高中数学教师送教下乡教学总结-高中数学语文老师能教吗
第二部分 导数、微分及其导数的应用
知识汇总
一、求导数方法
1.利用定义求导数
2.导数的四则运算法则
3.复合函数的求导法则
若
y?f(u)
与
u?
?
(x)
均可导，则
y?f
?
?
(x)
?
也可导，且
即
y
?
?f
?
?
?
(x)
?
?
?
?
(
x)
4.反函数的求导法则
若
y?f(x)
与
x??
(y)
互为反函数，且
?
(y)
单调、可导，则
dydydu
??
dxdudx
f
?
(x)?
dy1
1
?
，即
dx
dx
?
?
(y)
dy
dy
。只需将方程
F(x,y)?0
两边同
dx
5.隐函数求导法
求由方程
F(x,y)?0
确定的隐函数
y?
f(x)
的导数
时对x求导（注意其中变量y是x的函数），然后解出
dy
即
可。
dx
6.对数求导法
对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求
导数。对数求导法主要解决
两类函数的求导数问题：
(1)幂指数函数y=
u(x)
v(x)
；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如
(x?1)(x?2)2x?
5
(x?3)
3
x?4
y=,
y?
3
(x?1)(
2x?3)
,
y?
5
(3x?5)(x?2)
x?5
5<
br>x?2
2
等等。
7.由参数方程所确定函数的求导法则
设由参数方程
?
x?
?
(t)
t?(
?
,
?
)
确定的函数为y=f(x)，其中
?
(t),
?
(t)
?
y?
?
(t)
?
1
可导，且
?
?
(t)
?
0，则y=f(x)可导，且dy
dx
?
?
?
(t)
dy
?
?(t)
?
dx
dt
dt
8.求高阶导数的方法
二、求导数公式
1.基本初等函数求导公式
(1)
(C)
?
?0
?
(2)
(x)
?
?
?
x
?
?1
(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx
2
(5)
(tanx)
?
?sec
2
x
(6)
(cotx)
?
??cscx
(7)
(secx)
?
?secxtanx
(8)
(cscx)
?
??cscxcotx
xx
xx
(9)
(a)
?
?alna
(10)
(e)
?
?e
(log)
?
?
1
?
1
(11)
a
x
xlna
(lnx)
?
(12)
x
，
(arcsinx)
?
?
1
(ar
ccosx)
?
??
1
(13)
1?x
2
(14)
1?x
2
(arctanx)
?
?
1
1?x
2
(arccotx)
?
??
1
(15) (16)
1?x
2
2.常见函数的高阶导数
(1)
(x
?
)
(n)
?
?
?(
?
?1)?(
?<
br>?2)?
?
(
?
?n?1)x
?
?n
(2)
(e
x
)
(n)
?e
x
(3)
(a
x
)
(n)
?a
x
ln
n
a
(4)
(sinx)
(n)
?sin
??
?
x?n?
?
?
2
?
?
(5)
(cosx)
(n)
?cos
?
?
?
?<
br>?
x?n?
2
?
?
(6)
ln(a?x)
(n)
?(?1)
n?1
(n?1)!
1
(n)
(?1)<
br>n
n
(a?x)
n
(7)
(
ax?b
)?
!a
n
(ax?b)
n?1
2
3.两个函数乘积的
n
阶导数公式(莱布尼兹公式)
(u?
v)
(n)k(n?k)(k)
?
?
C
n
uv?u
(n)
v
(0)
?nu
(n?1)
v
'
?
k?0
n
n(n?1)
(n?2)''
uv?
2!
?
n(n?1)(n?k?1)
(n?k)(k)
uv?
k!
?u
(0)
v
(n)
三、微分在近似计算中的应用
1.微分可以用来求函数在某点的近似值：
当|Δx|很小时，
f
(x
0
+Δx)≈
f
(x
0
)+
f
?
(x
0
)Δx
2.微分可以用来求函数增量的近似值
当|Δx|很小时，Δy≈dy=
f
?
(x
0
)Δx
3.微分可以用来求函数的近似公式
当|x|很小时，特别当
时,
有近似公式
常用的近似公式有
xn
sinx≈x
(x以弧度为单位)，tanx≈x，ln(1+x) ≈x，e≈1+x，(1+x)≈1+nx
四、导数的应用
1.函数单调性的判别法
设
f(x)?C[a,b]
且在
(a,b)
内可导，
（1
）若在
(a,b)
内
f
?
(x)?0
，则
f(x)
在
[a,b]
上单调递增；
（2）若在
(a,b)
内f
?
(x)?0
，则
f(x)
在
[a,b]
上
单调递减.
?
说明：闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）结论仍成立.
2.函数取极值的充分条件
第一充分条件：设函数设
f(x)
在
U
(x
0
)
内可导且
f
?
(x
0
)?0（或
f(x)
在
U(x
0
)
内
可导且在
x
0
处连续），
（1）若在
U(x
0<
br>)
内，当
x?x
0
时，
f
?
