞
a
＞
e
,∴要证
a
＞
b
,只要证
b
ln
a
＞< br>a
ln
b
,设
f
(
b
)=
b
ln
a
－
a
ln
b
(
b
＞
e< br>),则
ba
f
′(
b
)=ln
a
－
a
.∵
b
＞
a
＞
e
,∴ln
a
＞1,且
a
＜1,∴
f
′(
b
)＞0.∴函数
f< br>(
b
)=
b
ln
a
－
a
ln
b
在(
e
,+∞)上是增函数，∴
f
(
b
)bb
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＞
f
(
a
)=< br>a
ln
a
－
a
ln
a
=0,即
b< br>ln
a
－
a
ln
b
＞0,∴
b
ln
a
＞
a
ln
b
,∴
a
＞
b
.
证法二：要证
a
＞
b
,只要证
b
ln
a
＞
a
ln
b
(
e
＜
a
＜b
)
,即证
ba
ba
,设
f
(
x)=
lnx
(
x
＞
e
)，则
f
′(< br>x
)=
1?lnx
＜0,∴函数
x
x
2
f< br>(
x
)在(
e
,+∞)上是减函数，又∵
e
＜
a
＜
b
,
∴
f
(
a
)＞
f< br>(
b
),即
lna
?
lnb
,∴
a
＞
b
.
ba
ab
26.解：(1)
f
(
α
)=
2
2
?8
a?16?a
,
f
(β
)=
2
?8
a?16?a
,
f
(
α
)=
f
(
β
)=4,
(2)设
φ
(< br>x
)=2
x
－
ax
－2,则当
α
＜
x
＜
β
时，
φ
(
x
)＜0,
f
?
(x)?
??
(4x?a)
?
(x
2
?1)?( 4x?a)(x
2
?1)
?
4(x
2
?1)?2x(4x? a)

?
(x
2
?1)
2
(x
2
?1)
2
2(2x
2
?ax?2)2
?
(x)
??
2
?0

222
(x?1)(x?1)
.
∴函数< br>f
(
x
)在(
α
，
β
)上是增函数. (3)函数
f
(
x
)在［
α
，
β
］上 最大值
f
(
β
)＞0,最小值
f
(
α
)＜ 0,
∵|
f
(
α
)·
f
(
β
) |=4,∴当且仅当
f
(
β
)=－
f
(
α
)=2时，
f
(
β
)－
f
(
α
)=|f
(
β
)|+|
f
(
α
)|取最小值4，此时
a
=0,
f
(
β
)=2.








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