高考数学考点导数的几何意义以及应用

考点09 导数的几何意义以及应用
【高考再现】
热点一 导数的几何意义
1.（2012年高考（课标文））
曲线
y?x(3lnx?1)< br>在点(1,1)处的切线方程为________

2.（2012年高考（广东理））
曲线
y?x?x?3
在点
?
1,3
?
处的切线方程 为_______________
3
【答案】
2x?y?1?0

【解析】
y
?
|
x?1
?3?1
2
?1?2,所以切线方程为
y?3?2
?
x?1
?
,即
2x?y ?1?0
.
热点二 导数的几何意义的应用
3.（2012年高考（重庆理） ）
设
f(x)?alnx?
13
?x?1,
其中
a?R,曲线
y?f(x)
在点
2x2
(1,f(1))
处的切线垂直 于
y
轴.
(Ⅰ) 求
a
的值;
(Ⅱ) 求函数
f(x)
的极值.
【解析】(1)因
f
?
x
?
?alnx?
a1313
?x?1
,故
f
?
?
x
?
??
2
?

x2x2
2x2
由于曲线
y?f
?
x
?
在点
1,f
?
1
?
处的切线垂直于
y
轴,故该切线斜率为0,即
??
1 34

lnx?k
(k
为常数,e=2.71828是自然 对数的
e
x
底数),曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1) )
处的切线与
x
轴平行.
(Ⅰ)求
k
的值;
4 .（2012年高考（山东文））
已知函数
f(x)?
(Ⅱ)求
f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设
g(x)?xf
?
(x)
,其中
f
?
(x)
为
f(x)
的导函数.证明:对任意
x?0, g(x)?1?e
?2
.【来源：
全,品…中&高*考+网】
2 34 < /p>

5.（2012年高考（湖北文））
设函数
f(x)?ax
n< br>(1?x)?b(x?0)
,
n
为正整数,
a,b
为常数,
曲线
y?f(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程为
x? y?1
.
(1)求
a,b
的值;
(2)求函数
f(x)
的最大值;
(3)证明:
f(x)?
1
.
ne

3 34

【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调 性,求解函数的
最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解 的
能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,
最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要
注意含有
e,lnx
等的函数求导的运算及其应用考查.
6．（2012年高考（北京文） ）
已知函数
x
f(x)?ax
2
?1
(
a?0),
g(x)?x
3
?bx
.
(1)若曲线
y?f( x)
与曲线
y?g(x)
在它们的交点(1,
c
)处具有公共切线, 求
a,b
的
值;
(2)当
a?3,b??9
时,求函数< br>f(x)?g(x)
在区间
[k,2]
上的最大值为28,求
k
的取值
范围.
4 34

当
?3?k?2
时, 函数
h(x)
在区间
[k,2]
上的最大值小于28.
因此,
k
的取值范围是
(??,?3]


7.（ 2012年高考（北京理））
已知函数
f(x)?ax
2
?1
(a?0
),
g(x)?x
3
?bx
.
(1)若曲线< br>y?f(x)
与曲线
y?g(x)
在它们的交点(1,
c
)处 具有公共切线,求
a,b
的
值;
(2)当
a
2
? 4b
时,求函数
f(x)?g(x)
的单调区间,并求其在区间
(??,?1 ]
上的最大值.

8.（2012年高考（安徽文））
设定义在(0,+< br>?
)上的函数
f(x)?ax?
1
?b(a?0)

ax
(Ⅰ)求
f(x)
的最小值;
(II)若曲线
y? f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?
3
x< br>,求
a,b
的值.
2
5 34

【考点剖析】
一．明确要求
1.了解导数概念的实际背景．
2.理解导数的几何意义．
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的
导数．
4.［理］能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.

