导数(二)

导数（二）
一、选择题
1
〔x∈(0,+∞),其中k为大于零的常数〕的函数是( )
x
kx?k
(x+k) C.
ln
D.
ln

xk
2
1.下列函数中,导数为
2.曲线f(x)=x+x-2在P
0
点处的切 线平行于直线y=4x-1,则P
0
点的坐标为( )
A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,4)
3.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中正确的命题是( )
3
11
,x＜0时，
f
?
(x)??

x x
1
B.x＞0时，
f
?
(x)?
,x＜0时，f′(x) 无意义
x
1
C.x≠0时，都有
f
?
(x)?

x
A.x＞0时，
f
?
(x)?
D.∵x=0时，f(x) 无意义，∴对y=ln|x|不能求导
x?1
在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( )
x?1
1
1
A.2 B. C.
?
D.-2
2
2
4.设曲线
y?
5.设P为曲线C：y=x+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的 取值范围为
[0,
2
?
4
]
,则点P
横坐标的取值 范围为( )
1
1
］ B.［-1,0］ C.［0,1］ D.［,1］
2
2
1
2
6.若
f(x)??x?bln(x?2)
在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( )
2
A.［-1,
?
A.［-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1］ D.(-∞,-1)
7.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移为
s?
1
3
3
2
t?t?2t
,那么速度为零的
32
时刻 是( )
A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒末

二、填空题
8.设
y? e
?
x
2
cos3x
,则y′=________________ ________.
9.设
y?ln
(x?1)(x?2)
,则y′=__ _______________________.
x?3
32
10.垂直于直线 2x-6y+1=0且与曲线y=x+3x-5相切的直线方程为___________________.

ax
11.设曲线y=e在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则 a=________________________.


- 1 -

三、解答题
22
12.已知f(x)=x+ax+b,g(x)=x +cx+d.又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).








432
13.已知曲线C：y=3x-2x-9x+4.
(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？









32
14．已知函数f(x)=x+b x+cx+d在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,且方程
f(x)=0有三 个实数根,它们分别为α,2,β.
(1)求c的值;
(2)求证：f(1)≥2;
(3)求|α-β|的取值范围.

















- 2 -

lnx
.
x
1
(1)求函数y=f(x)的图象在
x?
处的切线方程; e
15．已知函数
y?f(x)?
(2)设实数a＞0,求函数F(x)=af( x)在［a,2a］上的最小值.










16．定义在
(0,??)
上的三个函数
f (x)、g(x)、h(x)
，已知
f(x)=
lnx
，
2

g(x)?x?af(x),h(x)?x?ax
，且
g (x)
在
x?1
处取得极值．[来源:学。科。网]
(1)求
a
的值及
h(x)
的单调区间；
2
（2）求证：当
1?x?e时，恒有x?
2?f(x)
；
2?f(x)
(3)把
h(x)
对应的曲线
C
1
向上平移 6个单位后得到曲线
C
2
，求
C
2
与
g(x)对应曲线
C
3
的
交点的个数，并说明理由







．







- 3 -

.w.w.k.s.5.u.c.

o.m
导数（二）答案
一、选择题
1
〔x∈(0,+∞),其中k为大于零的常数〕的函数是( )
x
kx?k
(x+k) C.
ln
D.
ln

xk
2
11
解析：
(lnkx)
?
??k?
,
kxx
1
而
ln(x?k)
?
?
,
x? k
kxkx11
(ln)
?
??()
?
??k?(?
2
)??
,
xkxkxx
1.下列函数中,导数为
x?kk2
11
(ln
2
)
?
??
2
?
.
kx?kkx?k
答案：B
3
2.曲线f(x)=x+x-2在P< br>0
点处的切线平行于直线y=4x-1,则P
0
点的坐标为( )
A.(1,0)或(-1,-4) B.(0,1) C.(-1,0)
D.(1,4)
3
解析：∵f(x)=x+x-2,
2
∴f′(x)=3x+1.
2
直线y=4x-1的斜率为4,令3x+1=4,
3
解得x=±1,f( 1)=0,f(-1)=-4,∴曲线f(x)=x+x-2在点(1,0)及点(-1,-4)处的切线与直线
y=4x-1平行.
答案：A
3.已知y=f(x)=ln|x|，则下列各命题中正确的命题是( )
11
,x＜0时，
f
?
(x)??

