高中数学补集符号读法-百度网盘 高中数学邓诚
凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不
可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自
晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
2019高考数学文一轮分层演练：第3章导数及其应用第
3讲含解析
1．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4
C．4
B．－2
D．2
解析：选
D.由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，
当x∈(－∞，－2)时，f
′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，
2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递
减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
函数f(x)单调递增，所以a＝2.
2．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x
等于(
)
A.
C.
B.
9
D.
9
28
10
解析：选C.函数f(x)的图象过原点
，所以d＝0.又f(－1)＝0
且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b
＝－1，c＝－
2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由题
意
知x1，x2是函数的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所
以x1＋x2
＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.
3．(2018·
山西模拟)已知函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子
何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣
耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一
字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解
说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
则下列说法错误的是(
)
A．(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间
B．(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间
C．函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D．函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
解析：选C.由函数y＝f(x)导函数的图象可知：
当x<－1及3
当－1
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，5)；
单调递增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，
f(x)在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，
故选项C错误，故选C.
4．(2018·陕西质量检测(一))设函数f(x)＝xsin
x在x＝x0处
取得极值，则(1＋x)(1＋cos 2x0)的值为( )
A．1
C．－2
B．－1
D．2
解析：选D.f′(x)＝sin x＋xcos x，令f′(x)＝0得tan
x＝
－x，所以tan2x0＝x，故(1＋x)(1＋cos 2x0)＝(1＋
tan2x
0)·2cos2x0＝2cos2x0＋2sin2x0＝2，选D.
5．(2018·福
建福州八中第六次质检)已知函数f(x)＝ex－(x＋
1)2(e为2.718
28…)，则f(x)的大致图象是( )
解析：选C.对f(x)＝ex－(x＋1)2
求导得f′(x)＝ex－2x－2，
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易
伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书
可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，
只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余
尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
显然x→＋∞时，导函数f′(x)>0，函数f
(x)是增函数，排除A，D；
x＝－1时，f′(－1)≠0，所以x＝－1不是函数的极值点，排除
B，
故选C.
6．若函数f(x)＝x3－3ax在区间(－1，2)上仅有一个极
值点，
则实数a的取值范围为( )
A．(1，4]
C．[1，4)
B．[2，4]
D．[1，2]
解析：选C.因为f′(x)＝
3(x2－a)，所以当a≤0时，f′(x)≥0
在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增，f(
x)没有极值点，不符
合题意；当a>0时，令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与<
br>f(x)的变化情况如下表所示：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，－a)
＋
－a
0
极大值
(－a，a)
－
a
0
极小值
(a，＋∞)
＋
因为函数f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得
1≤a<4
.选C.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，
若x＝－3是函数f(x)的
一个极值点，则实数a＝________．
解析：f
′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知x＝－3为方程3x2＋2ax
＋3＝0的根，所以3×(－
3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
答案：5
8．已知函数
f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1，0)点，
则f(x)的极大值与极小值的和为_
_______．
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者
易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰
：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书
......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多
诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读
书有三到，谓心到，眼到，口到。
解析：由题意知，f′(x)＝3x2－2px－q，由f
′(1)＝0，f(1)
＝0得解得所以f(x)＝x3－2x2＋x，由f′(x)＝3x2－4x＋
1＝0，得
x＝或x＝1，易得当x＝时，f(x)取极大值，当x＝1时，f(x)取极小
值
0.
所以f(x)的极大值与极小值的和为.
答案：
27
9．已知函数f(x)＝(k≠0)，则函数f(x)的极值为________．
解析：f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，
则f′(x)＝－.
令f′(x)＝0，得x＝1，当k>0时，若0
若x>1，则f′(x)<0，
所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋
∞)上单调递减，即当
x＝1时，函数f(x)取得极大值.
当k<0时，若0
若x>1，则f′(x)>0，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋
∞)上单调递增，即当
x＝1时，函数f(x)取得极小值.
答案：
k
10．若函数f(x)＝xln
x－x2－x＋1(a＞0)有两个极值点，则a
的取值范围为________．
解析：因为f(x)＝xln x－x2－x＋1(x>0)，
所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0，
邴原少孤，数岁时，过
书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其
得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可
误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云
，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
得一阶导函数有极大值点x＝，
由于x→0时，f′(x)→－∞；
当x→＋∞时，f′(x)→－∞，
因此原函数要有两个极值点，只要f′＝ln
－1>0，解得0
0
，
?