(x)?0；当
x?x
0
时，
f
?
(x)?0
，则
f(x)
在
x
0
3
?
处取得极大值
f(x
0
)
；
（
2）若在
U(x
0
)
内，当
x?x
0
时，
f
?
(x)?0
；当
x?x
0
时，
f
?<
br>(x)?0
，则
f(x)
在
x
0
处取得极小值
f(x
0
)
；
（3）若在
U(x
0
)
内，
f
?
(x)
在
x
0
的左右同号，那么
x
0
不是
f(x)
的极值点.
3.曲线凹凸性的判定法
设函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内二阶可导，
（1
）
若在
(a,b)
内
f(x)?0
，则曲线
y?f(x)<
br>在
[a,b]
上是凹的．
（2）
若在
(a,b)
内
f(x)?0
，则曲线
y?f(x)
在
[a,b]
上是凸的
．
案例分析
一、利用导数定义计算若干问题
1.利用导数定义求极限
如果
f(x)
存在
?lim
口?0
f(x?口)?f(x)
?f
(x)
口
注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同
例1设
f(x)
在
x
0
点可导，求下列极限
（1
）
lim
h?0
f(x
0
?2h)?f(x
0
?2
h)
2h
π
sin(?x)?1
2
（2）已知
(
sinx)'?cosx
，利用导数定义求极限
lim
x?0
x<
br>f(x
0
?2h)?f(x
0
?2h)f(x
0
?2
h)?f(x
0
)?[f(x
0
?2h)?f(x
0
)]<
br>?lim
解：（1）
lim
h?0h?0
2h2h
f(x
0
?2h)?f(x
0
)f(x
0
?2h)?f(x
0
)
?lim?lim
h?0h?0
2h?2h
?f
?
(x
0
)?f
?
(x
0
)?2f<
br>?
(x
0
)
4
sin(
π
（2）
lim
2
?x)?1sin(
π
?
2<
br>?x)?sin
2
x?0
x
=
lim
x?0
x
=
(sinx)'|
x?
π
=
cos
π
=0
2
2
2.利用导数定义求函数的导数
例2 (1) 设
?
(x)?f
(a)(x?a)?f(x)(x?
a)
2
，求
?
(a)
解：由于
?
(x)?f
(a)?f
(x)(x?a)
2
?2
(x?a)f(x)
，则
?
(a)?f
(a)
<
br>
故
?
(a)?lim
?
(x)?
?
(a)
x?a
x?a
?lim
x?a
[f
(x)(x?a)?2f(x)]
因为
f(x)
在
x?a
处二阶可导，故
f(x)
、
f
(x)
在
x?a处连续，即
lim
x?a
f(x)?f(a)
、
lim
x?a
f
(x)?f
(a)
所以
?
(a)?2f(a)
注意：函数
?
(x)
仅在
x?a
处存在二阶导数，故求
?
(a)
时不能直接利用求导公式。
（2）设周期函数
f(x)
的周期为5，
f(x
)
可导，如
lim
f(2)?f(2?x)
x?0
2x
?1
，求曲线
y?f(x)
在点
(?3,f(?3))
处的切线方程。
解：因为函数
f(x)
的周期为5，故
f(2)?f(?3?5)?f(?3)
f(2?x)?f(?3?x?5)?f(?3?x)
而
lim
f(2)?f(2?x)
x?0
2x
?lim
f(?3?x)?f(
?3)
x?0
?2x
?1
故
lim
f(?3?x)?f(
?3)f(?3?x)?f(?
x?0
?x
?2
，即
f
(?3)?lim
3)
x?0
?x
?2
所以
y?f(x)
在点
(?3,f(?3))
处的切线为
y?f(?3)?2(x
?3)
（3）设
F(x)?f(sin
?
(x))
，f
(0)?a,
?
(0)?0,
?
(0)?b
，求
F
(0)
解：
F
(0)?
lim
F(x)?F(0)f(sin
?
(x
x?0
x?0
?lim
))?f(sin
?
(0))
x?0
x
5
?lim
f(sin?
(x))?f(0)sin
?
(x)
?
(x)
x?0
sin
?
(x)
?
?
(x)
?
x
?f
(0)?lim
?
(x)?
?
(0)
x?0
x?0
?f
(0)?
?
<
br>(0)?ab
3.求含有绝对值的函数和分段函数的导数
分析:
含有绝对值的函数可转化为分段函数
?
f(x)
x?
y?
?
a
?
A
x?a
?
?
g(x)
x?a
分析:（1）当x>a
y
?f
(x)
当xy
?g
(x)
（2）当x=a
y<
br>
?
(a)?
f(x)?A
x
lim
??a
x
?a
y
?
(a)?
x
lim
g(
x)?A
??a
x?a
（3）如
y
?
(
a)?y
?
(a)?B
则
y
(a)
存在
,且
y
(a)
=B.否则
y
(a)
不存在
（4）写出
y
的解析式
例3设
?
