高二数学选修2-2导数单元测试题

导数复习
一．选择题
(1) 函数
f(x)?x
3
?3x
2
?1
是减函数的区间为 ( )
A．
(2,??)
B．
(??,2)
C．
(??,0)
D．（0，2）
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
11.若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0
C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

12函数
f(x)
的定义域为开区间
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内 的图象如图所示，则函数
f(x)
（2）曲线
y?x
3
?3x
2
?1
在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．
y?3x?4
B。
y??3x?2
C。
y??4x?3
D。
y?4x?5
a
(3) 函数
y
＝
a
x
2
＋1的图象与直线
y
＝
x相切，则
a
＝ ( )
A．
1
8
B．
1
4
C．
1
2
D．1
(4) 函数
f( x)?x
3
?ax
2
?3x?9,
已知
f(x)在x??3
时取得极值，则
a
= ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(5) 在函数y?x
3
?8x的图象上，其切线 的倾斜角小于
?
4
的点中，坐标为整数的点的
个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
（6）函数f(x)?ax
3
?x?1有极值的充要条件是 （ ）
A．
a?0
B．
a?0
C．
a?0
D．
a?0

（7）函数
f(x)?3x?4x
3
（
x?
?
0,1
?
的最大值是（ ）
A．
1
2
B． -1 C．0 D．1
（8 ）函数
f(x)
=
x
（
x
－1）（
x
－2 ）…（
x
－100）在
x
＝0处的导数值为（ ）
A、0 B、100
2
C、200 D、100！
（9）曲线
y?
1
3
x
3
?x
在点
?
?
?
1，4
?
3
?
?
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
Ａ．
1
2
9
Ｂ．
9
Ｃ．
1
2
3
Ｄ．
3

.10设函数
f (x)?
x?a
,集合M=
x?1
{x|f(x)?0}
,P={x|f
'
(x)?0}
,若MP,则实数a的取值范围是
( )
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个 C．3个D． 4个

13.
y
=
e
sin
x
cos(sin
x
)，则
y
′(0)等于( )
C.－1
14.经过原点且与曲线
y
=
x?9
x?5
相切的方程是( )
+
y
=0或
x
+
y
25
=0 －
y
=0或
x
25
+
y
=0
+
y
=0或
x
－
y
x
25
=0 －
y
=0或
25
－
y
=0
15.设
f< br>(
x
)可导，且
f
′(0)=0,又
lim
f
?
(x)
=－1,则
f
x?0
x
(0)( )
A.可能不是
f
(
x
)的极值 B.一定是
f
(
x
)的极值
C.一定是
f
(
x
)的极小值 D.等于0
1 6.设函数
f
n
(
x
)=
n
2
x
2
(1－
x
)
n
(
n
为正整数)，则
f< br>n
(
x
)在［0,1］上的最大值为( )
C.
(1?
2
n?1
2?n
)
D.
4(
n
n
n?2
)

17、函数y=(x
2
-1)
3
+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
(x)=ax
3
+3x
2
+2，f’(-1)=4，则a=( )
A、
10
3
B、
13
3
C、
16
3
D、
19
3
< br>19.过抛物线y=x
2
上的点M（
1
2
,
1
4
）的切线的倾斜角是( )
A、30
0
B、45
0
C、60
0
D、90
0

20.函数f(x)=x
3
-6bx+3b在（0，1 ）内有极小值，则实数b的取值范围是( )

A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，
1
）
2
21.函数y=x
3
-3x+3在[< br>?
3
,
5
]上的最小值是( )
22
A、
89
B、1 C、
33
D、5
88
22、若f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c，且f(0)=0为函数的极 值，则( )
A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
23、已知函数y=2x3
+ax
2
+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）
2 4、方程6x
5
-15x
4
+10x
3
+1=0的实数解的 集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二．填空题
25．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x
3
＋3x－5相切的直线方程是 。
26．设f ( x ) = x
3
－
1
2
x
2
－2x＋5，当
x?[?1,2]
时，f ( x ) < m恒成立，则实数m
的取值范围为 .
27．函数y = f ( x ) = x
3
＋ax
2
＋bx＋a
2
，在x = 1时，有极值10，则a = ,
b = 。
28．已知函数f(x)?4x
3
?bx
2
?ax?5
在
x?
3
2
,x??1
处有极值，那么
a?
；
b?

