常用的基本求导公式

1．基本求导公式
⑴
(C)
?
?0
（C为常数）⑵
(x
n
)
?
?nx
n?1
；一般地，
(x
?
)
?
?
?
x
?
?1
。
11
1
特别地：
(x)
?
?1
，
(x
2
)
?
?2x
，
()
?
??
2
，
(x)
?
?
。
x
x
2x
⑶
(e
x
)
?
? e
x
；一般地，
(a
x
)
?
?a
x
lna (a?0,a?1)
。
⑷
(lnx)
?
?
；一般地，
(log
a
x)
?
?
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则
设f(x)，g(x)均在点x可导，则有：（Ⅰ）
(f(x)?g(x))< br>?
?f
?
(x)?g
?
(x)
；
(f(x )g(x))
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x )
，
)
C为常数）（Ⅱ）特别
(Cf(x))
?
?Cf?
(x
（；
1
x
1
(a?0,a?1)
。
xlna
（Ⅲ）
(
f(x)f
?< br>(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
1g
?
(x)
?
，特别。
)
?
?, (g(x)?0)()??
2
2
g(x)
g(x)
g(x)
g(x)
3．微分 函数
y? f(x)
在点x处的微分：
dy?y
?
dx?f
?
(x)d x

常用的不定积分公式
1
?
?1
x
2
x
3
2
?
xdx?
?
?1
x?C (
?< br>??1),
?
dx?x?c,
?
xdx?
2
?c,< br>?
xdx?
3
（1） ；
4
x
3
xdx? ?c
?
4
?
1
（2）
?
dx?ln|x|?C
；
x
a
x
?
edx?e?C
；
?
adx?
lna
?C (a?0,a?1)
；
xxx
（3）
?
kf(x)dx?k
?
f(x)dx
（k为 常数）
5、定积分
?
b
a
f(x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)

⑴
?
b
a
[ k
1
f(x)?k
2
g(x)]dx?k
1
?
f( x)dx?k
2
?
g(x)dx

aa
bb
⑵ 分部积分法
设u(x)，v(x)在[a，b]上具有连续导数
u
?
(x) ,v
?
(x)
，则
第 1 页 共 17 页

?
u(x)dv(x)?u(x)v(x)
a
b
b
a
?
?
v(x)du(x)

a
b
6、线性代数
特殊矩阵的概念
?
10
?
0
?
?
01< br>?
0
?
?
00
?
?
二阶、单位矩阵
I
n
?
?
?
?
,
（2）
?
?????
?
?
00
?
??
00
?
1< br>??
（1）、零矩阵
O
2?2
?
10
?
I
2?2
?
??
,

01
??
?
a
1
0
?
0
?
2
??
21
?
0a
?
0
?
2
?

?
(4)、
1?3?5
(3)、对角矩阵
A?
?
对称矩阵
a
ij
?a
ji
,A?
?
??
?
????
?
?
??
?
2?57
?
?
000a
n
???
a
11
?
0
(5)、上三角形矩阵
A?
?< br>?
?
?
?
0
?
a
1
0
?< br>0
?
?
0a
?
0
?
2
?

A?
?
?
????
?
??
000a
n??
?
a
11
?
a
(6)、矩阵转置
A??
21
?
?
?
?
a
n1
a
1 2
a
22
?
a
n2
?
a
1n
??
a
11
?
a
?
a
2n
?
?
转置后
A
T
?
?
12
?
???
?
??
?
a
nn
??
a
1n
a
21
?
a
n1
?
a
22
?
a
n2
?
?

???
?
?
a
2n
?
ann
?
?
a
1n
?
a
22
?
a
2n
?
?
下三角形矩阵
???
?
?
00 a
nn
?
a
12
6、矩阵运算
A?B?
??
ab
??
e
AB?
???
?
cd
? ?
g
?
ab
??
e
?
??
?
cd
??
g
f
??
a?eb?f
?

