高中数学假期作业的序言-高中数学教学模式论文
第二篇 一元函数微积分
第二章 导数与微分
微
积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了
函数相对于自变量的
变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变
化了多少，即函数的局部改变量的
估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方
法和简单应用．
第1节 导数的概念
1.1 导数概念的引入
1.1.1 质点做变速直线运动的瞬时速度问题
现有一
质点做变速直线运动，质点的运动路程
s
与运动时间
t
的函数关系式记为s?s(t)
，求在
t
0
时刻时质点的瞬时速度
v(t
0
)
为多少？
整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质
点从时刻
t
0
改
变到时刻
t
0
??t
，在
时间增量
?t
内，质点经过的路程为
?s?s(t
0
??t)?s(
t
0
)
，在
?t
时间
内的平均速度为
v?
?s
s(t
0
??t)?s(t
0
)
?
， ?t?t
当时间增量
?t
越小时，平均速度
v
越接近于时刻t
0
的瞬时速度
v(t
0
)
，于是当
?t?0
时，
v
的极限就是质点在时刻
t
0
时的瞬时速度
v
(t
0
)
，即
v(t
0
)?limv?lim
?
t?0
s(t??t)?s(t
0
)
?s
?lim
0
．
?t?0
?t
?t?0
?t
1.1.2
平面曲线的切线斜率问题
已知曲线
C:y?f(x)
，求曲线
C
上
点
M
0
(x
0
,y
0
)
处的切线斜率．
欲求曲线
C
上点
M
0
(x
0
,y
0
)
的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的
斜率应是割线斜率的极限
．
图2-1
如图2-1所示，取曲线
C
上另外
一点
M(x
0
??x,y
0
??y)
，则割线
M<
br>0
M
的斜率为
k
M
0
M
?tan
?
?
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?
．
?x?x
当点
M
沿曲线
C
趋于
M<
br>0
时，即当
?x?0
时，
M
0
M
的极限位置
就是曲线
C
在点
M
0
的切线
M
0
T
，此时割线的倾斜角
?
趋于切线的倾斜角
?
，故切线的斜率为
k
?limtan
?
?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f
(x
0
)
?y
?lim
．
?x?0
?x
?x?0
?x
前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其
实
际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的
改
变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可
以转化为上述极
限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边
际成本和边际利润等．因此，
我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同
本质——导数．
1.2
导数的概念
1.2.1 函数在一点处的导数
定义1 设函数
y?f(x)
在点
x
0
的某领域
U(x
0
,
?
)内有定义，自变量
x
在
x
0
处取得增
量
?x<
br>，且
x
0
??x?U(x
0
,
?
)
时，函数取得相应的增量
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)，如果极
限
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
lim
存在，那么称函数
y?f(x)
在点
x
0
可导，并称此极限
值为函数
y?f(x)
在点
x
0
的导数，
记作
f<
br>?
(x
0
),y
?
x?x
,
0
dy
df(x)
，即
,
dx
x?x
0
dx
x?x0
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x0
??x)?f(x
0
)
．
?x
注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式
f
?
(x<
br>0
)?lim
x?x
0
f(x)?f(x
0
)
；
x?x
0
f
?
(x
0
)?lim
h
?0
f(x
0
?h)?f(x
0
)
．
h
（2）若极限
lim
?y
不存在，则称函数
y?f(x)
在点
x
0
不可导．特别地，若
?x?0
?x
?y
??
，也可称函数
y?f(x)
在点
x
0
的导数为无穷大，此时
y?f(x)
在点
x
0
的切线
?x?0
?x
lim
存在，它是垂直于
x
轴的直线
x?x
0
．
例1
设
f(x)?
1
，求
f
?
(3)
．
x
解 根据导数的等价定义，可得
f
?
(3)?lim
x
?3
f(x)?f(3)1
?
11
?
?11
．
?
lim??lim??
??
x?3x?3
x?3xx?333x9
??
例2 设
f
?
(x
0
)??2
，求下列极限：
（1）
lim
解
?x?0
f(x
0
?3?x)?
f(x
0
)f(x
0
?h)?f(x
0
?h)
；
（2）
lim
．
h?0
?xh
f(x
0
?3?x
)?f(x
0
)f(x
0
?3?x)?f(x
0
)
?3lim?3f
?
(x
0
)??6
．
?x?0?x?0
?x3?x
f(x
0
?h)?f(x
0
?h)f(x
0
?h)?f(x
0
)?f(x
0
)?f(x
0
?h)
?lim
（2）
lim
h?0h?0
hh
f(x
0
?h)?f(x
0
)f(x
0
?h)?f(x0
)
?lim?lim?2f
?
(x
0
)??4
．
h?0h?0
h?h
（1）
lim
1.2.2 单侧导数
导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数
的定义．
定义2 （1）设函数
y?f(x)
在点
x
0
的某左邻域内
有定义，当自变量
x
在点
x
0
左侧取
得增量
?x<
br>时，如果极限
lim
?
?x?0
f(x
0
??x)?
f(x
0
)
f(x)?f(x
0
)
或
lim
存在，则称此极限
?
x?x
0
?x
x?x
0
值为
y?f(x)
在点
x
0
的左导数，记为
f
?
?
(x
0
)
，即
f(x
0
??x)?f(x<
br>0
)f(x)?f(x
0
)
．
f
?
?(x
0
)?lim
?
?lim
?
?x?0x?x
0
?xx?x
0
（2）设函数
y?f(x)
在点
x
0
的某右邻域内有定义，当自变量
x
在点
x
0
右侧取得增
量
?x
时，如果极限
lim
?
?x?0
f(x
0<
br>??x)?f(x
0
)
f(x)?f(x
0
)
或lim
存在，则称此极限值为
?
x?x
?x
x?x
0<
br>0
y?f(x)
在点
x
0
的右导数，记为
f
?
?
(x
0
)
，即
f(x
0
??x)?
f(x
0
)f(x)?f(x
0
)
f
?
?
(x
0
)?lim
?
?lim
．
?
?x?0x?x
?xx?x
0
0
由极限存在的充
要条件可得函数
y?f(x)
在点
x
0
可导的充要条件如下：
定理1 函数
y?f(x)
在点
x
0
可导
?
f
?
?
(x
0
)
和
f
?
?(x
0
)
存在且相等．
例3
研究函数
f(x)?x
在点
x?0
的可导性．
解
因为
f(x)?
?
?
?x,x?0
，所以
?
x,
x?0
f(x)?f(0)?x
f
?
?
(0)?lim?lim??
1
，
x?0
?
x?0
?
xx?0
f(x)?f(
0)x
f
?
?
(0)?lim?lim?1
，
x?0?
x?0
?
xx?0
从而
f
?
?
(0
)?f
?
?
(0)
，因此
f(x)?x
在点
x?0
不可导．
1.2.3 导函数
定义3 （1）若函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内每一点均可导，则称
y?f(x)
在区间
(a
,b)
内可导；
（2）若函数
y?f(x)
在区间
(a,b)内可导，在区间左端点
a
的右导数
f
?
?
(a)
和区间右
端点
b
的左导数
f
?
?
(b)
均存在，则称
y?f(x)
在闭区间
[a,b]
上可导．
定义4
若函数
y?f(x)
在区间
I
（可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可
导，
且对于任意的
x?I
，都对应着一个导数值
f
?
(x)
，其是自变量
x
的新函数，则称
f
?
(x)
为df(x)dy
,
，即
dxdx
f(x??x)?f(x)f(x?h
)?f(x)
f
?
(x)?lim
或
f
?
(x)?
lim
．
?x?0h?0
?xh
注：（1）在导函数的定义式中，虽然x
可以取区间
I
上的任意值，但在求极限的过程
中，
x
是常数，
?x
和
h
是变量．
y?f(x)
在区间
I
上的导函数，记作
f
?
(x),y
?
,
（2）导
函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函
数．显然函数
f(x
)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在点
x
0
处的函
数值，即
f
?
(x
0
)?f
?
(x)
x?
x
．
0
下面利用导数的定义求一些简单函数的导数．
例4
求常值函数
f(x)?C
（
C
为常数）的导数．
解
f<
br>?
(x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)C?C
?lim
?0
．
?x?0
?x?x
即得常值函数的导数公式：
?
C
?
?
?0
．
例5求正弦函数
f(x)?sinx
的导数．
解
f
?
(x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)sin(x??x)
?sinx
?lim
?x?0
?x?x
2sin
?lim
?x?0
?x?x
??
?x
cos
?
x?
?
sin
22
??
2
cos
?
x?
?x<
br>?
?cosx
．
?lim
??
?x?0
?x
?x2
??
2
即得正弦函数的导数公式：
?
sinx
?
?
?cosx
．
类似可得余弦函数的导数公式：
?
cosx
?
?
??sinx
．
例6求指数函数
f(x)?a
x
(a?0,a?1)
的导数． f(x?h)?f(x)a
x?h
?a
x
a
h
?1x
?lim?alim
解
f
?
(x)?lim
． <
br>h?0h?0h?0
hhh
由于当
h?0
时，
a?1
h
hlna
，所以
hlna
?a
x
lna
． <
br>h?0
h
x
f
?
?
x
?
?a
x
lim
即得指数函数的导数公式：
?
a
?
?
?a
x
lna
．
特别地，
?
e
?
?
?e
xx
．
例7
求对数函数
f(x)?log
a
x(a?0,a?1)
的导数．
解
f
?
(x)?lim
h?0
log
a
(x?h)?
log
a
x
f(x?h)?f(x)1x?h
?lim?limlog
a
h?0h?0
hhhx
x
h
1x11
?h
?
1
?
h
?
?lim?log
a
?
1?
?
?limlog
a
?
1?
?
?lo
g
a
e?
．
h?0
xh
h?0
xxxxxlna
????
即得对数函数的导数公式：
?
特别地，
log
a
x
?
?
?
1
．
xlna
1
．
x
?
lnx
?
?
?
例8
求幂函数
f(x)?x
的导数．
?
?
h
?
?
1?
?
?1
f(x?h)?f(x)(x?h)
?
?x
?
x
?
?lim
解
f
?
(x)?
lim
?limx
?
?
?
x?0
?
，
h
?0h?0
h?0
hh
h
h
h
?
h
?因为当
h?0
时，
?0
，从而
?
1?
?
?1
?
，故
x
x
?
x
?
?
?
h
f
?
?
x
?
?limx
?
?<
br>x
?
?
x
?
?1
．
h?0
h
?
即得幂函数的导数公式：
?
x
??
?
?
x
??
?1
．
1.3
导数的几何意义
函数
f(x)
在
x
0
点可导时，导数f
?
(x
0
)
在几何上表示曲线
y?f(x)
在点
(x
0
,f(x
0
))
处
的切线斜率（图2-
1）．
由此可得，曲线
y?f(x)
在
(x
0
,f(x<
br>0
))
处的切线方程为
y?f(x
0
)?f
?(x
0
)(x?x
0
)
．
若
f
?<
br>(x
0
)??
，可得切线的倾斜角为
?
?
或
?
，此时切线方程为
x?x
0
．
2
2
当
f
?
(x
0
)?0
时，曲线
y?f(x)
在
(x
0
,f(x
0
))
处的法线方程为
y?f(x
0
)??
1
(x?x
0
)
．
f
?
(x
0
)
若
f
?