二．命题方向
1.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在 考
查导数应用的同时进行考查．
2.导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题．
3.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步.
三．规律总结
一个区别
两种法则
(1)导数的四则运算法则．
(2)复合函数的求导法则．
三个防范
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．
6 34

3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．
【基础练习】
1.(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)
2
的导数为( )．
A．2(x
2
－a
2
) B．2(x
2
＋a
2
)
C．3(x
2
－a
2
) D．3(x
2
＋a
2
)
解析 f′(x)＝(x－a)
2
＋(x＋2a)[2 (x－a)]＝3(x
2
－a
2
)．
答案 C
3.(经 典习题)
函数f(x)＝
x
在点(x
0
，f(x
0
))处的切线平行于x轴，则f(x
0
)等于( )
11
A．－ B.
ee
1
C.
2
D．e
2

e
解析：与x轴平行的切线，其斜率为0，
1
·x－ln x
0
x
0
0
1－ln x
0
1
所以f′(x
0
)＝＝＝0，故x
0
＝e，∴f(x< br>0
)＝.
22
x
0
x
0
e
答案：B
ln x
4. (经典习题)
与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x
3＋3x
2
－1相切的直线方程是
________．
5.
(经典习题)曲线y＝
sin x1
?
π
?
－
2
在 点M
?
4
，0
?
处的切线的斜率为( )．
??
sin x＋cos x
7 34

1122
A．－
2
B.
2
C．－
2
D.
2

【名校模拟】
一．基础扎实
1．（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）曲线
y?
x
在点（-1，-1）处的切线方程为
x?2
A y=2x+1 B y=2x-1 C y=-2x-3 D y=-2x-2

2. （长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第三次模拟文）
函数
f
?
x
?
?ln
1
，则此函数图像在点
?
1 ,f
?
1
?
?
处的切线的倾斜角为 （ ）
x
Ａ．０ Ｂ．
答案：D
解析：
?
?
3
?
Ｃ． Ｄ． < br>424
1113
?
f
?
?
x
?
?( ln)
?
?x?()
?
??,?k?f
?
?
1?
??1?tan
?
,?
?
?
.
xxx4< br>1
3
x?ax
2
?1
在
(0,2)
内零点的 个数为
3
C.1 D.0
3.若
a?2
，则函数
f(x)?
A.3
【答案】C
B.2
'2'
f(x)?x?2axf
a?2
【解析】，由可知，
(x)
在
x?(0,2)
恒为负，即
f(x)
在
( 0,2)
内
8
f(2)??4a?1?0
3
单调递减，又
f (0)?1?0
，，
?
f(x)
在
(0,2)
只有一个零点 . 故选
C.

8 34

4.（长安一中、高新一中、交 大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）函数
f
?
x
?
?e
x
cosx
，则此函数图像在点
?
1,f
?
1
?
?
处的切线的倾斜角为 （ ）
Ａ．０ Ｂ．锐角 Ｃ．直角 Ｄ．钝角
5.(浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设曲线
f
?
x
?
?2ax?a
在点
(1,a)
处的3
切线与直线
2x?y?1?0
平行，则实数
a
的值为 ．
【答案】
1

3
【解析】解：
因为f'(x)=6a x
2
,?f'(1)=6a,而切线的斜率与已知直线的斜率互为负倒数，则

1
6a=2?a=
3
二．能力拔高
6. (湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）理)

已知函数
f(x)?
cosx
,
则函数
f(x)
在点
(0,f(0))
处的切线方程为
e
x
B．
x?y?1?0

D．
e
x
?x?cosx?y?1?0



A．
x?y?1?0

C．
cos?x?y?1?0


x
3
?x
2
?1(0?x?2)
的图象7. ( 2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)若函数
y?
3
上任意点处切线的倾斜 角为
?
，则
?
的最小值是( )
A．
?
4
B．
?
6
C．
5
?
3
?
D．
64
9 34

