关于导数的29个典型模拟题

关于导数的29个典型习题
1
习题1设函数在
x?0
的某邻 域内
C
类(有一阶连续导数)，且
f(0)?0,f
?
(0)?0.
若
af(h)?bf(2h)?f(0)
在
h?0
时是比
h
高阶的无穷小，试确定
a,b
的值。
解 由题设知
lim[af(h)?bf(2h)?f(0)]?(a?b?1)f(0)?0
.
h?0
?f(0)?0,?a?b?1?0.
由洛比达法则知
af(h )?bf(2h)?f(0)
洛
af
?
(h)?2bf
?
( 2h)
0?lim?lim?(a?2b)f
?
(0).
?f
?
(0)?0,
故
a?2b?0.
联立可
h?0h?0
h1< br>解出
a?2,b??1.

?
g(x)?e
?x
?< br>,x?0
,
其中
g(x)
有二阶连续导数，且
g(0)?1, g
?
(0)??1
.(1) 求
f
?
(x);
(2) 讨论习题2 设
f(x)?
?x
?
x?0
?
0,
f
?
(x)
在(??,??)
上的连续性.
解 (1) 当
x?0
时，用公式有 < br>x[g
?
(x)?e
?x
]?g(x)?e
?x
xg
?
(x)?g(x)?(x?1)e
?x
f
?
(x)??,

x
2
x
2
当
x?0
时，用定义求导数，有
g(x)?e
?x

f
?
(0)?lim
x?0
x
2
(2) 因在
x?0
处有
?
xg
?
(x)?g(x)?(x?1) e
?x
,x?0
二次洛
g
?
?
2
?
(0)?1
x
?.

?f
?
(x)?
?
??
2
?
g(0)?1
,x?0.
?
2

g
?
(x)?xg
??
(x)?g
?
(x)?e
? x
?(x?1)e
?x
limf
?
(x)?lim
x?0x ?0
2x

?x
????
g(x)?eg(0)?1
?li m??f
?
(0).
x?0
22
洛
而
f
?
(x)
在
x?0
处连续，故
f
?
(x)?C(?? ,??).

dy
[1?()
2
]
2
2222dx
习题3 证明：若
x?y?ax?by?c?0
（圆），其中
a,b ,c
为定数
(a?b?4c?0),
则
?
定数。
d< br>2
y
d
2
x
2x?a
2(1?y
?
2
)
2
.
再导一次，
2?2yy
??
?2y?
?by
??
?0,
即
y
??
??
证 求导，
2x?2yy
?
?a?by
?
?0,
即
y
?
??
.

2y?b
2y?b
3?
(1?y
?
)11
2
?...??(2y?b)1?y
?
2
?...??a?b
2
?4c.(定数)

y
??
22
1 8
3
2
2

注
1
2
a?b
2
?4c
恰是圆
x
2
?y
2
?ax?by?c?0< br>的半径.
2
x???x???
习题4 证明：若
f(x)
在
(a,??)
内可导，且
lim[f(x)?f
?
(x)]?0,< br> 则
limf(x)?0.

证 作辅助函数
F(x)?f(x)e< br>x
,G(x)?e
x
,
应Cauchy中值定理.
?
lim[f(x)?f
?
(x)]?0,??
?
?0,?A?0,?x?A ?f(x)?f
?
(x)?
?
.
x???
?x?A
,由Cauchy中值定理有
f(x)?f(A)e
A?x
f(x)e
x?f(A)e
A
F(x)?F(A)F
?
(
?
)
??f(
?
)?f
?
(
?
)

?,A?
?
?x
（显然
G
?
(
?
)?0
） 或
A?xxA
?
1?ee?e
G(x)?G(A)G(
?
)
或
f(x)?f(A)?e
A?x
?f(
?
)?f
?
(
?
)?(1?e
A?x
)......(*)

因
lime
x???
A?x
?0,
即
?A1
?A,?x?A
1
?e
A?x
?
?
,与e< br>A?x
?1.

x???
于是，
?x?A
1
?f(x)?f(A)?
?
?2
?
.即
limf(x)?0.

习题5 设
f(x)
在
[a,??)
上有二阶导数，且
f(x)?M
0
,

0?f
??
(x)?M
2
(a?x???).
证明
f
?
(x)?2M
0
M< br>2
.

