2020年高考数学导数压轴题每日一题 (1)

2020年高考数学导数压轴题每日一题
例1已知函数f(x)＝e
x
－ln(x＋m)．（新课标Ⅱ卷）
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

11
例1 (1)解 f(x) ＝e
x
－ln(x＋m)?f′(x)＝e
x
－?f′(0)＝e
0
－＝0?m＝1，
x＋m0＋m
定义域为{x|x>－1}，
e
x
?x＋1?－1
1
f′(x)＝e－＝，
x＋mx＋ 1
x
显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．
(2)证明 g(x)＝e
x
－ln(x＋2)，
1
则g′(x)＝e
x
－(x>－2)．
x＋2
11h(x)＝g′(x)＝e
x
－(x>－2)?h′(x)＝e
x
＋>0 ，
x＋2?x＋2?
2
所以h(x)是增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根，
1111
又g′(－
2
)＝－
3
<0，g′(0)＝1－< br>2
>0，
e
2
?
1
?
所以h(x)＝g′ (x)＝0的唯一实根在区间
－
2
，0
内，
??
11－
?
1
?
设g′(x)＝0的根为t，则有g′(t)＝e
t< br>－＝0
－
2
，所以，e
t
＝?t＋2＝e< br>?
t＋2
?
t＋2
t
，
当x∈(－2，t)时，g′(x)当x∈(t，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增；
?1＋t?2
1
所以g(x)
min
＝g(t)＝e－ln(t＋2)＝＋t＝>0 ，
t＋2t＋2
t
当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)，
所 以f(x)＝e
x
－ln(x＋m)≥e
x
－ln(x＋2)＝g(x)≥g (x)
min
>0.



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