2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案

2019年
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲< br>函数模型及其应用学案



板块一 知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 常见的函数模型
函数模型

函数解析式
一次函数
型

f
(
x
)＝< br>ax
＋
b
(
a
，
b
为常数，
a≠0)
二次函数
型

f
(
x
)＝
a x
2
＋
bx
＋
c
(
a
，
b
，
c
为常数，
a
≠0)
指数函数
型

f
(
x
)＝
ba
x
＋
c
(
a，
b
，
c
为常数，
a
>0且
a
≠1，
b
≠0)
对数函数
型

f
(
x
)＝
b
log
a
x
＋
c
(
a
，< br>b
，
c
为常数，
a
>0且
a
≠1，
b
≠0)
幂函数型
f
(
x
)＝
ax
n
＋
b
(
a
，
b
为常数，
a
≠0)
考点2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

[必会结论]

“f(x)＝x＋(a＞0)”型函数模型
形如f(x)＝x＋( a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：
该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－， 0]和(0，]上单调递减．
(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，
当x＜0时，x＝－时取最大值－2.
[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)幂函数比一次函数增长速度快．( )
指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题
中．(
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( )
某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按
九折出售，则每件商品仍能获利．(

)
)
(1)
(3)
(5)

2019年
(6)当x＞4时，恒有2x＞x2＞log2x.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交 通堵塞停留了一
段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
答案 C
解析 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞
停留后比原来骑得快，因此排除B.
3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
B．900米
D．1200米
A．800米
C．1000米
答案 A
解析 设这个广场的长为x米，则宽为米，所以其周长为l＝2≥800，当且仅当
x＝， 即x＝200时取等号．
4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10% )，仍可获
利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
B．105元
D．108元
A．118元
C．106元
答案 D
解析 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
5．[ 2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋
1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们发展到的只数为________．
答案 200
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100，y＝100log39＝200.
6 ．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾
驶机动车时血液中酒精含 量不得超过0.2 mgmL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上
升到0.8 mgmL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经
过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
答案 2
解析 设n小时后才可以驾车，由题意得0.8(1－50%)n＝2,0.5n＝，即n＝2，即
至少经过2小时后才可以驾驶机动车．

2019年
板块二 典例探究·考向突破

考向 利用函数图象刻画实际问题

例 1 [201 7·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质
量，收集并整理了2014年1月至 2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，
绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6 月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较
平稳
答案 A
解析 对于选项A，由图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A
错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由图可知显然正确．故选A.
触类旁通
用函数图象刻画实际问题的解题思路

将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性
质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
【变式训练1】 [2015·北 京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽
油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不 同速度下的燃油效率情况．下列
叙述中正确的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米小时的速度行驶1小 时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车
更省油
答案 D
解析 对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 kmh时的燃油效

2019年
率大于5 kmL，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米 ，所以A错误．对于B
选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 kmh的速度行驶时的燃
油效率为10 kmL，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误．对
于D选项，当最高限速为80 kmh且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．
考向 已知函数模型解决实际问题

例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单
位：℃)满足函数关系y ＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该
食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃
的保鲜时间是( )
B．20小时
D．28小时
A．16小时
C．24小时
答案 C
解析 由题意，得(0,192)和(22,48)是函数y＝ekx＋b图象上 的两个点，
则解得e11k＝.所以当储藏温度为33 ℃时，保鲜时间y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb
＝×192＝24(小时)．
触类旁通
利用已知函数模型解决实际问题的步骤

若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定
系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．
【变式训练2】 [20 14·北京高考]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总
粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条 件下，可食用率p与加工时间t(单位：分
钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数 )，下图记录了三次实验的数据．根
据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
B．3.75分钟
D．4.25分钟
A．3.50分钟
C．4.00分钟
答案 B
a＝－0.2，
?
?
解析 由已知得解得
?
b＝1.5，
?
?
c＝－2，

∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－2＋，

2019年
∴当t＝＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.
考向 构建函数模型解决实际问题

例3 [2016·四川高考]某公司为激励创新，计划逐年加大 研发资金投入．若该
公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比 上一年
增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
B．2019年
D．2021年
A．2018年
C．2020年
答案 B
解析 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1>200，
则lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，
∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，
∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>，
又∵n∈N*，∴n≥ 5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
2019年．故选B.
触类旁通
构建数学模型一定要过好的三关

(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出
突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关
系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构
建相应的数学模型．
【变式训练3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造
成本为6万元 ．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：
cm)满足关系C(x)＝( 0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)
为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；

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(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
解 (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，
因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤ x≤10)．
(2)f(x)＝6x＋10＋－10≥2－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝ ，即x＝5时等
号成立．
所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．
核心规律

1.认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．

2.实际问题中往往 涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单
调性、基本不等式等求得最值．

3.解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原．

满分策略

解答数学应用题的失误与防范

(1)函数模型应用不当 是常见的解题错误，所以应正确理解题意，选择适当的函
数模型．

(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

(3)注 意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解答对实际问题的合
理性.

板块三 启智培优·破译高考

规范答题系列1——构建分段函数模型解决实际问题

[2018·山西模拟]为了迎 接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车
出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管 理这些自行车的费用是每日115元．根
据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部 租出；若超出6元，
则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租< br>金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费
用，用y(元)表 示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费
用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；

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(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解题视点
(1)→y＝
错误!
(2)→→
下结论
解 (1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6 故
?
?
50x－115，3≤x≤6，x∈Z，
y＝
?
?< br>－3x2＋68x－115，6?

