新高考数学考点07 导数的运算及几何意义考点分类讲义练习题附解析3

考点07
导数的运算及几何意义


考纲要求


①了解导数的概念，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义；
② 理解导数额概念，理解基本初等函数的导数公式；理解导数的四则运算法则，能利用导数公式和求导法
则 求简单的导数；


近三年高考情况分析


导数的运 算与导数的几何意义重点体现在求函数的切线方程，在最近几年高考中经常考查，不仅体现在填
空题中也 体现在大题大题的第一问中。多数都是以送分题的形式出现。





在高考复习中要注意以下几点：
1、解决在点
(
（1）切点(
x
,
y
)
即在曲线上也在曲线的切线上。（2）切
x
,
y
)
处的切线问题要抓住两点：
0
0
0
0
'
考点总结
线l的斜率
k?f(x)

2、求函数的导 数是掌握基本初等函数的求导公式以及运算法则，在求导的过程中，要仔细分析函数解析式
的结构特点， 紧扣求导法则把函数分解或者综合合理变形，正确求导。
3、在解题过程中要充分利用好曲线的切线， 挖掘切线的价值，在有些问题中，可利用切线求两个曲线上的
点的之间距离或求参的范围。





三年高考真题
，f(1))
处的切线方程为（

）
1
、【
2020
年全国
1
卷】
.
函数
f(x)?x
4< br>?2x
3
的图像在点
(1
A.
y??2x?1

C.
y?2x?3

B.
y??2x?1

D.
y?2x?1

2
、【
2020
年全国
3
卷】
.
若直线
l
与曲线
y=
x
和
x
2
+y
2
=
A. y=2x+1 B. y=2x+
1
都相切，则
l
的方程为（

）
5
1
x+1
2
D. y=
1

2
C. y=
11
x+
22
3
、【
20 19
年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线
y?ae
x
?xlnx
在点（< br>1
，
ae
）处的切线方程为
y=2x+b
，则

A
．
a?e，b??1

C
．
a?e
?1
，b?1



B
．
a=e
，
b=1
D
．
a?e
?1
，
b??1

4
、【
2018
年高考全国Ⅰ卷理数】设函数
f(x)?x
3
?(a? 1)x
2
?ax
.
若
f(x)
为奇函数，则曲线
y ?f(x)
在
点
(0,0)
处的切线方程为

A
．
y??2x

C
．
y?2x

B
．
y??x

D
．
y?x

5
、
(2019
年江苏卷
).
在平面直角坐标系
xOy
中，
P
是曲线
y?x?
的距离的最小值是
_____.
4
(x?0)
上的一个动点，则点
P
到直线
x+y=0
x< br>6
、
(2019
年江苏卷
)..
在平面直角坐标系
x Oy
中，点
A
在曲线
y=lnx
上，且该曲线在点
A
处的切线经过点（
-e
，
-1)(e
为自然对数的底数），则点
A
的坐标是
____.
7、【2020年山东卷】已知函数
f(x)?ae< br>x?1
?lnx?lna
．
（
1
）当
a?e
时，求曲线
y=f
（
x
）在点（
1
，
f
（
1
））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；




3
?
8
、【
2020
年天津卷】
.已知函数
f(x)?x?klnx(k?R)
，
f(x)
为
f( x)
的导函数．
（Ⅰ）当
k?6
时，
（
i
）求 曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程；

9
、【
2019
年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数
f
?
x
?
?lnx?
x?1
x?1
.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性，并证明
f(x)
有且仅有两个零点；

x
（
2
）设
x
0
是
f(x)
的一个零点，证明曲线
y=lnx
在点< br>A(x
0
，
lnx
0
)
处的切线也是曲线
y ?e
的切线
.