xx
1
B.x＞0时，
f
?
(x)?
,x＜0时，f′(x)无意义
x
1
C.x≠0时，都有
f
?
(x)?

x
A.x＞0时，
f
?
(x)?
D.∵x=0时，f(x)无意义， ∴对y=ln|x|不能求导
解析：
f(x)?
?
?
lnx,x?0,

?
ln(?x),x?0.
1
.
x
11
?(?1)?
(这里应用定义求导).
?xx
(1 )x＞0时,
f(x)?lnx?f
?
(x)?(lnx)
?
?(2)x＜0时，
f(x)?ln(?x)?f
?
(x)?[ln(?x)]?
?
答案：C

- 4 -

x?1
在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a等于( )
x?1
1
1
A.2 B. C.
?
D.-2
2
2
4.设曲线
y?
解析：由
y
?
?
1?(x?1)?1?(x ?1)2
??
,∴曲线在(3,2)处的切线斜率为
(x?1)
2
( x?1)
2
k?y
?
|
x?3
??
∴a=-2.
答案：D
211
??,(?)?(?a)??1
,∴-a=2.
422
5.设P为曲线C：y=x+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
[0,
横坐标的取值范围为( )
A.［-1,
?
2
?< br>4
]
,则点P
1
1
］ B.［-1,0］ C.［0,1］ D.［,1］
2
2
解析：由题意,设切点P的横坐标为x
0
,且y′=2x
0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),又∵
α∈［0,
答案：A
6.若
f(x)??
?
1
］,∴0≤2x
0
+2≤1.∴x
0
∈［-1,
?
］.
42
1
2
x?bln(x ?2)
在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( )
2
b
?0
在x∈(-1,+∞)上恒成立，即bx?2
A .［-1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1］ D.(-∞,-1)
解析：由题意可知
f?
(x)??x?
∞)上恒成立.由于x≠-1,所以b≤［x(x+2)］
mi n
,即b≤-1,故C为正确答案.
答案：C
7.一质点沿直线运动,如果由始点 起经过t秒后的位移为
s?
1
3
3
2
t?t?2t
,那么速度为零的
32
时刻是( )
A.0秒 B.1秒末 C.2秒末 D.1秒末和2秒
末
2
解析：根据导数的物理意义,知s′=t-3t+2,令s′ =0,得t=1或t=2.故选D.
答案：D
二、填空题
8.设
y?e
?
x
2
cos3x
,则y′=_________________ _______.
?
x
2
?
x
2
?
x< br>2
x
?
x
????
解析：
y?(e)cos3x?e (cos3x)?e(?)cos3x?e
2
(?sin3x)(3x)
?

2
?
1
?
2
1
??ecos3x?e
2< br>sin3x?(3x)
?

2
23x
xx

- 5 -

?
1
?
2
3
??ec os3x?e
2
sin3x

2
23x
xx
1?
3
??e
2
(cos3x?sin3x).

2x< br>1
?
答案：
?e
2
(cos3x?
2
9.设
y?ln
x
x
3
sin3x)

x
(x? 1)(x?2)
,则y′=_________________________.
x?3
(x?1)(x?2)1
?[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)]
,
x?32
解析：∵
y?ln
∴
y
?
?
11 11
(??)
.
2x?1x?2x?3
1111
答案：
(??)

2x?1 x?2x?3
10.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x+3x-5相切的直线方程为___ ________________.
322
解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的 斜率为k=-3,曲线y=x+3x-5的切线斜率为y′=3x+6x.
2
依题意,有y′= -3,即3x+6x=-3,得x=-1.
32
当x=-1时，y=(-1)+3·(-1)-5=-3.
故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1),
即3x+y+6=0.
答案：3x+y+6=0
ax
11.设曲线y=e 在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=______________________ __.
axa·0
解析：y′=ae,∴切线的斜率k=y′|
x=0
=e ·a=a.
又x+2y+1=0的斜率为
?
32
1
,
2
∴
a?(?)??1
,即a=2.
答案：2
三、解答题
22
12.已知f(x)=x+ax+b,g(x)=x+cx+d.又 f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).
分析：题设中有四个参数a、b、c、d，为确定它们的值需要四个方程.
22
解： 由f(2x+1)=4g(x),得4x+2(a+2)x+(a+b+1)=4x+4cx+4d.
于是有a+2=2c,①
a+b+1=4d,②
由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,于是a=c.③
由①③得a=c=2.
2
此时f(x)=x+2x+b,
由f(5)=30,得25+10+b=30.④
1
2