(x)?max
2
?1?x?1
{f
1
(x),f
2
(x)}，其中
f
1
(x)?x?1
，
f
2
(x)?(
x?1)
，求
?
(x)
解：当
?1?x?0
时，
x
?1?(x?1)
2
；当
0?x?1
时，
x?1?(x?1)
2
，故
?
(x)?
?
?
x?1?1?x?0
?
(x?1)
2
0?x?1
?
?
(x?1)?1<
br>(x
?
(0)?lim
x?0
?
x?0
?1
?
?
?
(0)?
x
lim
?1)
2
?1
?0
?
x?0
?2
因为
?
?(0)?
?
?
?
(0)
，故
?
?(0)
不存在，即
?
(x)?
?
?
1?1?
x?0
?
2x?20?x?1
4.分段函数在分段点处的导数存在,求待定系数
已知
y(x)?
?
?
f(x)
x?a
在
x?a
处可导,求
y(x)
中的待定系数
?
g(x)
x?a
6
分析：（1）<
br>y(x)
在
x?a
处可导,则在
x?a
处连续,即
l
imf(x)?limg(x)?f(a)
﹡
x??ax??a
il
（2）
求
y
?
(a)?m
x??a
f(x)?f(a)g(x)?
f(a)
,
y
?
(a)?lim
,而
y<
br>?
(a)?y
?
(a)
﹟
x??a
x?ax?a
（3）由﹡和﹟,求待定系数
?
e
x
x?0
例4已知
y(x)?
?
在
x?0
处可导, 求a,b
?
ax?b
x?0
5.求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性
?
f(x)
x?a
?
函数
y(x)?
?
A
x?a
,求
y
(x)
,并讨论
y
(x)
的连续性
?
g(x)
x?a
?
分析:
（1）先求
y
(x)
(见求导数部分)
（2）然后讨论
y
(x)
在定义域内的连续性
?
ax
2
?bx?c,
x?0
例5设
f(x)?
?
问如何选取a,b,c才能使f(x)处处具有一阶连续导
?
ln(1?x),
x?0
数，但在x=0处却不存在二阶导数。
6.利用导数求函数
例6（1）设f
(x)在（0，+∞）内有定义，且
f
?
(1)?a(?0)
，又对
?x,y?(0,??)
，有
f(xy)?f(x)?f(y)
，求
f
(x)
解：令
x?y?1
，有
f(1)?f(1)?f
(1)
得
f(1)?0
(﹡)
1
x
1
由
(﹡)、(﹡﹡)得
f(x)??f()
x
而
f(x?)?f(1)?f(x)?f()
(﹡﹡)
1
x
1?x
f(x??x)?f()f(1?)
f(x?
?x)?f(x)
x
?lim
x
f
(x)?li
m?lim
?x?0?x?0?x?0
?x?x?x
7
f
(1?
?x
)?f(1)f(1?
?x
)?
?
?
l
xx
f(1)
11a
x
i
?
m
0
?x
?
?
l
x
i
?
m
0
?x
?
x
?f
(1)?
x
?
x
x
注意：有乘积的，一般令
x
、
y
互为倒数
（2）设函数
f(x)
满足等式
f(x?y)?
f(x)?f(y)
1?f(x)f(y)
，且
f
?
(0)
存在，求
f
(x)
解：令
x?1
，
x?0
则
f(1)?
f(1)?f(0)
1?f(1)f(0)
有
f(0)(f
2
(1)?1)?0
得
f(0)?0
[1]
令
y??x
有
f(0)?f(x?x)?
f(x)?f(?x)
1?f(x)f(?x)
[2]
由[1]、[2]得
f(x)??f(?x)
f
(x)?lim
f(x??x)?f(x)f(x??x)?f(?x)
?x?0
?x
?
?
lim
x?0
?x
?
f(?x)[1?f(x??x)f(?x)]
?
lim
x?0
?x
?
?
lim
f(?x)
x?0
?x
?[1?f(x
??x)f(x)]
?
f(?x)?f(0)
?lim
x?0
?x
?
?
lim
x?0
[1?f
(x??x)f(x)]?f
(0)?[1?f
2
(x)]
有
?
d[f(x)]
dx?f
(0)
?
dx 得
arctanf(x)?f
1?f
2
(x)
(0
)x?c
令
x?0
得
c?0
即
f(x)?tan[f
(0)?x]
注意：有和的，一般令x
、
y
互为相反数；有差的，一般令
x
、
y
相
等
二、根的存在性问题
1.利用零点定理证明方程有实根
利用零点定理证明方程
f(x)?g(x)
在
(a,b)
内至少有一个实根
方法： （1）令
F(x)?f(x)?g(x)
，
F(x)
在
[a,b
]
上连续
8
（2）计算
F(a)
，
F
(b)
（或
limF(x)
，
limF(x)
）
x?ax
?b
（3）如果
F(a)?F(b)?0
（或
limF(x)?limF(x
)?0
），则
f(x)?g(x)
在
(a,b)
内至少
x?
ax?b
有一个实根
例7（1）设
f(x)
在
x?a
时连
续，
f(a)?0
，当
x?a
时，
f
(x)?k?