29．已知函数
f(x)?x
3
?ax
在R上有两个极值点，则实数
a
的取值范围是
30．已知函数
f(x)?x
3
?3ax
2
?3(a?2)x?1
既有极大值又有极小值，则实数
a
的取值
范围是
31．若函数
f(x)?x
3
?x
2
?mx?1
是R是的单调函数，则实数
m
的取值范围是
32．设点
P
是 曲线
y?x
3
?3x?
2
3
上的任意一点，
P点处切线倾斜角为
?
，则角
?
的取
值范围是 。
33
f
?
(x)
是
f(x)?
1
3x
3
?2x?1
的导函数，则
f
?
(?1)
的 值是 ．
34．曲线
y?x
3
在点
(a,a
3
) (a?0)
处的切线与
x
轴、直线
x?a
所围成的三角形的面积为
1
6
，则
a?
_________ 。
35．一点 沿直线运动，如果由始点起经过
t
秒后的位移是
S?
1
4
t
4
?
3
5
t
3
?2t
2
，那么速
度为零的时刻是_______________。
三．解答题
36．已知函数< br>f(x)?x
3
?bx
2
?ax?d
的图象过点P（0,2） ,且在点M
(?1,f(?1))
处的切
线方程为
6x?y?7?0
.（Ⅰ）求函数
y?f(x)
的解析式；（Ⅱ）求函数
y?f(x)
的单调< br>区间.







37．已 知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?3x
在
x?? 1
处取得极值.
（Ⅰ）讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线，求此切线方程.







38．已知函数
f(x)?ax
3
?
3
2
(a?2)x
2
?6x?3

（1）当
a?2
时，求函数
f(x)
极小值；（2）试讨论曲线
y?f(x)
与
x< br>轴公共点的个数。

39．已知
x?1
是函数
f(x)?mx
3
?3(m?1)x
2
?nx?1
的一个极值点，其中
m,n?R, m?0
，
（I）求
m
与
n
的关系式； （II）求
f(x)
的单调区间；
（III）当
x?
?
? 1,1
?
时，函数
y?f(x)
的图象上任意一点的切线斜率恒大于3
m
，求
m
的取值范围.








40．设函数
f(x)?2x
3
?3ax< br>2
?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得极值．
（Ⅰ）求
a、b
的值；
（Ⅱ）若对于任意的
x?[0，3]
，都有f(x)?c
2
成立，求
c
的取值范围．










41．已知< br>f(x)?ax
3
?bx
2
?cx
在区间[0,1]上是增函 数,在区间
(??,0),(1,??)
上是减函
数,又
f
?
(
13
2
)?
2
.

(Ⅰ)求
f(x)
的解析式;(Ⅱ)若在区间
[0,m]
(
m
＞0)上恒有
f (x)
≤
x
成立,求
m
的取值范
围.





42．设函数
f(x)?ax
3
?bx?c
(a?0)
为奇函数，其图象在点
(1,f(1))
处的切线与直线
x?6y?7?0
垂直，导函数
f'(x)
的最小值为
?12
．
（Ⅰ）求
a
，
b
，
c
的值；
（Ⅱ）求函 数
f(x)
的单调递增区间，并求函数
f(x)
在
[?1,3]上的最大值和最小值．









43，已知向量
a?(x
2
,x?1),b?(1?x ,t)
，若函数
f(x)?a?b
在区间
(?1,1)
上是增函数，
求
t
的取值范围。






44，已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?3x
在
x??1
处取得极值.
(1)讨论
f(1)
和
f(?1 )
是函数
f(x)
的极大值还是极小值;
(2)过点
A(0,16 )
作曲线
y?f(x)
的切线,求此切线方程.

45,设
0?x?a
，求函数
f(x)?3x4
?8x
3
?6x
2
?24x
的最大值和最小值。







46用半径为
R
的圆形铁皮剪出一个圆心角为
?
的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的
圆心角
?
多大时，容器的容积最大？







47 直线
y?kx
分抛物线
y?x?x
2< br>与
x
轴所围成图形为面积相等的两个部分,求
k
的
值.






