高考理科数学数学导数专题复习

?
6?6a?3b?0，
，解得
a??3
，
b?4
。
f
?
(1)?0
，
f
?
(2 )?0
．即
?
?
24?12a?3b?0
．
（2）由（Ⅰ） 可知，
f(x)?2x
3
?9x
2
?12x?8c
，
f
?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
。
当
x?(01)，
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(1，2)
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(2，3)
时，
f
?
(x)?0
。
所以，当
x?1
时 ，
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c
，又
f(0)?8c，
f(3)?9?8c
。
则当
x?
?
0，3
?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8c
。因为对于任意的x?
?
0，3
?
，有
f(x)?c
2
恒成立，
所以
9?8c?c
2
，解得
c??1
或
c?9
，因此
c
的取值范围为
(??，

?1)U(9，??)< br>。
答案：（1）
a??3
，
b?4
；（2）
(??， ?1)U(9，??)
。
点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数
f< br>?
x
?
的极值步骤：①
求导数
f'
?
x?
；
②求
f'
?
x
?
?0
的根；③ 将
f'
?
x
?
?0
的根在数轴上标出，得出单调区间，由< br>f'
?
x
?
在各区间上取值的正负可确定并求出函数
f
?
x
?
的极值。
考点六：函数的最值。
例7. 已知a为实数 ，
f
?
x
?
?
?
x
2
?4
?
?
x?a
?
。求导数
f'
?
x
?；（2）若
f'
?
?1
?
?0
，
求
f
?
x
?
在区间
?
?2,2
?
上的最大值和 最小值。
解析：（1）
f
?
x
?
?x
3
?ax
2
?4x?4a
，
?

（2）
f'
?
?1
?
?3?2a?4?0
，
?a?
f'
?x
?
?3x
2
?2ax?4。
1
。
?f'< br>?
x
?
?3x
2
?x?4?
?
3x?4??
x?1
?

2
4
令
f'
?
x
?
?0
，即
?
3x?4
??
x?1
?
?0
，解得
x??1
或
x?
， 则
f
?< br>x
?
和
f'
?
x
?
在区间
3
?
?2,2
?
上随
x
的变化情况如下表：
x

?2

?
?2,?1
?

?1

4
??
?
?1,
?

3
??
4

3
?
4
?
?
,2
?

?
3
?
2

f'
?
x
?

f
?
x
?


0
＋
增函数
0
极大值
—
减函数
0 ＋
0 极小值 增函数
f
?
?1
?
?
50
9
?
4
?
，
f
??< br>??
。所以，
f
?
x
?
在区间
?
? 2,2
?
上的最大值为
27
2
?
3
?
50
?
4
?
f
??
??
，
27
?3
?
最小值为
f
?
?1
?
?
9
。
2
50
?
4
?
答案：（1）
f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?4
；（2）最大值为
f< br>??
??
，最小值为
327
??
f
?
?1< br>?
?
9
。
2
点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导 函数
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的最
值，要先求出函数
f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的极值，然后与
f
?
a
?
和
f
?
b
?
进行比较，从
而得出函数的最大最小值。
考点七：导数的综合性问题。
例8. 设函数
f(x)?ax
3
? bx?c
(a?0)
为奇函数，其图象在点
(1,f(1))
处的切线与直线
x?6y?7?0
垂直，导函数
f'(x)
的最小值为
?1 2
。（1）求
a
，
b
，
c
的值；
（2） 求函数
f(x)
的单调递增区间，并求函数
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值和最小值。
解析： （1）∵
f(x)
为奇函数，∴
f (?x)??f(x)
，即
?ax
3
?bx?c??ax
3
?bx?c

∴
c?0
，∵
f'(x)?3ax
2
?b
的最小值为
?12
，∴
b??12
，又直线
1

x?6y?7?0
的斜率为，因此，
f'(1)?3a?b??6
，∴
a?2
，
b??12
，
c?0
．
6
（2）
f(x)?2x
3
?12x
。
f'(x)?6x
2
?12?6(x?2)(x?2)
，列表如下：
x
(??,?2)

?2

(?2,2)

2

(2,??)

f'(x)

f(x)

?