8.(2012河南豫东豫北十所名校毕业班阶段性 测试
(三）
文)在函数
满足在该点处的切线的倾斜角小于
(A)O (B)1 (C)2 (D)3
，且横、纵坐标都为整数的点的个数是
的图象 上，
9.(北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)（本小题满分13分）
已知函数
f(x)?e
ax
?(?a?1)
，其中
a??1
.
（Ⅰ）当
a?1
时，求曲线
y?f(x)
在点
(1,f (1))
处的切线方程；
（Ⅱ）求
f(x)
的单调区间.
（Ⅰ） 解：当
a?1
时，
f(x)?e
x
?(?2)
，
f
?
(x)?e
x
?(?2?
由于
f(1)?3e
，
f
?
(1)?2e
，
所以曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程是
2ex?y?e?0
． ……4分 < br>（Ⅱ）解：
f
?
(x)?ae
ax
a
x
1< br>x
1
x
1
)
．…………2分
2
x
(x?1)[(a?1)x?1]
，
x?0
． …………6分
2
x
10 34

10.
(北京市 西城区2012届高三下学期二模试卷理)（本小题满分14分）
2ax?a
2
?1
已知函数
f(x)?
，其中
a?R
．
2
x?1< br>（Ⅰ）当
a?1
时，求曲线
y?f(x)
在原点处的切线方程；
（Ⅱ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅲ）若
f(x)
在[0,??)
上存在最大值和最小值，求
a
的取值范围．
② 当
a?0
时，令
f
?
(x)?0
，得
x
1
??a
，
x
2
?
1
，
f(x)
与
f
?
(x)
的情况如下：
a
x
2

(x
2
,??)

x

(??,x
1
)

x
1

(x
1
,x
2
)

11 34

f
?
(x)

f(x)

?

0

?

↗
0

?

↘
f(x
1
)

f(x
2
)

↘
故
f(x)
的单调减区 间是
(??,?a)
，
(,??)
；单调增区间是
(?a,)
．

………7分
③ 当
a?0
时，
f(x)
与
f
?
(x)
的情况如下：






1
a
1
a
x

f
?
(x)

f(x)

(??,x
2
)

x
2

0

(x
2
,x
1
)

?

x
1

0

(x
1
,??)


?

↗
?

↗
f(x
2
)

↘
f(x
1
)

所以
f(x)
的单调增区间是
(??,)
；单调减区间是
( ?
1
a
1
,?a)
，
(?a,??)
．
a


………………9分
11.(浙江省宁波市鄞州区2012届高三高考适应性考试（3月）文)已知函数
12 34

f(x)?e
x
(x
2
?ax?a),
其中
a
是常数.
（1）当
a?1
时，求
f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；
（2）求
f(x)
在区间
?
0,??)
上的最小值. 12.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)（本小题满分12分）已知函数
f(x)? ln(x?2)?x
2
?bx?c.
在点x=1处的切线与直线
3x?7y? 2?0
垂直，且（f-1）
=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值.
f
?
(x)?
【解析】：
1
?2x?b.
x?2
与 直线
3x?7y?2?0
垂直的直线的斜率为
77
,令f
?
(1)?,得b?4
33
，又f（－1）=ln（2－1）－1－4+c=0，所以c=5，
13 34

f
?
(x)?
32
321
f
?
(x)?0,得x?
x?[0,]
?2x?4
2
2
x?2
，由，当时，f′（x）≥ 0，f（x）
x?(
32
,3]
2
时，f′（x）≤ 0，f（x）单调递减. 单调递增；当
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x ）在[0，3]最小值为ln2+5.
13.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）（本小题满分12分）
已知函数< br>f
?
x
?
?x?
?
2a?1
?
x? alnx.

2
（I）当
a?2
时，求曲线
y?f
?
x
?
在点
?
1,f
?
1
??
处 的切线方程；
（II）求函数
f
?
x
?
的单调区间.
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14 34

三．提升自我
14．(湖北八校2012高三第二次联考文)

15. (湖北武汉2012适应性训练理（本小题满分)14分）设函数
f(x)?x?(x?1)ln(x? 1)(x??1).