48 ,已知函数
f(x) ?lnx,g(x)?
1
2
ax
2
?bx,a?0
。
（1）若
b?2
，且函数
h(x)?f(x)?g(x)
存在单 调递减区间，求
a
的取值范围。
（2）设函数
f(x)
的图象
C
1
与函数
g(x)
的图象
C
2
交于点< br>P,Q
，过线段
PQ
的中点
作
x
轴的垂线分别交C
1
、
C
2
于点
M,N
。证明：
C< br>1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处
的切线不平行。



49．已知函数
f(x)?x3
?ax
2
?bx?c
，当
x??1
时，
f( x)
的极大值为7；当
x?3
时，
f(x)
有极小值．求（1）
a,b,c
的值；
（2）函数
f(x)
的极小值．










50已知
f
(< br>x
)
=x
3
+ax
2
+bx+c
,在
x
＝1与
x
＝－2时，都取得极值。
⑴求
a
，
b
的值；
⑵若
x
?
[ －3，2]都有
f
(
x
)>
1
c
?
12
恒成立，求
c
的取值范围。

参考解答
一．1~9 BBDDD CDDA 10~24AAB
二．25~32 1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、
?18,?3
5、
(??,0)
6、
2
2
?1)
，故切线的 方程为
y?y
0
?3(x
0
?1)(x?x
0
)< br> 因
f
?
(x
0
)?3(x
0

3 2
?3x
0
)?3(x
0
?1)(0?x
0
) 注意到点A（0，16）在切线上，有
16?(x
0
?
1
?< br>?
3
,??)
7、
(??,?1)?(2,??)
8、
[0,
?
2
]?[
2
?
3
,
?< br>)
33~34（13）、
?1
（14）、
t?0
三36~42．1．解：（Ⅰ）由
f(x)
的图象经过P（0，2），知d=2，所以f(x)?x
3
?bx
2
?cx?2,
f
?
( x)?3x
2
?2bx?c.
由在
M(?1,f(?1))
处的切线 方程是
6x?y?7?0
知
?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f
?
(?1)?6.
?
?
?
3?2b?c?6,
c?2?1 .
即
?
2b?c
故所求的解析式是
?
?1?b?
?
?3,
解得
?
b?c?0,
b?c??3.
f(x)?x
3
?3x
2
?3x?2.
（2）
f
?
(x )?3x
2
?6x?3.令3x
2
?6x?3?0,即x
2
?2x?1?0.
解得
x
1
?1?2,x
2
?1?2.
当
x?1?2, 或x?1?2时,f
?
(x)?0;
当
1?2?x?1?2时,f
?
(x)?0.
故
f(x)?x
3
?3x
2
?3x? 2在(??,1?2)
内是增函数，在
(1?2,1?2)
内是减函数，在
( 1?2,??)
内是增函数.
2．（Ⅰ）解：
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?3
，依题意，
f
?
(1)?f
?(?1)?0
，即
?
?
3a?2b?3?0,
?
3a ?2b?3?0.
解得
a?1,b?0
.
∴
f(x)?x
3
?3x,f
?
(x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1).
令
f
?
(x)?0
，得
x??1,x?1
. 若
x?(??,?1)?(1,??)
，则
f
?
(x)?0，
故
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数，
f(x )
在
(1,??)
上是增函数.
若
x?(?1,1)
，则
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
(?1,1)上是减函数.
所以，
f(?1)?2
是极大值；
f(1)??2
是极小值. （Ⅱ）解：曲线方程为
y?x
3
?3x
，点
A(0,16)不在曲线上.
设切点为
M(x
3
0
,y
0
)
，则点M的坐标满足
y
0
?x
0
?3x
0
.
化简得
x
3
0
??8
，解得
x
0??2
.
所以，切点为
M(?2,?2)
，切线方程为
9x?y?16?0
.
3．解：（1）
f
'
(x)?3ax
2
?3(a?2)x? 6?3a(x?
2
a
a
)(x?1),
f(x)
极小值为< br>f(1)??
2

（2）①若
a?0
，则
f(x)? ?3(x?1)
2
，
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点 ；
②若
a?0
，
?
f(x)
极大值为
f(1) ??
a
2
?0
，
Qf(x)
的极小值为
f(
2
a
)?0
，
?f(x)
的图像与
x
轴有三个交点；
③若
0?a?2< br>，
f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；
④若
a? 2
，则
f
'
(x)?6(x?1)
2
?0
，
?f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；
⑤若
a?2
， 由（1）知
f(x)
的极大值为
f(
2
a
)??4(
133
a
?
4
)
2
?
4
?0
，
?f(x)
的图像与
x
轴
只有一个交点；
综上知，若a?0,f(x)
的图像与
x
轴只有一个交点；若
a?0
，f(x)
的图像与
x
轴有三
个交点。
4．解(I)
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?n
因为
x?1是函数
f(x)
的一个极值点,
所以
f
?
(1)?0
,即
3m?6(m?1)?n?0
，所以
n?3m?6

（ II）由（I）知，
f
?
(x)?3mx
2
?6(m?1)x?3m ?6
=
3m(x?1)
?
?
?
2
?
??
x?
?
?
1?
m
?
?
?
?