增函数
0

极大
?

0

极小
?

增函数 减函数
所以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)
和
(2,??)
，∵
f(?1)?10
，
f(2)??82
，
f(3)?18
，∴
f(x)
在
[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18
，最小值是

f(2)??82
。
答案：（1）（2）最大值是
f(3)?18
，最小值是
f(2)??82
。
a?2
，
b??12
，
c?0
；
点评：本题考查函 数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基
础知识，以及推理能力和运算能力。



导数强化训练
1. 选择题
已知曲线
y?
x
2
1.
4
的一条切线的斜率为
1
2
，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. 曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点（1，－1）处的切线方程为 （ ）
A．
y?3x?4
B．
y??3x?2
C．
y??4x?3
D．
y?4x?5

3. 函数
y?(x?1)
2
(x?1)
在
x?1
处的导数等于 （ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 已知函数f(x)在x?1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为 （ ）
A．
f(x)?(x?1)
2
?3(x?1)
B．
f(x)?2(x?1)

C．f(x)?2(x?1)
2
D．
f(x)?x?1

5. 函数
f(x)?x
3
?ax
2
?3x?9
，已知
f(x)
在
x??3
时取得极 值，则
a
=（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

6. 函数f(x)?x
3
?3x
2
?1是减函数的区间为( )
（ Ａ）
(2,??)
（Ｂ）
(??,2)
（Ｃ）
(??,0)
（Ｄ）
(0,2)

7. 若函数
f
?
x
?
?x
2
?bx?c
的图象的顶点在第四象限，则函数
f'
?
x
?
的图象是
（ ）



y
y
y
y

o
x
o
x
o
x
o
A
B
C
D

x

8. 函数
f(x)?2x
2
?x
3
在区间
[0,6]
上 的最大值是（ ）
A．
32

3
1
3
B．
16

3
C．
12
D．
9

9. 函数
y?x
3
?3x
的极大值为< br>m
，极小值为
n
，则
m?n
为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10. 三次函数
f
?
x
?
?ax
3
?x
在
x?
?
??,??
?
内是增函数，则 （ ）
A．
a?0
B．
a?0
C．
a?1
D．
a?
1

3
11. 在函数
y?x
3
?8x
的图象上，其切线的倾斜角小于
点的个数是
A．3 B．2 C．1

12. 函数
f(x)
的定义域为开 区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图所示，
则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内 有极小值
y
y?f
?
(x)
点（ ）

A．1个 B．2个
C．3个 D． 4个
b


O
a
x




2. 填空题
?
的点中，坐标为整数的
4
（ ）
D．0

13. 曲线
y?x
3
在点
?
1,1
?
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为
__ ________。
14
14. 已知曲线
y?x
3
?
， 则过点
P(2,4)
“改为在点
P(2,4)
”的切线方程是
33< br>______________
15. 已知
f
(n)
(x)
是对函数
f(x)
连续进行n次求导，若
f(x)?x
6
?x5
，对于任意
x?R
，都有
f
(n)
(x)
= 0，则n的最少值为 。
16. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买
x
吨，运费为4万元／次，一

年的总存储费用为
4 x
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x?

吨．

3. 解答题
17. 已知函数
f
?
x
??x
3
?ax
2
?bx?c
，当
x??1
时， 取得极大值7；当
x?3
时，
取得极小值．求这个极小值及
a,b,c
的值．






18. 已知函数
f(x)??x
3
?3x
2
?9x?a.

（1）求
f(x)
的单调减区间；
（2）若
f(x)
在区 间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.




