高中数学万能公式文科-临清高中数学辅导班
第十章 导数及其应用
一、知识导学
§10.1导数及其运算
1.
瞬时变化率:设函数
y?f(x)
在
x
0
附近有定义,当自变量在<
br>x?x
0
附近改变量为
?x
时,
函数值相应地改变
?
y?f(x
0
??x)?f(x)
,如果当
?x
趋近于0时,平均变
化率
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?
趋近于一个常数c(也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝
?x?x
对值越来越小,可以
小于任意小的正数),那么常数c称为函数
f(x)
在点
x
0
的瞬时
变化率。
2.导数:当
?x
趋近于零时,
f(x
0
??x)
?f(x
0
)
趋近于常数c。可用符号“
?
”记作:
?x<
br>当
?x?0
时,
f(x
0
??x)?f(x
0
)
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?c
,符号“
?
”
?c
或记作
lim
?x?0
?x
?x
读作“趋近于”。函数在
x
0
的瞬时变化率,通常称作
f(x)在
x?x
0
处的导数,并记作
f
?
(x
0)
。
3.导函数:如果
f(x)
在开区间
(a,b)
内
每一点
x
都是可导的,则称
f(x)
在区间
(a,b)
可导
。
这样,对开区间
(a,b)
内每个值
x
,都对应一个确定的导数<
br>f
?
(x)
。于是,在区间
(a,b)
内,
f
?
(x)
构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数
y?f(x)
的导函
数。记为
f
?
(x)
或
y
?
(或
y
?
。
x
)
4.导数的四则运算法则:1)函数和(或差)的求导法则:设<
br>f(x)
,
g(x)
是可导的,则
(f(x)?g(x))
?
?f
?
(x)?g
?
(x)
即,两个函数的和(或差)的导
数,等于这两个函数的导数
的和(或差)。
2)函数积的求导法则:设
f(x)
,
g(x)
是可导的,则
[f(x)g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
即,两个函数的积的导数,等于第一个
函数的导数
乘上第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3)函数的商的求导法则:
设
f(x)
,
g(x)
是可导的,
g(x)?0
,则
?
?
f(x)
?
g(x)f
?
(x)?f
(x)g
?
(x)
?
?
g(x)
?
g
2<
br>(x)
??
?
5.复合函数的导数:设函数
u?
?
(
x)
在点
x
处有导数
u
?
x
?
?
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
的
?
?f
?
(u)
,则复合函数
y?f[
?
(x)]
在点
x
处有导数,且对应点
u
处有导数
y
u
??
y?
x
?y
u
?u
x
.
6.几种常见函数的导数
:
?
?nx
n?1
(n?Q)
(1)
C
?
?0(C为常数)
(2)
(x
n
)
(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx
(5)
(lnx)
?<
br>?
11
(6)
(log
a
x
)
?
?log
a
e
xx
(7)
(e
x)
?
?e
x
(8)
(ax
)
?
?a
x
lna
二、疑难知识导析
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
??
2.运用复合函数的求导法则y
?
x
?y
u
?u
x
,应注意以下几点
(1)利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2) 要分清每
一步的求导是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆,一直计算到最后,
常出现如下错误,如
(c
os2x)
?
??sin2x
实际上应是
?2sin2x
。
(3) 求复合函数的导数,关键在于分清楚函数的复合关系,选好中间变量,如
y?
1
1
4
y?
选成,
u?v,v?1?w,w?3x
计算起来就复杂了
。
4
u
(1?3x)
3.导数的几何意义与物理意义
导数的几何意义
,通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义,通常是指物体运动的瞬时
速度。对导数的几何意义与物理意
义的理解,有助于对抽象的导数定义的认识,应给予足够
的重视。
4.
f
?<
br>(x
0
)与f
?
(x)的关系
f
?
(x0
)
表示
f(x)在x?x
0
处的导数,即
f
?
(x
0
)
是函数在某一点的导数;
f
?
(x)<
br>表示函
数
f(x)
在某给定区间
(a,b)
内的导函数,此时
f
?
(x)
是在
(a,b)
上
x
的函数,
即
f
?