0
，则在
(a,a?
f(a)
)
内
f(x)?0
有
唯一的实根
k
f(a)
)
上单调增加
k
证明：因为f
(x)?k?0
，则
f(x)
在
(a,a?
f(a)f(a)f
(
?
)
f(a?)?f(a)?f(<
br>?
)?f(a)[1?]?0
（中值定理）
kkk
而
f(a
)?0
故在
(a,a?
f(a)
)
内
f(x)?0
有唯一的实根
k
（2）设
f(x)
在
[0,1]
上可导，
且
0?f(x)?1
，
f
(x)??1
，证明方程
f(x)?1?x
在
(0,1)
内有唯一一个实根
证明：令
g(x
)?f(x)?x?1
，
g
(x)?f
(x)?1
因为
f
(x)??1
，故
g
(x)
要么恒正或恒负，即
g(x)
是单调函数
g(0)?f(0)?1?0
，
g(1)?f(1)?0
，故方程
f(x)?1?x
在
(0,1)<
br>内有唯一一个实根
2.利用中值定理证明方程有实根
若
f(x)
可
导，证明方程
f(x)
=0的相邻两个实根之间必有方程
f
?
(x)
=0的一
个实根。
例8若
f(x)
=
(x?1)(x?2
)(x?3)
，不用求导数，指出
f
?
(x)
=0的实根个数及所<
br>在的区间。
证明：因
x?1,x?2,x?3
是方程
f(x)
=0的根，即
f(1)?f(2)?f(3)?0
，又因
f(x)
在[1,
2]上连续，在（1,2）内可导，故
f(x)
在[1,2]上满足罗尔定理的
条件，
则在（1,2）内至少存在一个点
?
1
，使得
f
?
(
?
1
)
=0，即
?
1
是方程
f
?
(x)
=0
9
的一个实根。
同理，
f(x)
在（2,3）内至少存在一个点
?
2
，使得
f
?<
br>(
?
2
)
=0，即
?
2
是方
程f
?
(x)
=0的另一个实根。
另外，由于
f
?(x)
为二次函数，
f
?
(x)
=0最多有两个实根。
综上，
f
?
(x)
=0有两个实根，分别在（1,2）和（2,3）内。
例9设
f(x)
在
[a,??)
连续，在
(a,??)可导，且
f
?
(x)?k?0
，
f(0)?0
，证明：
方程
f(x)?0
在
(a,??)
内必有唯一实根。
证法一：令<
br>g(x)?kx?f(0)
，则有
g
?
(x)?k
，
g(0)?f(0)
.
由题义
f
?
(x)?g
?
(x)
得
?<
br>f(x)?g(x)
?
?
?0
，
f(0)?g(0)?0
推出：
f(x)?g(x)?0
，
f(x)?g(x)
， <
br>得：
f
?
?
?
?
f(0)
?
f(0
)
??
f(0)
??
上由介值定理知，
?
?g
?
?
?
?0
，而
f(0)?0
在
?
0,?<
br>?
k
?
k
?
k
?
?
?
f(
0)
?
，使
f(
?
)?0
，即在
(0,??)内
f(x)?0
有实根。
?
k
?
存在
??
?
0,?
?
?
又
f
?
(x)?0<
br>，知
f(x)
单调减，故有唯一实根。
证法二：设
a?o
，在
[0,a]
上用拉格朗日定理得
f
(a)?f(0)?f
?
(
?
)a
,
?
?(0,a
)
由设知
f(a)?f(0)?ka
，即
f(a)?f(0)?k
a
，取
a??
即
f(0)?ka?0
，得
f(a)?0
由题设知
f(0)?0
，在
[0,a]
上用介值定理，推知方
程
f(x)?0
在
(a,??)
内有实根，
10
f(0)
，
k
故函数单调，知其根唯一。
3.求含有待定系数的方程在区间上的根的个数
例10（1）
x?3x?9x?h?0
解：令
f(x)?x
3
?3x
2
?9x?h
则
f
(x)?3x
2
?6x?9
由
f
(x)?3x
2
?6x?9
=0
得
x
1
??1
，
x
2
?3
当<
br>x??1
时，
f
(x)?0
；当
?1?x?3
时，
f
(x)?0
；当
x?3
时，
f
<
br>(x)?0
32
f(??)?limx
3
(1?
x
???
39h39h
?
2
?
3
)???
；
f(??)?limx
3
(1??
2
?
3
)???
x???
x
x
x
xxx
f(?1)?5?h
f(3)??27?h
当
h?27
时，有唯一根在
(??
,?1)
上；当
h??5
时，有唯一根在
(3,??)
上；当
?5?h?27
时，有三个根分别在
(??,?1)
，
(?1,3)
，
(3,??)