19. 设
t?0
，点P（
t
，0）是函数
f(x)?x< br>3
?ax与g(x)?bx
2
?c
的图象的一个公
共点，两函 数的图象在点P处有相同的切线。
（1）用
t
表示
a,b,c
；
（2）若函数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，求
t的取值范围。




20. 设函数
f
?
x
?
?x
3
?bx
2
?cx(x?R)
， 已知
g(x)?f(x)?f
?
(x)
是奇函数。
（1）求
b
、
c
的值。
（2）求
g(x)
的单调区间与极值。




21. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之
比为2： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多

少？



11
3]
内各有一个极值点． 22. 已知函数< br>f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
[?11)，
，
(1，
32
（1）求
a
2
?4b
的最大 值；
（1） 当
a
2
?4b?8
时，设函数
y?f(x)
在点
A(1，f(1))
处的切线为
l
，若
l
在点
A
处穿过函数
y?f(x)
的图象（即动点在点
A
附近沿曲 线
y?f(x)
运动，经
过点
A
时，从
l
的一侧进 入另一侧），求函数
f(x)
的表达式．
强化训练答案：
1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A
4. 填空题
8
13. 14.
y?4x?4?0
15. 7 16. 20
3
5. 解答题
17. 解：
f'
?
x
?
?3x
2
?2ax?b
。
据题意，－1，3是方程
3x
2
?2ax?b?0
的两个根，由韦达 定理得
2a
?
?1?3??
?
?
3

?
?
?1?3?
b
?
3
?
∴
a??3,b? ?9

∴
f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?9x?c

∵
f
?
?1
?
?7
，∴
c?2

极小值
f
?
3
?
?3
3
?3?3
2
?9?3?2??25

∴极小值为－25，
a??3,b??9
，
c?2
。
18. 解：（1）
f
?
(x)??3x
2
?6x?9.
令
f
?
(x)?0
，解得
x??1或x?3,

所 以函数
f(x)
的单调递减区间为
(??,?1),(3,??).

（2）因为
f(?2)?8?12?18?a?2?a,

f(2)??8?12?18?a?22?a,

所以
f(2)?f(?2) .
因为在（－1，3）上
f
?
(x)?0
，所以
f(x)< br>在[－1，2]上
单调递增，又由于
f(x)
在[－2，－1]上单调递减，因 此
f(2)
和
f(?1)
分别是
f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最大值和最小值.于是有
22?a?20
，解得a??2.

故
f(x)??x
3
?3x
2
?9x?2.
因此
f(?1)?1?3?9?2??7,

即函数
f(x)
在区间
?
?2,2
?
上的最小值为－7.

19. 解：（1） 因为函数
f(x)
，
g(x)
的图象都过点（
t
，0），所 以
f(t)?0
，
即
t
3
?at?0
. 因为
t?0,
所以
a??t
2
.
g(t)?0,即bt
2
?c?0,所以c?ab.




又因为
f(x)
，
g(x)
在点（
t
， 0）处有相同的切线，所以
f
?
(t)?g
?
(t).
< br>而
f
?
(x)?3x
2
?a,g
?
(x)? 2bx,所以3t
2
?a?2bt.

将
a??t
2
代入上式得
b?t.
因此
c?a b??t
3
.
故
a??t
2
，
b?t
，< br>c??t
3
.

（2）
y?f(x)?g(x)?x
3
?t
2
x?tx
2
?t
3
,y
?
?3x
2
?2tx?t
2
?(3x?t)(x?t)
.
当
y
?
?(3x?t)(x?t)?0
时，函数
y?f(x)?g( x)
单调递减.
由
y
?
?0
，若
t?0,则?< br>tt
?x?t
；若
t?0,则t?x??.

33
由题意，函数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减，则
ttt
(?1,3)?(?,t)或(?1,3)?(t,?).
所以
t?3 或??3.即t??9或t?3.

333
又当
?9?t?3
时，函 数
y?f(x)?g(x)
在（－1，3）上单调递减.
所以
t
的取值范围为
(??,?9]?[3,??).