(x)
是在
(a,b)
内任一点的导数。
5
.导数与连续的关系
若函数
y?f(x)
在
x
0
处可导,则
此函数在点
x
0
处连续,但逆命题不成立,即函数
y?f(x
)
在点
x
0
处连续,未必在
x
0
点可导,也就是说
,连续性是函数具有可导性的必要条
件,而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数,表示曲线在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率,因
此,曲
线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))处的切线方程可如下求得:
(1)求出函数
y?f(x)
在点
x?x0
处的导数,即曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(
x
0
))
处
切线的斜率。
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下
,求得切线方程为:
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x
?x
0
)
,
如果曲线
y?f(x)
在点
P(x0
,f(x
0
))
的切线平行于
y
轴(此时导数不存在
)时,由切线定
义可知,切线方程为
x?x
0
.
三、经典例题导讲<
br>[例1]已知
y?(1?cos2x)
2
,则
y
?
?
.
错因:复合函数求导数计算不熟练,其
2x
与
x
系数不一
样也是一个复合的过程,有的同学忽
视了,导致错解为:
y
?
??2sin2
x(1?cos2x)
.
2
????
正解:设
y?u
,u?1?cos2x
,则
y
?
x
?y
u
ux
?2u(1?cos2x)?2u?(?sin2x)?(2x)
?2u?(?sin2
x)?2??4sin2x(1?cos2x)
?
y
?
??4sin2x(1
?cos2x)
.
?
1
2
(x?1)(x?1)
?
?
2
[例2]已知函数
f(x)?
?
判断f(x)在x=1处是否可
导?
1
?
(x?1)(x?1)
?
?
2
11
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)
2
错解:
?
lim
2
?1,?f
?
(1)?1
。
?x?0
?x
11
[(1??x)
2
?1]?(1
2
?1)
?y
2
解:
lim
?
?lim
?
2
?1
?x?0
?x
?x?0
?x
分析:分段函数在“分界点”处的
导数,须根据定义来判断是否可导 .
∴ f(x)在x=1处不可导.
?<
br>注:
?x?0
,指
?x
逐渐减小趋近于0;
?x?0
,指
?x
逐渐增大趋近于0。
点评:函数在某一点的导数,是一个极限值,即
lim
+-
?
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
,△x→0,包括
?x
△x→0,与△x→0,因此,在判定分段函数在
“分界点”处的导数是否存在时,要验证其
左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这
点存在导数,否则不存在导数.
[例3]求
y?2x
2
?3
在点P(1,5)
和
Q(2,9)
处的切线方程。
错因:直接将
P<
br>,
Q
看作曲线上的点用导数求解。
分析:点
P
在函数的曲线上
,因此过点
P
的切线的斜率就是
y
?
在
x?1
处的
函数值;
点
Q
不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切
线.
解:
?y?2x
2
?3,?y
?
?4x.?y
?
x?1
?4
即过点
P
的切线的斜率为4,故切线为:
y?
4x?1
.
设过点
Q
的切线的切点为
T(x
0
,y
0
)
,则切线的斜率为
4x
0
,又
k
PQ
?
y
0
?9
,
x
0
?2
2x?6
故
0
?4x
0
,
?2x
0
2
?8
x
0
?6?0.?x
0
?1,3
。
x
0
?
2
即切线
QT
的斜率为4或12,从而过点
Q
的切线为:
2
y?4x?1,y?12x?15
点评: 要注意所给的点是否是切点.若是,可以直接采用求
导数的方法求;不是则需设出
切点坐标.
[例4]求证:函数
y?x?
的切线
方程.
1
图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0
x
1
的图象上各点处切线的斜率都小于1,只
x
分析: 由导数的几何意义知,要证函数
y
?x?
要证它的导函数的函数值都小于1,因此,应先对函数求导后,再进行论证与求解.
解
:(1)
y?x?
1
11
,?y
?
?1?
2
?1
,即对函数
y?x?
定义域内的任一
x
,其导数值
x
x
x
都小于
1
,于是由导数的几何意义可知,函数
y?x?
1
图象上各点处切线的斜率都小于1.
x
(2)令
1
?
1
1
x??1x?1
y?1??2
;当
x??1
时,
y??2
,
?0
,得,当时,
2
1
x
?
曲线
y?x?
为
y?2
或
1
的斜率为0的切线有
两条,其切点分别为
(1,2)
与
(?1,?2)
,切线方程分别
x
y??2
。
点评:在已知曲线
y?f(x)
切线斜率为
k
的情况下,要求其切线方程,需要求出切点,而
切点的横坐标就是
y?f(x)
的导数值为
k
时的解,即方程
f
?
