导数在高中数学解题中的应用

导数在高中数学解题中的应用
高二年级数学组 钱洪永
摘要：< br>导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活
力，特别是导数广泛的应用性， 为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题
带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景 线，也使它成为新教材
高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以< br>往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导
数与传统内容结合 ，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实
践意义。导数的思想方法在高中数学解题中 是非常重要的，在解决许多问题上起
到居高临下和以繁化简的作用。文章着重运用导数的基本知识和理论 ，来解决高
中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的根上的
运用 ，结合实例阐述了导数在代数问题，解析几何及实际问题的一些应用。这对
高中数学的教学具有一定的指 导作用。

关键词
：
导数； 高中数学； 应用

1引言
导数是我们研究中学数学的一个有力工具，它使各个章节的内容联系的更加
紧密，有助于我们对 中学数学的深入学习。数的工具性微积分作为一种强有力的
数学工具的地位是毋庸置疑的,而导数则以它 优良的性质、广泛的用途扮演了重
要的角色.以中学数学为例导数作为一个交汇点,联结起了函数、方程 、向量、数
列、不等式、解析几何等内容;并为解决这些提供了统一、有章可循的方法。导
数在 现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位,在高中阶段学习函数时,为了
理解函数的性态,学生主要学 习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、
有界性等。有利于学生更好地掌握函数思想数学上的 许多问题,用初等数学方法
是不能解决的,或者难以解决,而通过建立函数关系,利用函数思想,然后用 导数
来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问
题的解决。 高中新课程改革的背景下,导数知识作为高等数学微积分中的内容在
高中课程中做铺垫,又对导数内容的 教材进行了修改。课程改革是导数知识在实
践中经历了变化与发展的过程。应用非常广泛，涉及到中学数 学的各个方面。我
们应该把导数的工具作用发挥出来，在数学中应该加强导数的思想教学。
2 文献综述
2.1 国内外研究现状
在查阅到的文献资料中，大量学者对导数在高中数学中 的应用有不同的见

解，华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版中提到导数在高 中求极值
问题； 陈应昌在文献[2]中讲述了在导数在高中数学中单调性的应用；郭金芝在
文 献[3]中讲述了导数在高中数学中求极值的应用；李汉云、张丽娟、窦宝权等
人在文献[4]-[9] 中谈到国导数在高中数学中利用导数求函数解析式和利用导数
画函数图像以及利用导数在求切线解析式的 应用；周国球在文献[10]中讲述了导
数在高中数学解题中应注意的方面；王淑茂 ，吴永清文献[1 1]中讲述了导数应
用的几个误区和怎样才能避免这些误区发生；肖志向、朱家俊文献[12]-[13 ]中
用导数法证明了不等式和等式；秦学锋文献[14]讲述了在求和数列中的应用；张
红文献 [15]详细讲述了导数的发展。
2.2 国内外研究现状评价
在查到的文献[1]-[1 5]中，作者分别从不同的方面说明导数的一些应用及应
该注意的一些问题，但是都过于单调，不够完善 ，不能体现导数在高中数学的重
要性及广泛性。
2.3提出问题
以上文献针对导 数在高中数学的重要性，从导数的基本定义在高中数学的应
用，从导数的定义在高中数学中不同的应用， 但不够完善，本文将导数在中学数
学中的应用进行了一个综合，更能体现导数在高中数学中的重要性及广 泛性。
3 预备知识
导数的定义

（1）导数第一定义：设函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
的某个邻域内有定义，当自
变量
x
在
x
0
处有增量
?x
(
x
0
+
?x
也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增
量
?y
=
f
?
x
0
??x
?
-
f
(
x
0
) ；如果
?y
与
?x
之比当
?x
→0 时极限存
在，则称函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处可导，并称这个极限值为函数
y?f
?
x
?
在
f
?
x
0??x
?
?f
?
x
0
?
?y
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
'
点 x0 处的导数记为
f
?
x
0
?
,即 为导
dydy
?x
?
'
也可记作y
x?x
0
,
x?x
0
或
x?x
0
dxdy
f
'
?
x
0
?
?lim
数第一定义