(x
0
)?0
，则法线方程为
x?x
0
．
例9 求函数y?x
在点
(1,1)
处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程．
解
根据导数的几何意义，函数
y?x
在点
(1,1)
处的切线的斜率为
2
2
k?f
?
(x)
x?1
?2x
x?1
?2
．
从而所求的切线方程为
y?1?2(x?1)
，
即
2x?y?1?0
．
所求法线的斜率为
k
1
??
从而所求的法线的方程为
11
??
，
k2
1
y?1??(x?1)
，
2
即
x?2y?3?0
．
1.4 函数可导性与连续性的关系
定理2 如果函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导，那么y?f(x)
在点
x
0
处连续．
证明
因为
y?f(x)
在点
x
0
处可导，即
f
?(x
0
)?lim
其中
?y?f(x
0
??x)?f(
x
0
)
，所以
?y
，
?x?0
?x
?
y
?
?y
?
lim?y?lim
?
??x
?
?lim?lim?x?f
?
(x
0
)?0?0
．
?x
?0?x?0
?x
?x?0
?x
?x?0
??
根据连续的定
义可知
y?f(x)
在点
x
0
处连续．
注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导．
（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导．
1
?
?
xsin,x?0
例10
讨论函数
f(x)?
?
在点
x?0
处的连续性与可导性．
x
?
x?0
?
0,
解 因为
limf(x)?l
imx?sin
x?0x?0
1
?0?f(0)
，
x
所以
f(x)
在点
x?0
处连续．
又因为 <
br>f
?
(0)?lim
x?0
f(x)?f(0)
?lim?x?0
x?0
xsin
1
x
?limsin
1
?x?0
xx
不存在，所以
f(x)
在点
x?0
处不可导．
?
x
2
,x?1
例11
讨论函数
f(x)?
?
在点
x?1
处的连续性与可导性．
?
2x,x?1
解 因为
x?1
?
limf(x)?1,limf(x)?2
，
?
x?1
所以
f(x)
在点
x?1
处不连续，从而f(x)
在点
x?1
处不可导．
?
e
x
,x?0
例12 设函数
f(x)?
?2
在点
x?0
处可导，求
a,b
．
?
x?ax?b,x?0
解 由于
f(x)
在点
x?0处可导，所以
f(x)
在点
x?0
处必连续，即
x?0
?
limf(x)?limf(x)?f(0)
．
?
x?0
因为
x?0
x
limf(x)?lime?1
，
??
x?0<
br>x?0
2
limf(x)?lim(x?ax?b)?b
，
??
x?0
f(0)?1
，
所以可得
b?1
．
又因为
x
f(x)?f(0)e?1
f
?
?
(0
)?lim?lim?1
，
?
x?0
?
x?0
x?0x<
br>2
f(x)?f(0)x?ax?1?1
f
?
?
(0)?li
m?lim?a
．
x?0
?
x?0
?
x?0x
要
使
f(x)
在点
x?0
处可导，则应有
f
?
?(0)?f
?
?
(0)
，即
a?1
．所以，如果
f(x)
在点
x?0
处可导，则有
a?1,b?1
．
习题2-1
1. 已知物体的运动规律为
s?t?t(m)
，求：
（1）物体在
1s
到
2s
这一时间段的平均速度；
（2）物体在
2s
时的瞬时速度．
2. 设
f
?
x
?
?
2
x
，按定义求
f
?
?
4
?
.
3.
设
f
?
?
x
0
?
存在，指出下列极限各表示什么？
（1）
lim
?x?0
f
?
x
0
??x<
br>?
?f
?
x
0
?
f
?
x
0
?
?f
?
x
0
?h
?
；
（2）
lim
；
h?0
?xh
f
?
x
?
（3）
lim
（设
f
?
0
?
?0
且
f
?
?
0
?
存在）.
x?0
x
4. 设函数
f
?
x
?<
br>在点
x?1
处连续，且
lim
x?1
f
?
x
?
?2
，求
f
?
?
1
?
.
x?1
?
x
,x?0
1
?
5. 已知函数
f
?
x
?
?
?
1?e
x
，求
f<
br>?
?
?
0
?
和
f
?
?
?<
br>0
?
，判定
f
?
?
0
?
是否存在？
?
x?0
?
0,
6. 求曲线
y?e
x
在
点
?
0,1
?
处的切线方程和法线方程.
1
?
2
?
xsin,x?0
7. 试讨论函数
f<
br>?
x
?
?
?
在
x?0
处的连续性与可导性.
x
?
x?0
?
0,
?
x
2
,x?
1
8. 设函数
f
?
x
?
?
?
在
x?1
处可导，求
a,b
的值.
?
ax?b,x?1
第2节 函数的求导法则
在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的
导数．但对于一些复杂的函数，
利用导数定义去求解，难度比较大．因此本节将介绍几种常用的求导法则
，利用这些法则和
基本求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数．
2.1
导数的四则运算法则
定理1 如果函数
u(x)
和
v(x)
都在点
x
处可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为
零）都在点
x
处可
导，且
（1）
[u(x)?v(x)]
?
?u
?
(x)?
v
?
(x)
．
（2）
[u(x)?v(x)]
?
?u
?
(x)?v(x)?u(x)?v
?
(x)
．
特别地，
[C?u(x)]
?
?C?u
?
(x)
（
C
为常数）．
?
u(x)
?
?
u
?<
br>(x)?v(x)?u(x)?v
?
(x)
?(v(x)?0)
．
（3）
??
2
v(x)
?
v(x)
?
特别地， <
br>?
1
?
?
v
?
(x)
??(v(x)?0)
．
?
v(x)
?
2
v(x)
??
证明
（1）
[u(x)?v(x)]
?
?lim
[u(x?h)?v(x
?h)]?[u(x)?v(x)]
h?0
h
u(x?h)?u(x)v
(x?h)?v(x)
?lim?lim?u
?
(x)?v
?
(x)
．
h?0h?0
hh
u(x?h)?v(x?h)?u(x)?v(x)<
br>（2）
[u(x)?v(x)]
?
?lim
h?0
h
v(x?h)?v(x)
??
u(x?h)?u(x)
?li
m
?
?v(x?h)?u(x)?
?
h?0
hh
??
?lim
u(x?h)?u(x)v(x?h)?v(x)
?limv(x?h)?limu
(x)?lim
，
h?0h?0h?0h?0
hh
由于
v(x)<
br>在点
x
处可导，从而其在点
x
处连续，故
[u(x)?v(
x)]
?
?u
?
(x)?v(x)?u(x)?v
?
(x)
．
（3）先考虑特殊情况．当
v(x)?0
时，
11
?
?1v(z)?v(x)
v(z)v(x)
lim?lim?
，
z?xz?x
z?xv(z)?v(x)z?x
由于
v(z)
在
点
x
处可导，从而其在点
x
处连续，故
lim
?1v(z)?v(x)v
?
(x)
．
???2
z?x
v(z)?v(x)z?xv(x)
?
1
?
?
v
?
(x)
1
因此，函数在点
x
处可导，且
?
??(v(x)?0)
．于是
?
2
v(x)
v(x)
?
v(x)
?
?
u(x)
?
?
??
1
?
?
1
?
?
11?v
?
(x)
??
?u(x)??u(x)??u(x)??u(x)??u(x)?
?
v(x)
????
v(x)
?
2
v(x)v(x)v(x)v(x
)
??????
?
u
?
(x)?v(x)?u(x)?v
?
(x)
(v(x)?0)
．
v
2
(x)
注：（1
）法则（1）可以推广到有限个可导函数的和与差的求导．如
?
u(x)?v(x)?w(x
)
?
?
?u
?
(x)?v
?
(x)?w
?
(x)
．
（2）法则（2）可以推广到有限个可导函数的积的求导．如
?
u(x)?v(x)?w(x)
?
?
?u
?
(x)?v(x
)?w(x)?u(x)?v
?
(x)?w(x)?u(x)?v(x)?w
?
(x)
．
2x
例1
设
f(x)?x?e?3
，求
f
?
(x)
．
解
f
?
(x)?x
2
?e
x
?3?x
2例2 设
f(x)?x?x?
52
??
?
??
?
?
?
e
?
?
?
?
3
?
?
?2x?e
xx
．
1
，求
f
?
(x)
．
x
1
?<
br>?
1
?
?
1
??
525
?
2
?
4
解
f
?
(x)?
?
x?x?
?<
br>?
?
x
?
?
?
x
?
?
??
?5x?2x?
2
．
x
?
x
??
x
?
x
例3
设
f(x)?esinx
，求
f
?
(x)
．
解
f
?
(x)?e
x
sinx
??
?
??
e
?
?
sinx?e
?
sinx
?
?
?e
?
sinx?cosx
?
．
xxx
x
例4
设
f(x)?xelnx
，求
f
?
(x)
．
解
f
?
(x)?xe
x
lnx
??
?
??
x
?
?
e
x
lnx?x
?
e
x
?
?
lnx?xe
x
?
lnx
?
?<
br>
1
?e
x
?
1?lnx?xlnx
?
．
x
?e
x
lnx?xe
x
lnx?xe
x
例5 设
f(x)?tanx
，求
f
?
(x)
．
sinx
?
?
?
sinx
?
?
co
sx?sinx
?
cosx
?
?
?
?
解
f
?
(x)?
?
tanx
?
?
?
?
?
2
cosx
?
cosx
?
cos2
x?sin
2
x1
2
???secx
．
22
cosxcosx
即得正切函数的导数公式：
?
tanx
?
?
?sec
2
x
．
类似可得余切函数的导数公式：
?
cotx
?
?
??csc
2
x
．
例6 设
f(x)?secx
，求
f
?
(x)
．
cosx
?
?
sinx
?
1
?
?
?
?
??secxtanx
． 解
f
?
(x)?
?
secx
?
?
??
??
22
cosxcosx<
br>?
cosx
?
即得正割函数的导数公式：
?
secx
?
?
?secxtanx
．
类似可得余割函数的导数公式：
?
cscx
?
?
??cscxcotx
．
2.2
反函数的求导法则
定理2 如果函数
x?f(y)
在区间
I
y内单调、可导且
f
?
(y)?0
，那么它的反函数
y?f
?1
(x)
在区间
I
x
?
?
xx?f(y),y
?I
y
?
内也可导，且
?
?
1
或
dy
?
1
．
?1
??
f(x)
??dx
dx
f
?
(y)
dy
换句话说，即反函数的导数等
于原函数的导数的倒数．
证明 由于
x?f(y)
在区间
I
y内单调、可导（必连续），从而可知
x?f(y)
的反函数
y?f
?1<
br>(x)
存在，且
f
?1
(x)
在区间
I
x<
br>内也单调、连续．
取
?x?I
x
，给
x
以增量?x
?
?x?0,x??x?I
x
?
，由
y?f
?1
(x)
的单调性可知
?y?f
?1
?
x??x?
?f
?1
?
x
?
?0
，
于是有
?y1
?
，
?x
?x
?y
由于<
br>y?f
?1
(x)
连续，所以
?x?0
lim?y?0
，
从而
?
?lim
?y
?lim
1
?
1
． ?1
??
f(x)
??
?x?0
?x
?y?0
?x
f
?
(y)
?y
例7
设
y?arcsinx(?1?x?1)
，求
y
?
．
解
因为
y?arcsinx(?1?x?1)
的反函数
x?siny
在区间I
y
?
?
?
?
??
?
,
?<
br>内单调可
?