20. 解：（1）∵
f
?
x
?
?x
3
? bx
2
?cx
，∴
f
?
?
x
?
? 3x
2
?2bx?c
。从而
g(x)?f(x)?f
?
(x )?x
3
?bx
2
?cx?(3x
2
?2bx?c)
＝
x
3
?(b?3)x
2
?(c?2b)x?c
是
一个奇函数，所以
g(0)?0
得
c?0
，由奇函数定义得
b?3
；
（2）由（Ⅰ）知
g(x)?x
3
?6x
，从而
g
?
(x)?3x
2
?6
，由此可知，
(??,?2)
和
(2,??)
是函数
g(x)
是单调递增区间；

(?2,2)
是函数
g(x)
是单调递减区间；
g(x)
在
x??2
时，取得极大值，极大值为
42
，g(x)
在
x?2
时，取得极小
值，极小值为
?42
。

21. 解：设长方体的宽为
x
（m），则长为
2x
(m)，高为
h?
18?12x
?4.5?3x(m)
4
3
??
?
0＜x＜
?
.
2
??
故长方体的体积为
V
?
x
?
?2x
2
?
4.5?3x
?
?9x
2
?6x
3
m
3
??
3
??
0?x?
??

2
??
从而
V?(x)?1 8x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x).

令
V'< br>?
x
?
?0
，解得
x?0
（舍去）或
x?1
，因此
x?1
.
当
0?x?1
时，
V'
?
x
?
?0
；当
1?x?
3
时，
V'?
x
?
?0
，
2
故在
x?1
处V
?
x
?
取得极大值，并且这个极大值就是
V
?
x
?
的最大值。
从而最大体积
V?V'
?
x
?
?9?1
2
?6?1
3
?
m
3
?
，此时长方体的长为2 m，高为
1.5 m.
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为
3m
3
。
11
3]
内分别有一个
，
，
(1，
22. 解：（ 1）因为函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx
在区间
[?11)
32
3]
内分别有一个实根， 极值点，所以
f
?(x)?x
2
?ax?b
?0
在
[?11)，
，
(1，
设两实根为
x
1
，x
2
（
x
1< br>?x
2
），则
x
2
?x
1
?a
2< br>?4b
，且
0?x
2
?x
1
≤4
．于是 < br>x
2
?3
，即
a??2
，
b??3
时等0?a
2
?4b≤4
，
0?a
2
?4b≤16
，且当
x
1
??1，
号成立．故
a
2
?4b
的最大值是16．
（2）解法一：由
f
?
(1)?1?a?b
知
f(x)
在点
(1，f(1))
处的切线
l
的方程是 21
y?f(1)?f
?
(1)(x?1)
，即
y?(1?a? b)x??a
，
32
因为切线
l
在点
A(1，f(x))
处空过
y?f(x)
的图象，

21
所以
g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]
在
x?1
两边附近的函数 值异号，则
32
x?1
不是
g(x)
的极值点．
112 1
而
g(x)
?x
3
?ax
2
?bx?(1?a? b)x??a
，且
3232
g
?
(x)?x
2
? ax?b?(1?a?b)?x
2
?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)
． < br>若
1??1?a
，则
x?1
和
x??1?a
都是g(x)
的极值点．
1
所以
1??1?a
，即
a?? 2
，又由
a
2
?4b?8
，得
b??1
，故
f(x)?x
3
?x
2
?x
．
3
21
解法二：同解法一得
g(x)?f(x)?[(1?a?b)x??a]

32
13a3
?(x?1)[x
2
?(1?)x?(2?a)]
．
3 22
因为切线
l
在点
A(1，f(1))
处穿过
y?f(x )
的图象，所以
g(x)
在
x?1
两边附近的
函数值异号， 于是存在
m
1
，m
2
（
m
1
?1?m2
）．
当
m
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或当
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或当
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，当
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．
由
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知
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是
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，
2
1
所以
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，又由
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2
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，得
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，故
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2
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．
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