当
m?0
时，有
1?1?
2
m
，当x
变化时，
f(x)
与
f
?
(x)
的变化如下 表：


x

?
?
?
??,1?
2
?
m
?
?

1?
2

??
?
1?
2
?
m
m
,1
?
?

1
?
1,??
?

f
?
(x)

?0

0
?0

0
?0

f(x)

调调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
故有上表知，当
m?0
时，
f(x)
在
?
?
?
??,1?
2
?
m
?< br>?
单调递减，
在
(1?
2
m
,1)
单调递 增，在
(1,??)
上单调递减.
（III）由已知得
f
?
(x)?3m
，即
mx
2
?2(m?1)x?2?0

又
m?0
所以
x
2
?
2
(m?1)x?
2< br>?0
即
x
2
22
mm
?
m
(m?1 )x?
m
?0,x?
?
?1,1
?
①
设
g(x)?x
2
?2(1?
12
m
)x?
m
，其函 数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以
?
?
22
?
g( ?1)?0
?
1?2???
?
g(1)?0
?
?
?
mm
0
解之得
?
?1?0
?
4
3
?m
又
m?0

所以
?
4
3
?m?0

即
m
的取 值范围为
?
?
4
?
?
?
3
,0
?
?

5．解：（Ⅰ）
f
?
(x)?6x
2
?6ax?3b
，
因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值，则有
f
?
(1)?0
，
f
?(2)?0
．
即
?
?
6?6a?3b?0，
?12a ?3b?0
．

?
24
解得
a??3
，
b?4
．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可知，
f(x)?2x
3
?9x
2
?12x?8c
，
f
?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
．
当
x?(01)，
时，
f
?
(x)?0
；
当
x?(1，2)
时，
f
?
(x)?0
；
当
x?(2，3)
时，
f
?
(x)?0
．
所以，当
x?1
时，
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c，又
f(0)?8c
，
f(3)?9?8c
．
则当
x ?
?
0，3
?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)? 9?8c
．
因为对于任意的
x?
?
0，3
?
，有
f(x)?c
2
恒成立，
所以
9?8c?c
2
，
解得
c??1
或
c?9
，
因此
c
的取值范围为
(??，?1)U(9，??)
．
6 ．解：（Ⅰ）
f
?
(x)?3ax
2
?2bx?c
，由已知
f
?
(0)?f
?
(1)?0
，
即
?< br>?
c?0，
?
c?0，
?
3a?2b?c?0，
解得
?
?
?
3

?
b??
2
a
．
?f
?
(x)?3ax
2
?3ax
，
?f?
?
?
1
?
3a3a3
?
2
?
?
?
4
?
2
?
2
，
?a??2
，
?f(x)??2x
3
?3x
2
．
（Ⅱ）令
f( x)≤x
，即
?2x
3
?3x
2
?x≤0
， ?x(2x?1)(x?1)≥0
，
?0≤x≤
1
2
或
x≥1
．
又
f(x)≤x
在区间
?
0，m
?上恒成立，
?0?m≤
1
2

7.（Ⅰ）∵
f(x)
为奇函数，
∴
f(?x)??f(x)

即
?ax
3
?bx?c??ax
3
?bx?c

∴
c?0

∵
f'(x)?3ax
2
?b
的最小值为
?12

∴
b??12

又直线
x?6y?7?0
的斜率为
1
6

因此，
f'(1)?3a?b??6

∴
a?2
，
b??12
，
c?0
．
（Ⅱ）
f(x)?2x
3
?12x
．

f'(x)?6x
2
?12?6(x?2)(x?2)
，列表如下：
x

(??,?2)

?2

(?2,2)

2

(2,??)

f'(x)

?

0

?

0

?

f(x)

Z

极大
]

极小
Z

所以函数
f(x)
的单调增区间是
(??,?2)
和
(2,??)