证
?x?[a,??)
以及任意
h?0,x?h?(a,??)
，则有
f(x?h)?f(x)?f
?
(x)h?
1
f
??
(< br>?
)h
2
,
?
?[x,x?h].
即
2!

f
?
(x)?
1h
[f(x?h)?f( x)]?f
??
(
?
),
?
?[x,x?h].

h2
2M
0
h
?M
2
,x?[a,??),h?0 .
下面求
h,
使
h2
由题设知
f
?
(x )?
g(h)?
2M
0
h
?2M
0
1
4M
0
M
0
??
?M
2
为最小。为此令
g?
(h)??M?0,g(h)??0,
故知解出而
h?2,
2
0
h2h
2
2h
3
M
2
g(h)
在
h
0
处为最小.
g(h
0
)?2M
0
M
2
.
从而可知
f
?
(x)?2M
0
M
2
,x?[a,??).( ??h?0,f
?
(x)?g(h),故f
?
(x)?g(h
0))

习题 6 设函数
f(x)?C[0,1].
在
(0,1 )
内可导，且
f(0)?0,f(1)?1.

试证
?正数a,b,?
?
,
?
?(0,1),
使得
ab
??a?b.

??
f(
?
)f(
?
)
证 取数
?
?(0,1).
由介值定理知
?c?(0,1),
使
f(c)?
?
.
在区间
[0,c]与[c，1]
上分别应用微分中值定理有
2 8

f(c)?f(0)
?
?,0?
?
?c,
c?0c
f(1)?f(c)1?
?
f
?
(
?
) ??,c?
?
?1,
?
?
?

1?c1?c
?
?
?(0,1),?
?
?0,1?
?
?0.即f
?
(
?
)?0,f
?
(
?
)?0.
f< br>?
(
?
)?
从而
ababb
?
?c(a? b
?
?a
?
)
????.
显然,当取
?
1?
?
f
?
(
?
)f
?
(
?)
?
(1?
?
)
c1?c
ab
?
?,
则
1?
?
?,
且
?
,1?
?
?(0,1).
代入得
a?ba?b
ab
??a?b.

??
f(
?
)f(
?
)

习题7 求
f(x)?x
2
ln(1?x)
在
x?0
处的100 阶导数值。
x
4
x
5
x
100
??...??o (x
100
)
.故 解 由Taylor公式有
f(x)?x?
23 98
3
100!
??990?(97!).

98
4
22
习题8 设
e?a?b?e
2
,
证明
lnb?lna?
2
(b?a).

e

1
(100)
1
f(0)??.
100!98
?f
(100)
(0)??
证 设
f(x)?lnx,
应用Lagrange中值定理有
2
ln
2
b?ln
2
a?
则
?
?
(t)?
2ln
?
?
(b?a),a?
?
?b.
又设
?
(t)?
lnt
,

t
1?lnt
,
当
t?e
时,
?
?
(t)?0,
此时
?
(t)
单减.从而
t
2
2
lne
2
24
?
2
?
2
.?ln
2
b?ln
2
a?
2
(b?a).

?
(
?
)?< br>?
(e),
即
?
eee
ln
?
习题10 设
f(x),g(x)
在
(??,??)
内有定义，
f
?< br>(x),f
??
(x)
存在，且满足
f
??
(x)? f
?
(x)g(x)?f(x)?0.
如果
f(a)?f(b)?0(a?b),
求证
f(x)?0,a?x?b.

证
?f(x)?C[a,b],
故
?
?
,
?
?[a,b],
使
f(
?< br>)?M?max{f(x)},f(
?
)?m?min{f(x)}.
欲证 < br>[a,b]
[a,b]
f(x)?0,a?x?b.
只需证明
M?m? 0.
反证法，若
M?0,
则
?
?(a,b)?f
?
(
?
)?0,
又
f(
?
)
为极大，故
f< br>??
(
?
)?0.
但另一方面
f
??
(< br>?
)??f
?
(
?
)g(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?M?0,
矛盾。故知
M?0.
若
m?0,
则仿上面的证明，有
f
?
(
?
)?0,f
??
(
?
)?0.
另一方面
f
??
(
?
)??f
?
(
?
)g(
?
)?f(
?)?m?0,
矛盾。故
m?0.
命题得证。
3 8

习题11设
f(x)?C[a,b],
在
(a,b)
内二阶可导，又 设联结两点
(a,f(a)),(b,f(b))
的直线与曲线
y?f(x)
相交于点
(c,f(c))
，求证：在
(a,b)
内至少存在一点
?
,
使
f
??
(
?
)?0.