（2）导数第二定义：设函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
的某个邻域内有定义，当
?
时，相应地函数变化自变量x 在
x
0
处有变化
?x
?
x?x
0
也在该领 域内
?y?f
?
x
?
?f
?
x
0
?
；如果
?y
与
?x
之比当
?x?0
时极限存在，则称函数
并称这个极限值为函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处可导，

记为
f
'
?
x
0
?
,即
f
'
?
x
o
?
?lim
x?x
0
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
为导数第二定义
x?x
0
（3）导函数与导数：如果函数
y?f
?
x
?
在开区间I内每一点都可导，就称
函数f
?
x
?
在区间
I
内可导。这时函数
y?f
?
x
?
对于区间
I
内的每一个确定的x
值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数
y?f
?
x
?
的导函数，记作
y
'
,f
'
?
x
?
,dydx,df
?
x
?
dx
。导函数简称导数。
4 导数在代数问题中的应用
(1)利用导数求函数的解析式
用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求 函数的解析式，
函数的一些基本性质就会显得更加的明了．
例1.设函数
y?ax< br>3
?bx
2
?cx?d
的图像与
y
轴交点为
P
点，且曲线在
P
点处
的切线方程为
12x?y?4?0
， 若函数在
x?2
处取得极值
0
，试确定函数的解析
式．
解 ：因为函数
y?ax
3
?bx
2
?cx?d
的图像与
y
轴交点为
P
点，所以
P
点的坐
标为
?
0,d
?
，又曲线在
P
点处的切线方程为
y?12x?4
，
P
点坐标适合方程，从
而
d??4
，又切线斜率
k?12< br>，故在
x?0
处的导数
y
?
x?0
?12
， 而
y
?
?3ax
2
?2bx?c
，
y
?< br>x?0
?c
，从而
c?12
，又函数在
x?2
处取得 极值
0
，所以
?
12a?4b?12?0，

?
?
8a?4b?20?0．
解得
a?2
，
b??9
，所以所 求函数解析式为
y?2x
3
?9x
2
?12x?4
．
(2)利用导数求函数的值域
求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异， 不易掌握．但
是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．
例2.求函数
f(x)?2x?1?x?2
的值域．
分析 先确定函数的定 义域，然后根据定义域判断
f
?
(x)
的正负，进而求出函
数
f(x)
的值域．

解：显然，
f(x)
定义域为
?
?12，??
?
，由于
f
?
(x)?
又 1
2x?1
?
1
2x?2
?
2x?2?2x?1
2x?22x?1
2x?7
，
2x?2?2x?1?
2x?2?2x?1
，
可见当
x??12< br>时，
f
?
(x)?0
．所以
f(x)?2x?1?x?2在
?
?12，??
?
上是增
函数．而
f(?12)?? 62
，所以函数
f(x)?2x?1?x?2
的值域是
[?62,??)．
(3)利用导数求函数的最（极）值
求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难 点，是高考经常要考查的内
容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过 程
简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．
一般地，函数
f( x)
在闭区间
?
a,b
?
上可导，则
f(x)
在< br>?
a,b
?
上的最值求法：
(1) 求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值点；
(2) 计算
f(x)
在极值点和端点的函数值；
(3) 比较
f(x)
在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．
例3. 求函数
f(x)?x
3
?3x
在
?
?3，32
?< br>上的最大值和最小值．
分析 先求出
f(x)
的极值点，然后比较极值点与区 间端点的函数值，即可得
该函数在区间
?
?3，32
?
上的最大值和 最小值．
解：由于
f
?
(x)?3x
2
?3?3(x2
?1)?3(x?1)(x?1)
，则
?1
?
，
?
1，32
?
为函数
f(x)
的单当
x?
?
?3,?1
?
或
x?
?
1,32
?
时，
f
?
(x)?0
，所以
?
?3，
1
?
为函数
f(x)
的单调减区间． 调增区间；当
x?
?
?1,1
?
时，
f
?
(x)?0
，所以
?
?1，
又因 为
f(?3)??18
，
f(?1)?2
，
f(1)??2
，
f(32)??98
，所以，当x??3
时，
f(x)
取得最小值
?18
；当
x??1
时，
f(x)
取得最大值
2< br>．

(4)利用导数作函数图像
中学数学教材中介绍的描点法作函数图像, 作图比较粗糙不准确, 一般只适
用于简单的函数, 但对比较复杂的函数就很难做出.现用导数的知识来作函数图
像就相当的简便.作函数图像的一般步骤：
（1） 求出函数的定义域；
（2）考察函数的奇偶性、周期性；
（3）求函数的一些特殊点, 如与两坐标轴的交点等(列表)；
（4）确定函数的单调区间, 极值点, 凸性区间及拐点(列表)；
（5）考察渐近线；
（6）画图.
例4.作函数
y?x
3
?6x
2
? 15x?20
的图像.
解：(1) 函数的定义域
(??,??)