上
（2）
lnx?kx
解：令
f(x)?lnx?kx
则
f(x)?
1
?k
x
（i）当
k?0
时，
f
(x)?0
，即
f(x)
为增函数
(lnx?kx)???
；
f(??)?lim(lnx?kx)???
因
为
f(?0)?lim
?
x?0
x???
此时
lnx?kx
有一根
（ii）当
k?0
，有一根
x?1
（iii）当
k?0
，由
f(x)?
11
?k?0
得<
br>x?
xk
11
0?x?
时，
f
(
x)?0
；
x?
时，
f
(x)?0
kk
x???
(lnx?kx)???
；
f(??)?lim(lnx?kx)?
??
；
f()??lnk?1
因
f(?0)?lim
?
x
?0
1
k
?lnk?1?0
，即
k?e
?1
时有一
根；
?lnk?1?0
，即
0?k?e
?1
时有两根
4.
已知方程
f(x)?0
在
[a,b]
（或
(a,b)
）上有
若干个根，求待定系数
?
的范围
11
方法：
（1）令
y?f(x)
并求
y
?f
(x)
（2）当待定系数
?
满足条件
P
时，
f
(
x)?0
（或
f
(x)?0
），此时
y?f(x)
在
[a,b]
（或
(a,b)
）上单调，考察
f(a)f(b)的正负性，判断
y?f(x)
是否有唯一根
（3）找
f
(x)?0
和
f
(x)
不存在的点，再分区间讨论
1
?1
有且只有一根，求
a
的范围
2
x
例11设
x?0
时，方程
ax?
解：（1）当
a?0
时，<
br>x?1
是方程的唯一根
（2）令
f(x)?ax?
11
?1f(x)?a?
则
23
xx
当
a?0
时，
f
(x)?0
即
f(x)
为单调递减函数
f(0
?
)?lim(ax
?
?
x?0
11
?1)???f(??)?lim(ax??1)???
22
x???
xx
故此时
f(x)?ax?
1
?1
在
x?0
时有唯一的根
2
x
1
1
?0
得
x?
3
3x
a
（3）当
a?0
时，令
f
(x)?0 即
a?
0?x?
3
22
时
f
(
x)?0
，
f(x)
为减函数；
x?
3
时
f
(x)?0
，
f(x)
为增函数
aa
x?0
(ax?
又因为
f(0
?
)?lim
?
令<
br>f(
3
11
?1)???f(??)?lim(ax??1)???
x???
x
2
x
2
2
22a
3
)?a
3
?(
3
)?1?0
得
a?
9
aa2
2
3
时方程有唯一的根
9
故只有
a?0
或
a?
三、利用微分中值定理证明
1.利用中值定理证明等式成立
（1）将等式变形，使含
?
,
?
的表达式分别在等式的两端
（2）两端分别使用中值定理(或柯西定理)
12
例12设f(x)
在
[0,1]
上可微，且
0?f(x)?1
，
f
?
(x)?1
，则在
(0,1)
内存在唯一点，使
f(<
br>?
)?
?
证明：（i）存在性 构造辅助函数
F(x)?
f(x)?x
，在
[0,1]
连续，且
F(0)?f(0)?0
，
F(1)?f(1)?1?0
，由连续函数的介质定理，存在
?
?(0,1)
使
F(
?
)?0
，即
f(
?
)?
?
（ii）唯一性（反证法）
设还存在
?
2
?(0,1
)
，使
f(
?
2
)?
?
2
，且
?
?
?
2
，在区间
[
?
,
?
2]
上应用拉格朗日定理，
存在
?
?(0,1)
使
f?
(
?
)?
对
?
?
?
2
仍正
确）
例13设
f(x)
在
[0,1]
连续，在
(0,1)
内可导，且
f(0)?1
，
f(1)?0
，证明在
(0,1
)
内至少
?
一点
?
，使
f
?
(
?
)??
f(
?
2
)?f(
?
)
?
2
?
?
（证明过程
??1
，这与题设
f
?
(x)?1
矛盾。
?
2
?
??
2
?<
br>?
f(
?
)
?
证明：令
F(x)?xf(
x)
，则
F
?
(x)?xf
?
(x)?f(x)
，
F(0)?F(1)?0
，
由罗尔定理有
?
?(0,1)
，使
F
?
(
?
)?0
即
f
?
(
?
)?f(
?
)?0
，
得：
f
?
(
?
)??
f(
?
)
(
?
)
0?a?b
，例14已知函数
f(x)
在[
0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，证明存在
?
,
?
?(a,b)<
br>，
使
3
?
2
f
(
?
)?(
a
2
?ab?b
2
)f
(
?
)
f
(
?
)f(b)?f(a)
解：利用柯西中值定理 ?
3
?
2
b
3
?a
3
而
f(
b)?f(a)?f(
?
)(b?a)
则
13
f
(
?
)f(b)?f(a)f
(
?