?
???
h
??
c?gd?h
?
f
??
ae?bg af?bh
?
?
??

h
?
ce?dgcf?dh
???
7、MATLAB软件计算题
例6 试写出用MATLAB软件求函数
y?ln(x?x
2
?e
x
)
的二阶导数
y
??
第 2 页 共 17 页

的命令语句。
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
例：试写出用MATLAB软件求函数
y?ln(x ?e
x
)
的一阶导数
y
?
的命
令语句。
>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x)+exp(x));
>>dy=diff(y)
例11 试写出用MATLAB软件计算定积分
?
1
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1x)*exp(x^3);
>>int(y,1,2)
例 试写出用MATLAB软件计算定积分
?
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=(1x)*exp(x^3);
>>int(y)
MATLAB软件的函数命令
第 3 页 共 17 页
2
1
x
3
edx
的命令语句。
x
1
x
3
edx
的命令语句。
x

表1 MATLAB软件中的函数命令
函数
MATLAB
x
a

x^a

x

e
x

lnx

lgx

x

log
2
x

sqrt(x)

exp(x)

log(x)

log10(x)

log2(x)

abs(x)

运算符号
运算符
功能

典型例题
例1 设某物资要从产地 A
1
，A
2
，A
3
调往销地B
1
，B2
，B
3
，B
4
，运
输平衡表（单位：吨）和运价表（ 单位：百元吨）如下表所示：
运输平衡表与运价表
销地
产地
A
1
A
2

A
3

B
1
B
2
B
3
B
4







6



5



6
供应
量
7
4
9
20
B
1
B
2
B
3
B
4

3
1
7

11 3
9
4

2
11
8
+
加
-
减
*
乘

除
^
乘方
10 5

需求量
3
（1）用最小元素法编制的初始调运方案，
（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案，
并计算最低运输总费用。
解：用最小元素法编制的初始调运方案如下表所示：
运输平衡表与运价表
第 4 页 共 17 页

销地
产地
A
1
A
2

A
3

需求量
B
1

3

3
B
2



6
6
B
3

4
1

5
B
4

3

3
6
供应
量
7
4
9
20
B
1
B
2
B
3
B
4

3
1
7

11 3
9
4

2
11
8
10 5

找空格对应的闭回路，计算检验数：?
?
11
＝1，?
?
12
＝1，?
?
22
＝0，
?
?
24
＝－2
已出现负检验数，方案需要调整，调整量为

1
调整后的第二个调运方案如下表：
运输平衡表与运价表
销地
产地
A
1
A
2

A
3

需求量
B
1

3

3
B
2



6
6
B
3

5


5
B
4

2
1
3
6
供应
量
7
4
9
20
B
1
B
2
B
3
B
4

3
1
7

11 3
9
4

2
11
8
10 5

求第二个调运方案的检验数：?
?
11
＝－1
已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为

2
调整后的第三个调运方案如下表：
第 5 页 共 17 页

运输平衡表与运价表
销地
产地
A
1
A
2

A
3

需求量
B
1
2
1

3
B
2



6
6
B
3

5


5
B
4


3
3
6
供应
量
7
4
9
20
B
1
B
2
B
3
B
4

3
1
7

11 3
9
4

2
11
8
10 5

求第三个调运方案的检验数：
?
?
12< br>＝2，?
?
14
＝1，?
?
22
＝2，?
?
23
＝1，?
?
31
＝9，?
?
33
＝1 2
所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为：
2×3＋5×3＋1×1＋3×8＋6×4＋3×5＝85（百元）


例2 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得知，
该企业生产的甲、乙、丙 三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直
持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消 耗定额
分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别
为6台时、3台时和 6台时。另外，三种产品的利润分别为400元
件、250元件和300元件。由于生产该三种产品的原 材料和工时的
供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150
台时。
1．试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产
品能获得利润最大的线性规 划模型。
2. 写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
第 6 页 共 17 页

解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为x
1
件、x2
件和x
3
件，显然
x
1
，x
2
，x
3
≥0
线性规划模型为
maxS?400x
1
?250 x
2
?300x
3
?
4x
1
?4x
2?5x
3
?180
?
?
6x
1
?3x
2
?6x
3
?150
?
x，x，x?0
?
123< br>
2．解上述线性规划问题的语句为：
>>clear;
>>C=-[400 250 300];
>>A=[4 4 5;6 3 6];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB) 例3
?
2?1
?
10?1
??
?
41
?
，C?
?
10
?
，求：
AB?C
T
已 知矩阵
A?
?
，B?
??
1?2
?
??
?
012
???
?
?
1?1
?
?
解：
AB?C?
?
?
10?1
?
?
?
012
?
?
2?1
?
?
41
?
?
?
10
?
?
?
10
?
?
?
11
?
?
?
21
?