(2) 曲线与x, y轴交点分别为
(?
5?105?5?105
,0) ,(?1,0),(,0),(0,?20)
.
22
(3) 令
y
?
?3x
2
?12x?15?3(x?5)(x?1)?0
解得
x??5,1

令
y
??
?6x?12?6(x?2)?0
解得
x??2

(4) 现列表讨论函数的单调区间、极值点、凸性区间及拐点：
x

y
?

y
??

y

(??,?5)

+
—
↗凹
-5
0
—
80 极大
(?5,?2)

—
—
↘凸
-2
—
0
26 拐点
(?2,1)

—
+
↘凹
1
0
+
-28极小
(1,??)

+
+
↗凹
(5) 无渐进线
(6) 作图：





(-5，80)
X

（-2,26）
0
（-1，0）
0
（-1，0）（ 1，-28）
Y
图1
（1，-28）
(5)利用导数求参数值
在一些含位置参数的题中, 有我们通过运用导数之似乎可以化简函数, 从而
更快速的求出参数.
2x?a
例 5.已知函数
f(x)?
2
?
x?R
?
在区间[-1, 1]上是增函数, 求实数
a
的取
x?2

值所组成的集合A.
4?2ax?2x
2
?2(x
2
?ax?2)
解：
f
?
(x)?

?
2222
(x?2)(x?2)
又
f(x)
在[-1, 1]上是增函数
f
?
(x)?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立, 即
x
2
? ax?2?0
对
x?
?
?1,1
?
恒成立.
设
?
(x)?x
2
?ax?2
, 那么问题就等价于 ?
?
?
1
?
?0
?
1?a?2?0
即 故
?1?a?1

??
??
?
?1?01?a?2?0
??
所以
A?
?
a?1?a?1
?

(6)研究方程的根
我们知道在解决一元二次方程根的时候通常会用到伟大定理, 但有很多关
于方程根的问题如果仅仅用伟大定理来解决的话会显得很吃力, 并且找不着下
手的方向.此时我们可以尝试用导数的方法来解决有关问题.
例6.若
m?3
, 则方程
x
3
?mxx
2
?1?0
在
?
0,2
?
上有多少根？
解：设< br>f
?
x
?
?x
3
?mx
2
?1, 则
f
?
?
x
?
?3x
2
?2mx

当
m?3
且
x?
?
0,2
?
时,
f
?
?
x
?
?0
,
故
f(x)
在
?
0,2
?
上单调递减, 而
f(x)
在
x?0
与
x?2
处都连续, 且
f(0)?1?0
,
f(2)?9?4m?0

故
f(x)
在
?
0,2
?
上只有一个根.
导数有一个很好的作用就是降次, 我们可以三次函数降为更为熟悉的二次
函数, 从而达到化简的目的.
例7.(2005年山东卷)已知函数
x?1
是函数f(x)?mx
3
?3(m?1)x
2
?nx?1
的
一 个极值点, 其中
m,n?R
, m?0.
(1)求
m
与
n
的关系表达式；
(2)求
f(x)
的单调区间；
(3)当
x?[?1,1]
时, 函数
y?f(x)
的图像上任意一点的切线斜率恒大于
3m
,

求
m
的取值范围.
分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识, 第1小题
根据极值点处导数为零, 可确定
m
与
n
的关系；第2小题 求函数的单调区间可根
据求导法得到, 列出表格, 答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结合一
元二次函数的性质即可得到结论.
解：(1)
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m?n

由
x?1
是
f(x)
的一个极值点, 知
f
?
(1)?0
, 即
3m?6(m?1)?n?0
,

?n?3m?6

(2) 由(1), 得
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m?5
?3m(x?1)[x? (1?
由
m?0
知,
1?1?
2
)]

m
x

g'(x)

2
x
, 当
x
变化时,
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下：
m
2
22
1
(1,??)