)(b?a)f
(
?
)
（后面略）
???2
3
?
2
b
3
?a
3
b
3<
br>?a
3
a?ab?b
2
2.结论为
f
方法：
（1）对
f
(n?1)
(n)
(
?
)?0
的命题
证明
(x)
用罗尔定理
（2）利用
f(x)
的
n?1
阶泰勒公式
例15设函数<
br>f(x)
在区间
[a,b]
内具有二阶导数，且
f(a)?f(c)?
f(b)
（
a?c?b
）。
证明在开区间
(a,b)
内至少
有一点
?
，使
f
(
?
)?0
解
：因为
f(a)?f(c)
，则在
(a,c)
内存在一点
?
1
，使
f
(
?
1
)?0
同理,
因为
f(c)?f(b)
，则在
(c,b)
内存在一点
?
2
，使
f
(
?
2
)?0
故在(
?
1
,
?
2
)
内存在一点
?
，使
f
(
?
)?0
例16设函数
f(
x)
在区间
[0,1]
内具有二阶导数，
f(1)?0
，又
F(x)?x
2
f(x)
，证明在
(0,1)
内至少存在一点
?
，使
F
(
?
)?0
解：因为F(1)?0
，
F(0)?0
而
F
(x)?2xf(x
)?x
2
f
(x)
所以
F
(0)?0
x
2
F(x)?F(0)?F(0)x?F(
?
)
其中
?
?(0,x)
2!
当
x?1
时，
有
F(1)?F(0)?F(0)?
1
F(
?
)
其中
?
?(0,1)
2!
即
F(
?
)?0
3.(1)利用泰勒公式证明含有抽象函数及其导数的不等式
例17设
f(
x)
在
[0,2]
上二阶可导，且
|f(x)|?1
，
|f
(x)|?1
，证明
|f(x)|?2
14
1
f(
?
)x
2
其中
?
?(0,2)
2！
1
f(x)?f(0)?f
(
?
)x
2
2
f
(x)?
x
1
|f(x)|?|f(0)|?|f
(
?
)|
x
2
2
即
|f
(x)|?
x
1
2?x
2
2
4?x
2
由
于
|f(x)|?1
，
|f(x)|?1
所以
|f(x)|?
?
x2x
解：
f(0)?f(x)?
f(x)x?
4?x
2
因为在
x?[0,2]
上，
的最大值为2，故
|f(x)|?2
2x
例18设
f(x)
在
[0,1]
上三阶可导、连续，且
|f(0)|?0
，
|f(1
)|?
在
(0,1)
内至少存在一点
?
，使
|f
<
br>1
1
，
f()?0
，证明
22
(<
br>?
)|?12
1
1
f(x
0
)(
x?x
0
)
2
?f
(
?
)(x?x
0
)
3
26
11
1
f
()?f(
?
1
)
?
1
?(0,)
2482
11
1
f
()?f(
?
2
)
?
2
?(,1)
2482
解：
由于
f(x)?f(x
0
)?f(x
0
)(x?x
0
)?
111
时，有
0?f()?
228
1111
当
x?1,x
0
?
时，有
?f()?
2228
当
x
?0,x
0
?
两式相减得
f
而
f
(
?
2
)?f
(
?
1
)?24
(
?
2
)?f
(
?
1
)?24<
br> 即
|f
(
?
2
)?f
(?
1
)|?|f
(
?
1
)|?|f
<
br>(
?
2
)|
(
?
)|?max{|f
(
?
1
)|,|f
(
?
2
)
|}
,则
|f
(
?
)|?12
令
|f<
br>
(2)题中已知
maxf(x)?A
或
minf(x)?B
，
则在
f(x)
的最值点
x
0
?(a,b)
处展开，
x?(a,b)
x?(a,b)
此时
f
(x
0
)?
0
例19设
f(x)
在
[0,1]
上二阶可导，且
f(0)?f(1)?0
又
minf(x)??1
，证明在
(0,1)上
x?[0,1]
存在一点
?
，使
f(
?
)?
8
15
解：设
f(x)
在
?
?(0,1)
处取得最小值，此时
f(
?
)?minf(x)??1
，且
f
(
?
)?0
x?[0,1]
由泰勒公式知
f(0)?f(
?
)?f
<
br>(
?
)
?
?
1
f
(
??<
br>2
得
f
2
2
1
)
(
?
1
)?
?
2
f(1)?f(
?
)?f
(
?
)(1?
?
)?
1
2
f
(
?
)
2
得
f
(
?<
br>2
2
)(1?
?
2
)?
(1?
?
)
2
令
f
(
?
)?max{f
<
br>(
?
1
),f(
?
2
)}
则
f(
?
)?
2
?
2
?
2
(1?
?
)
2
因为
22
?
2
?
(1?
?