22
?
导，且
?
siny
??
?cosy?0
．又因为在
?
?
间
I
x?
?
?1,1
?
内有
?
??
?
,<
br>?
内有
cosy?1?sin
2
y
，所以在对应区
?
22
?
?
arcsinx
?
?
?
1
?
siny
?
?
?
111
??
．
22
cosy
1?siny1?x
即得到反正弦函数的导数公式：
?
arcsinx
?
?
?
类似可得反余弦函数的导数公式：
1
1?x
2
?
?1?x?1
?
．
?arccosx
?
?
??
1
1?x
2
?
?1?x?1
?
．
例8
设
y?arctanx(x?(??,??))
，求
y
?
．
解 因为
y?arctanx(???x???)
的反函数
x?tany在区间
I
y
?
?
?
可导，且
?
tan
y
?
?
?secy?0
，所以在对应区间
I
x
?<
br>?
??,??
?
内有
2
?
??
?
,
?
内单调
?
22
?
?
arctanx
?
?
?
1
?
tany
?
?
?
111
??
．
sec
2
y1?tan
2
y1?x
2
即得反正切函数的导数公式：
?
arctanx
?
?
?
类似可得反余切函数的导数公式：
1
1?x
2
1
1?x
2
?
x?(??,?
?)
?
．
?
x?(??,??)
?
．
?
arccotx
?
?
??
2.3 复合函数的求导法则
定理3 如果函数
u?g(x)
在点
x
可导，函数
y?f(
u)
在相应点
u?g(x)
可导，那么复
合函数
y?f[g(x)]
在点
x
可导，且其导数为
dydydydu
?f
?
(u)?g
?
(x)
或
??
．
dxdxdudx
证明
因为
y?f(u)
在点
u
可导，所以
?y
?f
?
(u)
?u?0
?u
lim
存在，于是根据极限与无穷小的关系可得
?y
?f
?
(u)?
?
，
?u
其中?
是
?u?0
时的无穷小．由于上式中
?u?0
，在其两边同乘
?u
，可得
?y?f
?
(u)??u?
?
??u
，
用
?x?0
除上式两边，可得
?y?u?u
?f
?
(u)??
?
?
，
?x?x?x
于是
dy?y?u?u
??
?lim?lim
?
f
?
(u)??
?
?
?
．
dx?x?0
?x
?x?0
?
?x?x
?
根据函数在某点可
导必在该点连续可知，当
?x?0
时，
?u?0
，从而可得
?x?0
lim
?
?lim
?
?0
．
?u?0
又因为
u?g(x)
在点
x
可导，所以
?u
?g
?
(x)
，
?x?0
?x
lim
故
dy?u?u
??
?li
m
?
f
?
(u)??
?
?
?
?f
?
(u)?g
?
(x)
．
dx
?x?0
?
?x?x
?
如果
?u?0
，规定
?
?0
，那么<
br>?y?0
，此时
?y?f
?
(u)??u?
?
??u
仍成立，从而
仍有
dy
?f
?
(u)?g
?
(x)
．
dx
注：（1）
?
f(g(x))
?
?
表示复合函
数对自变量
x
求导，而
f
?
?
g(x)
?
则表示函数
y?f(u)
对中间变量
u
求导．
（2）定理的结论可
以推广到有限个函数构成的复合函数．例如，设可导函数
y?f
?
u
?
,u?g
?
v
?
,v?
?
?
x
?
构成复合函数
y?f
?
?
g
?
?
?
x<
br>?
?
?
?
，则
dydydudv
????f
?
?
u
?
?g
?
?
v
?
??
?
?
x
?
．
dxdudvdx
dy
例9 设
y?sinx
2
，求．
dx
解 因为
y?sinx
2
由
y?sinu,u?x2
复合而成，所以
dydydu
???
?
sinu
?
?
?
?
x
2
?
?
?cosu?2x?2x
cosx
2
．
dxdudx
dy
x
例10
设
y?lncos
?
e
?
，求．
dx
x
x
解
因为
y?lncose
由
y?lnu,u?cosv,v?e
复合而成，所以
??
dydydudv1
????
?
lnu
?
?<
br>?
cosv
?
?
?
?
e
x
?
?
??
?
?sinv
?
?e
x
??e
x
tan
?
e
x
?
．
dxdudvdxu
从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，故形象
地称其为链式法则．
当对复合函数求导过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变
量看成一个整体，然后逐层求导即
可．
例11 设
y?lnsinx
，求
y
?
．
解
y
?
?
11
?
?
sinx
?
?
??cosx?cotx
．
sinxsinx
5
2
例12
设
y?
?
x?4x?3
?
，求
y
?
．
解
y
?
?5x
2
?4x?3?x
2
?4
x?3?10
?
x?2
?
x
2
?4x?3
．
例13 设
y?sinnxsinx
（
n
为常数），求
y<
br>?
．
解
y
?
?
?
sinnx
?
?
sin
n
x?sinnxsin
n
x
n
???
4
?
?
??
4
?ncosnx?sin<
br>n
??
?
x?sinnx
?
nsinx?cosx
?
?nsin
n?1n?1
x?sin
?
n?1
?
x
．
例14 设
y?lnx
，求
y
?
．
解 因为
x?0
?
lnx,
，
y?lnx?
?
ln?x,x?0
?
??
所以，当
x?0
时
，
；
?
lnx
?
?
?
?
lnx
?
?
?
1
x
当
x?0
时，
．
?
lnx
?
?
?
?
ln
?
?x
?
?
?
?
?
1
x
?
?x
?
?
?
1
x
综上可得
1
y
?
?
?
lnx
?
?
?
．
x
2
例15
设
f
?
x
?
可导，求
y?fsinx
的导数．
??
?
?
解
y
?
?
?
fsin
2
x
?
?f
?
sin
2
x?sin
2
x?f
?
sin
2
x?2sinx?
?
sin
x
?
?
??
?
??????
?f
??
sinx
?
?2sinxcosx?sin2x?f
?
?sinx
?
．
?
22
2.4 高阶导数
变速直线运动的质点的路程函数为
s?s
?
t
?
，则速度
v
?
t
?
?s
?
?
t
?
?lim
加速度
s
?
t??t
?
?s
?
t
?
，
?t?0
?t
v
?
t??t
?
?v
?t
?
?v
a
?
t
?
?lim?lim
，
?t?0
?t
?t?0
?t
从而
?
a
?
t
?
?v
?
?
t
?
?
??
s
?
?
t
?
?
?
．
这种导数的导数称为二阶导数，依次类推就产生了高阶导数的概念．一般地，可给出如
下定义：
定义1 若函数
y?f
?
x
?
的导数
f
?
?
x
?
在点
x
可导，则称
f
?
?
x
?
在点
x
的导数为函数
y?f
?
x?
在点
x
的二阶导数，记作
d
2
f
?
x
?
d
?
df
?
x
?
?
d2
yd
?
dy
?
f
??
?
x
?
,y
??
,?
?
?
??
，
?
,
22
dxdx
?
dx
?
dxdx
?
dx
?
即
f
??
?
x
?
?lim
这
时也称
f
?
x
?
在点
x
二阶可导．
?x
?0
f
?
?
x??x
?
?f
?
?
x
?
．
?x
若函数
y?f
?
x
?
在区间
I
上每一点都二阶可导，则称它在区间
I
上二阶可导，并称
f
??
?
x
?
为
f
?
x<
br>?
在区间
I
上的二阶导函数，简称为二阶导数．
如果函数
y
?f
?
x
?
的二阶导数
f
??
?
x
?
仍可导，那么可定义三阶导数：
?x?0
lim
f
??
?
x??x
?
?f
??
?
x
?
，
?x
记作
d
3
f
?
x
?
d
3
y
．
f
???
?
x
?
,y
???
,,
dx
3
dx
3
以此类推，如果函数
y?f
?
x?
的
n?1
阶导数仍可导，那么可定义
n
阶导数：
f
(n?1)
?
x??x
?
?f
(n?1)
?
x
?
，
lim
?x?0
?x
记作
n
df
?
x
?
d
n
y
(n)(n)
． f
?
x
?
,y,,
dx
n
dx
n习惯上，称
f
?
?
x
?
为
f
?
x
?
的一阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．有
时也把函数
f
?
x
?
本身称为
f
?
x
?
的零阶
导数，即
f
(0)
?
x
?
?f
?
x
?
．
注：由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以前面学到的求导
方法对于计算高阶导数同样适用．
定理4 如果函数
u?u
?
x<
br>?
和
v?v
?
x
?
都在点
x
处具有
n
阶导数，那么
（1）
?
u?v
?
（2）
?
u?v
?
特别地，
?
Cu
?
(n)
(
n)
?u
(n)
?v
(n)
．
n
(n)
k(n?k)
k
?
?
C
n
u?v
(k)
，
其中
C
n
?
k?0
n
?
n?1
?
k!
?
n?k?1
?
?
n!
．
k!?
?
n?k
?
!
?Cu
(n)
（
C
为常数）．
定理4中的（2）式称为莱布尼兹（Leibniz）公式．
例16
设
y?2x?5x?3x?7
，求
y
2
32(4)
．
(4)
解
y
?
?6x?10x?3
，
y
??
?12x?10
，
y
???
?12
，
y
一般地，设
y?a
n
x?a
n?1
x
例17
设
y?a
x
nn?1
?0
．
??a
1
x
?a
0
，则
y
(n)
?n!?a
n
,y
(
n?1)
?0
．
?
a?0,a?1
?
，求
y
(n)
．
4
解
y
?
?a
x
lna
，
y
??
?a
x
ln
2
a
，
y<
br>???
?a
x
ln
3
a
，
y
??<
br>?a
x
ln
4
a
，…，
由归纳法可得
?
a
?
x
?
n
?
?a
x
ln
n
a
．
特别地，当
a?e
时，
e
??
x
?
n
?
?e
x
．
例18
设
y?sinx
，求
y
(n)
．
解
y?sinx
，
?
??
y
?
?cosx?sin
?
x?
?
，
2
??
?
?
??<
br>?
?
????
y
??
?cos
?
x?
?
?sin
?
x??
?
?sin
?
x?2??
，
2
?
22
?
2
????
??
?
???
y
???
?cos
?
x?2??
?sin
?
x?3?
?
，
2
?
2
???
?
?
?
???
y
(4)
?cos<
br>?
x?3?
?
?sin
?
x?4?
?
，…，
2
?
2
???
由归纳法可得
y
(n)
?
?
sinx
?
类似地，可得
(n)
?
??
?sin
?
x?n?
?
．
2
??
?
cosx
?
(n)
?
??
?cos
?
x?n?
?
．
2
??
例19
设
y?ln
?
1?x
?
，求
y
(n)
．
解
y
?
?
1
11?21?2?3
(4)
???
，
y
??
??
，，，…，
y?y??
23
4
1?x
?
1?x
??
1?x
??
1?x
?
由归纳法可得
y
(n)
?
?
?
ln
?
1?x
?
?
?
?
(n)
?
?
?1
?
．
n?1
?
n?1
?
!
．
n
?
1?x
?
例20
设
y?x
（
?
为任意常数），求
y
解
y
?
?
?
x
?
?1
(n)
，
y
??
?
?
?
?
?1
?
x
?
?2
，
y
???
?
?
?
?
?1
??
?
?2
?
x
?
?3
，
y
(4)
?
?
?
?