10、【2020年北京卷】已知函数
f(x)?12?x
．
（Ⅰ）求曲线
y?f(x)
的斜率等于
?2
的切线方程；
（Ⅱ）设曲线
y?f(x)
在点
(t,f(t))
处的切线与坐标轴围成的三 角形的面积为
S(t)
，求
S(t)
的最小值．





11
、【
2019
年高考北京理数】已知函 数
f(x)?
2
1
3
x?x
2
?x
．
4
（Ⅰ）求曲线
y?f(x)
的斜率为
1
的切线方程 ；

（Ⅱ）当
x?[?2,4]
时，求证：
x?6?f(x)?x< br>；

（Ⅲ）设
F(x)?|f(x)?(x?a)|(a?R)
，记< br>F(x)
在区间
[?2,4]
上的最大值为
M
（
a< br>）．当
M
（
a
）最
小时，求
a
的值．

二年模拟试题
题型一 导数的几何意义



x
y?ae?xlnx
在点
?
1,ae
?
处的切线方程为
y?2x?b
，1、（2010届北京西城区第4中学期中）已知曲线
则（ ）
A
．
a?e,b??1
B
．
a?e,b?1
C
．
a?e
?1
,b?1
D
．
a?e
?1
,b??1

2、（北京市通州区2019 -2020学年高三上学期期中数学试题）直线
l
经过点
A(0,b)
，且与 直线
y?x
平行，
y
如果直线
l
与曲线
A
．
?
x
2
相切，那么
b
等于（ ）
B
．
?
1

4
1

2
C
．
1

4
D
．
1

2
x
3
、（
2020
届江苏省南通市海门中学高三上学期< br>10
月检测）曲线
y?e?x
在
x?0
处的切线方程为
y?kx?b
，则实数
b?
______.
x
4
、（江 苏省南通市西亭高级中学
2019-2020
学年高三下学期学情调研）若曲线
y?( ax?1)e
在
(0,1)
处的切
线斜率为
-1
，则
a?
___________.
x
5
、（
2020
届山 东省滨州市高三上期末）曲线
y?(x?1)e
在点
(0,1)
处的切线的方 程为
__________
．

6
、（
2020
届山东省九校高三上学期联考）直线
y?x
与曲线
y?2ln
?
x? m
?
相切，则
m?
__________.
.7
、（江苏 省如皋市
2019-2020
学年高三上学期
10
月调研）已知
a? R
，设函数
f(x)?ax?lnx
的图象在点
（
1
，f(1)
）处的切线为
l
，则
l
在
y
轴上的截 距为
________ .
8
、（江苏省南通市
2019-2020
学年高三上学期期初）给出下列三个函数：①
y?
则直线
y?
1
x
；②
y?sinx
；③
y?e
，
x
1
x? b
(
b?R
)
不能作为函数
_______
的图象的切线（ 填写所有符合条件的函数的序号）．

2
9
、（
2020
届 浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知函数
f(x)?x?bx?be(b?R)
.
（
Ⅰ
）若
b?1
，求曲线
y?f(x)
在
(0,f (0))
处的切线方程；


?
2
?
x

10
、（
2020
届山东省潍坊市高三上期中）已 知函数
f
?
x
?
?x?
3
1
2
x ?ax?1
．

2
（
1
）当
a?2
时，求 曲线
y?f
?
x
?
在点
0,f
?
0
?
处的切线方程；

??
3
??
?2,
（
2
）若函数
f
?
x
?
在x?1
处有极小值，求函 数
f
?
x
?
在区间
?
上的最大值．

2
?
??







题型二 函数图像的切线的综合问题
5
y?ax
3
?bx2
?(ab?0)
1
、（
2020
届山东省潍坊市高三上学期统 考）当直线
kx?y?k?1?0(k?R)
和曲线
E
：
3
B(x
2
，y
2
)，C(x
3
，y
3
)< br>(x
1
?x
2
?x
3
)
三点时，曲线
E
在点
A
，点
C
处的切线总是平行的，则过交于
A(x< br>1
，y
1
)，
点
(b，a)
可作曲线
E的切线的条数为（

）

A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
2
、（北京市 第
171
中学
2019-2020
学年高三
10
月月考数学 试题）已知函数
f(x)?
1
2
1
x?x?a(x?0)
，
42
g(x)?lnx(x?0)
，其中
a?R
．若
f(x )
的图象在点
A
?
x
1
,f
?
x
1
?
?
处的切线与
（gx）
的图象在点
B
?
x
2
,g
?
x
2
?
?
处的切线重合，则
a
的取值范围为（）

A
．
(?1?ln2,??)
B
．
(?1?ln2,??)