(??,1?)

1?

(1?,1)

m
mm
?0

?0

?0

0 0
g(x)

递减 极小值 递增 极大值 递减
由上可知,
f(x)
在区间
(1,??)
和
(??,1?
22
)
上递减,在区间
(1?,1)
上递增.
mm
(3) 由已知得
f
?
(x)?3m
,即
mx
2
?2(m?1)?2?0
,即当
?1?x?1
时,有
12
)x??0
.①
mm< br>12
设
g(x)?x
2
?2(1?)x?
,其函数开口向上, 由题意①式恒成立,所以
mm
x
2
?2(1?
22
?
?
g
?
?1
?
?0
4
?
1?2???0
??m
,又
m?0
,所以即解之得,
mm
?
?< br>3
??
g1?0
?
?
?
?1?0
?
4
4
?m?0
.即
m
的取值范围为
(?,0)
.
3
3
例8.（2012全国卷）

设函数
f
?x
?
?e
x
?ax?2

(Ⅰ)求f(x)的单调区间
(Ⅱ)若a=1，k为整数，且当x>0时，
(x?k)f
?
(x)?x?1
>0，求k的最大值
解：(Ⅰ)
f
?
(x)?e
x
?a

当< br>a?0
，
f
?
(x)?0
，
f(x)
在(??,??)
是增函数；
当
a?0
，当
x?(??,lna )
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(lna,??)
时，
f
?
(x)?0

所以
f(x)
在
(??,lna)
是减函数，
f(x)
在
(lna,??)是增函数
(Ⅱ) a=1时，且当x>0时
(x?k)f
?
(x)?x ?1?(x?k)(e
x
?1)?x?1?0

e
x
(e< br>x
?x?2)
x?1x?1
?k?
x
?x
(x?0)
；令
g(x)?
x
?x
，
g
?
(x)?< br>
e?1e?1
(e
x
?1)
2
由(Ⅰ)知
h(x)?e
x
?x?2
在
(0,??)
是增的，
h(1) ?0,h(2)?0
，所以
h(x)
在
(0,??)
上存在唯一的零 点，所以
g
?
(x)
在
(0,??)
上存在唯一的零点设为 a，
当
x?(0,a)
时，
g
?
(x)?0
；当
x?(a,??)
时，
g
?
(x)?0
，所以
g( x)
在
(0,??)
的
最小值为
g(a)
。又
g< br>?
(a)?0
得
e
a
?a?2
，所以
g(a )?a?1?(2,3)
，所以
k?g(a)
，
k的最大值为2.
(7)导数在数列问题中的应用
数列是高中数学中一个重要的部分, 也是个难点.事实上数列可看作是自变
量为正整数的特殊的函数, 所以可以利用数列和函数的关系, 运用导数来解决数
列的有关问题.

例9.已知数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?n
2
(10?n)
n??
*
, 求数列
?
a
n
?
的最大项.

解：作辅助函数
f(x)?x
2
(10?x)(x?0)
, 则
f
?
(x)?20x?3x
2
.
20
；
3
20
令
f
?
(x)?0
得
x?0
或
x?
.
3
20
20
f(x)
在区间
(0,)
上是增函数, 在区间
(,??)
是减函数.
3
3
20
因此, 当
x?
时函数
f(x)
取到最大值.
3
??
令
f
?
(x)?0
得
0?x?
对
n??
*
,
f(n)?n
2
(10?n)
,
f(7)?147?f(6)?144