(x)?k
的解,将方
程
f
?
(x)?k
的解代入
y?f(x)
就可得切点的纵坐
标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要
注意的是方程
f
?
(x)?k有多少个相异实根,则所求的切线就有多少条.
[例5]已知
a?0
,函数f(x)?x
3
?a
,
x?
?
0,??
?,设
x
1
?0
,记曲线
y?f(x)
在点
M(
x
1
,f(x
1
))
处的切线为
l
.
(1)求
l
的方程;
(2)设
l
与
x
轴交点为
(x
2
,0)
,求证:
1
a
3
; ①
x
2
?
②若
x
1
?
1
a
3
1
,则
a
3?x
2
?x
1
分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导
出切线方程 .
?y(x??x)
3
?a?x
3
?a
?l
im
解:(1)
f(x)?lim
?x?0
?x
?x?0
?
x
3x
2
?x?3x(?x)
2
?(?x)
3?lim
?x?0
?x
?x?0
?lim[3x
2
?3
x?x?(?x)
2
]?3x
2
?f
?
(x
1)?3x
1
2
?
切线
l
的方程为
y?f(x<
br>1
)?f
?
(x
1
)(x?x
1
)
即
y?(x
1
?a)?3x
1
(x?x
1
)
.
32
(2)①依题意,切线方程中令y=0得,
②由①知
x
2
?x
1
?
x
1
?a
3x
1
2
3
,
?x
2
?x
1
??
x1
?a
3x
1
2
3
[例6]求抛物线
y?x
2
上的点到直线
x?y?2?0
的最短距离.
分析:可设
P(x,x
2
)
为抛物线上任意一点,则可把点
P
到直线的距离表示为自变量
x
的函
数,然后求函数最小值即可,另外,也
可把直线向靠近抛物线方向平移,当直线与抛物线相
切时的切点到直线
x?y?2?0
的距离即为本题所求.
解:根据题意可知,与直线 x-y-2=0平行的抛物线y=x的切线对应的
切点到直线x-y-
2=0的距离最短,设切点坐标为(
'
),那么
y|x?x
0
?2x|
x?x
0
?2x
0
?1,∴
x
0
?
2
1
2
11
??2|72
11
?
∴ 切点坐标为
(,)
,切点到直线x-y-2=0
的距离
d?
24
,
8
24
2
|
∴ 抛物线
上的点到直线的最短距离为
四、典型习题导练
72
.
8
1.函数y?f(x)
在
x?x
0
处不可导,则过点
P(x
0<
br>,f(x
0
))
处,曲线
y?f(x)
的切线( )
A.必不存在 B.必定存在 C.必与x轴垂直 D.不同于上面结论
2.
y
?
x?3
在点x=3处的导数是____________.
x
2
?
3
3.已知
f(x)?ax
3
?3x
2
?2
,若<
br>f
?
(?1)?4
,则
a
的值为____________.
4.已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线
y?x
2
上的
两点,则与直线
PQ
平行的曲线
y?x
2
的切线方程是
_____________.
5.如果曲线
y?x
3
?x?10
的某一切线与直线
y?4x?3
平行,求切点坐标与切线
方程.
6.若过两抛
物线
y?x
2
?2x?2
和
y??x
2
?ax?b
的一个交点为P的两条切线
互相垂直.求证:抛物线
y??x
2
?a
x?b
过定点
Q
,并求出定点
Q
的坐标.
§10.2导数的
应用
一、 知识导学
1.可导函数的极值
(1)极值的概念
设函数
f
(x)
在点
x
0
附近有定义,且若对
x
0
附近的所
有的点都有
f(x)?f(x
0
)
(或
,则称
f(x
0
)
为函数的一个极大(小)值,称
x
0
为极大(小)值点.f(x)?f(x
0
)
)
(2)求可导函数
f(x)
极
值的步骤:
①求导数
f
?
(x)
。求方程
f
?(x)?0
的根.
②求方程
f(x)?0
的根.
③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
的根的
左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附
近为负,那么函数
y?f(x)
在这个
根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧
附近为负,那么函数
y?f(x)
在
这个根处取得极小值.
2.函数的最大值和最小值
(1)设
y?f(x)
是
定义在区间
?
a,b
?