D
．
(ln2?ln3,??)

?
3
?
C
．
?
?,??
?
?
4
?
x
3
、（
2020
届江苏省七市第二次 调研考试）在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
y?e
在点
Px
0
,e
?
x
0
?
处的切线
与
x
轴相交于点
A
，其中
e
为自然对数的底数
.
若点
B
?
x
0
,0
?
，
?PAB
的面积为
3
，则
x
0
的值是
______.
x
4
、（
2020
届江苏省南通市如皋中学高三下学期
3
月线上模拟）已知P
为指数函数
f(x)?e
图象上一点，
Q
为直线
y? x?1
上一点，则线段
PQ
长度的最小值是
_______
5、( 2019苏锡常镇调研）已知点P在曲线C：
y?
1
2
x
上，曲线C 在点P处的切线为l，过点P且与直线l
2
垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点 ，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为 ．

6
、（
2020
届山东省潍坊市高三上期末）已知函数
f
?
x
?
?ae?x?1(a?R),g
?
x
?
?x
.
x2
(1)
讨论函数
f
?
x
?
的单调性
;
(2)
当
a?0
时，若曲线
C
1
:y?f?
x
?
?x?1
与曲线
C
2
:y?g
?
x
?
存在唯一的公切线，求实数
a
的值
;








7
、（
2020
届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知函数
f(x)?ln(2x?a)(x?0, a?0)
，曲线
y?f(x)
在
点
(1,f(1))
处的切 线在
y
轴上的截距为
ln3?
（
1
）求
a
；























2
.
3

解析附后
考点07
导数的运算及几何意义






1
、【答案】
B
【解析】
三年高考真题
f
?
x
?
?x
4
?2x
3
，
?f
?
?
x
?
?4x
3
?6x
2
，
?f
?
1
?
??1
，
f
?
?
1
?
??2
，
因此， 所求切线的方程为
y?1??2
?
x?1
?
，即
y??2x ?1
.
故选：
B.
2
、【答案】
D
【解析】 】设直线
l
在曲线
y?
函数
y?x
的导数为
y?
?
x
上的切点为
x
0
,x
0
，则< br>x
0
?0
，
，则直线
l
的斜率
k?
??
1
2x
1
，
2x
0
设直线
l的方程为
y?x
0
?
1
?
x?x
0
?
，即
x?2x
0
y?x
0
?0
，
2x< br>0
x
0
1
1
?
由于直线
l
与圆x?y?
相切，则，
1?4x5
5
0
22
2
两边平方并整理得
5x
0
?4x
0
?1?0
，解得
x
0
?1
，
x
0
??
1
（舍），
5
则直线
l
的方程为
x?2y?1?0
，即
y?
故选：
D.
3
、【答案】
D
【解析】∵
y
?
?ae?lnx?1,

x
11
x?
.
22
∴切线的斜率
k?y
?
|
x?1
?ae?1?2
，
?a?e
?1
，
将
(1,1)
代入
y?2x?b
，得
2?b?1,b ??1
.
故选
D
．

【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有
a
，
b< br>的等式，从而求解，属
于常考题型
.

4
、【答案】
D
【解析】因为函数
，
所以
所以曲线
故选D.
5
、【答案】4.
【解析】当直线
x?y?0
平移到与曲线
y?x?
小
.
由
y
?
?1?
在点
，
处的切线方程为，化简可得.
是奇函数，所以，解得，所以，
4
相切位置时 ，切点
Q
即为点
P
到直线
x?y?0
的距离最
x< br>4
??1
，得
x?2(?2舍)
，
y?32
，
2
x
即切点
Q(2,32)
，
则切点
Q
到直线
x?y?0
的距离为
故答案为：
4
．
6
、【答案】
(e, 1)
.
【解析】设点
A
?
x
0
,y
0
?
，则
y
0
?lnx
0
.
又
y
?
?
当
x?x
0
时，
y
?
?
2?32
1?1
22
?4
，
1
，
x
1
，
x
0
1
(x?x
0
)
，
x
0< br>点
A
在曲线
y?lnx
上的切线为
y?y
0
?
即
y?lnx
0
?
x
?1
，
x
0
?e
?1
，
x
0
代入点
?
?e,?1
?
，得
?1?lnx
0
?