答案：
?
?
e
?
1
三、解答题
11．已知函数f(x)＝ax2－bln
x在点A(1，f(1))处的切线方程
为y＝1.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2ax－，
f(1)＝a＝1，f′(1)＝2a－b＝0，
将a＝1代入2a－b＝0，
解得b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝x2－2ln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)>0，解得x>1，
令f′(x)<0，解得0
所以f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，
所以f(x)极小值＝f(1)＝1，无极大值．
12．(2018·石家庄模拟)
已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原
曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻
然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可 牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓 其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
对数的底数，a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a＞ln ，且x＞0时，＞x＋－3a.
解：(1)由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln 3，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，ln 3)
－
ln 3
0
3(1－ln 3＋a)
(ln 3，＋∞)
＋
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 3]，
单调递增区间是[ln 3，＋∞)，
f(x)在x＝ln 3处取得极小值，极小值为f(ln 3)＝eln 3－3ln
3＋3a＝3(1－ln 3＋a)．无极大值．
(2)证明：待证不等式等价于ex＞x2－3ax＋1，
设g(x)＝ex－x2＋3ax－1，x＞0，
于是g′(x)＝ex－3x＋3a，x＞0.
由(1)及a＞ln ＝ln 3－1知：
g′(x)的最小值为g′(ln 3)＝3(1－ln 3＋a)＞0.
于是对任意x＞0，都有g′(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)内单
调递增．
于是当a＞ln ＝ln 3－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)
＞g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.
即ex＞x2－3ax＋1，故＞x＋－3a.
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师 曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤 感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不
可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则
不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
1．(2018·威海调研)已知函数f(x)＝＋ax，x>1.
(1)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，求函数f(x)的极小值．
解：(1)因为f(x)＝＋ax，x>1.所以f′(x)＝＋a.
由题意可得f
′(x)≤0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤－＝－，
对x∈(1，＋∞)恒成立．
因为x∈(1，＋∞)，所以ln x∈(0，＋∞)，
所以－＝0时，函数t(x)＝－的最小值为－，所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
(2)当a＝2时，f(x)＝＋2x，f′(x)＝＝由得x＝e.
f(x)与f′(x)在(1，＋∞)上的情况如下表：
x
f′(x)
f(x)
1
??
?
1
，
e
2
?
－
1
e
2
0
1
?
极小值f
?
?
e
2
?
?
1
?
?
e
2
，＋
∞
?
＋
所以f(x)极小值＝f＝＋2e＝4.
2．(2018·温州市普通高中高三模考
)设a∈R，函数f(x)＝ax3
＋＋x＋1，g(x)＝ex(e是自然对数的底数)．
(1)证明：存在一条定直线l与曲线C1：y＝f(x)和C2：y＝g(x)
都相切；
(2)若f(x)≤g(x)对x∈R恒成立，求a的值．
解：(1)证明：
函数f(x)，g(x)的导数分别为f′(x)＝3ax2＋x
＋1，g′(x)＝ex，
注意到对任意a∈R，f(0)＝g(0)＝1，f′(0)＝g′(0)＝1，故
邴原少孤，
数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤
，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不
可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍
，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
存在定直线l：y＝x＋1与曲线C1：y＝f(x)和C2：y＝g(x)都相切．
(2)设函数F(x)＝e－x，则对任意x∈R，都有F(x)≤1，
因为对任意a∈R，都有F(0)＝1，故x＝0为F(x)的极大值点，
F′(x)＝(3ax2＋x＋1)e－x－e－x
＝x2e－x，
记h(x)＝－ax＋3a－，则F′(x)＝h(x)(x2e－x)，注意到在x
＝0的附近，
恒有x2e－x>0，
故要使x＝0为F(x)的极大值点，必须h(0)＝0，
即3a－＝0，从而a＝，
又当a＝时，F′(x)＝－x3e－x，
则当x∈(－∞，0)时，F′(x)>0，当x∈(0，＋∞)时，F′(x)<0，
于是F(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
故F(x)max＝F(0
)，综上所述，a＝.
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，
贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳
原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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