??
?
1?2
??
6?1
??
0?2
??
6?3
?
????????
??
1?1
??
例4 设y＝(1＋x
2
)ln

x，求：
y
?

1?x
2
解：
y
?
?(1?x)
?
lnx?(1?x)(lnx)
?
?2xlnx?

x
22
e
x
例5 设
y?
，求：
y
?

1?x
(e
x
)
?
(1?x)?e
x
(1?x)
?
xe
x解：
y
?
?

?
22
(1?x)(1?x)
第 7 页 共 17 页

例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品，
总成本 增加1万元，销售该产品q百台的收入为R

(q)＝4q－0.5q
2
（万
元）。当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？
解：产量为q百台的总成本函数为：C(q)＝q＋2
利润函数L

(q)＝R

(q)－C(q)＝－0.5q
2
＋3q－2
令ML(q)＝－q＋3＝0 得唯一驻点 q＝3（百台）
故当产量q＝3百台时，利润最大，最大利润为
L

(3)＝－0.5×3
2
＋3×3－2＝2.5（万元）
例8 某物流企业 生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生
产需准备费1000元，而每件商品每年库存费 为0.05元，如果该商品
年销售率是均匀的，试求经济批量。
解：库存总成本函数
C(q)?
令
C
?
(q)?
q1000000000
?
40q

??0
得定义域内的唯一驻点q＝200000件。
2
40q
即经济批量为200000件。
例9 计算定积分：
解：
1
?
1
0
(x?3e
x
)dx

1
2
5
xx
1
(x?3e)dx?(x?3e)?3e?

|
0
?
0
22
例10 计算定积分：
解：
?
1
3
2
(x
2
?)dx

x
?
1
3
3
2126
(x
2
?)dx?(x
3
?2ln|x|)
|
??2ln3

1
x33
教学补充说明
1. 对编程问题，要记住函数e
x
，ln

x，
命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；
第 8 页 共 17 页
x
在MATLAB软件中相应的

2 对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：
a
?
xdx?
x1
a?1
x?c
（a≠－1）
a?1
x
?
edx?e?c

1
?
x
dx?ln|x|?c

7. 记住两个函数值：e
0
＝1，ln

1＝0。
模拟试题
一、单项选择题：（每小题4分，共20分）
1. 若某物资的总供应量（ C ）总需 求量，可增设一个虚销地，其
需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运
价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。
(A) 等于
(C) 大于


(B) 小于

(D) 不超过

2．某 物流公司有三种化学原料A
1
，A
2
，A
3
。每公斤原料A
1
含B
1
，
B
2
，B
3
三种化学 成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤；每
公斤原料A
2
含B
1
，B
2
，B
3
的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6公
斤；每公斤原料A
3
含B
1
，B
2
，B
3
的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和
0.3公斤。每公斤原料A
1
，A< br>2
，A
3
的成本分别为500元、300元和400
元。今需要B1
成分至少100公斤，B
2
成分至少50公斤，B
3
成分至< br>少80公斤。为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A
1
，A
2
，
A
3
的用量分别为x
1
公斤、x
2
公斤和x3
公斤，则目标函数为（ D ）。
(A) max

S＝500x
1
＋300x
2
＋(B) min

S＝100x
1
＋50x
2
＋80x
3

400x
3

第 9 页 共 17 页

(C) max

S＝100x
1
＋50x
2
＋(D) min

S＝500x
1
＋300x
2
＋
80x
3

3. 设
A?
?
400x
3

2
??1
?
12
?
,B?
??
x7
?
，并且
4?x7
????
A＝B，则x＝（ C ）。


(A) 4
(C) 2


(B) 3
(D) 1
4．设运输某物品q吨的成本（单位：元）函数为C(q)＝q
2
＋50q＋2000 ，
则运输该物品100吨时的平均成本为（ A ）元吨。
(A) 170
(C) 1700


(B) 250
(D) 17000


5. 已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR

(q)，则运输该物品从
100吨到300吨时的收入增加量为（ D ）。
(A)
?
100
300
MR(q)dq?C(0)
(B)
(D)
?
300
MR(q)dq