即
x
0
lnx
0
?e
，
考查函数
H
?
x
?
?xlnx
，当
x?< br>?
0,1
?
时，
H
?
x
?
?0，当
x?
?
1,??
?
时，
H
?
x< br>?
?0
，
且
H'
?
x
?
?lnx ?1
，当
x?1
时，
H'
?
x
?
?0,H
?
x
?
单调递增，
注意到
H
?
e
?
?e
，故
x
0
lnx
0
?e
存在唯一 的实数根
x
0
?e
，此时
y
0
?1
，
故点
A
的坐标为
A
?
e,1
?
.
7、【答案】（
1
）
【解析】（
1
）
2
（
2
）
[1,??)

e?1
f(x)?e
x
?l nx?1
，
?f
?
(x)?e
x
?
1
，< br>?k?f
?
(1)?e?1
.
x
f(1)?e?1
，∴切点坐标为
(1,1+e),
∴函数f(x)
在点
(1,f(1)
处的切线方程为
y?e?1?(e?1)( x?1)
,
即
y?
?
e?1
?
x?2
,
?
切线与坐标轴交点坐标分别为
(0,2),(
?2
,0)
,
e?1
∴所求三角形面积为
1?22
;
?2?||=
2e?1e?1
3
2
8
、【解析】
(
Ⅰ
) (i)
当
k=6
时，
f
?
x
?
?x?6lnx< br>，
f'
?
x
?
?3x?
6
.
可得< br>f
?
1
?
?1
，
f'
?
1
?
?9
，
x
所以曲线
y?f
?
x
?在点
1,f
?
1
?
处的切线方程为
y?1?9
?
x?1
?
，即
y?9x?8
.

所以，函数< br>g(x)
的单调递减区间为
(0
，
1)
，单调递增区间为(1
，
+∞)
；
g(x)
的极小值为
g(1)=1
，无极大值
.
9
、【解析】（
1
）
f
（
x
）的定义域为（
0，
1
）
因为
f'(x)?
（
1
，
+∞
）．

??
12
??0
，所以
f(x)
在 （
0
，
1
），（
1
，
+∞
）单调递增．< br>
x(x?1)
2
e?1
e
2
?1e
2?3
2
?0
，
f(e)?2?
2
因为
f
（
e
）
=
1?
??0
，所以
f
（
x
）在（
1
，
+∞
）有唯一零点
x
1
， 即
e?1
e?1e
2
?1
f
（
x
1
）
=0
．又
0?
x?1
111
?1
，
f ()??lnx
1
?
1
??f(x
1
)?0
，故< br>f
（
x
）在（
0
，
1
）有唯一零点．

x
1
x
1
x
1
?1
x
1综上，
f
（
x
）有且仅有两个零点．

（
2
）因为
11
?e
?lnx< br>0
，故点
B
（
–lnx
0
，）在曲线
y=e
x
上．

x
0
x
0
11
x
0
?1
?lnx
0
?
x
0
?1
x
0
x
0
x
0
?1
1
??
．
< br>由题设知
f(x
0
)?0
，即
lnx
0
?< br>，故直线
AB
的斜率
k?
x
0
?1
?lnx
0
?x
0
?
x
0
?1
?x
x0
0
x
0
?1
曲线
y=e
x
在点B(?lnx
0
,
111
)
处切线的斜率是，

曲线
y?lnx
在点
A(x
0
,lnx
0
)处切线的斜率也是，
x
0
x
0
x
0
所以曲线< br>y?lnx
在点
A(x
0
,lnx
0
)
处的 切线也是曲线
y=e
x
的切线．