上的函数,
y?f(x)
在
(a,b)
内有导数,求函数
y?f(x)
在
?
a,b
?<
br>上的最大值与最小值,可分两步进行.
①求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值.
②将
y?f(x)
在各极值点的极值与
f(a)
、
f(b)
比较,其中最
大的一个为最大值,最
小的一个为最小值.
(2)若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上单调增加,则
f(a)
为函数的最小值,
f
(b)
为函数的最大值;
若函数
f(x)
在
?
a,b
?
上单调递减,则
f(a)
为函数的最大值,
f(b)
为函数的最
小值.
二、疑难知识导析
1.在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导
函数
f
?
(x)
取值为0的点称为函数
f(x)
的驻
点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数
y?|x|
在点x?0
处有极小值
f(0)
=0,可是这里的
f
?
(0
)
根本不存在,所以点
x?0
不是
f(x)
的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数
f(x)?x
3
的导数
f
?
(x)?3x
2
,在点
x?0处有
f
?
(0)?0
,即点
x?0
是
f(x)
?x
3
的驻点,但从
f(x)
在
?
??,??
?<
br>上为增函数可知,点
x?0
不是
f(x)
的极值点.
(2)
求一个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格,这样可使函
数在各单调区间的
增减情况一目了然.
(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建
立函数关系式,
并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数
,
它在自己的定义域内必然可导),并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)
值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住
这个定理很有
好处),然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断
定在这个驻点处的函数值就
是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较
为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,
求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值
进行比较等步骤.
2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系
极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整
体性概念,因而在一般情况下,两者是有
区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也
不一定是极大(小)值,但
如果连续函数在区间
(a,b)
内只有一个极值,那么极大
值就是最大值,极小值就是最小值.
三、经典例题导讲
[例1]已知曲线
S:y?
?
2
3
x?x
2
?4x
及点
P(0,0)
,求过点
P
的曲线
S
的切线方程.
3
x?0
错解
:
y
?
??2x
2
?2x?4
,
?
过点<
br>P
的切线斜率
k?y
?
线方程为
y?4x
.
?4
,
?
过点
P
的曲线
S
的切
错因:曲
线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意
义.在此题中,点P
凑巧在曲线
S
上,求过点
P
的切线方程,却并非说切点就是点
P
,上述
解法对求过点
P
的切线方程和求曲线在点
P
处的切线方程,认识不到位,发生了混淆.
正解:设过点
P
的切线与曲线
S
切于点
Q(x
0
,y
0
)
,则过点
P<
br>的曲线
S
的切线斜率
k?y
?
x?x
0
?
?2x
0
?2x
0
?4
,又
k
PQ
?2
y
0
y
2
,
??2x
0
?2x0
?4?
0
。①
?
点
x
0
x
0
Q
在曲线
S
上,
2
32
?y<
br>0
??x
0
?x
0
?4x
0
.
②,
②代入①得
3
2
?
?2x
0
?2x
0
?4
?
化简,得
2
32
x
0
?x
0
?4x0
3
x
0
4
3
3
2
x0
?x
0
?0
,
?x
0
?0
或
x
0
?
.若
x
0
?0
,则
k?4
,过点
P
的切线
34
33535
x.
?
过点P
的曲线
S
方程为
y?4x
;若
x
0
?
,则
k?
,过点
P
的切线方程为
y?
48835
x.
的切线方程为
y?4x
或
y?
8
[
例2]已知函数
f(x)?ax
3
?3x
2
?x?1
在R
上是减函数,求
a
的取值范围.
错解:
f
?
(x)?3ax
2
?6x?1,
?
f(x)
在
R
上是减函数,
?f
?
(x)?0
在
R
上恒成立,
?3ax
2
?6x?1?0
对一切
x?R
恒成立,
???0
,即
36?12a?0
,
?a??3
.
正解:
f
?
(x)?3ax
2
?
6x?1
,
?f(x)在
R
上是减函数,
?
f
?
(x)
?0
在
R
上恒成立,
???0
且
a?0
,即
36?12
a?0
且
a?0
,
?a??3
.
x
?ln(1?x)?x
. [例3]当
x?0
,证明不等式1?x
证明:
f(x)?ln(x?1)?
x
x
,
g(
x)?ln(x?1)?x
,则
f
?
(x)?
,当
x?0<
br>时。
2
1?x
(1?x)
l(1?x)?
?f(x)
在
?
0,??
?