)
2
的最值为8，故
f
(
?<
br>)?8
四、求函数的单调区间和极值（最值）
方法：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域
D
（2）求
f
(x)
，在
D
内求出
f
(x)
不存在的点和
f
(x)?0
的点
（3）判断这些点左右的增减性
（4）求极值（5）再考虑函数
y?f(x)
在
D
的端点处的取值，
最终确定最值
例20（1）设
f(x)?alnx?bx
2
?x
在
x
1
?1
和
x
2
?2
两点处取得极值，求
a,b
解：
f
(x)?
a
x
?2bx?1
因为函数
f(x)
在
x
1
?1
和
x
2
?2
两点处取得极值，故
f
(1)?0
f
(2)?0
?
a?2b?1?0
即
?
?
21
?
a
?
2
?4b?1?0
得
a??
3
b??
6
（2）设
f(x)?nx(1?x)
n
（
n?N
），记
M
(n)?max
x?[0,1]
f(x)
求
lim
n??
M
(n)
解：
f
(x)?n(1?x)
n
?n2
x(1?x)
n?1
16
1
令
f
(x)?0
即
n(1?
x)
n
?n
2
x(1?x)
n?1
?0
得
x?
n?1
因为
f(0)?f(1)?0
而
f(
1n
n?1
)?(
1?n
)
n?1
故
M(n)?maxf(x
n
n
x?[0,1]
)?(1?n
)
?1
，即
lim
?
M(n)?lim
n??
(
n
1?n
1?n
)?e
?1
n?
(3) 设可导函数
y?f(x)
由
x
3
?3xy
2
?2y
3
?32
所确定，讨论
f(x)
的极值
解：两边对
x
求导有
3x
2
?3y
2
?
6xyy
?6y
2
y
?0
得
y
?
x?y
2y
令
y
?0
得
y??x
把
y??x代入原方程有
x??2
，
y?2
求
y
，因为
y
|
1
x
4
?0
，所以
f(x)
在
x??2
，
y?2
处有极小值
y
?<
br>?
?
2
2
?
（4）求数列
{n
2
(
1
)
n?1
2
}
中的最大项(提示：令
f(x)?
x
2
(
1
2
)
x?1
)
?
x<
br>2x
（5）设函数
f(x)?
?
x?0
?
x?1x?
0
，问
x
为何值时，
f(x)
取极值
（提示：对每一段和分段点讨论）
（6）求函f(x)=
?
x
2
t?1
0
t
2
?t?1
dt
在[0，2]上的最大值与最小
值。
（提示：利用变上限积分的求导讨论）
注意：
（1）如果
f
(c)?0
，
f
??
(x)
存在且
f
?
?
(c)?0
，则
f(c)
为函数
f(x)
的极值
（2）
f
(c)?0?
极小值，
f
(c)?0?
极大值
例21设
f(x)
满足
xf
(x)?3x
(f
(x))
2
?1?e
?x
（
x?R
）
（1）如果
f(x)
在
x?c(c?0)
有极值，证明
f(
c)
为极小值
（2）如果
f(x)
在
x?0
处有极值，<
br>f(0)
是极大还是极小值
解：（1）因为
f(x)
在
x?
c(c?0)
有极值，所以
f
(c)?0
，而
17 <
/p>
1?e
?x
1?e
?c
1?e
?c
2
2
f(x)??3(f(x))
，即
f(c)??3(f(c))?
xcc
因为
c?0
所以
f
(c)?0
，即
f(c)
为极小值
（2）
因为
f(x)
二阶可导，所以
f
(x)
连续，
f(
x)
在
x?0
处有极值，有
f
(0)?0
及
limf(x)?0
x?0
f
(x)
?f
(0)1?e
?x
f(0)?lim?limf(x)?lim
{?3[f
(x)]
2
}
x?0x?0x?0
xx
1?e
?x
?1?0
?lim
x?0
x
此时
f(0)
为极小值
五、证明不等式
1.利用函数的单调性来证明
例22证明不等式
x?ln(1?x)
（
x?0
）恒成立
证明：设
f(x)?x?ln(1?x)
，则有
11?x?1x
??
1?x1?x1?x
f(x)
在[0,??)
内连续，且在开区间
(0,??)
f
'
(x)?0
因此在
[0,??)
上函数
f(x)
单调增加，从而当<
br>x?0
时，
f(x)?f(0)
f
'
(x)?1?
而
f(0)?0?ln(1?0)?0
1?(x)
所以有
f(x)?0
，即
x?ln
2.利用微分中值定理来证明
例23证明：当
x?0
时，
不等式成立
x
?ln(1?x)?x
恒成立.
1?x
1?x)，显然
f(x)
在区间
[0,x]
上满足拉格朗日中值定理的条件，根证
明：设
f(x)?ln(
据定理，应有
f(x)?f(0)?f
'
(
?
)(x?0)(0?
?
?x)
18
由于
f(0)?0
，
f
'
(x)?
1
1
?x
，因此上式即为
ln(1?x)?
x
1?
?
又因为
0?
?
?x
，故有
x
1?x
?
x
1?
?