10、【答案】（Ⅰ）
2x?y?13?0
，（Ⅱ）
32
.
2
【解析】（Ⅰ）因为
f
?
x
?
?12?x
，所 以
f
?
?
x
?
??2x
，
设切点为?
x
0
,12?x
0
?
，则
?2x
0
??2
，即
x
0
?1
，所以切点为
?
1, 11
?
，
由点斜式可得切线方程
（Ⅱ）显然
t?0
， < br>因为
y?f
?
x
?
在点
t,12?t
2：
y?11??2
?
x?1
?
，即
2x?y?13?0
.
?
2
?
处的切线方程为：
y?
?
12 ?t
?
??2t
?
x?t
?
，
2
t2
?12
令
x?0
，得
y?t?12
，令
y? 0
，得
x?
，
2t
1t
2
?12
2所以
S
?
t
?
?
?
?
t?12
?
?
，
22|t|
不妨设
t?0
(t?0
时， 结果一样
)
，
t
4
?24t
2
?1441
3
144
则
S
?
t
?
??(t?24t?)，
4t4t
42
11443(t?8t?48)
2
所以
S
?
?
t
?
?
(3t?24?
2
)?< br>
2
4t4t
3(t
2
?4)(t
2
?12 )3(t?2)(t?2)(t
2
?12)
，
??
4t
2
4t
2
由
S
?
?
t
?
?0
，得
t?2
，由
S
?
?
t
?
?0
，得
0?t?2
，

所以
S
?
t
?
在
?
0,2
?
上递减，在
?
2,??
?
上递增，
所以
t?2
时，
S
?
t
?
取得极小值，
16?16
?32
.
8
64
11
、【答案】（Ⅰ ）
y?x
与
y?x?
；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
a??3
.
27
13
【解析】（Ⅰ）由
f(x)?x
3
?x
2
?x
得
f
?
(x)?x
2
?2x?1
.
44
38
令
f
?
(x)?1
，即
x
2
?2x?1?1
，得
x?0
或
x?
.
43
88
又
f(0)?0
，
f()?
，
327
88
所以曲线
y?f(x)
的斜率为1的切线方程是
y?x< br>与
y??x?
，
273
64
即
y?x
与
y?x?
.
27
也是最小值为
S
?
2
?
?
（Ⅱ）令
g(x )?f(x)?x,x?[?2,4]
.
1
3
3
x?x
2
得
g'(x)?x
2
?2x
.
44
8
令
g'(x)?0
得
x?0
或
x?
.
3
由
g(x)?
g'(x),g(x)
的情况如下：
x

g'(x)

g(x)

?2


(?2,0)

0


8
(0,)

3
8

3

8
(,4)

3
?

4


?

?

?
?6


0


64

27

0

所以
g(x)
的最小值为
?6
，最大值为
0
.
故
?6?g(x)?0
，即
x?6?f(x)?x
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
当
a??3
时，
M(a)?F(0)?|g( 0)?a|??a?3
；
当
a??3
时，
M(a)?F(?2)? |g(?2)?a|?6?a?3
；
当
a??3
时，
M(a)?3
.

综上，当
M(a)
最小时，
a??3
.

二年模拟试题
题型一 导数的几何意义
1
、【答案】
D
【解析】
y
?
?ae?lnx?1,

x



k?y
?
|
x?1
?ae?1?2
，
?a?e
?1

将
(1,1)
代入
y?2x?b< br>得
2?b?1,b??1
，故选
D
．

2
、【答案】
A
【解析】直线
l
经过点
A(0, b)
，且与直线
y?x
平行，则直线方程为：
y?x?b

直线
l
与曲线
y
解得：
b??
故选：
A
3
、【答案】
1
；

【解析】因为
y?f
?
x
?
?e?x
，

x
x
2
相切，
y'2x1x
111
，切点为
(,)