内是增函数,
?f(x)?f(0)
,即<
br>n
x?x
?0
,又
g
?
(x)?
,
1?x1?x
g
?
(x)?0
,
?g(x)
在
?<
br>0,??
?
内是减函数,
?g(x)?g(0)
,
l(1?x
)?x?0
,当
x?0
时,即
n
x
?ln(1?x)?x<
br>成立.
1?x
x
点评:由题意构造出两个函数
f(x)?ln(x?
1)?
,
g(x)?ln(x?1)?x
.利用导数求
1?x
因此,
当
x?0
时,不等式
函数的单调区间,从而导出
f(x)?f(0)
及
g(x)?g(0)
是解决本题的关键.
[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为2
0km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供
应站C,现要在铁路BC之间某处D修建
一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如
果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5
,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C
运货到工厂A所需运费最省?
解 : 设BD之
间的距离为
x
km,则|AD|=
x
2
?20
2
,
|CD|=
100?x
.如果公路运费为
a
元km,
3a
那
么铁路运费为元km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费
y
5
为:
y?
3a
(100?x)
+
a
5
x<
br>2
?400
,(
0?x?100
).对该式求导,得
?3a<
br>a(5x?3x
2
?400)
ax
22
y
?
=+=,令
y
?
?0
,即得25
x
=9(
x
?400
),解之得
5
5x
2
?400
x
2<
br>?400
x
1
=15,
x
2
=-15(不符合实际意
义,舍去).且
x
1
=15是函数
y
在定义域内的唯一驻点,所以
x
1
=15是函数
y
的极小值点,而且也是函数
y<
br>的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间
并且与B相距15km处时,运费最省.
点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求
其
最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复
合函数的最值
就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为
高次多项式函数、简单的
分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合
函数,均可用导数法求其最值.由此也
可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优
化问题中的应用空间.
[例5]函数<
br>f(x)?3x
3
?3ax?1,g(x)?f
'
(x)?ax?5<
br>,其中
f
'
(x)
是
f(x)
的导函数.(1)对满足-1≤
a
≤1的一切
a
的值,都有
g(x)
<0
,求实数
x
的取值范围;
(2)设
a
=-
m
,当
实数
m
在什么范围内变化时,函数
y
=
f(x)
的图象与直
线
y
=3只
有一个公共点.
解:(1)由题意
g
?
x
?
?3x?ax?3a?5
2
2
令
?
?
x
?
?
?
3?x
?
a?3
x?5
,
?1?a?1
2
对
?1?a?1
,恒有
g
?
x
?
?0
,即
?
?
a
?
?0
?
?
3x
2
?x?2?0
?<
br>?
?
1
?
?0
∴
?
即
?
2
?
?1?0
?
?
??
?
3x?x?8?0
解得
?
2
?x?1
3
故
x?
?
?,1
?
时,对满足-1≤
a
≤1的一切
a
的值,都有
g
?
x
?
?0
.
(2)
f
'
?
2
?
?
3
?
?x
?
?3x
2
?3m
2
3
①当m?0
时,
f
?
x
?
?x?1
的图象与直线<
br>y?3
只有一个公共点
②当
m?0
时,列表:
x
?
??,m
?
?m
?
?m,m
?
m
?
m,??
?
f
'
?
x
?
f
?
x
?
?
0
极大
2
?
0
极小
?
∴
f
?
x
?
极小
?f
?
x
?
??2mm?1??1
又∵
f
?
x
?
的值域是
R
,且在
m,??
上单调递增
∴当
x?m
时函数
y?f
?
x
?
的图象与
直线
y?3
只有一个公共点.
当
x?m
时,恒有
f
?
x
?
?f?m
由题意得
f?m?3
2
即
2mm?1?2m?1?3
3
??
??
??
??
0,2
?
综上,
m
的取值范围是
?
?2,2
?
.
解得
m??
3
2,0
3
33
?
[例6]若电灯B可
在桌面上一点O的垂线上移动,桌面上有与点O距离为
a
的另一点A,问
电灯与点0的
距离怎样,可使点A处有最大的照度?(
?BAO?
?
,BA?r,
照度与<
br>sin
?
成
正比,与
r
成反比)
分析:如图,由光
学知识,照度
y
与
sin
?
成正比,与
r
成反比,
即
y?C
2
2
sin
?