?
100
MR(q)dq

300
100
(C)
?
MR(q)dq

二、计算题：（每小题7分，共21分）
?< br>2?1
?
?
10?1
?
?
41
?
， C?
?
10
?
，求：AB＋C 6．已知矩阵
A?
?
，B?
??
1?2
?
??
?
012
???
?
?
1?1
?
?
?
2?1
?
?
10?1
?
??
?
?
10
?
?
?
10
?
?
?
10
?
?
?
20
?< br> 解：
AB?C?
?
41
?
?
???????
?
?
?
012
?
?
1?1
?
?
1?2
??
6?1
??
1?2
??
7?3
?
??
7. 设
y?
lnx
1?x
3
，求：
y
?
1?x
3
2
?3xlnx
33
(lnx)
?
? (1?x)?(lnx)?(1?x)
?
x
?
解：
y
??

(1?x
3
)
2
(1?x
3
)< br>2
第 10 页 共 17 页

8. 计算定积分：
?
0
(x
3
?2e
x
)dx

解：
?
0
(x
3
?2e
x
)dx?(1
x
4
?2e
x
)
|
0
?2e?7

1
1
1
44
三、编程题：（每小题6分，共12分）
9. 试写出用MATLAB软件求函数
y?ln(x?x
2
?e
x
)的二阶导数
y
??
的命
令语句。解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=log(sqrt(x+x^2)+exp(x));
>>dy=diff(y,2)
10. 试写出用MATLAB软件计算定积分
?
解：>>clear;
>>syms x y;
>>y=x*exp(sqrt(x));
>>int(y,0,1)
四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）
11. 某物流企业生 产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产
需准备费1000元，而每件商品每年库存费为 0.05元，如果该商品年
销售率是均匀的，试求经济批量。
解： 库存总成本函数
C(q)?
令
C
?
(q)?
q1000000000
?
40q
1
0
xe
x
dx
的命令语句。
??0
得定义域内的惟一驻点
40
q
2
q＝20000 0件。
即经济批量为200000件。
12. 某物流公司下属企业经过对近期销售资料分 析及市场预测得知，
该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量一直
第 11 页 共 17 页

持续上升经久不衰。今已知上述三种产品的单位产品原材料消 耗定额
分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时分别
为6台时、3台时和 6台时。另外，三种产品的利润分别为400元
件、250元件和300元件。由于生产该三种产品的原 材料和工时的
供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150
台时。试 建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种
产品能获得利润最大的线性规划模型，并写出 用MATLAB软件计算
该线性规划问题的命令语句。
解：设生产甲、乙、丙三种产品分别为 x
1
件、x
2
件和x
3
件，显然x
1
，< br>x
2
，x
3
≥0
线性规划模型为
maxS?40 0x
1
?250x
2
?300x
3
?
4x
1
?4x
2
?5x
3
?180
?
?
6x< br>1
?3x
2
?6x
3
?150
?
x，x，x ?0
?
123

解上述线性规划问题的语句为：
>>clear;
>>C=-[400 250 300];
>>A=[4 4 5;6 3 6];
>>B=[180;150];
>>LB=[0;0;0];
>>[X,fval,exitflag]=linprog(C,A,B,[],[],LB)


线性规划习题
1. 某物流公司下属企业生产甲、乙两种产品，要用A，B，C三种不
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同的原料，从工艺资料知道：每生产一件产品甲，需用三种原料分别
为1，1，0单位 ；生产一件产品乙，需用三种原料分别为1，2，1单
位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。 又知，销售一件产品
甲，企业可得利润3万元；销售一件产品乙，企业可得利润4万元。
试写出 能使利润最大的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写
出命令语句，并用MATLAB软件运行 ）。
解：设生产甲产品
x
1
吨，乙产品
x
2
吨。
线性规划模型为：

maSx?3x
1
?4x
2

?
x
1
?x
2
?6
?
x?2x?8
?
2

?
1

x?3
2
?
?
?
x
1
,x
2
?0
用MATLAB软件计算该线 性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[3 4];
>> A=[1 1;1 2;0 1];
>> B=[6;8;3];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
2. 某物流公司有三种化学产品A
1
，A
2
，A
3
都含有三种化学成分B
1
，
B
2
，B
3
，每种产 品成分含量及价格(元斤)如下表，今需要B
1
成分至
少100斤，B
2成分至少50斤，B
3
成分至少80斤，试列出使总成本
最小的线性规划模型。
第 13 页 共 17 页