代入直线方程

24
2
1

4
所以
f
?
?
x
?
?e
x
?1< br>，所以
f
?
0
?
?1
，
f
?
?
0
?
?2
，

故曲线在
x?0
处的切 线过
?
0,1
?
且斜率
k?2
，故切线方程为
y? 2x?1

所以
b?1

故答案为：
1

4
、【答案】
?2

xx
【解析】
y?(ax?1 )e,y
?
?(ax?a?1)e
，

y
?
x?0
?a?1??1,?a??2
.
故答案为
:-2.
5
、【答案】
y?2x?1

【解析】

y
?
?(x?2)e
x
?k?2?y?1?2x,y?2x?1

6
、【答案】
2?2ln2

【解析】函数
y?2ln?
x?m
?
的导函数
y
?
?
2
，
x?m
?
?
x
0
?2ln
?
x0
?m
?
设切点坐标
(x
0
,y
0
)
，则
?
，解得：
x
0
?2ln2,m?2?2ln2
.
2
1?
?
?
x
0
?m
故答案为：< br>2?2ln2

7
、【答案】
1
【解析】函数
f( x)=ax?lnx,
可得
f'
?
x
?
?a?
1< br>,
切线的斜率为：
k?f'
?
1
?
?a?1
，

x
切点坐标
(1,a),
切线方程
l
为：y?a=(a?1)(x?1)
，

l
在
y
轴上的截距为：
a+(a?1)(?1)=1.
故答案为
1.
8
、【答案】①

1
1
x?b
的斜率为
k
＝，

2
2
1
11
1
1
'

对于①y?
，求导得：
y??
2
，对于任意
x≠0
，
?
2
＝无解，所以，直线
y?x?b
不能作为切线；
x
xx
2
2
1
'
对于②
y?sinx
，求导得：
y?cosx?
有解，可得满足题意；

2
1
'x
x
对于③
y?e
，求导得：
y?e?
有解，可得满足题意；

2
【解析】直线
y?
故答案为：①

9
、【解析】

（
Ⅰ
）解：
f
?
(x)?
?
?
x?(b?2)x?2b
?
?
e
，< br>
当
b?1
时，
f(0)?1
，
f
?
(0)?2
，

所以曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0 ))
处的切线方程为
y?1?2x
，即
y?2x?1
；

2x
49
.
27
1
23
2
【解析】（< br>1
）当
a?2
时，
f(x)?x?x?2x?1
，
f
?
(x)?3x?x?2
，

2
10
、【答案】（
1
）
2x?y?1?0
；（
2
）
所以
f< br>?
(0)?2
，又
f(0)?1
，所以曲线
y?f
?
x
?
在点
0,f
?
0
?
处切线方程为y?1?2x
，即
2x?y?1?0
.

??

（
2
）因为
f
?
(x)?3x?x?a
，

因为函数
f
?
x
?
在x?1
处有极小值，所以f
?
(1)?2?a?0?a??2
，

所以
f
?
(x)?3x?x?2

由
f
?
?
x
?
?0
，得
x??
当
x??
当
?
2
2
2
或
x?1
，

32
或
x?1
时，
f
?
?
x
?
?0
，

3
2
?x?1
时，
f
?
(x)?0
，

3
?
?
2
?
?
?
3
?
所以
f
?
x
?
在
?
?2,?
?
，
?
1,
?
上是增函数，在
?
?,1
?
上是减函数，

?
2
?
3
3因为
f
?
?
?
2
?
??
?
2
?
49
，
?
?
327
??
?
3< br>?
1
f
??
?
，

?
2
?
4
?
2
?
49
.
所以
f
?
x
?
的最大值为
f
?
?
?
?
?
3
?
27
题型二 函数图像的切线的综合问题
1
、【答案】
C
【解析】直线
kx?y?k?1?0
?< br>k?R
?
过定点
?
1,1
?

由题意可知： 定点
?
1,1
?
是曲线
E:y?ax?bx?
32
5
?
b?0
?
的对称中心，

3
5
?1
a?b??1
?
?
1
?
?
15
?< br>?
a?
3
，解得
?
3
，所以曲线
E:y?x
3
?x
2
?
，
?
b,a
?
??
?1，
?