?x
即
x
1?x
?ln(1?x)?x
强化训练
一、求下列函数导数
x?x?
3
1.
y?
x?1
3
x
2.
y?
3
1?2x
2
3.
y?e
sin
1
x
4.
y?sinnx?sin
n
x(n为常数)
5.
y?
tanx?
1
tan
3
x?
1
tan
5
x
6.
y?x
a
a
?a
x
a
?a
a
x
35
二、设
f
?
?
x
?
?f
?
x
0
?y
n
?
0
?
?1,当n??时
x
n
,y
f
?
x
0
?x
n
n
为等价无穷小，求
lim
n??
x
n
三、设
f
?
x
?
?arcsin
?
?
x
1?sinx
?
?
?
1?sinx
?
?
，求
f
?
?
0
?
?
四、设函数
f(x)
在
?
??,??
?
内有意义，且f（0
）=0
,f
?
?
0
?
?1
又
f
?
x
1
?x
2
?
?f
?
x
1
?
?
?
x
?2x
2
?
?f
?
x
2
?
?
?
x
1
?
，其中
?
?
x
?
?cosx?x
2
e
，求
f<
br>?
?
x
?
五、设
y?x
3
sinx
，求
y
(6)
(0)
六、用对数求导法求下列函数的导数：
1.
y?(
x
1?x
)
x
2.
y?
5
x?5
5
x?2
3
y?xsinx1?e
x
19
七、
求方程
y?tan(x?y)
所确定的隐函数y的二阶导数
t
?
dy?
x?esint
八、求参数方程
?
所确定的函数的导数
dx<
br>t
?
x?ecost
?
d
2
y
dx
2
九、设函数
f(x)
在[0，1]上连续，在（0，1）内可
导，且
f(1)
=0，试证：至少存在一点
?
?(0,1)
使：
f
?
(
?
)??
2f(
?
)?
十、当a为何值时，
y?asinx?
大值还是极小值。
1
?
sin3x
在
x?
处有极值？求此极值，并说明是极
3
3
参考答案
541
??sin
2
?
1
1111
?4x
一、
1.x
3
?x
6
?x
3
2.
3.
?
2
e
x
?cos
363xx
3
3
(1?2x
2
)
2
4.
nsin
n?1
x?sin(n?1)x
5.
secx?tanxsecx?tanxsec
aa
6.
ax
a
22242
?1
?a
x
a
?1a?1
x
lna?a
a
x
?x
?
lna
?
2
二、2 （提示：用导数定义求
lim
n??
f
?
x0
?x
n
?
?f
?
x
0
?y
n
?
f
?
x
0
?x
n
?
?f?
x
0
?
f
?
x
0
?y
n<
br>?
?f
?
x
0
?
?lim?lim?
n??n??
x
n
x
n
?x
n
f
?<
br>x
0
?x
n
?
?f
?
x
0
?
f
?
x
0
?y
n
?
?f
?x
0
?
?lim?2f
?
?
x
0
?<
br>?2
）
n??
x
n
?y
n
2?2x
?lim
n??
三、1（提示：用导数定义求）
四、
f
?
?
x
?
?
?
?
x
?
?cosx?
xe
（提示：
f
?
?
x
?
?lim<
br>?x?0
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
1
?
f
?
x
?
?
?
?x
?
?f
?
?x
?
?
?
x
?
?f
?
x
?
?
?lim
?x?0
?x?x
?f
?
x
?
?
?
?
0
?
?
?
?
x
?
f
?
?
0
?
20
又
?
?
?
x
?
?
?
cosx?x
2
e
?2x
?
?
??sinx?2x
e
?2x
?2x
2
e
?2x
?
?
?
?
0
?
?0
）
五、
y
?
6
?
?
0
?
?C
3
?
?
?
4
6
?6?sin
?
?
0?3?
?
??
6?5?2
?
3！
?6??120
（提示：利用莱布尼茨公式） x
六、1.
?
?
?
x
?
?
?
?
ln
x
?
1
?
?
2.
5
x?5
5
x?
?
1
?
x?1
??
x?1x?1
?
2
?
1
?
?
5
?
x?5
?
25
?
x?2
?
?
?
?
3.
xsinx1?e
x
?
11e
x
?
?
?
2x
?
2
cotx?
4
?
1?ex
?
?
?
?
七、
dy
dx
?sec
2
?
x?y
?
?
?
dy
?
?
1?
dx
?
?
??1?cot
2
?
x
?y
?
??csc
2
?
x?y
?
，
d
2
y
dx
2
?
?2csc
2
?x?y
?
cot
3
?
x?y
?
八、
dy
2
?cot
?
?
t?
?
?
?
，
dy2
?t3
?
?
?
dx
?
4
?
dx
2
??
2
ecsc
?
?
t
?
4
?
?
九、略（提示：设
F
?
x<
br>?
?x
2
f
?
x
?
，利用
Roll
e
定理证明）
十、
a?2
，极大值
3
21
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