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数学高考导数难题导数零点问题导数最新整理2017.

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 23:25
tags:高中数学导数视频

高中数学复习手写笔记-高中数学直方图组距

2020年10月7日发(作者:钱渊)


含参导函数零点问题的几种处理方法
方法一:直接求出,代入应用
对于导函数为二次函数问题,可以用二次函数零点的基本方法来求。
(1)因式分解求零点
例1 讨论函数
f(x)?
1
3
1
ax?(a?)x
2
?2x?1(a?R)
的单调区间
32
解析:即求
f'(x)
的符号问题。由
f'(x)?ax
2
?(2a?1)x?2?(ax?1)( x?2)
可以因式分

方法二:猜出特值,证明唯一
对于有些复杂的函数 ,有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的,这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点,再
证明该函数 的单调性而验证其唯一性。
例4 讨论函数
f(x)?(x?a?1)e?
x
1
3
1
x?(a?1)x
2
?ax

a?R,的极值情况
32
解析:
f'(x)?(x?a)e
x
?x< br>2
?(a?1)x?a?(x?a)(e
x
?x?1)
,只能解出f'(x)
的一个零点为
a
,其它的零点就

e?x?1?0< br>的根,不能解。

例5(2011高考浙江理科)设函数
f(x)?(x?a )
2
lnx,a?R

(Ⅰ)若
x?e

y?f(x)
的极值点,求实数
a
(Ⅱ)求实数
a
的取值范围,使得对任意的
x?(0,3e],
恒有f(x)?4e
2
成立(注:
e
为自然对数),

方法三:锁定区间,设而不求
对于例5,也可以直接设函数来求,
2
①当
0?x?1
时,对于任意的实数
a
,恒有
f(x)?0?4e
成立②当
1?x?3e
,由题意,首先有
x
2
f(3e)?(3e ?a)ln(3e)?4e
2
,
解得
3e?
2e
ln(3e )
?a?3e?
2e
ln(3e)

f'(x)?(x?a)(2l nx?1?)
,但这时
a
x
会发现
f'(x)?0
的解除 了
x?a
外还有
2lnx?1?

h(x)?2lnx?1?
a
=0的解,显然无法用特殊值猜出。
x
a
,注意到
h(1)? 1?a?0

h(a)?2lna?0

x

h(3e) ?2ln(3e)?1?
a
?2ln(3e)?1?
3e
3e?
2e
ln(3e)
1
=
2(ln3e?)?0

3e
3ln(3e)

f'(x)?0

(1,a)
及(1,3e)至少 还有一个零点,又
h(x)
在(0,+∞)内单调递增,所以函数
h(x)

(1,3e]

有唯一零点,但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的 方法,记此零点为
x
0
,则
1?x
0
?a
。 从< br>而,当
x?(0,x
0
)
时,
f'(x)?0
;当< br>x?(x
0
,a)
时,
f'(x)?a
;当
x?(a ,??)
时,
f'(x)?0
,即
f(x)

(0,x0
)
内单调递增,在
(x
0,
a)
内单调递减,在(a,??)
内单调递增。所以要使
f(x)?4e

x?(1,3e< br>2
?
恒成立,只要


22
?
?
f(x< br>0
)?(x
0
?a)lnx
0
?4e,(1)
成立。
?
22
?
?
f(3e)?(3e?a)ln(3e)?4e,(2)
h(x
0
)?2lnx
0
?1?
a
?0
, 知
a?2lnx
0
?x
0
(3)将(3)代入(1)得
4x
0
2
ln
3
x
0
?4e
2
,又< br>x
0
?1
,注意到函
x
0
23

x lnx
在[1,+∞)内单调递增,故
1?x
0
?e
。再由(3)以 及函数
2xlnx?x
在(1.+ +∞)内单调递增,可得
1?a?3e
。 由(2)解得,
3e?
2e2e2e
。所以
3e??a?3e??a?3e< br>综上,a的取值范围为
ln(3e)ln(3e)ln(3e)
3e?
2e?a?3e

ln(3e)
例6 已知函数
f(x)?ax?xln| x?b|
是奇函数,且图像在
(e,f(e))
(e为自然对数的底数)处的切线斜率 为3
(1) 求
a,b
的值
(2) 若
k?Z
,且k?
f(x)
对任意
x?1
恒成立,求
k
的最大值。
x?1
例7 (2009高考全国Ⅱ理科)设函数
f
?
x
?
?x
2
?aIn
?
1?x
?
有两个极值点
x
1
、x
2


x
1
?x
2
(I)求
a
的取值范围,并讨论
f
?
x
?
的单调性;(II)证明:
f
?
x
2
?
?

1?2In2

4

方法四:避开求值,等价替换。
对于有些函数的零点问题,可能用方法一、二、三都无法解决,这是我们可以考虑回避求其零点。
避开方法:放缩不等式
例8 设函数
f(x)?e?1?x?ax

(Ⅰ)若
a?0
,求
f(x)
的单调区间
(Ⅱ)若当
x?0时,f(x)?0,

a
的取值范围。

与例8类似,下面的2010高考全国Ⅱ理科的最后一题,也是这样的处理方法。
设函数
f
?
x
?
?1?e

?x
x2
(Ⅰ)证明:当
x>-1
时,
f
?
x
??
(Ⅱ)设当
x?0
时,
f
?
x
?
?




x

x?1
x
,求
a
的取值范围.
ax?1















































































































































































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