- 6 -

于是b=-5,再由②得
d??
从而
g(x)?x?2x?
2
1
.
2
1
,
2
147
故
g(4)?16?8??
.
22
13.已知曲线C：y=3x-2x-9x+4.
(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？
解：(1)把x=1代入曲线C的方程，求得y=-4.
∴切点为(1,-4).
32
∵y′=12x-6x-18x,
∴切线斜率为k=y′|
x=1
=12-6-18=-12.
∴切线方程为y+4=-12(x-1),
即y=-12x+8.
432
?
y?3x
4
?2x
3
?9x
2
?4,
( 2)由
?

?
y??12x?8,
得3x-2x-9x+12x-4 =0,(x-1)(x+2)(3x-2)=0,x=1,-2,
432
4322
2< br>,
3
2
,0).
3
代入y=3x-2x-9x+4,求得 y=-4,32,0，即公共点还有(-2,32),(
32
14．已知函数f(x)=x+b x+cx+d在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,且方程
f(x)=0有三 个实数根,它们分别为α,2,β.
(1)求c的值;
(2)求证：f(1)≥2;
(3)求|α-β|的取值范围.
2
(1)解：f′(x)=3x+2bx+c,
∵f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,
∴当x=0时,f(x)取极大值.∴f′(0)=0.
∴c=0.
(2)证明：∵f(2)=0,∴d=-4(b+2).
2
∵f′(x)=3x+2bx,
令f′(x)=0,∴x=0或
x??
2b
.
3
∵f(x)在区间(0,2)上是减函数,
∴
?
2b
?2
.∴b≤-3.
3
∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b≥2.
(3)解：∵f(x)=0的三个实数根为α,2,β,
故设f(x)=(x-α)(x-2)(x-β),
32
∴f(x)=x-(2+α+β)x+(2α+2β+αβ)x-2αβ.
∴
?

?
b??2?
?
?
?
,

?
d??2
??
.
- 7 -

?
?
?
?
??b?2,
?
∴
?

11
??
??d??[?4(b?2)]?2b?4.
?
22
?
而|
?
?
?
|?(
?
?
?
)
2
?4
??
?(b?2)
2
?8(b?2)?
∵b≤-3,
2
∴(b-2)≥25.
2
∴(b-2)-16≥9.
∴|α-β|≥3.
∴|α-β|的取值范围为［3,+∞).
(b?2)
2
?16
,
lnx
.
x
1
(1)求函数y=f(x)的图象在
x?
处的切线方程; e
15．已知函数
y?f(x)?
(2)设实数a＞0,求函数F(x)=af( x)在［a,2a］上的最小值.
解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，
f
?
(x)?
又
f()??e
,
k?f
?
()?2 e
，
∴函数y=f(x)在
x?
1?lnx
，
2
x
1
e
1
e
2
1
处的切线方程为
e< br>1
y?e?2e
2
(x?)
,即y=2e
2
x-3e .
e
1?lnx
(2)∵a＞0,由
F
?
(x)?a?0
，得x=e,
2
x
当x∈(0,e)，F′(x) ＞0;当x∈(e,+∞)时,F′(x)<0，
∴F(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减.
∴F(x)在［a,2a ］上的最小值F(x)
min
=min{F(a),F(2a)}.
∵
F(a)?F(2a)?
1a
ln
,
22
1
ln2a
.
2
∴当0＜a≤2时，F(a)-F( 2a)≤0,F(x)
min
=F(a)=lna;
当a＞2时，F(a)-F(2 a)＞0,
F(x)
min
?F(2a)?
16．定义在
(0,?? )
上的三个函数
f(x)、g(x)、h(x)
，已知
f(x)=
l nx
，
2

g(x)?x?af(x),h(x)?x?ax
，且
g(x)
在
x?1
处取得极值．[来源:学。科。网]
(1)求
a
的值及
h(x)
的单调区间；
2
（2）求证：当
1?x?e时，恒有x?
2?f(x)
；
2?f(x)
(3)把
h(x)
对应的曲线
C
1
向上平移 6个单位后得到曲线
C
2
，求
C
2
与
g(x)对应曲线
C
3
的

- 8 -

交点的个数，并说明理由
．

.w.w.k.s.5.u.c.o.m


- 9 -