∵
f(? 1)?10
，
f(2)??82
，
f(3)?18

∴f(x)
在
[?1,3]
上的最大值是
f(3)?18
，最小值 是
f(2)??82

43~48（17）（本小题满分10分）

解：由题意知：
f(x)?x
2
(1?x)?t(x ?1)??x
3
?x
2
?tx?t
，则

f'(x)??3x
2
?2x?t

∵
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数，∴f'(x)?0

即
t?3x
2
?2x
在区间
(?1,1)
上是恒成立，
设
g(x)?3x
2
?2x
，则
g(x)? 3(x?
11
3
)
2
?
3
，于是有

t?g(x)
max
?g(?1)?5

∴当
t?5
时，
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
又当
t?5
时，
f'(x)??3x
2
? 2x?5??3(x?
114
3
)
2
?
3
， 在
(?1,1)
上，有
f'(x)?0
，即
t?5
时，
f(x)
在区间
(?1,1)
上是增函数
当
t?5
时，显然
f(x)
在区间
(?1,1)
上不是增函数
∴
t?5

（18）（本小题满分12分）
解：（1）
f'(x)?3ax
2
?2bx?3
，依题意，

f'(1)?f'(?1)?0
，即
?
?
3a?2b?3?0, 解得
?
3a?2b?3?0.
a?1,b?0
┅┅ （3分）
∴
f'(x)?x
3
?3x
，∴
f' (x)?3x
2
?3?3(x?1)(x?1)

令
f'(x)?0
，得
x??1,x?1

若
x?(??,?1)?(1,??)
，则
f'(x)?0

故
f(x)
在
(??,?1)和(1,??)
上是增函数；
若
x?(?1，1)
，则
f'(x)?0

故
f(x)
在
(?1,1)
上是减函数；
所以
f(?1)?2
是极大值，
f(1)??2
是极小值。
（2）曲线方程为
y?x
3
?3x
，点
A(0,16)
不在 曲线上。
设切点为
M(x
3
0
,y
0)
，则
y
0
?x
0
?3x
0

由
f'(x
2
0
)?3(x
0
?1)
知，切线方程为

y?y
2
0
?3(x
0
?1)(x?x
0
)

又点
A(0,16)
在切线上，有
16?(x
3
0
?3x< br>0
)?3(x
2
0
?1)(0?x
0
)
化简得
x
3
0
??8
，解得
x
0
??2

所以切点为
M(?2,?2)
，切线方程为
9x?y?16?0

19）（本小题满分14分）
解：
f'(x)?12x
3
?24x
2
?12x?24?12(x?1)(x?1)(x?2)

令f'(x)?0
，得：
x
1
??1,x
2
?1,x3
?2

当
x
变化时，
f'(x),f(x)
的变化情况如下表：
x

(0,1)

1

(1,2)

2

(2,??)

f'(x)

?

0

－
0

?

f(x)

单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴极大值为
f(1)?13
，极小值为
f(2)?8

又
f(0)?0
，故最小值为0。
最大值与
a
有关：

（

（1）当
a?(0,1)
时，
f(x)
在(0,a)
上单调递增，故最大值为：

f(a)?3a
4
?8a
3
?6a
2
?24a

（2）由
f(x)?13
，即：
3x
4
?8x
3
? 6x
2
?24x?13?0
，得：

(x?1)
2
(3x
2
?2x?13)?0
，∴
x?1
或
x?
1?210
3

又
x?0
，∴
x?1
或
x?
1?210
3

∴当
a?[1
,
1?210
3
]
时，函 数
f(x)
的最大值为：
f(1)?13

（3）当
a?(
1?210
3
,??)
时，函数
f(x)
的最大值 为：

f(a)?3a
4
?8a
3
?6a
2?24a

（20）（本小题满分12分）
解：设圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，体积为
V
，则
由
h
2
?r
2
?R
2
，所以

V?
1
3
?
r
2
h?
1
3
?
(R
2
?h
2
)h?
1
3
?
R
2
h?
1
3
?
h
3
,(0?h?R)< br>
∴
V'?
1
3
3
?
R2
?
?
h
2
，令
V'?0
得
h?
3
R

易知：
h?
3< br>3
R
是函数
V
的唯一极值点，且为最大值点，从而是最大值点。
∴当
h?
3
3
R
时，容积最大。
把
h?
36
3
R
代入
h
2< br>?r
2
?R
2
，得
r?
3
R

由
R
?
?2
?
r
得
?
?
26
3
?