(
C
是与
灯光强度有关的常数)要想点
A
处有最
2
r
x
,
r?x
2
?a
2
r
大的照度,只需求
y
的极值就可以了.
解:设
O
到
B
的距离为
x
,则
sin
?
?
sin
?
x
于是
y?C
2
?C
3
?C
r
r
x
3
(x
2
?a
2
)
2
(0?
x??)
,
y
?
?C
a
2
?2x
2
(x
2
?
5
a
2
)
2
?0
.
当
y
?
?0
时,即方程
a?2x?0
的根为
x
1
??
22
a
2
(舍)与
x
2
?
a
2
,在我们讨论的半
闭区间
?
0,??
?<
br>内,所以函数
y?f(x)
在点
a
2
取极大值,也是最大值。
即当电灯与
O
点距
离为
a
2
时,点
A
的照度
y
为最大.
(0,
+
a
2
)
(
-
a
2
,??)
y
?
y
↗
↘
点评:在有关极值应
用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得
f
?
(x)
=0且
在该点两侧,
f
?
(x)
的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极
值点,
也是最大(小)值点.
四、典型习题导练
1.已知函数
f(x)?
ax
3
?(2a?1)x
2
?2
,若
x??1
是<
br>y?f(x)
的一个极值点,则
a
值为
( )
A.2 B.-2 C.
2
D.4
7
2.已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?a
2
在
x?1
处有极值为10,则
f(2)
=.
3.给出下列三对函数:①
f(x)??
1
,g(x)??x
?1<
br>②
f(x)?ax
2
(a?0)
,
g(x)?
xx
a
③
f(x)??()
,
g(x)??log(?
x)
;其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同
是各自定义域上的递增函数”,则这样的两
个函数的导函数分别是
f
?
(x)
,
g
?
(x)?
.
4.已知函数
f(x)?x
3
?3ax
2
?3
(a?2)x?1
有极大值和极小值,求
a
的取值范围.
5.已知抛物线<
br>y??x
2
?2
,过其上一点
P
引抛物线的切线
l<
br>,使
l
与两坐标轴在第一象限
围成的三角形的面积最小,求
l
的方程.
6.设
g(y)?1?x
2
?4xy
3
?y4
在
y?
?
?1,0
?
上的最大值为
f(x)
,
x?R
,
(1)求
f(x)
的表达式;(2)求
f(x)
的最大值.
§10.3定积分与微积分基本定理
一、知识导学
1.可微:若函数
y?
f(x)
在
x
0
的增量
?x
可以表示为
?x
的线性函数
A?x
(
A
是常数)与
较
?x
高阶的
无穷小量之和:
?y?A?x?o(?x)
(1),则称函数
f
在点
x
0
可微,(1)中的
A?x
1
3
x
称为函数
f
在点
x
0
的微分,记作
dy
x?x<
br>0
?A?x
或
df(x)
x?x
0
?A?x
.函数
f(x)
在点
x
0
可
微的充要条件是函数
f
(x)
在
x
0
可导,这时(1)式中的
A
等于
f<
br>?
(x
0
)
.若函数
y?f(x)
在
区间<
br>I
上每点都可微,则称
f(x)
为
I
上的可微函数.函数y?f(x)
在
I
上的微分记作
dy?f
?
(x)?x
.
2.微积分基本定理:如果
F
?
(x)?f(x)
,且
f(x)
在
[a,b]
上可积.则
?
a
f(x)
dx?F(b)?F(a)
.其中
F(x)
叫做
f(x)
的一个原函
数.
由于
[F(x)?c]
?
?f(x)
,
F(x)?c
也是
f(x)
的原函数,其中
c
为常数.
二、疑难知识导析
1.定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里
包含着很重要的数
学思想方法,只有对定积分的定义过程了解了,才能掌握定积分的应用.
1
)一般情况下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者
?
趋
近
于0,这样所有的小区间的长度才能都趋近于0,但有的时候为了解题的方便,我们选择
将区间等份成<
br>n
份,这样只要2其中的使
b
1
?0
就可以了.
n
2)对每个小区间内
?
i
的选取也是任意的,在解题中也可选取区间的左端点
或是右端点.
3)求极限的时候,不是
n??
,而是
?
?0
.
2.在微积分基本定理中,原函数不是唯一的,但我们只要选取其中的一个就可以了,一般
情况下选那个
不带常数的。因为
?
a
b
b
f(x)dx?[F(x)?c]
b
a
?F(x)
a
?F(b)?F(a)
.
