精选高中数学第2章变化率与导数4导数的四则运算法则课后演练提升北师大版选修2_2

2016-2017学年高中数学 第2章 变化率与导数 4 导数的四则运算
法则课后演练提升 北师大版选修2-2
一、选择题
1．设
f
(
x
)＝
x
ln
x
， 若
f
′(
x
0
)＝2，则
x
0
＝( )
A．e
2
B．e
C.
ln 2
2
D．ln 2
解析： 由已知有
f
′(
x
)＝ln
x
＋
x
·
1
x
＝ln
x
＋1，
所以
f
′(
x
0
)＝2?ln
x
0
＋1＝2?
x
0
＝e.
答案： B
2．函数
y
＝(
x
＋1)
2
(
x
－1) 在
x
＝1处的导数等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：
y
′＝[(
x
＋1)
2
(
x
－1)]′
＝[(
x
＋1)
2
]′(
x
－1)＋(
x
＋1)
2
(
x
－1)′
＝2(
x
＋1) (
x
－1)＋(
x
＋1)
2

＝3
x
2
＋2
x
－1
∴
y
′|
x
＝1
＝4.
答案： D
3 ．曲线
f
(
x
)＝
1
5
x
5
上一 点
M
处的切线与直线
y
＝－
x
＋3垂直，则该切线方程为(
A．
x
－
y
＋1＝0 B．
x
－
y
＋5＝0
C．5
x
－5
y
±4＝0 D．不确定
?
解析： 设
M
(
x
，则
?
?
y
1
5
0
＝
0
，
y
0
)
5
x
0
?
?
x
4
0
＝1


?
x0
＝
?
0
＝－1
∴
?
1
?
1
或
?
?
?
?
y
0
＝
5

x
?
1
?
y
0
＝－
5


即切点
M
?
?
?
1，
1
5
??
?
或
?
?
?
－1，－
1
5
?
?
?

所求切线方程为
y
±
1
5
＝
x
±1
即5
x
－5
y
±4＝0.
)

答案：C
4
4．已知点
P
在曲线
y
＝
x
上，α为曲线在点
P
处的切线的倾斜角，则α的取值范
e＋1
围是( )
?
π
??
ππ
?
A.
?< br>0，
?
B.
?
，
?

4
??
42
??
C.
?
?
π
，
3π
?
D.
?
3π
，π
?

??
4
?
?
2
??
4
?
－4e
x
＋e
x
2< br>解析： 设曲线在点
P
处的切线斜率为
k
，则
k
＝< br>y
′＝
－4
x
＝，因为e
1
x
e＋
x
＋2
e
＞0，所以由均值不等式得
k
≥
2
3π< br>所以≤α＜π.
4
答案： D
二、填空题
－4
1
e×
x
＋2
e
x
，又
k
＜0，∴－1≤
k
＜0，即－1≤tan α＜0，
5．已知
f
(
x
)＝< br>x
＋2
xf
′(1)，则
f
′(1)＝__________ ______.
解析：
f
′(
x
)＝2
x
＋2
f
′(1) ∴
f
′(1)＝2＋2
f
′(1)，∴
f
′(1)＝－ 2.
答案： －2
6．若曲线
y
＝
x
－2
x< br>＋
a
与直线
y
＝
x
＋1相切，则常数
a＝______________.
解析： 由
y
′＝3
x
－2＝1得切点为(1,2)和(－1,0)
当
x
＝1时有
a
－1＝2，∴
a
＝3
当
x
＝－1时有1＋
a
＝0，∴
a
＝－1
答案： 3或－1
三、解答题
7．求下列函数的导数：
11
( 1)
f
(
x
)＝(
x
＋2)(
x
－3)； (2)
f
(
x
)＝－
2
；
2
3
2
xx
sin
x
x
(3)
f
(
x
)＝；(4)
f
(
x
)＝lg
x
－3.
1＋sin
x
解析： (1)因为
f
(
x
)＝(
x
＋2)(
x
－3)＝
x
－< br>x
－6，
所以
f
′(
x
)＝2
x
－1；
11
(2)因为
f
(
x
)＝－
2
， 2
xx

1－2212－
x
所以
f
′(< br>x
)＝－
2
－
3
＝
3
－
2
＝
3
；
xxxxx
(3)因为
f
(
x
)＝
sin
x
，
1＋sin
x
＋sin
x
－sin
x
cos
x
＝
2
＋sin
x
x
cos
x
所以
f
′(
x
)＝
cos
x
＋sin
x
2
；
(4)因为
f
(
x
)＝lg
x
－3，所以
f
′(
x
)＝
2
1
x
－3ln 3.
x
ln 10
8．已知曲线方程
y
＝
x
，求过点< br>B
(3,5)且与曲线相切的直线方程．
解析： 设
P
(
x
0
，
y
0
)为切点，
则切线斜率
k
＝
f
′(
x
0
)＝2
x0
，
故切线方程为
y
－
y
0
＝2
x
0
(
x
－
x
0
)，
∵
P
(
x
0
，
y
0
)在曲线上，∴
y
0＝
x
0
，
∴切线方程为：
y
－
x
0
＝2
x
0
(
x
－
x
0
)
又(3,5)在切线上，将(3,5)代入上式得：
5－
x
0
＝2
x
0
(3－
x
0
)，
解得
x
0
＝1或
x
0
＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为
2
2
2
y
－1＝2×1×(
x
－1)或
y
－25＝2×5×(
x
－5)，
即2
x
－
y
－1＝0或10
x
－
y
－25＝0.

9．设函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
cx
＋
d
的图象与
y
轴的交点为点
P
，且曲线在点
P
处的切线方
程为12
x< br>－
y
－4＝0.若函数在点(2,0)处有水平切线，试确定函数的解析式．
解析： ∵
y
＝
ax
＋
bx
＋
cx
＋
d
的图象与
y
轴的交点为
P
，
∴
P
的坐标为
P
(0，
d
)．
又∵曲线在点
P
处的切线方程为
y
＝12
x
－4，
点
P
坐标适合方程，从而
d
＝－4.
又∵切线斜率
k
＝12，故在
x
＝0处的导数
y
′|
x
＝0< br>＝12，
而
y
′＝3
ax
＋2
bx
＋c
，
y
′|
x
＝0
＝
c
，从而
c
＝12.
又∵函数在点(2,0)处有水平切线，∴
y
′|
x
＝2
＝0，
y
|
x
＝2
＝0.
即12< br>a
＋4
b
＋12＝0,8
a
＋4
b
＋20＝ 0，
解得
a
＝2，
b
＝－9.
∴所求函数解析式为y
＝2
x
－9
x
＋12
x
－4.

32
2
32
32