?1
??
?
?2
??
?
?3
?
x
?
?4
，…，
由归纳法可得
y
(n)
?
?
x
?
?(n)
?
?
?
?
?1
??
?
?2??
?
?n?1
?
x
?
?n
．
2?1?n!
．
特别地，当
?
?n
时，可得
?
x
?
而
n
(n)
?n
?
n?
1
??
n?2
?
?
x
n
?
解
y
(n)
(n?1)
?0
．
例21 设
y?x<
br>4
?3x
2
?4?e
5x
，求
y
(n)?
n?4
?
．
?
?
x
4
?3x2
?4?e
5x
?
(n)
?
?
x
4<
br>?3x
2
?4
?
(n)
?
?
e
5x
?
(n)
?5
n
e
5x
．
例22
设
y?e
2x
x
2
，求
y
(4)
．
解 设
u?e
2x
,v?x
2
，则
u
?
?2e
2x
,u
??
?2
2
e
2x
,u
???
?2
3
e
2x
,u
(4)
?
2
4
e
2x
，
v
?
?2x,v
???2,v
???
?v
(4)
?0
．
由莱布尼兹公式，可得
0(4)12
y
(4)
?C
4uv?C
4
u
???
v
?
?C
4
u<
br>??
v
??
?2
4
?e
2x
?x
2
?4?2
3
?e
2x
?2x?
4?3
22x
?2?e?2
2!
?2
4
?e
2x
?
x
2
?4x?3
?
．
2.5 导数公式与基本求导法则
基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求
导法则等在初等函数
的求导运算中起着重要的作用．为了便于查阅，现在把这些导数公式和
求导法则归纳如下：
2.5.1 基本初等函数的导数公式
（1）
?
C
?
?<
br>?0
（
C
为常数）； （2）
x
?
（3）
a
x
??
?
?
?
x
?
?1
；
??
?
?a
x
lna
；
（4）
?
e
x
?
?
?e
x
；
11
；
（6）
?
lnx
?
?
?
；
xlnax
（
5）
?
log
a
x
?
?
?
（7）
?
sinx
?
?
?cosx
；
（8）
?
cosx
?
?
??sinx
；
（9）
?
tanx
?
?
?secx
；
（10）
?
cotx
?
?
??cscx
；
22<
/p>
（11）
?
secx
?
?
?secxtanx
；
（12）
?
cscx
?
?
??cscxcotx
；
（13）
?
arcsinx
?
?
?
（15）
?<
br>arctanx
?
?
?
1
1?x
2
；
（14）
?
arccosx
?
?
??
1
1?x2
；
1
?
??
1
．
arccotx
；
（16）
??
1?x
2
1?x
2
2.5.2
导数的四则运算法则
设函数
u?u(x)
和
v?v(x)
都可导，则
（1）<
br>?
u?v
?
?
?u
?
?v
?
；
（2）
?
u?v
?
?
?u
?
?v?u?v
?
；
?
u
?
?
u
?
?v?u?v?
?
(v?0)
； （3）
?
C?u
?
?C?
u
?
（
C
为常数）； （4）
??
?
2
v
?
v
?
v
?
?
1
?
?
（
5）
??
??
2
v
?
v
?
?
v?
0
?
．
2.5.3 反函数的求导法则
如果函数
x?f(y)<
br>在区间
I
y
内单调、可导且
f
?
(y)?0
，那么它的反函数
y?f
?1
(x)
在区间
I
x
?
xx?f(y),y?I
y
内也可导，且
??
?
?
1
或
dy
?
1
．
?1
??
f(x)
??
dx
dx
f
?(y)
dy
2.5.4 复合函数的求导法则
如果函数
u?g(x)<
br>在点
x
可导，函数
y?f(u)
在相应点
u?g(x)
可导，那么复合函数
y?f[g(x)]
在点
x
可导，且其导数为
f
?
(x)?f
?
(u)?g
?
(x)
或
2.5.5 高阶导数的运算法则
如果函数
u?u
?
x
?
和
v?v
?
x
?
都在点
x
处具有n
阶导数，那么
（1）
?
u?v
?
（2）
?
u?v
?
特别地，
?
Cu
?
(n)
(n)
dydydu
??
．
dxdudx
?u
(n)
?v
(n)
．
n
(n)
k(n?k)
k
?
?
C
n
u?v
(k)
，其中
C
n
?
k?0
n
?
n?1<
br>?
k!
?
n?k?1
?
?
n!
．
k!?
?
n?k
?
!
?Cu
(n)
（
C<
br>为常数）．
习题2-2
1. 求下列函数的导数.
（1）
y?3x
2
?4x?20
；
（2）
y?x?
3
51
??10
；
4
xx
（3）
y?5x
3
?2
x
?3e
x
；
（4）
y?2tanx?secx
；
（5）
y?
111
??
3
；
（6）
y?sinxcosx
；
x
xx
（7）
y?ex
?
sinx?cosx
?
；
（8）
y?x
2
lnxcosx
；
（9）
y?
lnx1?sinx
；
（10）
y?
.
x1?sinx
2. 求曲线
y?2sinx?x
2
上横坐标为
x?0
的点处的切线方程和法线方程.
3.
求下列函数的导数.
2
（1）
y?cos
?
5?2x
?
；
（2）
y?tanx
；
??
（3）
y?sin1?x
2
；
（4）
y?lntan
x
；
2
（5）
y?ln
?
?
ln
?
lnx
?
?
?
；
（6）
y?ln
?
cosx?tanx
?
；
（7）
y?e
?2x
（9）
y?e
?x
2
?3x?1
；
（8）
y?sin
n
xcosnx
；
2
?
x
2
?2x?3
?
；
（10）
y?xe
sinx
；
dy
.
dx
（11）
y?lnx?lnx
； （12）
y
?e
x
1?e
2x
?arcsine
x
.
4.
设
f
?
x
?
为可导函数，求下列函数的导数
3
（1
）
y?fx
； （2）
y?f
?
a
rcsin
??
?
?
1
?
?
；
x
?
x
（3）
y?fe?e
??
2
f
?
x
?
；
（4）
y?xf
?
lnx
?
.
2
5.
求下列函数的二阶导数.
（1）
y?2x?cosx
；
（2）
y?e
2x?3
；
（3）
y?xsinx
；
（4）
y?tanx
；
（5）
y?
1
2
；
（6）
y?cosxlnx
.
2
x?1
x
6.
求下列函数所指定阶的导数.
（1）
y?ecosx
，求
y
?
4
?
；
（2）
y?sinx
，求
y
2
?
n
?
.
第3节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
3.1 隐函数的导数
以解析式
y?f
?
x
?
的形式确定的函数称为显函数．例如
y?e
x
cosx
，
y?xlnx
．
以二元方程
F
?
x,y
?
?0
的形式确定的函数称为隐函数．例如 <
br>x?y
3
?1?0
，
sin
?
x?y
??3x?y?2
．
把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化．例如从方程
x
?y
3
?1?0
解出
y?
3
x?1
，就把隐函数化
成了显函数．但隐函数的显化有时候是困难的，甚至是不可能
的．例如方程
sin
?<
br>x?y
?
?3x?y?2
所确定的隐函数就难以化成显函数．
但在很
多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法，不论隐函
数能否显化，都能直接由方
程算出它所确定的隐函数的导数．
隐函数求导的基本思想是：把方程
F
?
x
,y
?
?0
中的
y
看成自变量
x
的函数
y
?
x
?
，结
合复合函数求导法，在方程两端同时对
x
求导数，然后整理变形解出
y
?
即可．
y
?
的结果中可同时含有
x
和
y
．若将
y
看成自变量，同理可求出<
br>x
?
．
例1 求由方程
y?ln
?
x?y
?
所确定的隐函数的导数
y
?
．
解
方程两端对
x
求导，得
y
?
?
从而
11
1?y
?
，
?
x?y
?
?
?
x?yx?y
?
?
y
?
?
y
1
．
x?y?1
例2
求由方程
e?xy?e?0
所确定的隐函数的导数
y
?
．
解 方程两端对
x
求导，得
e
y
?y
?
?y?x?y
?
?0
，
从而
y
?
??
y
x?e
y
?
x
?e
y
?0
?
．
x
2
y
2
??1
上点
1,2
处的切线方程和法线方程． 例3
求椭圆曲线
24
??
解 方程两端对
x
求导，得
x?
1
2x
y?y
?
?0
，故
y
?
??．从而，切线斜率
k
1
和法线
2
y
斜率
k2
分别为
12
．
k
1
?y
?
?<
br>1,2
?
??2
，
k
2
???
k
1
2
所求切线方程为
y?2??2
?
x?1
?
，
即
y??2x?22
．
法线方程为
y?2?
即
2
?
x?1
?
，
2
y?
22
．
x?
22
1
d
2
y
例4
求由方程
x?y?siny?0
所确定的隐函数的二阶导数
2
．
2
dx
解 方程两端对
x
求导，得
1?
从而
dy1dy
?cosy?0
，
dx2dx
dy2
?
．
dx2?cosy
上式两端再对
x
求导，得
dy
dy
dx
??
4siny
．
?
3<
br>dx
2
?
2?cosy
?
2
?
2?cosy
?
2
?2siny
3.2 对数求导法
对于以下两类函数： （1）幂指函数，即形如
y?u
?
x
?
v
?
x
?
?
u
?
x
?
?0
?
的函数．
（2）函数表达式是由多个因式的积、商、幂构成的．
要求它们的导数，可以
先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，
然后利用隐函数求导法求导，这种
方法称为对数求导法．
例5 设
y?
?
lnx
?
cosx
?
x?1
?
，求
y
?
．
lny?cosx?ln
?
lnx
?
，
解
函数两端取自然对数，得
两端分别对
x
求导，得
y
?
1
1
??sinx?ln
?
lnx
?
?cosx??
，
ylnxx
所以
11
?
cosx
?
cosx??
y
?
?y
?
?sinx?ln
?
lnx<
br>?
?cosx??
?
?
?
lnx
?
?
?sinx?ln
?
lnx
?
?
．
lnxx
?
??
xlnx
?
x?1
?
3
x?1
?
例6
设
y?
，求
y
?
．
2
x
?
x?4
?
e
解
先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得
1
lny?lnx?1?lnx?1?2lnx?4?x
，
3
两端分别对
x
求导，得
y
?
112
????1
，
yx?13
?
x?1
?
x?4
即
?
x?
1
?
3
x?1
?
1
?
12
y
?<
br>????1
?
．
2
x
?
?
x?4
?
e
?
x?13
?
x?1
?
x?4
? 容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此，在使用
对数
求导法时，常省略取绝对值的步骤．
3.3 由参数方程所确定的函数的导数
一般地，若参数方程
?
?
x?
?
?
t
?
?
?
?
y?
?
?
t
?
确定了
y
与<
br>x
之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．
?
?
x?
?
?
t
?
定理1 设参数方程<
br>?
，其中
?
?
t
?
,
?
?
t
?
均可导，且函数
x?
?
?
t
?
严格单
调，
y?
?
t
??
?
?
?
?
?<
br>t
?
?0
，则有
dy
dy
dtdy
?
?
?
t
?
或 ．
?
?dx
dx
dx
?
?
?
t
?
dt
证明 因为函数
x?
?
?
t
?
严格单调，所以其存在反函
数
t?t
?
x
?
．又因为
?
?
t
?
