2019高考数学文一轮分层演练：第3章导数及其应用第3讲含解析

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。



2019高考数学文一轮分层演练：第3章导数及其应用第
3讲含解析



1．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )

A．－4
C．4
B．－2

D．2

解析：选 D.由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，
当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，
2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递 减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增，所以a＝2.

2．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x
等于( )

A.
C.
B.
9

D.
9

28
10
解析：选C.函数f(x)的图象过原点 ，所以d＝0.又f(－1)＝0
且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b ＝－1，c＝－
2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题 意
知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所
以x1＋x2 ＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.

3．(2018· 山西模拟)已知函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子 何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣 耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一 字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解 说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

则下列说法错误的是( )

A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间

B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间

C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值

D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值

解析：选C.由函数y＝f(x)导函数的图象可知：

当x<－1及3
当－15时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)；

单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，

f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，

故选项C错误，故选C.

4．(2018·陕西质量检测(一))设函数f(x)＝xsin x在x＝x0处
取得极值，则(1＋x)(1＋cos 2x0)的值为( )

A．1
C．－2
B．－1

D．2

解析：选D.f′(x)＝sin x＋xcos x，令f′(x)＝0得tan x＝
－x，所以tan2x0＝x，故(1＋x)(1＋cos 2x0)＝(1＋
tan2x 0)·2cos2x0＝2cos2x0＋2sin2x0＝2，选D.

5．(2018·福 建福州八中第六次质检)已知函数f(x)＝ex－(x＋
1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是( )

解析：选C.对f(x)＝ex－(x＋1)2 求导得f′(x)＝ex－2x－2，
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易 伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书 可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记， 只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余 尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

显然x→＋∞时，导函数f′(x)>0，函数f (x)是增函数，排除A，D；
x＝－1时，f′(－1)≠0，所以x＝－1不是函数的极值点，排除 B，
故选C.

6．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极 值点，
则实数a的取值范围为( )

A．(1，4]
C．[1，4)
B．[2，4]

D．[1，2]

解析：选C.因为f′(x)＝ 3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0
在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f( x)没有极值点，不符
合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与< br>f(x)的变化情况如下表所示：

x
f′(x)
f(x)
(－∞，－a)
＋
－a
0
极大值
(－a，a)
－
a
0
极小值
(a，＋∞)
＋


因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得
1≤a<4 .选C.

二、填空题

7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9， 若x＝－3是函数f(x)的
一个极值点，则实数a＝________．

解析：f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax
＋3＝0的根，所以3×(－ 3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.

答案：5

8．已知函数 f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1，0)点，
则f(x)的极大值与极小值的和为_ _______．

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者 易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰 ：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书 ......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多 诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读 书有三到，谓心到，眼到，口到。

解析：由题意知，f′(x)＝3x2－2px－q，由f ′(1)＝0，f(1)
＝0得解得所以f(x)＝x3－2x2＋x，由f′(x)＝3x2－4x＋ 1＝0，得
x＝或x＝1，易得当x＝时，f(x)取极大值，当x＝1时，f(x)取极小
值 0.

所以f(x)的极大值与极小值的和为.

答案：
27

9．已知函数f(x)＝(k≠0)，则函数f(x)的极值为________．

解析：f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，

则f′(x)＝－.

令f′(x)＝0，得x＝1，当k>0时，若00；

若x>1，则f′(x)<0，

所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋ ∞)上单调递减，即当
x＝1时，函数f(x)取得极大值.

当k<0时，若0
若x>1，则f′(x)>0，

所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋ ∞)上单调递增，即当
x＝1时，函数f(x)取得极小值.

答案：
k

10．若函数f(x)＝xln x－x2－x＋1(a＞0)有两个极值点，则a
的取值范围为________．

解析：因为f(x)＝xln x－x2－x＋1(x>0)，

所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0，

邴原少孤，数岁时，过 书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其 得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可 误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云 ，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
得一阶导函数有极大值点x＝，

由于x→0时，f′(x)→－∞；

当x→＋∞时，f′(x)→－∞，

因此原函数要有两个极值点，只要f′＝ln －1>0，解得0
0
，
?

答案：
?
?
e
?
1
三、解答题

11．已知函数f(x)＝ax2－bln x在点A(1，f(1))处的切线方程
为y＝1.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数f(x)的极值．

解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝2ax－，

f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，

将a＝1代入2a－b＝0，

解得b＝2.

(2)由(1)得f(x)＝x2－2ln x(x>0)，

所以f′(x)＝2x－＝，

令f′(x)>0，解得x>1，

令f′(x)<0，解得0
所以f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，

所以f(x)极小值＝f(1)＝1，无极大值．

12．(2018·石家庄模拟) 已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原 曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻 然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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