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x＝6时，ymax＝185，
对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6 ∵270>185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
[答题模板] 解函数应用题的一般程序

第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实 际问题的意义；
第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际
问题的合理性．
跟踪训练
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研 究中，发现
其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲< br>线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a＞
0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最
佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．

2019年
解 (1)当t∈(0,14]时，
设p＝f(t)＝ c(t－12)2＋82(c＜0)，将(14,81)代入得c＝－，t∈(0,14]时，p＝
f(t)＝－(t－12)2＋82；
当t∈(14,40]时，将(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝，
所以p＝f(t)＝t－5＋83，t∈14，40].))
(2)t∈(0,14]时，由－(t－12)2＋82≥80，
解得12－2≤t≤12＋2，
所以t∈[12－2，14]，

t∈(14,40]时，
由log(t－5)＋83≥80，解得5＜t≤32，
所以t∈(14,32]，所以t∈[12－2，32]，
即老师在t∈[12－2，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．
板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．现有一组数据如下：
t
v
1
.0

1
.04

4
.5

3
.0

7
2

4
.1

1
56
.12
1
8.01
.99

.5

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( )

A．v＝log2t
C．v＝
答案 C

解析 取t＝ 1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得
v＝log2 ＝－1≠1.5；代入C，得v＝＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.故选
C.

2．[2018·安阳一模]某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为
8 元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60
件，每提高一个档次 将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是
( )


B．v＝logt

D．v＝2t－2

2019年
A．7
C．9
答案 C

B．8

D．10

解析 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2 (k－
1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方 可得y＝－6(k－9)2
＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.

3． 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要
洗的次数是(参考数据lg 2≈0.3010)( )

A．3
C．5
答案 B

解析 设至少要洗x次，则x≤，∴x≥≈3.322，因此需4次．故选B.

4. 某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：时)之间的关系如图所示，
令C(t)表示时 间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，
C(t)与t之间的函数 关系用下列图象表示，则正确的图象是( )

答案 D

解析 当04选D.

5．[2017·武汉 模拟]国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；
超过800元而不超过4000元的按 超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%
纳税．若某人共纳税420元，则这个人的 稿费为( )

A．3000元
C．3818元
答案 B

解析 由题意可建立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y＝显然由0.14(x－
800)＝420，可得x＝3800.

6．若某商场将彩电价格由原价2250(元台) 提高40%，然后在广告上写出“大酬
宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．

答案 270


B．4

D．6

B．3800元

D．5600元

2019年
解析 由题意可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%) ×80%－2250＝
270(元)．

7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一 个面积最大的内接矩形花园(阴影部
分)，则其边长x为________ m.

答案 20

解析 设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面 积S＝x(40－
x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．

8．[2018·金版创新]“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广 告宣传进入
消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告
费应为__ ______．(用常数a表示)

答案 a2

解析 令t＝(t≥0)，则A＝t2，

∴D＝at－t2＝－2＋a2.

∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值．

9．一片森林原来面积为a，计划每年 砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相
等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环 境，森林面积至少要
保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

解 (1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)．

则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－) .

(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1－x)m＝a，即) ＝) ，＝，

解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，

则n年后剩余面积为a(1－x)n.

令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，


n
?
1
?
≥) ，≤，解得n≤15.

?
2
?
??
10
故今后最多还能砍伐15年．

2019年
10．[2018·大连模拟]候鸟每年都要随季节 的变化进行大规模的迁徙，研究某种
鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：ms)与其耗氧量 Q之间的关系为：v
＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量 为30个单
位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 ms.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 ms，则其耗氧量至少要多少
个单位？

解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 ms，此时耗氧量为30
个单位，

故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0；

当耗氧量为90个单位时，速度为1 ms，

故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.

?
?a＝－1，
解方程组得
?
?
b＝1.
?


(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.

要使飞行速度不低于2 ms，即v≥2，

所以－1＋log3≥2，

即log3≥3，解得≥27，即Q≥270.

所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 ms，则其耗氧量至少要270
个单位．

[B级 知能提升]

1 ．[2018·云南联考]某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长
速度越来越快，后 三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间
t(年)的函数关系可用图象表示的是( )
答案 A
解析 由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合
这个规律的只有选项A；后三 年产量保持不变，总产量直线上升．故选A.
2．[2018·四川德阳诊断]将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中
剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再
过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为________．
答案 5

2019年
解析 ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝
ae5n＝a，可得n＝ln ，所以f(t)＝a·) ，设k min后甲桶中的水只有 L，则f(k)
＝a·) ＝，所以) ＝，解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．
3.[2018·湖北八校联考]某人根据经验绘制了2018年春节前后，从2月1日至
2月18日 自己种植的西红柿的日销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图
所示，则此人2月6日大约卖出了西红柿________千克．
答案
190
9
解析 前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入
函数解析 式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.
4.如图所示，已知边长为8米的正方形钢 板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD
＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一 个矩形BNPM，使点P在边DE
上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解 (1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y) 米，

EQ＝(x－4) 米．
又△EPQ∽△EDF，
所以＝，
即＝.
所以y＝－x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向
下，对称轴为x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8时， 矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
5．[2018·佛山模拟]某工厂生产某种产品，每 日的成本C(单位：万元)与日产量
x(单位：吨)满足函数关系式C＝3＋x，每日的销售额S(单位 ：万元)与日产量x的函
数关系式S＝
错误!
已知每日的利润L＝S－C，且当x＝2时，L＝3.

2019年
(1)求k的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
解 (1)由题意，得L＝
错误!
因为x＝2时，L＝3，所以3＝2×2＋＋2.解得k＝18 .
所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值

(2)当0 所以L＝2(x－8)＋＋18＝－2(8－x)＋＋18
≤－2＋18＝6.
当且仅当2(8－x)＝，即x＝5时取得等号．
当x≥6时，L＝11－x≤5.
所以当x＝5时，L取得最大值6.
6万元．