证 对
f(x)
在
[a,c],[c,b]
上分别应用Lagrange中值定理 ，
?
?
1
?(a,c),
?
2
?(c,b),使
f(c)?f(a)f(b)?f(c)
?f
?
(
?
1
),?f
?
(
?
2
)

c?ab?c< br>由于三点
(a,f(a)),(c,f(c)),(b,f(b))
在同一直线上，所以
f(c)?f(a)f(b)?f(c)
?,?f
?
(
?
1
)?f
?
(
?
2
).
再对
c?ab?c< br>y?f
?
(x)
在
[
?
1
,
?2
]
上应用Rolle定理可得：
?
?
?(
?
1
,
?
2
),
使
f
??
(
?)?0.

习题12 设
a?b?c,f(x)
在
[a,c]
上有二阶导数
f
??
(x),
试证
?
?
?(a,c),
使得
f(a)f(b)f(c)1
???f
??
(< br>?
)

(a?b)(a?c)(b?a)(b?c)(c?a)(c?b)2
证 令
F( x)?
(x?b)(x?c)f(a)(x?a)(x?c)f(b)(x?a)(x?b)f(c)< br>???f(x)

(a?b)(a?c)(b?a)(b?c)(c?a)(c?b)< br>则
F(x)
在
[a,c]
上二阶可导，且
F(a)?F(b) ?F(c)?0.
对
F(x)
在
[a,b],[b,c]
上分别应用 Rolle定理，
?
?
1
?(a,b),
?
2
?( b,c),
使
F
?
(
?
1
)?0,F
?< br>(
?
2
)?0.
对
F
?
(x),
由 于
F
?
(x)
在
[
?
1
,
?2
]
上可导，再用Rolle定理，
?
?
?[
?
1
,
?
2
]?(a,c),
使得
F
??
(
?
)?0.
而
F
??
(x)?
2f(a)2f (b)2f(c)
???f
??
(x)

(a?b)(a?c)(b ?a)(b?c)(c?a)(c?b)
令
x?
?
,
即得所求证的等 式。
习题13 设
f(x)
二阶可导，且
f(0)?f(1)?0,min f(x)??1.
求证
maxf
??
(x)?8.

x?[0,1]
x?[0,1]
证
?f(x)
二阶可导，
?f(x)?C[0,1],
且可导，由闭区间上连续函数的性质，
?c?(0,1),
使
f(c)??1
为最小值，
且
f
?
(c)?0.
再由Taylor公式有
f(x)?f(c)?f
?
(c)(x?c)?
11
f
??
(
?
)(x?c)
2
??1?f
??
(
?
)(x?c)
2
,

22
其中
?
介于
c
与
x
之间，分别取
x?0,x?1,得
f(0)??1?
1112
f
??
(
?
0
)c
2
?0,f(1)??1?f(
?
1
)(1?c)2
?0.
当
c?(0,]
时，由前式推出
f
??
(
?
0
)?
2
?8;
当
222c
12
c?[,1)
时，由后式推出
f
??
(
?
1
)??8,
由此即得
maxf
??
(x)?8.

x?[0,1]
2
(1?c)
2
1?ppp
习题14 设
0?x?1,p?1.
试证
2?x?(1?x)?1.

ppp?1p?1
证 令
f(x)?x?(1?x),x?[0,1].
则< br>f(x)
在
[0,1]
上连续，在
(0,1)
内可导，且f
?
(x)?p[x?(1?x)].
由
4 8

11
f
?
(x)?0
得唯一驻点
x?.
由于
f (0)?1,f(1)?1,f()?2
1?p
(?1).?f(x)
在
[0 ,1]
上的最大值为1，最小值为
22
2
1?p
.
于是2
1?p
?x
p
?(1?x)
p
?1.

习题15 设
f(x)
在
[a,b]
上二阶可导，
f
?
(a)?0,f
?
(b)?0,
则在
(a,b)
内必存 在一点
?
,
使
f
??
(
?
)?
4
f(b)?f(a).