相关情况表
产品含每斤产品的成分含量
量
成 分
B
1
B
2
B
2
产品价格(元斤)
A
1
0.7
0.2
0.1
500
A
2
0.1
0.3
0.6
300
A
3
0.3
0.4
0.3
400
解：设生产
A
1
产品
x
1
公斤, 生产
A
2
产品
x
2
公斤, 生产
A
3
产品
x
3
公斤,
minS?500x< br>1
?300x
2
?400x
3
?
0.7x
1
?0.1x
2
?0.3x
3
?100
?
0.2x? 0.3x?0.4x?50
?
123
?
?
0.1x
1
?0.6x
2
?0.3x
3
?80
?
x
1
,x
2
,x
3
?0
?

3. 某物流企业下属家 具厂生产桌子和椅子，产品的销路挺好。生产
每张桌子的利润为12元，每张椅子的利润为10元。生产 每张桌子在
该厂的装配中心需要10分钟，在精加工中心需要20分钟；生产每张
椅子在装配中 心需要14分钟，在精加工中心需要12分钟。该厂装配
中心一天可利用的时间不超过1000分钟，精 加工中心一天可利用的
时间不超过880分钟。假设生产桌子和椅子的材料能保证供给。试写
出 使企业获得最大利润的线性规划模型，并用MATLAB软件计算（写
出命令语句，并用MATLAB软 件运行出结果）
解：设生产桌子
x
1
张，生产椅子
x
2
张
第 14 页 共 17 页

maxS?12x
1
?10x
2
2

?
1

?
20x
1
?12x
2
? 880
?
10x?14x?1000
?
?
x
1
,x
2
?0
MATLAB软件的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[12 10];
>> A=[10 14; 20 12];
>> B=[1000；880];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
4、某物流企业在一个生产周 期内生产甲、乙两种产品，这两种产品
分别需要A,B,C,D四种不同的机床加工，这四种机床的可用 工时分别
为1500，1200，1800，1400.每件甲产品分别需要A,B,C机床加工4工时、2工时、5工时；每件乙产品分别需要A,B,D机床加工3工时、
3工时、2工时。又知甲 产品每件利润6元，乙产品每件利润8元。
试写出能获得最大利润的线性规划问题。
解：设生产甲产品
x
1
件，乙产品
x
2
件。
线性规划模型为：
x?6x
1
?8x
2

maS
?
4x
1
?3x
2
?1500
?< br>2x?3x?1200
2
?
1

?
5x
1
?1800

?
2x?1400
2
?
x
1
,x
2
?0
?
用MATLAB软 件计算该线性规划模型的命令语句为：
第 15 页 共 17 页

>> clear;
>> C=-[6 8];
>> A=[4 3;2 3;5 0；0 2];
>> B=[1500；1200；1800；1400];
>> LB=[0;0];
>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)
某物流企业用甲、乙两种原材料生产A,B,C三种产品。企业现有甲原
料30吨，乙原料50 吨。每吨A产品需要甲原料2吨；每吨B产品
需要甲原料1吨，乙原料2吨；每吨C产品需要乙原料4吨 。又知
每吨A,B,C产品的利润分别为3万元、2万元和0.5万元。试写出能
获得最大利润 的线性规划问题。
解：设生产A产品
x
1
吨，B产品
x
2
吨，C产品
x
3
吨。
线性规划模型为：

maSx?3x
1
?2x
2
?0.5x
3

?
2x
1
?x
2
?30
?
2x?4x?5 0
?
3

?
2

?
?
?x
1
,x
2
,x
3
?0
用MATLAB软件计 算该线性规划模型的命令语句为：
>> clear;
>> C=-[3 2 0.5];
>> A=[2 1;2 4];
>> B=[30；50];
>> LB=[0;0；0];
第 16 页 共 17 页

>> [X,fval]=linprog(C,A,B,[],[],LB)

第 17 页 共 17 页