?
3
?
33
?
?
?
b
?1
?
b??1
?
?
3a
?
f′
（
x
）
=
x
2
?2x
< br>，设切点
M
（
x
0
，
y
0
），
则
M
纵坐标
y
0
=
1
3
5
x
0
?x
0
2
?
，又
f′
（x
0
）
=
x
0
2
?2x
0
，

33
5
??
1
3
x
0
?x0
2
?
?
?x
0
2
?2x
0
3
??
3
∴切线的方程为：
y?
?
??
?
x?x
?

0
又直线过定点
?
?1，
?

?
?
1
?
3
?

1
?
15
?
??
?
x
0
3
?x
0
2
?
?
?x
0
2
?2x
03
?
33
?
??
?
?1?x
?
，
0
得
x
0
﹣
3x
0
-2=0
，

3
?
x
3
0
?x
0
?2< br>?
x
0
?1
?
?0
，

?
即
?
x
0
?1
?
x
0
?x
0?2?0

2
??
解得：
x
0
?2或?1

故可做两条切线

故选
C
2
、【答案】
A 1
2
1
x?x?a(x?0)
，
g(x)?lnx(x?0)< br>
42
111
∴
f
?
?
x
?
?x?
?
x?0
?
，
g
?
?
x
?
?
?
x?0
?
，

22x
【解析】∵< br>f(x)?
函数
f
?
x
?
在点
Ax
1
,f
?
x
1
?
处的切线方程为：
y?
?
??
1
??
1
2
1
??
1
x1
?x
1
?a
?
?
?
x
1
?
?
?
x?x
1
?
，

22
??< br>4
??
2
1
?
x?x
2
?
，

x
2
函数
g
?
x
?
在点
B< br>?
x
2
,f
?
x
2
?
?
处 的切线方程为：
y?lnx
2
?
111
x??
①，
?
1
x
1
2
?a?lnx
2
?1
②，
两直线重合的充要条件是
1
22x
2
4
由①及
x
1
?0?x
2
得
0?
2
11
?
，

x
2
2
2
?
11
??
11
?
1
?
?
?lnx
2
?1?
?
?
?
?ln?1
，

故
a?
?
x
2
?
x
2
2
??
x
2
2
?
2
1
1
1
??
令
t?
，则
0?t?
，且
a?
?
t?
?
?lnt?1
，

x
2
2
?
2
?
1
??
1
??
0?t?
设
h
?
t
?
?
?
t?
?
?lnt?1
，
??

2
??
?
2< br>?
12t
2
?t?1
?
2t?1
??
t?1
?
，

h
?
?
t
?
?2t?1? ??
ttt
2

当
0?t?
1< br>时，
h
?
?
t
?
?0
恒成立，即
h
?
t
?
单调递减，

2
?
1
?< br>h
?
t
?
?h
??
??1?ln2
，
x?0
时，
h
?
t
?
???
，

?
2
?
即
a
的取值范围为
(?1?ln2,??)
，故选
A.
3
、【答案】
ln6

【解析】由题，xx
y
?
?e
x
，
?
切线斜率
k?e
x
0
，则切线方程为
y?e
0
?e
0
?< br>x?x
0
?
，令
y?0
，解得
1
x
A
?x
0
?1
，又
?PAB
的面积为
3
，
?S
?PAB
??1?e
x
0
?3
，解得
x
0
?ln6
.
2
故答案为：
ln6

4
、【答案】
2

?x
【解析】设
f(x)
图象上斜率为
1
的切线的切点是
P(x
0
,y
0
)
，由
f(x)?e
，
f
?
(x
0
)?e
x
0
?1
，
x
0
?0
，
f(0) ?1
，即
P(0,1)
．
P
到直线
y?x?1
的距 离是
d?
故答案为：
2
．

5、【答案】.
1.