可导且
故
t?t
?
且有
?
?
?
t
?
?0
，
x
?
也可导，
可得
dt1<
br>t
?
x
?
?
．对于复合函数
y?
?
?
t
?
?
?
?
求导，
?
??
?<
br>dx
?
?
t
?
dy
dydydt
dt
?
?
?
t
?
．
????
dxdtdx
dx
?
?
?
t
?
dt
如果
x?
?
?
t
?
,y?
?
?
t
?
还是二阶
可导的，那么由定理1可得到函数的二阶导数公式：
d
2
yd
?
d
y
?
d
?
?
?
?
t
?
?
dt
?
??
?
t
?
?
?
?
t?
?
?
?
?
t
?
?
??
?<
br>t
?
1
?
??
?
?
?
，
?
2
?
?
dx
?
??
dx
2
dx
?
dx
?
dt
?
?
t
?
t
????
?
??
?
?
?
?
t
?
?
?
即
d
2
y
?
??
?
t?
?
?
?
t
?
?
?
?
?t
?
?
??
?
t
?
?
．
3
dx
2
?
?
?
?
?
t
?
?
?
?
x?e
t
cost
dy
例7
设
?
，求．
t
dx
?
y?esint
解 因为
dydx
?e
t
?
sint?cost
?
,?e<
br>t
?
cost?sint
?
,
dtdt
所以
t
dy
e
?
sint?cost<
br>?
sint?cost
．
?
t
?
dxe
?
cost?sint
?
cost?sint
?
x?acos
3
t
?
t?
例8 求星形线
?
在的相应点
M
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程和法
a?0
??
3
4
?
y?asint
线方程（图2-2）．
图2-2
解 由
t?
?
可得
4
x
0
?acos
3
?
4
?
2
?
2
a,y
0
?asin
3
?a
，
444
星形线在点
M
处的切线斜率
k
1
和法线斜率
k2
分别为
dy
k
1
?
dx
t?
?<
br>4
asint
?
?
?
?
?
acost
?
?
3
3
t?
?
4
3asin
2
tcost
?
?3acos
2
tsint
t?
?
4
??tant
t?
?
??1
，
k
2
??
4
1
?1
．
k
1
从而，所求切线方程为
?
22
?
y?a??
?
?
x?
4
a?
?
，
4
??
即
x?y?
所求法线方程为
2
a?0
．
2
y?
即
22
a?x?a
，
44
y?x
．
?
x?t?cost
d
2
y
例9
设
?
，求
2
．
dx
y?sint
?
解
（方法一）因为
sint
?
?
?
dydy1cost
，
y
?
?????
dxdt
dx
?
t?cost?
?
1?sint
dt
所以
2
d2
ydy
?
d
?
cost
?
1
?si
nt
?
1?sint
?
?cost
11
???????．
??
dx
22
2
dxdxdt
?
1?si
nt
?
1?sint
?
1?sint
??
1?sint?
dt
（方法二）由于
x
t
?
?1?sint,xt
??
?cost,y
t
?
?cost,y
t
??
??sint
，代入公式可得
2
d
2
y
y<
br>t
??
x
t
?
?y
t
?
x
t
??
?sint
?
1?sint
?
?cost
1
．
????
332
dx
2
?
1?sint
??
1?sint
?
x
?
?
?
t
3.4
由极坐标方程所确定的函数的导数
研究函数
y
与
x
的关系通常是在
直角坐标系下进行的，但在某些情况下，使用极坐标
系则显得比直角坐标系更简单．
如图2-
3所示，从平面上一固定点
O
，引一条带有长度单位的射线
Ox
，这样在该平
面
内建立了极坐标系，称
O
为极点，
Ox
为极轴．设
P为平面内一点，线段
OP
的长度称为极
径，记为
r
?
r
?0
?
，极轴
Ox
到线段
OP
的转角（逆时针）称为极角，
记为
?
?
0?
?
?2
?
?
，
称有
序数组
?
r,
?
?
为点
P
的极坐标．
图2-3
若一平面曲线
C
上所有点的极坐标
?
r,
?
?
都满足方程
r?r
?
?
?
，且坐标
r,
?
满足方程
r?r
?
?
?
的所有点都在平面曲
线
C
上，则称
r?r
?
?
?
为曲线
C的极坐标方程．
将极轴与直角坐标系的正半轴
Ox
重合，极点与坐标原点
O
重合，若设点
M
的直角坐
标为
?
x,y
?，极坐标为
?
r,
?
?
，则两者有如下关系：
?x
2
?y
2
?r
2
?
x?rcos
?
?
或
?
?
y
．
?
y?rsin
?
?
tan
?
?
x
?
设曲线的极坐标方程为
r?r
?
?
?
，利用直角坐标与极坐标的关系可得曲线的参数方程
为
?
?
x?r
?
?
?
cos
?
，
?
?
?
y?r
?
?
?
sin
?<
/p>
其中
?
为参数．由参数方程的求导公式，可得
dy
r
?
?
?
?
sin
?
?r
?
??
cos
?
．
?
?
dxr
?
??
cos
?
?r
?
?
?
sin
?例10 求心形线
r?1?sin
?
在
?
?
?
3
处的切线方程（图2-4）．
图2-4
解 由极坐标的求导公式得
dy
cos
?
sin
?
?
?
1?sin<
br>?
?
cos
?
sin2
?
?cos
?
．
??
dxcos
?
cos
?
?
?
1
?sin
?
?
sin
?
cos2
?
?sin
?
当
?
?
?
3
时，
?
?
?<
br>1
?
3
?
?
?
?
3
?
3<
br>?
??
x
0
?
?
1?sin
?
co
s?
?
1?1?
，
y
0
?
?
1?sin<
br>?
sin?
，
???
????
33223322
?
???
????
dy
dx
?
?
?
所以，所求切线方
程为
3
2
??
?cos
33
??1
，
?
2
??
cos?sin
33
sin
?
3
?
3
?
1
?
3
?
?
y?x?
?<
br>，
?
1?
?
?
??1?
?
?
1?
2
?
?
?
??
2
?
22
????
??
即
4x?4y?5?33?0
．
习题2-3
dy
1. 求由下列方程所确定的隐函数的导数.
dx
（1）
y?2xy?9?0
；
（2）
x?y?2xy?0
；
233
（3）
xy?e
x?y
；
（4）
ycosx?sin
?
x?y
?
?0
；
（5）
x
2
?y
2
?e
xy
；
（6）
arctan
y
?lnx
2
?y
2
.
x
2. 求曲线
xy?lny?1
在点
?
1,1
?
处的切线方程和法线方程.
d
2
y
3.
求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数
2
.
dx
（1）
y?1?xe
y
；
（2）
y?tan
?
x?y
?
.
4.
利用对数求导法求下列函数的导数.
（1）
y?x
x
；
（2）
y?1?x
?
2
tanx
?
；
（3）y?1?x
?
2
sinx
?
?
x
?
；
（4）
y?
??
；
?
1?x
?
x?2
?
3?x
?
4
3x
3x?2
（5）
y?
；
（6）
y?
5?2xx?1
????
5.
求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数.
?
x?1
?
5
.
2
?
?
dydy
?
x?at
?
x?t?
1?sint
?
（1）
?
，求；
（2），求；
?
3
dxdx
?
?
?
y?tcos
t
?
y?bt
?t
?
?
x?acost
d
2
yd
2
y
?
x?e
（3）
?
，求
2
； （4）
?
，求
2
.
2t
dxdx
y?bsint
?
?
?
y?2te
6. 求四叶玫
瑰线
r?acos2
?
（
a
为常数）在
?
?
?
4
对应点处的切线方程.
第4节 函数的微分
4.1 微分的概念
在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变．
例如，
一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由
x
0
变到
x
0??x
（图2-5），
问此薄片的面积改变了多少？当
?x
很微小时，正
方形的面积改变的近似值是多少？
图2-5
设此正方形的边长为
x，面积为
A
，则
A
与
x
存在函数关系
A?x<
br>．当边长由
x
0
变到
2
x
0
??x
，正方形金属薄片的面积改变量为
2
?A?
?
x
0
??x
?
?x
0
?2x
0
?x?
?
?x
?
.
22
从上式可以看出，
?A
分为两部分，第一部分<
br>2x
0
?x
是
?x
的线性函数，即图中带有斜
线的两
个矩形面积之和，第二部分
?
?x
?
是图中右上角的小正方形的面积，当?x?0
时，
第二部分
?
?x
?
是比
?x高阶的无穷小量，即
?
?x
?
?o
?
?x
?<
br>．因此，当
?x
很微小时，我
们用
2x
0
?x
近似地表示
?A
，即
?A?2x
0
?x
．故
2x
0
?x
是正方形的面积改变的近似值．
定义1 设函数
y?f?
x
?
在某区间内有定义，
x
0
及
x
0
??x
在此区间内，如果函数的增
量
22
2
?y?f<
br>?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
可表示为
?y?A?x?o
?
?x
?
，
其中
A
是不依赖于
?x
的常数，那么称函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
是可微的，而
A?x
叫做
函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
相应于自变量增量
?x
的微分，记为
dy
x?x
?A?x
或
df
?
x
0
?
?A?x
．
0
4.2 微分与导数的关系
定理1 函数
y?f
?
x<
br>?
在点
x
0
可微的充要条件是函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
可导，且当
y?f
?
x?
在点
x
0
可微时，其微分一定是
dy
x?x
?f
?
?
x
0
?
?x
．
0
证明
（必要性）设函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
可微，即
?y?A?x?o
?
?x
?
，其中
A
是不
依
赖于
?x
的常数．上式两边用
?x
除之，得
o
?
?x
?
?y
?A?
，
?x?x
当
?x?0
时，对上式两边取极限就得到
o
?
?x
?
?y
lim?A?lim?A
． ?x?0
?x
?x?0
?x
即
A?f
?
?x
0
?
．因此，若函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
可微，则
y?f
?
x
?
在点x
0
一定可导，且
dy
x?x
?f
?
?
x
0
?
?x
．
0
（充分性）函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
可导，即
?y
?f
?
?
x
0
?
?x?0
?x
lim
存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成
?y
?f
?
?
x
0
?
?
?
，
?x
其中
?
?0
（当
?x?0
时），从而
?y?f
?
?
x
0
?
?x?
?
?x?f
?
?
x
0
?
?x?o
?
?x
?<
br>，
其中
f
?
?
x
0
?
是与
?x
无关的常数，
o
?
?x
?
比
?x
是
高阶无穷小，所以
y?f
?
x
?
在点
x
0
也是
可微的．
根据微分的定义和定理1可得以下结论：
（1）函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的微分就是当自变量
x
产生增量
?x
时，函数
y
的增量
?y
的主要部分（
此时
A?f
?
?
x
0
?
?0
）．由于dy?A?x
是
?x
的线性函数，故称微分
dy
是
?y
的线性主部．当
?x
很微小时，
o
?
?x
?
更加微小，从而有近似等式
?y?dy
．
（2）函数
y?f
?<
br>x
?
的可导性与可微性是等价的，故求导法又称微分法．但导数与微
分是两个不同的概念，导数
f
?
?
x
0
?
是函
数
f
?
x
?
在
x
0
处的变化率，其值只与
x
有关；而微
分
dy
x?x
是函数
f
?<
br>x
?
在
x
0
处增量
?y
的线性主部，其值既
与
x
有关，也与
?x
有关．
0
定义2 函数
y?
f
?
x
?