即圆心角
?
?
26
3
?
时，容器的容积最大。
答：扇形圆心角
?
?
26
3
?
时，容器的容积最大。
(21) （本小题满分12分）
解：解方程组
?
?
y?kx
得：直线
y?
分抛物线
y?x?x
2
的交点的横坐标为
?
y?x?x
2
kx

x?0
和
x?1?k

抛物线
y?x?x
2
与
x
轴所围成图形为面积为
S??
1
0
(x?x
2
)dx?(
1
2
x
2
?
11
3
x
3
)|
1
0
?
6

由题设得
S
1?k1?k< br>2
?
?
0
(x?x
2
)dx?
?
0
kxdx


?
?
1? k
2
(1?k)
3
(x?x?kx)dx?
6
又< br>S?
1
1
0
6
，所以
(1?k)
3
?
2
，
3
从而得：
k?1?
4
2

(22) 解：（1）
b?2
时，函数
h(x)?lnx?
12
ax
2
?2x
，且
h'(x)?
1ax
2< br>?2x?1
x
?ax?2??
x

∵函数
h(x)
存在单调递减区间，∴
h'(x)?0
有解。
又∵
x?0
，∴
ax
2
?2x?1?0
有
x?0
的解。
① 当
a?0
时，
y?ax
2?2x?1
为开口向上的抛物线，
ax
2
?2x?1?0
总有
x?0
的解;

② 当
a?0
时，
y?ax
2
?2x?1< br>为开口向下的抛物线，而
ax
2
?2x?1?0
有
x?0
的解，则

??4a?4?0
，且方程
ax< br>2
?2x?1?0
至少有一正根，此时，

?1?a?0

（2）设点
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，且
0?x
1< br>?x
2
，则
点
M,N
的横坐标为
x?
x
1
?x
2
2
，
C
1
在点
M
处的切线斜率为
k
1
?
1
x
|
2
x?
x
1
?x
2
?
；
2
x
1< br>?x
2
C
?x
2
)
2
在点
N
处的切线斜率为
k
2
?(ax?b)|
a(x
1
x?x
1
?x
2
?
2
2
?b
。 ┅ （9分）
假设
C
1
在点
M
处的切线与< br>C
2
在点
N
处的切线平行，则
k
1
?k2
，即

2
x
?
a(x
1?x
2
)
?b

1
?x
2
2
则
2(x
2
?x
1
)
xx
?
a
( x
2
?x
2
21
)?b(x
2
?x
1)

1
?
2
2

?(
a
2
x
2
?bx
a
2
x
2
22
)?(
1
?bx
1
)?y
2
?y
1
?lnx
2
?lnx
1

2(
x
2
所以
ln
x
2
x
?1)
1
x
?
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （11分）
1
1?
x
2
x
1
设
t?
x
2
2(t?1)
x
，则
lnt ?
,t?1
， ①
1
1?t
令
h(t)?lnt?< br>2(t?1)
1?t
,t?1
，则
h'(t)?
14(t? 1)
2
t
?
(1?t)
2
?
t(t?1)
2

当
t?1
时，
h'(t)?0
，所以
h(t)
在
[1,??)
上单调递增。
故
h(t)?h(1)?0
，从而
lnt?
2(t?1)
1?t
这与①矛盾，假设不成立，
∴
C
1
在点
M
处的切线与
C
2
在点
N
处的切线不平行。 ┅┅┅┅ （14分）

?
f

(?1)?0
?
3?2a?b?0
?
a?
49、解：（1） 由已知得
f

(x)?3x
2
?2ax?b

Q?
?
f

(3)?0?
??
?3
?
?< br>27?6a?b?0?
?
b??9
?
f(?1)?7
?
?
?1?a?b?c?7
?
?
c?2
（2）由（1），
f

(x)?3(x?1)(x?3)

当
?1?x?3
时，< br>f

(x)?0
；当
x?3
时，
f

( x)?0

故
x?3
时，
f(x)
取得极小值，极小值为
f(3)??25

50、解：
a
＝
3
2
，
b
＝－6. 由f (x)
7
1
1
3?13
min
＝－
2
+< br>c
>
c
-
2
得
2
?c?0
或
c?
3?13
2