（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）证明 ：当
n?m?0
时，
(1?n)
m
?(1?m)
n
；
（Ⅲ）证明：当
n?2012
，且
x
1
,x
2
,x
3
,
1
n
,x
n
?R
?，
x
1
?x
2
?x
3
?
1
2 012
?x
n
?1
时，
?
x
x
x
?
2
?
3
?
?
?
1?x
1
1? x
2
1?x
3
2
1
2
2
?
xn
?
?
1
?
?
?
??
1?x
n
?
?
2013
?
2
.
解：（Ⅰ）由
f (x)=x-(x+1)ln(x+1)
，有
f
?
(x)??ln(x?1)
， 2分
15 34

16 34

16. (北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习理)（本小题满分14分）




2a
2
已知函数
f(x)?alnx??x(a?0)
．
x
（Ⅰ）若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切 线与直线
x?2y?0
垂直，求实数
a
的值；
（Ⅱ）讨论函数
f(x)
的单调性；
（Ⅲ）当
a?(??,0)< br>时，记函数
f(x)
的最小值为
g(a)
，求证：
g(a)?
1
2
e
．
2
17 34

17.(湖北省武汉外国语学校 钟祥一中2012届高三4月联考文)（本小题满分14分）
已知函数
f(x)?lnx?ax
2
?(a?2)x
.
(I) 讨论函数
f(x)
的单调性；
(II) 若
f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线斜率为
?2
.
(i) 求
f(x)
的解析式；
(ii) 求证：当
x?0且x?1时，
f(x)1lnx
?x??

x?1xx?1

18 34

18.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)（本小题满分12分）
?
?x
3
?ax
2
?bx,??(x?1)
已知函数
f(x) ?
?
的图像在点
(?2,f(?2))
处的切线方程为
?
c lnx,??(x≥1)
16x?y?20?0
.
⑴求实数
a
、
b
的值；
⑵求函数
f(x)
在区间
[?1,2]
上的最大值；
⑶曲 线
y?f(x)
上存在两点
M
、
N
，使得△
MON
是以坐标原点
O
为直角顶点的直角
三角形，且斜边
MN
的 中点在
y
轴上，求实数
c
的取值范围.
2
【试题解析】解 ：⑴当
x?1
时，
f
?
(x)??3x?2ax?b
. < br>因为函数图像在点
(?2,f(?2))
处的切线方程为
16x?y?20?0
.
19 34

19（浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )（本小题满分15分）已知函 数
f
?
x
?
?lnx
，
g
?
x< br>?
?e
x
．
20 34

（Ⅰ）若 函数
?
?
x
?
?f
?
x
?
?x?1
，求函数
?
?
x
?
的单调区间；
x ?1
（Ⅱ）设直线
l
为函数的图象上一点
A
?
x
0
,f
?
x
0
??
处的切线．证明：在区间
?
1,??
?
上存
在唯一的
x
0
，使得直线l与曲线y?g
?
x
?
相切．


21 34

结合零点存在性定理，说明方程
?
(x)?0
必在区间
(e,e
2
)
上有唯一的根，这个根就是所
求的唯一
x
0
．故结论成立．
20.(2012黄冈市模拟及答题适应性试理)（本题满分14分）已知函 数
11
f(x)?ln(?ax)?x
2
?ax.(a为常数，a?0)
22
1
（1） 求证：当
0?a?2时，f(x）在[,??)上是增函数；

2
1
若对任意的总存在
x
a?(1,2),
?[,1],
使不等式
f(x
0
)?m(1?a
2
)
成立，求实数m的取
．．．．
0
2
值范围。
21．
(湖北省八校2012届高三第一次联考理)（本小题满分14分）
22 34

已知函数
f(x)?
4x?a
的单调递增区间为
[m,n]

1?x
2
（1）求证
f(m)f(n)??4
；
（2）当
n?m取最小值时, 点P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
) (a?x
1
?x
2
?n)
是函数
f(x)
图象上< br>的两点，若存在
x
0
使得f
?
(x
0
)?< br>f(x
2
)?f(x
1
)
,求证x
1
?|x
0
|?x
2
.

x
2
?x
1
23 34

22．(湖北省八校2012届高三第一次联考理)（本小题满分12分）
设
f(x )?xlog
a
x?(1?x)log
a
(1?x)(a?1)