在任意点
x
处的微分，称为函数的微分，记作dy
或
df
?
x
?
，即
dy?df
?
x
?
?f
?
?
x
?
?x
． 通常把自变量
x
的增量
?x
称为自变量的微分，记作
dx
，即
dx??x
．因此，函数
y?f
?
x
?
的微
分可以写成
dy?f
?
?
x
?
dx
或
d
f
?
x
?
?f
?
?
x
?
dx．
从而有
df
?
x
?
dy
?f
?
?
x
?
或
?f
?
?
x
?
．
dx
dx
因此，函数
y?f
?
x
?
的
微分
dy
与自变量的微分
dx
之商等于该函数的导数．所以，导
数又
称微商．
例1 设函数
y?x
3
，（1）求
dy
；（2）
若
x?2,?x?0.1
，求
dy
和
?y
．
解
（1）由微分的定义可得
dy?
?
x
3
?
?
dx
?3x
2
dx
．
（2）将
x?2,dx??x?0.1
代入（1）的结果，可得
dy
x?2
?3x
2
dx
x?2
?3?2
2
?0.1
?1.2
；
dx?0.1
dx?0.1
?y
x?2
4.3
微分的几何意义
?x?0.1
?
?
2?0.1
?
?23
?1.261
．
3
在平面直角坐标系中，函数
y?f
?
x
?
的图形是一条曲线，对于曲线上某一确定的点
M
?
x
0
,y
0
?
，当自变量
x
有微小增量
?
x
时，就得到曲线上另一点
N
?
x
0
??x,y
0
??y
?
（图
2-6）．过点
M
作曲线的切线
MT
，它的倾斜角为
?
，则有
?y?f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?NQ
， dy?f
?
?
x
0
?
?x?tan
?
??x?
PQ
?x?PQ
.
?x
图2-6
由此可见，对于可微函数
y?f
?
x
?
，当
?y
是曲线
y?f
?
x
?
上的点
M<
br>?
x
0
,y
0
?
的纵坐
标的增量时，微分<
br>dy
就是曲线
y?f
?
x
?
在点
M
?
x
0
,y
0
?
的切线
MT
的纵坐标的相
应增
量．当
?x
很小时，
?y?dy
比
?x
小得多
，因此在点
M
的邻近，可以用
dy
近似代替
?y
，
进而可以用切线段来近似代替曲线段．
4.4 微分公式与微分运算法则
由函数的微分表达
式
dy?f
?
?
x
?
dx
可得，只要先计算出函数
的导数
f
?
?
x
?
，再乘以自
变量的微分就可以计
算出函数的微分．因此可得如下的微分公式和微分运算法则．
4.4.1 基本初等函数的微分公式
??
?1
（1）
dC?0
（
C
为常数）；
（2）
dx?
?
xdx
；
xxxx
（3）
da?alnadx
；
（4）
de?edx
；
??
????
（5）
d
?
log
a
x
?
?
11
dx
；
（6）
d
?
lnx
?
?dx
；
xlnax
（7）
d
?
sinx
?
?cosxdx
；
（8）
d
?
cosx
?
??sinxdx
；
（9）
d
?
tanx
?
?secxdx
；
（10）
d
?
cotx
?
??cscxdx
；
2
2
（11）
d
?
secx
?
?secxtanxdx
；
（12）
d
?
cscx
?
??cscxcotxdx
； <
br>（13）
d
?
arcsinx
?
?
（15）
d
?
arctanx
?
?
1
1?x
2
dx
； （14）
d
?
arccosx
?
??
1
1?x
2
dx
；
11
dxdarccotx??dx
． ；
（16）
??
1?x
2
1?x
2
4.4.2
微分的运算法则
设函数
u?u(x)
和
v?v(x)
都可导，则
（1）
d
?
u?v
?
?du?dv
；
（2）
d
?
u?v
?
?vdu?udv
；
（3）
d
?
C?u
?
?C?du
（
C<
br>为常数）； （4）
d
?
4.4.3 复合函数的微分法则
?
u
?
vdu?udv
(v?0)
．
?
?
2
v
?
v
?
设
y?f
?
u?
,u?g
?
x
?
均可导，则复合函数
y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
的微分为
d
y?y
x
?
dx?f
?
?
u
?
g
?
?
x
?
dx?f
?
?
u
?
du
．
由此可见，无论
u
是自变量还是中间变量，微分形式保持
dy?
f
?
?
u
?
du
不变．这一性质称
为微分形式不变
性．
例2 设
y?x?2
，求
dy
．
解
（方法一）令
y?u
3
，
u?x?2
，则利用微分形式不变性，可得
22
dy?
?
u
3
?
?
du?3u
2
d
?
x
2
?2
?
?3
?
x<
br>2
?2
?
?
2x
?
dx?6x
?
x
2
?2
?
dx
．
2
?
2
?
3
（方法二）若不引入中间变量，则
d
y?3
?
x
2
?2
?
d
?
x
2<
br>?2
?
?3
?
x
2
?2
?
?
2x
?
dx?6x
?
x
2
?2
?
dx<
br>．
222
4.4.4 隐函数的微分
例3 求由方程
3x
2
?xy?y
2
?1
所确定的隐函数
y?f
?
x<
br>?
的微分．
解 对方程两边分别求微分，有
d
?
3x2
?xy?y
2
?
?d1?0
，
即
d?
3x
2
?
?d
?
xy
?
?d
?
y
2
?
?0
，
6xdx?ydx?xdy?2ydy?0
，
从而，可得
dy?
4.5 微分在近似计算中的应用
6x?y
dx
．
x?2y
根据前面的讨论可知，如果函数
y?f
?
x
?
在
点
x
0
处的导数
f
?
?
x
0
?<
br>?0
，且
?x
很小
时，那么有
?y?dy?f
?
?
x
0
?
?x
，
（2-4-1）
公式（2-4-1）可以改写为
?y?f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?f
?<
br>?
x
0
?
?x
， （2-4-2）
或
f
?
x
0
??x
?
?
f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
?
?x
． （2-4-3）
在（2-4-3）式中
令
x?x
0
??x
，即
?x?x?x
0
，则可得
f
?
x
?
?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
．
（2-4-4）
如果
f
?
x
0
?
和
f<
br>?
?
x
0
?
都容易计算，则可以利用（2-4-1）式来近似
计算
?y
，利用（2-4-3）
式来近似计算
f
?
x
0
??x
?
，以及利用（2-4-4）式来近似计算
f
?
x
?
．
若在（2-4-4）式中令
x
0
?0
，则有
f
?
x
?
?f
?
0
?
?f
?
?
0
?
x
． （2-4-5）
从而，当
x??x
很小时，可用（2-4-5）式推得以下几个常用的近似公式
（1）
sinx?x
；
（2）
tanx?x
；
x
（3）
arcsinx?x
；
（4）
e?1?x
；
1
x
．
n
1
例4
一个内直径为
10cm
的球壳体，球壳的厚度为
cm
，问球壳体的体积的近似
值
16
（5）
ln
?
1?x
?
?x
；
（6）
n
1?x?1?
为多少？
解
半径为
r
的球体体积为
4
V?f
?
r
?
?
?
r
3
．
3
由于
r?5cm,?r?
为其近似值，则
1
cm
，故
?V?f
?
r??r
?
?f
?
r
?
就是球壳体的体积．用
dV
作
16
1
?19.63
?
cm
3
?
．
16
dV?f
?
?
r
?
dr?4
?
r
2
dr?4
?
?5<
br>2
?
3
所以球壳体的体积的近似值为
19.63cm
．
??
例5 计算
3
1003
的近似值．
解 设
f
?
x
?
?
3
3
x
，则
f
?
?
x
?
?
1
3x
3
2
．取x
0
?1000,?x?3
，则
1003?f
?
10
00?3
?
?f
?
1000
?
?f
?
?<
br>1000
?
?x?10?
1
?3?10.01
．
300
例6 计算
5
0.9985
的近似值．
解 由于
0.9985?1?0.0015
，而
x?0.00
15
，其值较小，故利用近似公式，可得
5
1
0.9985?
5<
br>1?0.0015?1??
?
?0.0015
?
?0.9997
．
5
习题2-4
1.已知函数
y?2x
2
，计算在
x?2
处，当
?x?0.02
时的
?y
和
dy
.
2. 求下列函数的微分.
（1）
y?sin3x
；
（2）
y?x
2
e
2x
；
（3）
y?ln1?x
2
；
（4）
y?arctan
（5）
y?
x?1
；
x?1
x
x?1
2
；
（6）
y?cosx?xsinx
；
（7）
y?e
?x
cosx
；
（8）
y?
1?x?1?x
.
1?x?1?x
3. 求由方程e
x?y
?xy?0
所确定的函数
y?y
?
x
?
的微分
dy
.
4. 利用微分计算下列近似值.
（1）
100
1.002
；
（2）
cos29
.
5．设扇形的圆心角
?
=60
，半径
R?100cm
．如果
R
不变，
?
减少
30
?
，问扇形面
积大约改变了多少？又如果
?
不变，
R
增加
1cm
，问扇形面积大约改变了多少？
6．有一批半径为
1cm
的
球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，铜的厚度定为
o
o
0.01cm
，估计一下每只球需用铜多少
g
（铜的密度为
8.9gcm
3
）？
第5节 导数的应用
由于导数就是函数的变
化率，所以现实生活中很多涉及变化率的问题，都可以转化为
对导数的计算问题．因此导数在现实生活中
的应用是非常广泛的．
5.1 相关变化率
定义1 若
x?x
?
t
?
及
y?y
?
t
?
为可导函数，且函数
y?f
?
x
?
由
x?x
?
t
?
，
y?y
?
t
?
确定，则变化率
dxdy
与称为相关
变化率．
dtdt
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率
求出另一
个变化率．
例1 一气球从离开观察员500
m处离地面铅直上升，其速度为
140mmin
，当气球
高度为500
m时，观察员视线的仰角增加率是多少？
解 设气球上升
t
分钟后其高度为
h?h(t)
，观察员视线的仰角为
?
?
?
(t)
，则
tan
?
?
上式两边对
t
求导，可得
h
．
500
sec
2
?
d
?
1
dh
?
．
dt500dt
dh
?140mmin
，所以
dt
2
当
h?500m
时，
tan
?
?1
，即
sec
?
?2
．又因为
d
?
70??0.14
?
radmin
?
．
dt500
即此时
观察员视线的仰角增加率是
0.14
?
radmin
?
．
例2 平静的水面由于石头的落入而产生同心波纹，如果最外一圈波纹半径的增大率总
是
6ms
，问在
2s
末水面扰动面积的增大率是多少？
解 设
ts
时最外一圈波纹半径为
r?r(t)
，此时水面扰动面积为
S?S(t)，则
S?
?
r
2
．
上式两边对
t
求导，可得
dSdr
?2
?
r?
．
dtdt
dr
?6ms
，所以， 当
t?2s
时，
r?6t?12m
．又因为
dt
dS
?2
?
?12?6?1
44
?
?
m
2
s
?
．
dt
2<
br>即在
2s
末水面扰动面积的增大率是
144
?
ms
??
5.2 经济学上的应用
5.2.1 边际与边际分析
在经济学中，边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念，它反映的是一种经济变量
相对于另一种经
济变量的变化率．
定义2 设函数
y?f
?
x
?
