精选高中数学第2章变化率与导数2导数的概念及其几何意义课后演练提升北师大版选修2_2

2016-2017学年高中数学 第2章 变化率与导数 2 导数的概念及其
几何意义课后演练提升 北师大版选修2-2
一、选择题
1．函数
f
(
x
)＝3－2
x
在
x
＝1处的导数为 ( )
A．3
C．2
解析：
Δ
yf
＝
Δ
x
＋Δ
x
－
f
Δ
x
B．－ 3
D．－2
3－
＝
＋Δ
x
－1
＝－2，故答案为D.
Δ
x
答案： D
π
2
2．下列点中，在曲线
y< br>＝
x
上，且在此点处的切线倾斜角为的是( )
4
A．(0,0) B．(2,4)
?
11
??
11
?
C.
?
，
?
D.
?
，
?

?
416
??
24
?
解析： 首先计算曲线
y＝
x
在点
x
0
处的导数
f
′(
x0
)＝2
x
0
，然后令
f
′(
x
0< br>)＝2
x
0
＝tan
π1
＝1得
x
0
＝，可知答案为D.
42
答案： D
3．设函数
f
(
x
)＝
ax
＋2，若
f
′(－1)＝3，则
a
＝( )
1
A．－1 B.
2
1
C．1 D.
3
3
2
a
－1＋Δ
x
解析：
Δ
x
3
＋
a
2
＝3
a
－3
a
Δx
＋
a
(Δ
x
)
当Δ
x
→0时，3
a
＝3，∴
a
＝1.
答案： C
4．曲线
y
＝
x
＋
x
－2在 点
P
的切线平行于直线
y
＝4
x
－1，则此切线的方程为( )
A．
y
＝4
x

C．
y
＝4
x
＋8
B．
y
＝4
x
－4
D．
y
＝4
x
或
y
＝4
x
－4
2
3
解析： 设
P
(
x
0
，
y< br>0
)是曲线的切点，由导数的定义可求得：
f
′(
x
0
)＝3
x
0
＋1，因为在
点
P
的切线与直线
y< br>＝4
x
－1平行，所以3
x
0
＋1＝4.解得
x0
＝1或
x
0
＝－1，则点
P
坐标为(1,0)
或(－1，－4)，所以所求的切线方程为
y
＝4
x
－4或
y＝4
x
.
答案： D
二、填空题
2

3
?
1
2
?
5．已知曲线
f
(
x
)＝
x
－2上一点
P
?
1，－
?
，则过点
P
的切线的倾斜角为__________．
2
?
2
?
解析： 过点
P
的切线的斜率
k
＝
f
′(1)
1
2
x
→0
＝
Δ
lim
＋Δ
x
1
2
－2－×1＋2
2
＝1，
Δ
x
2
设过点
P
的切线的倾斜角为α，
则tan α＝1.
π
又∵α∈[0，π)，∴α＝.
4
答案：
π

4
6.如图，函数
y
＝
f
(
x
)的图像在点
P
处的切线方程是
y
＝－2
x
＋9 ，
P
点的横坐标是4，
则
f
(4)＋
f
′(4)＝ ________________.

解析： 由导数的几何意义知
f
′(4)＝－2，
由点
P
在切线
y
＝－2
x
＋9上知
y
P
＝－2×2＋9＝1.
∴点
P
的坐标为(4,1)，∴
f
(4)＝1，
∴
f
(4)＋
f
′(4)＝1＋(－2)＝－1.
答案： －1
三、解答题
7．在曲线
y
＝
x
上分别求一点
P
使得曲线在该点处的切线满足以下条件：
(1)平行于直线
y
＝4
x
－5；
(2)垂直于直线2
x
－6
y
＋5＝0.
解析： 由y
＝
x
，得Δ
y
＝(
x
0
＋Δ
x
)－
x
0
＝2
x
0
Δ
x
＋( Δ
x
)，
Δ
y
＝2
x
0
＋Δ
x
.
Δx
当Δ
x
无限趋近于0时，2
x
0
＋Δ
x无限趋近于2
x
0
，
∴
f
′(
x
0
)＝2
x
0
. < br>设
P
(
x
0
，
y
0
)是满足条件的 点．
(1)因为切线与直线
y
＝4
x
－5平行，
所以2
x
0
＝4，
x
0
＝2，
y
0
＝4 ，即
P
(2,4)．
(2)因为切线与直线2
x
－6
y
＋5＝0垂直，
222 2
2

139
所以2
x
0
·＝－1，得
x
0
＝－，
y
0
＝，
324
?
39< br>?
即
P
?
－，
?
.
?
24
?
8．已知曲线
C
的方程
f
(
x
)＝
x
.
(1)求曲线
C
在点(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线
C
过点(1，－4)的切线方程；
(3)求曲线
C
过点(1,1)的切线方程．
3
x
→0
解析：
f
′(
x
0
) ＝
Δ
lim
x
0
＋Δ
x
x
→0
＝
Δ
lim
Δ
x
2
3
fx
0
＋Δ< br>x
－
fx
0

Δ
x

22
－
x
0
3
x
→0
[3
x
0
＋3< br>x
0
·Δ
x
＋(Δ
x
)]＝3
x
0
. ＝
Δ
lim
(1)
f
′(1)＝3×1＝3，
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为
y
－1＝3(
x
－1)，
即
y
＝3
x
－2.
(2)点(1，－4)不在曲线上，设 切点为(
x
0
，
y
0
)，
2
y
0
＝
x
0
，
?
?
则有
?
y
0
＋4
2
k
＝3
x
，
0
＝
?< br>x
0
－1
?
则
k
＝12.
3
< br>?
?
x
0
＝2，
则
?
?
y
0
＝8，
?


所以切线方程为
y
－8＝12(
x
－2)，
即
y
＝12
x
－16.
(3)点(1,1)在曲线上，
①若切点就是(1,1)，则切线方程为
y
＝3
x
－2.
②若切点不是(1,1)，设切点为(
x
0
，
y
0
)(x
0
≠1)．
3
?
y
0
＝
x
0
，
?
则
?
y
0
－1
2
k＝3
x
，
0
＝
?
x
0
－1
?
3
则
k
＝.
4

1
x
＝－，< br>?
?
2
则
?
1
y
＝－，
?
?
8
0
0


3
所以切线方程为
y
－1＝(
x
－1)，
4
31
即
y
＝
x
＋.
44

31
综合①②，曲线
C
过(1,1)点有两条切线
y
＝3
x
－2和
y
＝
x
＋.
44

1
2
9．抛物线
y
＝
x
在点
M
(2,1)处 的切线与
x
轴相交于
N
，
O
、
F
分别为该 抛物线的顶点、
4
焦点．
(1)求
MN
的方程；
(2)求四边形
OFMN
的面积．
解析： (1)由导数的几何意义知切线的斜率
x
→0
k
＝
f
′( 2)＝
Δ
lim
1
4
x
→0
＝
Δ
lim
f
＋Δ
x
－
f
Δ
x
2

＋Δ
x
Δ
x
－1
＝1，
∴切线方程为
y
－1＝
x
－2即
x
－
y
－1＝0.
(2)由抛物线方程为
x
＝4
y
，
得
F
(0,1)，
∵
N
(1,0)，
13∴四边形
OFMN
为梯形，其面积为
S
＝·1·(1＋2)＝.
22

2