【解析】设
0?1?1
2
?2
．

，
1< br>2
，因为
y
'
?x
，所以切线
l
的斜率k?t
，且
t?0
，则直线
1
2
1
P(t,t )PQ:y?t??(x?t)
22t
即
11
2

y??x ?t?1
t2
11
2
?
y??x?t?1
?
22< br>23
t2
令
?
，消
y
得：
tx?2x?t? 2t?0
，设
Q(x
1
,y
1
)
，则
x< br>1
?t??
，即
x
1
??t?
，
1
tt
?
y?x
2
2
?
1
2
12
2
1
2
221
2
2
又因为点
Q
在曲线
C
上，所以
y
1
?x
1
?(?t?)?t?2?
2
，故
Q(?t?,t?2?
2
)

22t2tt2t21
2
1
2
2
42
因为
OP?OQ
， 所以
OP?OQ?0
，即
t?(?t?)?t?(t?2?
2
)?0
，化简得
t?4
，则
t?2
，
t22t
所以点P
的纵坐标为
1.

6
、【解析】
(1)
f< br>?
?
x
?
?ae?1
，

x
??)
上单调递减，

当
a?0
时，
f '
?
x
?
?0
恒成立，
f
?
x
?
在
(??，

当
a?0
时，由< br>f'
?
x
?
?0
，解得
x??lna
，
由于
a?0
时，导函数
f
?
?
x
?
?ae?1
单调递增，

x
?lna)
，
f?
?
x
?
?0,f
?
x
?
单调递减，

故
x?(??，
x?(?lna,??),f
?
?
x
?
?0,f
?
x
?
单调递增
.
??)
上单调递减
;
综上，当
a?0
时
f
?
x
?
在
(??，
?lna)
上单调递减，在
( ?lna,??)
上单调递增
. .
当
a?0
时，
f
?
x
?
在
(??，
x2
(2)
曲线
C
1
:y
1
?ae
与曲线
C
2
: y
2
?x
存在唯一公切线，设该公切线与
C
1
,C
2
分别切于点
?
x,ae
?
,
?
x,x
?
，显然
x
1
x
1
2
22
x
由于< br>y'
1
?ae,y'
2
?2x
，

1
?x
2
.
ae
x
1
?x
2< br>2
所以
ae?2x
2
?
，

x
1< br>?x
2
x
1
2x
2
x
1
?2x2
2
?ae
x
1
?x
2
2
?2x2
?x
2
2

，

?2x
1
x
2
?x
2
2
?2x
2

由于
a?0
，故
x
2
?0
，且
x
2
?2x1
?2?0

因此
x
1
?1
，

2x
2
4(x
1
?1 )
?
?
x
1
?1
?
，

e
x
1
e
x
1
4(x?1 )
设
F
?
x
?
?
?
x?1
?

ex
此时
a?
问题等价于直线
y?a
与曲线
y?F
?
x
?
在
x?1
时有且只有一个公共点，

又
F
?
?
x
?
?
4(2?x )
，令
F'
?
x
?
?0
，解得
x?2
，
x
e
则
F
?
x
?
在
?1,2
?
上单调递增，
(2,??)
上单调递减，

而
F
?
2
?
?
4
,F
?
1
?
?0
，当
x???
时，
F
?
x
?
?0

2
e
?
?
4
?
.
e< br>2
?
?
所以
F
?
x
?
的值域为?
0,

故
a?
4
.
2
e
2
.
2x?a
7
、【解析】（
1< br>）对
f(x)?ln(2x?a)
求导，得
f
?
(x)?因此
f
?
(1)?
2
.
又因为
f(1)?ln (2?a)
，

2?a
所以曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1)
处的切线方程为

2
(x?1)
，

2?a
22
.
x?ln(2?a)?
即
y?
2? a2?a
22
?ln3?
.
由题意，
ln(2?a)?
2 ?a3
y?ln(2?a)?
显然
a?1
，适合上式
.
令
?
(a)?ln(2?a)?
求导得
?
?
(a)?
2
(a?0)
，

2?a
12
??0
，

2
2?a(2?a)
因此
?
(a)
为增函数：故
a ?1
是唯一解
.