在
x
可导，则称导函数
f
?
?
x
?
为
f<
br>?
x
?
的边际函数．
f
?
?
x
0<
br>?
称
为边际函数
f
?
?
x
?
在x?x
0
处的边际函数值．
下面介绍经济分析中几个常用的边际函数：
1. 边际成本
定义3 总成本函数
C
?
Q
?
的
导数
C
?
?
Q
?
称为边际成本．
边际成本表示当已生产了
Q
个单位产品时，再增加一个单位产品使总成本增加的数量．
例3 设生产某种产品
Q
个单位的总成本为
C
?
Q
?
?100?
成本及边际成本，并解释边际成本的经济意义．
解 由
C?
Q
?
?100?
1
2
Q
，试求当
Q
?10
时的总
4
1
2
Q
，可得边际成本函数为
4
Q
C
?
?
Q
?
?
．
2
当
Q?10
时，总成本为
C
?
10
?
?
125
，边际成本为
C
?
?
10
?
?5
．
经济意义：当产量为10个单位时，再增加一个单位产量，总成本需再增加5个单位．
2.
边际收益
定义4 总收益函数
R
?
Q
?
的导数
R
?
?
Q
?
称为边际收益．
边际收益表示销售
Q
个单位产品后，再多销售一个单位产品时所增加的总收益．
例4 某产品的价格
P
与销售量
Q
的关系为
P?10?收益，并解释边际收益的经济意义．
解 总收益函数为
Q
，求
Q?3
0
时的总收益及边际
5
Q
2
R
?
Q
??P?Q?10Q?
，
5
边际收益函数为
2
R
?
?
Q
?
?10?Q
．
5
当
Q?30
时，总收益为
R
?
30
?
?1
20
，边际收益为
R
?
?
30
?
??2
．
经济意义：当销售量为30个单位时，再多销售一个单位产品，总收益将减少2个单位
（或者说
，再少销售一个单位产品，总收益将少损失2个单位）．
3. 边际利润
定义5 总利润函
数
L
?
Q
?
的导数
L
?
?
Q?
称为边际利润．
边际利润表示若已经生产了
Q
个单位
的产品，再多生产一个单位的产品时所增加的总
利润．
例5
某煤炭公司每天生产煤
Q
吨的总成本函数为
C
?
Q
?
?2000?450Q?0.02Q
2
，
如果每吨煤的销售价为490元，求
（1）边际成本
C
?
?
Q
?
；
（2）总
利润函数
L
?
Q
?
以及边际利润
L
?
?<
br>Q
?
；
（3）当
Q?1000
吨时的边际利润，并解释其经济意义．
解 （1）由
C
?
Q
?
?2000?450Q?0.02Q
，可得边际成
本为
2
C
?
?
Q
?
?450?0.04Q
．
（2）因为总收入函数为
R
?
Q
?
?490Q
，所
以总利润函数为
L
?
Q
?
?490Q?
?
200
0?450Q?0.02Q
2
?
??2000?40Q?0.02Q
2
，
故边际利润为
L
?
?
Q
?
?40?0.04Q
．
（3
）当
Q?1000
吨时，边际利润为
L
?
?
1000
?
?0
．
经济意义：当每天煤的产量在1000吨的基础上再增加一吨时，总利润没有增加．
5.2.2 弹性与弹性分析
弹性概念是经济学中的另一个重要概念，它是用来定量地描述一
个经济变量对另一个
经济变量变化的反应程度．
?y
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
定义6 设函
数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处可导，函数的
相对改变量
?
y
0
f
?
x
0
?
与
自变量的相对改变量
?yy
0
?x
之比称为函数
y?f
?<
br>x
?
在
x
0
与
x
0
??x
两点间的弹性，
x
0
?xx
0
或两点间的相对变化率．
当
?x?0
时，
?yy
0
的极限
?xx
0
?yy
0
x
?y
x
0
?lim??f
?
?
x
0
?
?
0
?x?0
?xx
?x?0
?xyf
?
x
0
?
00
lim<
/p>
称为函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的弹性或相对变化率，记为
Ey
Ex
或
x?x
0E
f
?
x
0
?
．
Ex
对于一般的<
br>x
，如果
y?f
?
x
?
可导，且
f
?
x
?
?0
，则有
Eyx
，
?f
?<
br>?
x
?
?
Exf
?
x
?
它是
x
的函数，称之为
y?f
?
x
?
的弹性函数，简称弹性．
注：
EE
f
?
x
0
?
表示在点<
br>x
0
处，当
x
改变
1%
时，函数
y?f?
x
?
改变
f
?
x
0
?
%<
br>．
ExEx
下面介绍经济分析中常见的弹性函数：
1. 需求的价格弹性
Q
表示需求量）定义7 设某商品的需求函数
Q?f
?
P
?
（
P
表示商品价格，在点
P?P
0
处可导，
Q0
?f
?
P
由于一般情形下
Q?f
?
P
?
单调减少，
?P
和
?Q
符号相反，且
P
0为
0
?
，
正数，故
P
0
?QQ
0和
f
?
?
P
均为非正数，为了用正数表示弹性，我们称
?
0
?
?PP
0
f
?
P
0
?<
br>?
?
P
0
,P
0
??P
?
???Q
P
0
?
?PQ
0
为该商品在
P
0
??P
两点间的需求的价格弹性．称
0
和
P
?
?
P
?
?
EQP
??f
?
?<
br>P
?
?
EPf
?
P
?
为该商品在点
P
处的需求的价格弹性函数，简称为需求弹性．
根据需求弹性的大小，可分为下面三种情况：
（1）当
?
?
P
?
?1
时，称需求富有弹性，此时
需求变动的幅度大于价格变动的幅度，价
格变动对需求量的影响较大．
（2）当
?<
br>?
P
?
?1
时，称需求有单位弹性，此时需求变动的幅度等于价格变动
的幅度．
（3）当
?
?
P
?
?1
时，称需求缺乏
弹性，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度，价
格变动对需求量的影响不大．
例6 已知
某商品的需求函数为
Q?f
?
P
?
?
（1）
??
30,25
?
，并解释其经济意义；
（2）需求弹性函数
?
?
P
?
；
1200
，求：
P
（3）
P?28
时的需求弹性，并解释其经济意义．
解 （1）当
P
0
?30
时，有
Q
0
?<
br>1200
1200
?48
，从而
?40
．当
P?2
5
时，有
Q?
P
P
0
?P?P?P
0
??
5,?Q?Q?Q
0
?8
，
故
?
?
30,25
?
??
?Q
P
0
830
?????1.2
．
?PQ
0
?540
其经济意义：当商品价格
P
从30降
到25时，在该区间内，价格
P
从30每降低1%，
需求量从40平均增加1.2%．
（2）因为
f
?
?
P
?
??
1200，所以需求弹性函数
P
2
?
?
P
?
??f<
br>?
?
P
?
?
P
?
1200
?
P
??
?
?
2
?
??1
．
1200<
br>f
?
P
?
P
??
P
（3）
P?28
时的需求弹性为
?
?
28
?
?1
．
其经济意义：当
P?28
时，价格每上涨（下跌）1%，需求量则减少（增加）1%．
2. 供给的价格弹性
Q
表示供给量）定义8 设某商品的供给函数
Q?f
?
P
?
（
P
表示商品价格，在点
P?P
0
处可导，
Q
0
?f
?
P
0
?
，则
称
?
?
P
0
,P
0
??P
?
?
为该商品在
P
0
??P
两点间的供给弹性．称
0
和
P
?Q
P
0
?
?PQ
0
?
?
P
?
?
EQP
<
br>?f
?
?
P
?
?
EPf
?
P
?
为该商品在点
P
处的供给的价格弹性函数，简称为供给弹性．
注：由于
供给函数
Q?f
?
P
?
一般为价格的递增函数，故当价格上涨时，供
给量相应增
加；当价格下跌时，供给量相应减少．
例7 设某商品的供给函数为
Q?
f
?
P
?
?e
（1）供给弹性函数
?
?
P
?
；
（2）当
P?3
时的供给弹性，并解释其经济意义．
解 （1）因为
f
?
?
P
?
?2e
2P<
br>2P
，求：
，所以供给弹性函数为
?
?
P
?
?f
?
?
P
?
?
PP
?2e<
br>2P
?
2P
?2P
．
f
?
P
?<
br>e
（2）
P?3
时的供给弹性为
?
?
3
?<
br>?6
．
其经济意义：当
P?3
时，价格再上涨（下跌）1%，供应量将增加（减少）6%．
3. 收益的价格弹性
定义9 设某商品的需求函数为可导函数
Q?f
?<
br>P
?
（
P
表示商品价格，，
Q
表示需求量）
则收益关于价格的函数为
R
?
P
?
?P?Q?P?f
?P
?
，称
ERP
?R
?
?
P
?
?
EPR
为该商品在点
P
处的收益的价格弹性函数，简称为收益弹性．
例8 已知某商品的需求函数为
Q?50?2P
，求：
（1）该商品的收益弹性函数
ER
；
EP
2
（2）
P?15
时的收益弹性，并解释其经济意义．
解 （1）商品的收益函数为
R
?
P
?
?P?Q?50P?
2P
，从而收益弹性函数为
ERPP25?2P
?R
?
?
P
?
??
?
50?4P
?
??
．
EPR
50P?2P
2
25?P
（2）
P?15
时的收益弹性为
E
R1
??
．
EP
P?15
2
其经济意义：当
P?
15
时，价格再上涨（下跌）1%，总收益将减少（增加）0.5%．
习题2-5
1. 气球充气时，其半径
r
以
1cms
的速度增大，假设
在充气过程中气球始终保持球形，
求
r?10cm
时气球体积的变化率.
2. 注水入深
8m
上顶直径
8m
的正圆锥形容器中，其速率为4mmin
，当水深为
5m
时，其表面上升的速率为多少？
3
Q
2
3. 已知某商品的成本函数为
C
?
Q?
?100?
，求当
Q?10
时的总成本及边际成本.
4
4. 设某产品的需求函数为
P?20?
个单位时的总收益和边际收益.
5. 已知某商品的需求函数为
Q?75?P
，求：
2
Q
，其中
P
为价格，
Q
为销售量，求销售量为15
5
<
br>（1）
?
?
5,8
?
，并解释其经济意义；
（2）需求弹性函数
?
?
P
?
；
（3）
?
?
3
?
、
?
?
5
?
和
?
?
8
?
，并解释其经济意义．
6.
设某商品的供给函数为
Q?f
?
P
?
??20?5P
，求：
（1）供给弹性函数
?
?
P
?
；
（2）当
P?6
时的供给弹性，并解释其经济意义．
7. 设某商品的需求
函数为可导函数
Q?f
?
P
?
（
P
表示商品价格，
Q
表示需求量），
收益函数为
R?R
?
P
?
?P?f
?
P
?
，证明
EREQ
??1
．
EPEP
8. 已知某公司生产经营的某种电器的需求弹性在
1.53.5
之
间，如果该公司计划在下
一年度内将价格降低
10%
，试求这种电器的销售量将会增加
多少？总收益将会增加多少？
第6节 MATLAB软件应用
MATLAB符号工具箱中提供的
函数diff可以求取一般函数的导数及高阶导数，也可求隐
函数和由参数方程确定的函数的导数．
函数diff的调用格式如下：
D= diff(fun,x,n)
参数说明：D是求得的导数，
fun是函数的符号表达式，x是符号变量，n是求导阶数，
若n缺省，其默认值为1．
在MATLAB中还可以使用函数subs来计算函数在某一点的导数值．
函数subs的调用格式如下：
Z=subs(fun,old,new)
参数说明：fun 是函数的符号表达式，old是符号变量，Z是在函数fun中用变量new
替换old后所求得的导数值．
例1 求
y?lnx?a?x
2
的导数.