f(n)
max
?147

所以数列
?
a
n
?
的最大项为
a
7
?147
.
5 导数在解析几何问题中的应用
导数进入中学数学, 丰富了中学数学知识和解法, 给许多繁难问题提供了

一种通用的解题方法, 也给许多常规问题的解法提供了新的视角.利用导数解决
解析几何中的切线、中点弦问题, 正是其中一个方面.
(1)利用导数求解切线方程

利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作：y是x的函数, 利用复合函数
求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆?
x?a
?
?
?
x?b
?
?R
2, 两边对
x
求导,
则有
2
?
x?a
??2
?
y?b
?
y
?
x
?0
, 所以 在切点
?
m,n
?
处的切线斜率
k?y
?
x
|
x?m,y?n
??
m?a
.从而求出切线方程是
?
x ?a
??
m?a
?
?
?
y?b
??
n?b
?
?R
2
.
n?b
22
类似地可轻松求出过椭圆、 双曲线、抛物线等曲线上的点的切线方程.
如果以圆、椭圆等图形的中心为中心, 按比例缩小图形, 则一定存在同类的圆、
椭圆等与弦
AB
中点M相切(如图1).此时缩小的曲线方程如
?
x?a
?
?
?
x?b
?
22
?
?
tR
?
,
2
x
2
?
ta?
2
?
y
2
?
tb
?
2
?1
, 两边对
x
求导, 可发现并不改变原程
求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是
y
?
x
在中点处的值.

A M


B
图2
例10.已知双曲线方程
2x
2
?y
2
?2
, ( 1)求以
A
?
2,1
?
为中点的双曲线的弦所在
的直线方程 ；(2)过点
B
?
1,1
?
, 能否作直线
L
, 使
L
与所给双曲线交于
P、Q
两点,
且点
B
是弦
PQ
的中点？这样的直线如果存在, 求出它的方程；如果不存在, 说
明理由.
解：对
2x
2
?y
2
?2
两边求导, 得
4x?2yy
?
x
?0

(1) 以
A
?
2,1
?
为中点的弦的斜率
k?y
?
x
|
x?2,y?1
?2
, 所以所求中点弦所在直线方程
为
y?1?2(x?1)

(2) 以
B
?
1,1
?
为中点的弦的斜率
k?y
?
x
|
x?2,y?1
?2
, 所以所求中点弦所在直线方程
为
y?1?2(x?1)
, 即
2x?y?1? 0
,但与双曲线方程
2x
2
?y
2
?2
联立消去< br>y
得

2x
2
?4x?3?0,???8?0
, 无实根.因此直线
l
与双曲线无交点, 所以满足条件的
直线
l
不存在.
点评：(1)求出的方程只是满足了必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线
与双曲线确实有两个交点
（2）证明与中点弦有关的不等式
x
2
y
2
我们已经学过椭圆的中点弦公式，已知椭圆
2
?
2< br>?1
，则中点弦所在直线
ab
方程为
b
2
x
0
x?a
2
y
0
y?b
2
x
0
? a
2
y
0
，下面就用导数的方法来证明与中点弦有关
的不等式以及与 中点弦有关的轨迹问题
x
2
y
2
例11.已知椭圆
2?
2
?1
?
a?b?0
?
,
A
、
B
是椭圆上两点, 线段
AB
的垂
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?x
0
?
直平分线与
x
轴交于点
P
(x
0
,0)
, 求证：
?
.
aa
22
证明： 设
AB
的中点是
P
?
m,n
?
, 则中点
P
在椭圆内,
所以
?a?m?a
①
x
2
y
2
对椭圆
2
?
2
?1
两 边求导
ab
2x2y
xb
2
有
2
?
2< br>y
?

x
?0
, 得
y
?
x
??
2
ab
ya
mb
2
故中点弦
AB
的 斜率
k?y
?
x
|
x?m.y?n
??
2
, 所以线段
AB
的垂直平分线斜率满
na
x
0
a
2
n?ona
2
足：, 得
m?
2
.
?
a?b
2
m?x
0
mb
2
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?x
0
?
代入①式得?
.
aa
1
例12.已知定点
A
(0, 2), 椭圆
x
2
?y
2
?1
, 过
A
任意引直线与椭圆交于两
2
点
P、Q
, 求线段
PQ
中点的轨迹方程.
解:设线段
PQ
的中点为
M
?
x,y
?
.
1
对椭圆
x
2
?y
2
?1
两边求导, 得
x?2yy
?
x
=0
2