(b?a)
2
a?b
,
即
2
证 将
f(x)
在
x?a
处展开，令
x?f(
f
??
(
?
1
)
a?ba?ba?ba? b
)?f(a)?f
?
(a)(?a)?(?a)
2
,
?< br>1
?(a,)
类似
f(x)
在
x?b
处展开，令22222
x?
a?b
,
则有
2
a?ba?bf??
(
?
2
)a?ba?b
f()?f(b)?f
?< br>(b)(?b)?(?b)
2
,
?
2
?(,b)
22 222
?
f
?
(a)?f
?
(b)?0,
a?bf
??
(
?
1
)b?a
2
a?bf
??(
?
2
)b?a
2

?f()?f(a)?(),f( )?f(b)?().
222222
f
??
(
?
1
)?f
??
(
?
2
)(b?a)
2
?,
所以 相减得
f(b)?f(a)?
24
f
??
(
?1
)?f
??
(
?
2
)
(b?a)
2
(b?a)
2
f(b)?f(a)???f
??
(
?
),
其中
244
?
?
1
，当f
??
(
?
1
)?f
??
(
?
2
)
??
?
，即在
(a,b)
内存在一点
?
，使
????
?
,当f(
?
)?f(
?
)
12
?
2

f
??
(
?
)?
4
f(b)?f(a).

2
(b?a)
习题16设
f(x)
在
[0,2]
上 二阶可导，且
f(x)?1,f
??
(x)?1,
证明
f
?
(x)?2.

证 将
f(x)
在
x
点展开，求出
f(2),f(0)
的值：
f
??
(
?
1
)
(2?x)
2
,
?
1
?(0,2)
2
f
??
(
?
2
)
f(0)?f(x)?f
?
(x)(0?x)?(0?x)
2< br>,
?
2
?(0,2)
相减
2
1
f(2)? f(0)?2f
?
(x)?[f
??
(
?
1
)(2 ?x)
2
?f
??
(
?
1
)x
2
],
因此
2
1
2f
?
(x)?f(0)?f(2)?[f
??
(
?
1
)(2?x)
2
?f
??(
?
1
)x
2
],
因为
2
1?
??
2f(x)?2?[(2?x)
2
?x
2
]?( x?1)
2
?3,
故有
f(x)?1,f(x)?1,
2
f (2)?f(x)?f
?
(x)(2?x)?
5 8

< br>当
0?x?2
时，
(x?1)
2
?3?4,?2f
?
(x)?4,
即
f
?
(x)?2.

习题17 设
f(x)
在
[0,1]
上二阶可导，且其最大值在
(0,1)
内达到：
maxf(x)?
x?[a,b]
1
,f
??
( x)?1.
试证
4
f(0)?f(1)?1.

证(类似方法处理， 先将
f(x)
在某点展开，再将0,1分别代入
x
)
设
x ?a(?1)
是
f(x)
的最大值点，则有
f
?
(a)?0
且
f(a)?
1
.
应用Taylor公式有
4
f (0)?f(a)?f
?
(a)(0?a)?
?
f
??
(< br>?
1
)
(0?a)
2
2
1f
??
(
?
1
)
2
?a,o?
?
1
?a
4 2
因此
f
??
(
?
2
)
f(1)?f( a)?f
?
(a)(1?a)?(1?a)
2
2
1f
??< br>(
?
2
)
??(1?a)
2
,a?
?
2
?1
42
1
f
??
(
?
1
)
2
11
2
f(0)??a??a,
4242

??
1
f(
?
2
)
11
f(1)??(1?a)
2
??(1?a)
2
,
4242
11
2
?[a? (1?a)
2
]?1?a
2
?a?1,?0?a?1

22
1
3
习题22 设
f(x)?C[0,1],
且
f(0)?1,f(1)?2,f
?
()?0.
证明
?
?
?(0,1),
使
f
???
(
?
)?24.
2
1
（提示：用三阶Taylor公式，将
f(x)
在
x?处展开，然后分别用0,1代
x
,相减，利用条件便有
2
1
f
???
(
?
1
)?f
???
(
?
2
)?1.
即
f
???
(
?
1
)?f???
(
?
2
)?48.
于是
48
于是 < br>f(0)?f(1)?
2max
?
f
???
(
?1
),f
???
(
?
2
)
max
?< br>f
???
(
?
1
),f
???
(
?
2
)
?
?f
???
(
?
1
)?f
???
(
?
2
)?48
，即
f
???
(
?
)?24.
）
?
?24. ?
在(0,1)内至少存在一点
?
,
使
第七节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1． 增量：变量
x
从初值x
1
变到终值
x
2
，终值与初值的差叫变量
x
的增量，记作
?x
，即
?x
＝
x
1
－
x< br>2
。
（增量可正可负）。
例1 分析函数
y?x
2
当
x
由
x
0
?2
变到
x
0
?? x?2.05
时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义
定义１：设函 数
y
＝
f(x)
在点
x
0
的某个邻域内有定义，如 果自变量
x
的增量
?x
=
x?x
0
趋向于零时，< br>对应的函数增
?y
＝
f(x)?f(x
0
)
也趋向于 零，则称函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
处连续。
6 8