解 输入命令：
syms a x;
daoshu=diff(log(x+sqrt(a^2+x^2)), 'x' );
daoshu=simplify(daoshu) % 使输出的结果简单化
输出结果：
daoshu=1(a^2+x^2)^(12)
例2
求
y?e
2x
的5阶导数.
解 输入命令：
syms x;
daoshu5=diff(exp(2*x),x,5)
输出结果：
daoshu5=32*exp(2*x)
例3
求由方程
e?xy?e?0
所确定的隐函数的导数
解 输入命令：
syms
x y;
z=exp(y)+x*y-exp(1);
dydx=-diff(z,x)diff(z,y)
输出结果：
dydx=-y(x+exp(y))
例4
求由参数方程
x?ecost,y?esint
所确定的函数的导数.
解
输入命令：
syms t
x=exp(t)*cos(t);
y=exp(t)*sin(t);
daoshu=diff(y,t)diff(x,t);
daoshu=simplify(daoshu)
tt
y
?
?
dy
.
dx
输出结果：
daoshu=(cos(t)+sin(t))(cos(t)-sin(t))
例5
求
y?cos
?
3x?2
?
的微分.
解 输入命令：
syms x;
y=cos(3*x+2);
dy=[char(diff(y)),'dx']
输出结果：
dy=-3*sin(3*x+2)dx
例6 求函数
f
?
x?
?x
3
?4sinx
在
x?
?
处的导数值.
解 输入命令：
syms x
f=x^3+4*sin(x);
dfdx=diff(f,x);
f_pi=subs(dfdx,x,pi)
输出结果：
f_pi=3*pi^2-4
总习题2
（A）
1.
一物体的运动方程为
s?t?6
，求下列各值：
（1）物体在
t?2
到
t?2??t
这段时间的平均速度；
（2）物体在
t?2
时的速度.
2
1
?
gxsin,x?0
?
??
2. 已知函数
f
?
x
?
?
?
，
g
?
?
0
?
?g
?
0
?
?0
，求
f?
?
0
?
.
x
?
x?0
?
0,
3.
讨论下列函数在
x?0
点的连续性和可导性.
?
x
,x?0
1
?
（1）
f
?
x
?
?
?
1?
e
x
；
（2）
f
?
x
?
?sinx
.
?
x?0
?
0,
x?0
?
bx?2,
?
4. 设
f
?
x
?
?
?
在点
x?0
处可导，求
a,b
的值.
a?lnx?1,x?0
??
?
?
5.
求曲线
y?x
3
?1
在点
?
1,2
?
处的
切线方程和法线方程.
6. 求下列函数的导数.
2
（1）
y?
?
4x?1
?
；
（2）
y?lnx?x?1
；
2
10
??
（3）
y?e
sin2x
sinx
?
?
sinx
?
； ；
（4）
y?x
x
x
3
?2x1?10
x
（5）y?
； （6）
y?
；
xx
e1?10
（7）
y?tan
x
2x
；
（8）
y?eln
?
3?2x
?
；
2
（9）
y?xtan
2
x?1?x
2
；
（10）
y?ln
?
ln4x
?
；
（11）
cos
?
xy
?
?x
；
（12）
y?1?xe
y
；
（13）
y?
?
lnx
?
；
（14）
y?
?
1?x
?
x
x
；
2y2
（15）
3y?x?arctanxy?0
；
（16）
xy?e?cosx?y
；
??
（17）
y?
?
1?sinx
?
tanx
；
（18）
y?
x?1sinx
；
3
?
x?1
?<
br>?
x?2
?
?
x?2
??
3?x?
（19）
y?
4
?
x?1
?
2
25
；
（20）
y?xcosxln
?
1?x
2
?
.
7. 求下列函数的二阶导数.
?
?
x?ln1?t
2
（
1）
y?
?
1?x
?
ln
?
1?x
?； （2）
?
；
?
?
y?arctant<
br>2
（3）
y
2
?2lny?x
4
；
（4）
y?sin
?
x?y
?
.
8. 求由方程
sin
?
xy
?
?ln
?
y?x
?
?x<
br>所确定的隐函数
y
在
x?0
处的导数
dy
dx
．
x?0
?
x?cost
?
9. 求曲线
?
在
t?
的相应点
M
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程和法线方程．
4
?
y?2sint
10.
求下列函数的微分.
（1）
y?sinx?e
3x
；
（2）
y?lnx
2
?lnx
；
（3）
y?ecos5x
；
（4）
y?xe
；
（5）
y?
x
x
2
cosx
2
；
（6）
y?arctanx?
?
arctanx
?
；
1?
sinx
（7）
x
2
?y
2
?cosx?y?0
；
（8）
e
x
siny?e
y
cosx
.
11.
半径为
10cm
的金属圆片加热后，其半径伸长了
0.05cm
，求其面积增
大的精确值
和近似值？
12. 一长度为
10m
的梯子斜靠在墙上顺墙下滑
．当梯子下端在离墙
6m
时沿着地面以
2ms
的速率离墙时，问此时梯子上端
下降的速率是多少？
13. 溶液从深
18m
，顶直径为
12m
的
正圆锥形漏斗中漏入一直径为
10m
的圆柱形筒
中．已知开始时漏斗中盛满了溶液，且
当溶液在漏斗中深为
12m
时，其表面下降的速率为
1mmin
．问此时圆柱
形筒中溶液表面上升的速率为多少？
14. 设某厂每月生产产品的固定成本为
1000元，生产
Q
单位产品的可变成本为
0.01Q
2
?10Q
元，如果每单位产品的售价为
30
元，求:
（1）边际成本
C
?
?
Q
?
；
（2）总
利润函数
L
?
Q
?
以及边际利润
L
?
?<
br>Q
?
；
（3）边际利润为零的产量.
15. 设某
商品的需求函数为
Q
?
P
?
?2000e
?0.004P<
br>（其中
P
为价格），求：
（1）需求弹性函数
EQ
；
EP
（2）
P?20
时的需求弹性，并解释其经济意义．
（B）
一、选择题．
1.（2007、数学一）设函数
f
?x
?
在
x?0
处连续，下列命题错误的是（ ）．
（A）
若
lim
x?0
f
?
x
?
存在，则
f?
0
?
?0
x
f
?
x
?<
br>?f
?
?x
?
存在，则
f
?
0
?<
br>?0
x
f
?
x
?
存在，则
f?
?
x
?
存在
x
f
?
x
?
?f
?
?x
?
存在，则
f
?
?
x
?
存在
x
（B）若
lim
x?0
（C）若
lim
x?0
（D）若
lim
x?0
x2x
2.（201
2、数学一）设函数
f
?
x
?
?e?1e?2
?????<
br>e
nx
?n
?
，其中
n
为正整数，
则
f
?
?
0
?
?
（ ）.
（A）
?
?1
?
n?1
?
n?1
?
!
（B）
?
?1
??
n?1
?
!
（C）
?
?1
?
nn?1
n!
（D）
?
?1
?
n!
n
3.（2011、数学二
）设函数
f
?
x
?
在
x?0
处可导，且
f
?
0
?
?0
，则
lim
x?0
x
2
f
?
x
?
?2f
?
x
3
?x
3
?
（ ）.
（A）
?2f
?
?
0
?
（B）
?f
?
?
0
?
（C）
f
?
?
0
?
（D）
0
4. （2006、数学二）设函数
g
?
x?
可微，
h
?
x
?
?e
1?g
?x
?
,h
?
?
1
?
?1,g
?
?
1
?
?2
，则
g
?
1
?
?<
br>（ ）.
（A）
ln3?1
（B）
?ln3?1
（C）
?ln2?1
（D）
ln2?1
5.（2007、数学三）设某商品的需求函数为
Q?1
60?2P
，其中
Q,P
分别表示需求量
和价格，如果该商品需求弹性的绝对
值等于1，那么商品的价格是（ ）．
（A）10 （B）20
（C）30 （D）40
二、填空题．
1.（200
6、数学三）设函数
f
?
x
?
在
x?2
的某邻域内
可导，且
f
?
?
x
?
?e
f(x)
,f<
br>?
2
?
?1
，
则
f
???
?
2
?
?
_______.
n
2.（2010、数学二）函数y?ln
?
1?2x
?
在
x?0
处的
n
阶导数
y
??
?
0
?
?
_______. 3.（2011、数学三）曲线
tan
?
x?y?
?
?
?
?
y
在点
?
0,0
?
处的切线方程为_____
__.
?e
?
4
?
4.（2008、数学一）曲线
sin
?
xy
?
?ln
?
y?x
?
?x
在点
?
0,1
?
处的切线方程为_______.
?
?<
br>x?arctant
5.（2013、数学二）设
?
上对应于
t?1<
br>的点处的法线方程为______.
2
?
?
y?ln1?t
?
x?cost?cos
2
t
?
6.（2007、数学二）曲线?
上对应于
t?
的点处的法线斜率为_______.
4
?
y?1?sint
7. （2014、数学二）曲线
l
的极坐标方程为
r?
?
，则
l
在点
?
r,
?
?
?
?
的直角坐标方程为______.
?
??
?
,
?
处的切线
22
??
?
x?sint
d
2
y
8.（2013、数学一）设
?
，
t
为参
数，则
2
?
_______.
dx
t?
?
?y?tsint?cost
4
9.（2012、数学二）设
y?y
?x
?
是方程
x
2
?y?1?e
y
所确定的隐函
数，则
d
2
y
dx
2
?
_______.
x?0
?
dy
?
lnx,x?1
,y?f
?
f<
br>?
x
?
?
，10. （2012、数学三）设函数
f
?
x
?
?
?
则
dx
?
?
2x?1
,x?1
?
_______.
x?e
11.（2009、数学二）设
y?y
?
x
?
是方程
xy?e
y
?x?1
所确定的隐函数，则
d
2
y
dx
2
?
_____
__.
x?0
12.（2006、数学二）设
y?y
?
x
?
是方程
y?1?xe
所确定的隐函数，则
y
dy
dx?
_______.
x?0
13.（2010、数学二）已知一个长方形的长<
br>l
以
2cms
的速率增加，宽
w
以
3cms
的
速率增加，则当
l?12cm,w?5cm
时，它的对角线增加的速
率为_______.
14.（2014、数学三）设某商品的需求函数为
Q?40?2P<
br>，其中
P
为商品价格，则该
商品的边际收益为______.
15.
（2009、数学三）设某产品的需求函数为
Q?Q
?
P
?
，其对价
格
P
的弹性为
?
P
?0.2
，
则当需求量为
10000
件时，价格增加1元会使产品收益增加______元．
三、解答题．
1.（2007、数学二）已知函数
f
?
u
?
具有二阶导数，且<
br>f
?
?
0
?
?1
，函数
y?y
?<
br>x
?
由方
程
y?xe
y?1
dz
y?sinx
?
，求
?1
确定，设
z?f
?
ln<
br>dx
d
2
z
,
2
x?0
dx
.x?0