所以PQ的斜率为
k??
所以
y?2x
.
??
x?12y
x
.又
k
AM
?k
PQ< br>,
2y

1
化简即得
x
2
?2y
2
?4y?0
(在椭圆
x
2
?y
2
?1
内的部分).
2
综上所述, 在中学数学中解决函数、解析几何时我们可以充分考虑导数这一
个有力工具, 有些题通过导数的使用可以达到简化题目、降低难度的作用, 但在
应用导数时不能盲目使用.相信有了导数这一工具会使大家解决中学数学题时多
以选择.
6 导数在实际问题中的应用
.
正在生产生活中,常常会遇到在一定条件下使得利润 最大、效率最高、用料
最省、强度最大等问题,这些问题称为优化问题.优化问题往往可归结为求函数的
最大值或最小值问题,而导数是求最值的有力工具,因此,熟练应用导数解决实际
应用问题就非 常重要.用导数解决优化问题的基本思路是认真分析实际问题,然
后将其转化为数学问题,再用导数求解 这个数学问题.
（1）成本问题
例13.在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在
河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 k m，
两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每
千米3a元 和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
40
解：设∠BCD＝
?
，则BC＝，CD＝
40cot
?
，（0＜
?
＜
?
），
sin
?
∴AC＝50－
40cot
?
甲

设总的水管费用为
f(
?
)
，依题意有： 河 A C D
f(
?
)?3a(50?40co t
?
)?5a
40

sin
?
5?3cos
?
图3 乙 B

sin
?
(5?3cos
?
)
?
sin
?
?(5?3cos
?
)sin
?
?
3?5cos
?
f
?
(
?
)?40 a?40a

sin
2
?
sin
2
?
3< br>令
f
?
(
?
)?0
，解得：
cos
?
?

5
3
根据问题的实际意义，当
cos
??
时，函数取得最小值，
5
43
此时
sin
?
?
，所以：
cot
?
?

54
∴AC＝50－4 0
cot
?
＝20（km），即供水站建在A、D之间距甲厂20 km
处，可使水管费用最省.
＝
150a?40a

（2）制作容器

例14.在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的
边沿虚线折起 ，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最
大？最大容积是多少？
分析：设箱底边长为
x
cm，则箱高为
h
cm，得箱子容积
V
是箱底边长
x
的函
数，从而求得
V
?
，令V
?
?0
，求出一个值
x
，这个值就是使容器的容积达到最大。
x
解：设此时底边的边长是
x
，则高
h?
30?
， （
0?x?30
）
2
x
则
V?x
2
(30?)

2
3x
2
?V
?
?60x?

2
令：
V
?
?0
，解得：
x?40

?V
max
(40)?16000

所以箱底的边长为40cm时,箱子的容积最大，最大容积是16000cm?
这是一道实际 生活中的优化问题，建立的目标函数是三次函数，用过去的知
识求其最值往往没有一般方法，即使能求出 ，也要涉及到较高的技能技巧. 而运
用导数知识，求三次目标函数的最值就变得非常简单，对于实际生 活中的优化问
题，如果其目标函数为高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简
单 的指数，对数函数，或它们的复合函数，均可用导数法求其最值. 可见，导数
的引入，大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
通过上述的例 子，我们可以看到导数在中学数学的联系非常密切，它把各章
的内容联系起来，合理的构造导数应用，可 以使我们在做题时事半功倍，让我们
彻底了解导数的意义和作用，是我们辅助分析和解决问题必不可少的 工具
7 结论
7.1 主要发现
导数在高中数学中的应用越来越广泛，也越 来越重要，对高中学生的要求也
越来越高。本文在文献[1]-[15]的基础上，着重运用导数的基本 知识和理论，来
解决高中数学里的函数的图像、单调性、最值等函数问题以及导数在研究方程的
根上的运用，结合实例阐述了导数在代数问题，解析几何及实际问题的一些应用，
并阐述了导数在一些解 题中应该注意的问题。
7.2 主要启示
本文主要讲述了导数在一些代数和解析几何及实际 问题的应用，结合实例阐
述了在解题中应注意的问题，并寻找到一些解题的方法和技巧，使导数方法的思
想更进一步扩大，丰富了导数方法的思想在高中数学的应用，这对高中数学的教
学具有一定的指 导作用。
7.3 局限性
本文用导数的基本理论和知识阐述了导数在高中数学中的应用，但 由于导数
的应用范围广，方法灵活多样，加之本人的水平和所查阅的资料有限，缺乏实际
教学经 验，未能将高等数学的相关知识用到高中数学中。

7.4 努力方向
鉴于导 数应用的广泛性和多样性，我将在今后的工作和学习中，继续查阅相
关资料，结合高中数学教学实际，寻 求其它方法，并将高等数学的相关知识运用
到高中数学中进行研究。



参考文献
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