3.利用定
积分来求面积时,特别是位于
x
轴两侧的图形的面积的计算,分两部分进行计算,
然后
求两部分的代数和.
三 、经典例题导讲
[例1]求曲线
y?sinx
与
x
轴在区间
[0,2
?
]
上所围成阴影部分的面积S. <
br>错解:分两部分,在
[0,
?
]
?
0
?
si
nxdx?2
,在
?
?
,2
?
?
?
sin
x??2
,因此所求面积
S
为
?
2
?
2+(-2)=0。
分析:面积应为各部分积分的代数和,
也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积,而
是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。 正解:
S?
?
0
?
sinxdx
?
c
?
?
2
?
sinxdx?2?2?4
[例2]用微积分基本定理证明
?
a
b
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx
(
a?c?b
)
ac
b
分析:即寻找
f(x)
的原函数代入进行运算。
解;设
F
?
(x)?f(x)
,则
?
a
c
f(x)dx?
?
f(x)dx
c
b
=
F(c)?F(a)?F(b)?F(c)
=
F(b)?F(a)
由微积分基本定理的逆运用可知:上式
?
?
a
f(x)dx
b
所以原式成立,即证。
注:该式可用来求分布在
x
轴两侧的图形的积分。
[例3]根据等式求常数
a
的值。
1)
?
?a
a
a
x
2
dx?18(a?0)
2)
?
a
e
dx
?3
x
分析:利用微积分基本定理,求出原函数代入
a
求解
x
3
解:1)
?
xdx?
?a
3
2a
?a
?
a
3
(?a)
3
??18?a?3
33
?lne?3?a?e
4
?a??e
4
x
(x?0)
100
2)
?
e
a
dx
?lnx
x
a
e
?lna
[例4]某产品生产x个单 位时的边际收入
R
?
(x)?200?
(1) 求生产了50个单位时的总收入。
(2) 如果已生产了100个单位时,求再生产100个单位时的总收入。
分析:总收入为边际收入的积分和 ,求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收
入函数
R(x)
和边际收入< br>R
?
(x)
的关系可得
(1)生产50个单位时的总收入为
R(50)?
=
?
0
50
R
?
(x)dx
?
0
50
(200?
x
)dx
=99875 < br>100
200
(2)已生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为?
100
200
R
?
(x)dx?
?
100< br>(200?
x
)dx?19850
100
答:生产50个单 位时的总收入为99875;生产了100个单位时后,再生产
100个单位时的总收入为19850.
[例5]一个带电量为
Q
的电荷放在
x
轴上原点处,形成电场,求单 位正电荷在电场力作用下
沿
x
轴方向从
x?a
处移动到
x? b
处时电场力对它所作的功。
分析:变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。 < br>解:单位正电荷放在电场中,距原点
x
处,电荷对它的作用力为
F?k
q
2
x
在单位电荷移动的过程中,电场对它的作用力为变力。则根据课本对 变力做功的分析可
知
W?
?
k?
a
b
q11
dx?kq(?)
2
ab
x
答:电场力对它做的功为
kq(
1
1
?)
。
ab
[例6]一质点以速度
V(t)?t
2?t?6(ms)
沿直线运动。求在时间间隔
(1,4)
上的位移。
分析:变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。
解:
S?
?
1
4
111
4
v(
t)dt?
?
(t
2
?t?6)dt?(t
3
?t
2
?6t)
1
?31
1
322
4
答:位移为
31m
。
四、典型习题导练
1.
A.
1
2
?
2
x
dx?
(
)
1111
?
B.
ln3?ln2
C.
ln2?ln3
D.
?
3223
31
2.
?
0
2
?
cosxdx?
( )
A.0 B.2 C.-2
D.4
3.
?
0
x(a?x)dx?2
,则
a?
。 ?
n??
1
4.利用概念求极限:
limn
?
5.求下
列定积分;
(1)
111
?
??
?
?
222
?
(n?2)(n?n)
??
(n?1)
?
?
1
(x?x
2
?1
)dx
(2)
?
2
?
cosdx
?
2
6.写出
下面函数在给定区间上的总和
S
n
?
?
f(x
i
)
?x
及
S
10
,S
100
,S
1000
的
表达式
i?1
n
f(x)?x
3
x?[0,1]
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