（1）判断
f(x)
的单调性；
（2）已知
m?n? 4,且m?0,n?0,求mlog
4
m?nlog
4
n
的最小值。

?mlog
4
m?nlog
4
n
的最小值为2. …………（12分）
24 34

23. (华中师大一附中2012届高考适应性考试理)（本小题满分14分）设函数

f(x)?? x
3
?2mx
2
?m
2
x?1?m(m??2)
的 图象在x=2处的切线与直线x－5y－12=0垂直．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的极值 与零点；（Ⅱ）设
g(x)?
1?x
?lnx
，若对任意
x
1
?[0,1]
，存在
kx
x
2
?(0,1]
，使
f(x
1
)?g(x
2
)
成立，求实数
k
的取值范围；(Ⅲ)若
a?0
，
b?0
，
c?0
，
且
a?b?c?1
，证明：
abc9

???
222
1?a1?b1?c10
25 34

2
4.. (湖北黄冈中学2012届高高考模拟理) (本小题满分14分) 已知函数
f(x)?lnax?
x?a
?
a?0
?

x
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
11
（Ⅱ）求证：对于任意正整数n，均有
1???
23
1e
n
；
??ln
（
e
为自然对数的底数）
nn!
（Ⅲ）当a
＝
1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数y
＝
f
（
x
）
的图象相切? 若存
在，有多少条?若不存在，说明理由．

26 34

25.. (湖北八校2012高三第二次联考文)

27 34

26.. (湖北省武汉市2012届高三下学期4月调研测试理)（本小题满分14分）
1
已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax在x＝－处的切线的斜率为1．
2
（Ⅰ）求a的值及f(x)的最大值；
111
（Ⅱ）证明：1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)（n∈N
*
）；
23n
（Ⅲ）设g(x)＝b(e
x
－x)，若f(x)≤g(x)恒成立，求实数 b的取值范围．

28 34

27. (湖北八校文2012届高三第二次联考)（本题满分14分）
29 34

已知函数f(x)=
1
2
mx?2x?1?ln(x?1)(m?1)
;< br>
2
(1)求y=f(x)在点P（0,1）处的切线方程；
（2）设g(x)=f(x)+x－1仅有一个零点，求实数m的值；
（3）试探究函数f( x)是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t,s],试求s－t
的取值范围？
若没有，请说明理由。
＝1＞0，∴h(x)=0在
(?1,??)
上一定存在两个不同的实数根s,t, ………………………12
30 34

分
28. （湖北襄阳五中 2012高三年级第二次适应性考试文）
（本题14分）已知函数
g(x)
?
x?sinx
=
（1）求
[?
是区间
??
,]
22
上的增函数．
?
的取值集合D；
g(x)
?t
2
?
?
t?1
?
x?[?1,1]
?
?D
t
（2）是否存在实数，使得对且恒成立；
lnx
?sinx?g(x)?x
2?(2e?
?
)x?k
x
（3）讨论关于x的方程的根的个数．


31 34

【原创预测】
1.
如 下左图是二次函数
f(x)?x?bx?a
的部分图象，则函数
g(x)?2lnx? f(x)
在点
（b,g(b)）处切线的斜率的最小值是
（ ）

A．1 B.
3
C.2 D.
22









O
1
x
1
O 2
3
x
y
2
y
－1
4
32 34

2a
2
2.设函数
f(x)?alnx?(a?0)
．
x
（Ⅰ）已知曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线
l
的斜率为
2?3a
，求实数
a
的值；
（Ⅱ）讨论函数
f(x)
的单调性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于 定义域内的任意一个
x
，都有
f(x)?3?x
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知
f(x)?lnx?
2
.
x
2
?x?3
.
x
设
g(x)?f(x)?(3 ?x)
，即
g(x)?lnx?
12x
2
?x?2(x?1)(x? 2)
g
?
(x)??
2
?1??(x?0)
. ………10分
22
xxxx
当
x
变化时，
g
?< br>(x)
，
g(x)
的变化情况如下表：
33 34

34 34