定义２：设函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
的某个邻域内有定义，如果函数
f(x)
当
x?x
0
时的极限存在，即
x?x
0
limf(x)?f(x
0< br>)
，则称函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
处连续。
定义3：设函数
y
＝
f(x)
在点
x0
的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数
?
，总存在正数
?
，
使得对于适合不等式
x?x
0
?
?
的一切
x< br>，所对应的函数值
f(x)
都满足不等式：
f(x)?f(x
0
)?
?
，则
称函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数
f(x)在点
x
0
连续，必须同时满足下列三个条件：
（1） 函数
y< br>＝
f(x)
在点
x
0
的某个邻域内有定义（函数
y< br>＝
f(x)
在点
x
0
有定义），（2）
limf( x)
存
x?x
0
在；（3）
limf(x)?f(x
0)
。
x?x
0
3．函数
y
＝
f(x)< br>在点
x
0
处左连续、右连续的定义：
f(x)?f(x
0
)
（即 （1）函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
处左连续?
f(x)
在
?x
0
?
?
,x
0
?
内有定义，且
li m
?0
x?x
0
。
f(x
0
?0)?f(x0
)
）
f(x)?f(x
0
)
（即 （2）函数y
＝
f(x)
在点
x
0
处右连续?
f(x)< br>在
?
x
0
,x
0
?
?
?
内 有定义，且
lim
?0
x?x
0
。
f(x
0
?0)?f(x
0
)
）
显然，函数y
＝
f(x)
在点
x
0
处连续?函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
处既左连续又右连续。
(3)、 函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
处连续是
li mf(x)
存在的充分条件，而非必要条件。
x?x
0
3、函数在区间上连续的定义
定义4：如果函数
y
＝
f(x)
在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右
连续，在右端点处左连续），则称函数
y
＝
f(x)
在该区间上是连续的。
例1：讨论下列函数在区间
(??,??)
内的连续性
（1）
f(x)?x
2

（2）
f(x)?cosx

（3）
f(x)?e
x

?
sin2x
?
例2：设
f(x)?
?
x
2
?
?
x?a
x ?0
x?0
，试确定
b
的值，使函数
f(x)
在
x ?0
处连续。
二、函数的间断点
7 8

（一）．间断 点概念：设函数
f(x)
在
U(x
0
,
?
)
内有定义（在点
x
0
处可以无定义），如果函数
f(x)
在点x
0
处不连续，则称点
x
0
为函数
f(x)
的 一个间断点（或不连续点）。
函数
f(x)
在点
x
0
连续： 函数
f(x)
在点
x
0
不连续：
（1）函数
f(x)
在点
x
0
有定义， （1*） 函数
y
＝
f(x)
在点
x
0
没有定义
（2）
limf(x)
存在； （2*）
limf(x)
不存在
x?x
0
x?x
0
?
（3）
limf(x)?f(x
0
)
（3 *）
limf(x)
存在，但
f(x)
在点
x
0
没有定义， 或
limf(x)?f(x
0
)

x?x
0
x?x
0
x?x
0
（二）.间断点的分类
设
x
0
为函数
f(x)
的一个间断点，
1、第一类间断点
f(x
0
?0)
，
f(x
0< br>?0)
都存在，
（1）若
f(x
0
?0)
=f(x
0
?0)
，即
limf(x)
存在，此类间断点称为可去 间断点。
x?x
0
函数
f(x)
在点
x
0
无定义，函数
f(x)
在点
x
0
有定义，但
limf(x )?f(x
0
)
。
x?x
0
（2）若
f(x0
?0)
?
f(x
0
?0)
，即
limf(x )
不存在，此类间断点称为跳跃间断点。
x?x
0
2. 第二类间断点
f(x
0
?0)
与
f(x
0
?0)
中至少 有一个不存在。其中有两类特殊的间断点：无穷
间断点和振荡间断点。
例3：讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型
sin2x
（1）
f(x)?

x
1
（2）
f(x)?arctan

x
x
2
?1
（3）
f(x)?
2

x?3x?2
1
（4）
f(x)?sin

x

8 8