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高中数学——猿题库——满分之路——导数--286

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 23:35
tags:高中数学导数视频

哪里找优秀的高中数学课件-高中数学新教材实施有关课题

2020年10月7日发(作者:奚小彭)


P3
1. 求函数
f(x)?
1
3
x?x
2
?mx?c
的单调区间。
3
1
3
1
2
mx?x?x?c
的单调区间。
32
P4
2. 求函数
f(x)?
P6

3. 求函数
f(x)?
1
3
x?mx
2
?(2m?1)x?c< br>的单调区间。
3
1
3
1
mx?(m?1)x
2?x?c
的单调区间。
32
P7

4. 求函数
f(x)?
P9

5. 求函数
f(x)?
1
3
1
2
上的单调区间。
(0 ,??)
ax?x?(1?a)x?c
在区间
32
1
3
1< br>2
上为减函数,在区间上为
(1,4)
(6,??)
x?ax?(a? 1)x?1
在区间
32
P12

6. 若函数
f(x)?
增函数,试求实数a的取值范围。
P13

7. 若函数
f(x)??
1
3
1
2
?
2
?x?x?2ax

?
,??
?
上存在单调递增区间,求a的取值 范围。
32
?
3
?
P14

8. 已知函数
f(x)?x(x?1)(x?a)
,(
a?1
)。
(1 )求导数
f
?
(x)
,并证明

有两个不同的极值点
x
1

x
2

fx)
fx
1
)?(fx
2
)?0
成立,求a的取值范围。 (2)若不等式

P15

9. 已知函数
f(x)?4x?ax< br>2
?
2
3
x(x?R)
在区间
?
?1,1< br>?
上是增函数
3
1
3
x
的两个非零实根为
x
1

x
2
。试问:是否存在实数m,
3
(1)求 实数a的值组成的集合A;
(2)设关于x的方程
f(x)?2x?
2
使得 不等式
m?tm?1…x
1
?x
2
对任意
a?A

t?[?1,1]
恒成立?若存在,求m的
取值范围;若不存在,请说明理由
P17

10. 已知函数
f(x)?1?(1?a)x?x?x
,其中
a?0

23


(1)讨论

在其定义域上的单调性;
fx)
(2)当
x?[0,
取得最大值和最小值时的x的值。
fx)
1]
时,求

P18

11. 求函数f(x)?x?kx?x(k?0)

[k,?k]
上的最小值m和最大值M。
32
P19

12. 求函数
f(x)?
2
3
3]
上的最大值和最小值。
x?2 x
2
?(2?a)x?1
在区间
[2,
3
2
P20

13. 求函数
f(x)?x|x?a|
在区间
[1,2]
上的最小值。
P21

14. 求函数
g(x)?|x?3ax|
在区间
[?11]
的解析式。

上的最大值
F(a)
3
P22

15. 已知函 数
f(x)?x?ax?b

x?R
,其中
a,b?R

3
fx)
(1)求

的单调区间;
(2)若
(< br>存在极值点
x
0
,且
f(x
1
)?f(x
0
)
,其中
x
1
?x
0
,求证:
x
1
?2x
0
?0

fx)
gx)?|(fx)|
,求证:
(gx)
(3)设
a?0
,函数

在区间
[?11],
上的最大值不小于
1

4
P24

16. 已知函数
f(x)?8x?ax?bx
,是否存在实数a,b,使得对任意< br>x?[?1,1]
,均有
32
|(fx)|?2
。若存在,求出a,b 的值;若不存在,请说明理由。
P26

17. 已知函数
f(x)?x? 3x?ax?2
,曲线
y?(
在点处的切线与x轴交点的横
fx)
( 0,2)
坐标为-2。
(1)求a的值;
32
fx)
(2)求证 :当
k?1
时,曲线
y?(
与直线
y?kx?2
只有一个交 点。
P27

?
x
3
?(a?5)x,x
?
0
?
18. 设
a?[?2,

0]
,已知函数
f(x)?
?
3
a?3
2
x?ax,x?0
?
x?
?2
fx)< br>(1)证明

在区间上单调递减,在区间上单调递增;
(?11,)(,1? ?)


(2)设曲线
y?(
在点
P
fx)
i< br>(x
i
,f(x
i
))(i?1,2,3)
处的切线相互平行 ,且
x
1
x
2
x
3
?0
,证
明:
x
1
?x
2
?x
3
??
1

3
432
P29

19. 设
a?Z
,已知定义在 R上的函数
f(x)?2x?3x?3x?6x?a
在区间内有一
(,12)
个零点
x
0




的导函数。
gx)fx)
(1)求

的单调区间;
fx)
2]
,函数
(hx)?g(x)(m?x
0
)?f(m)
,求证:
h( m)h(x
0
)?0
;(2)设
m?[1,x
0
)U(x< br>0
,

(3)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且< br>p
?[1,x
0
)U(x
0
,2]
满足
q< br>|
p1
?x
0
|…
4

qAq
1
3
x?ax
2
?bx
,且
f
?
(?1)? 0

3
P33

20. 已知函数
f(x)?
(1)试用含a的代数式表示b,并求

的单调区间;
fx)

(2)令
a??1
,设函数


x
1
,x
处取得极值,记点
M(x
1
,f(x
1< br>))

fx)
2
x
1
?x
2
N(x
2
,f(x
2
))

P(m,f(m))

x
1
?m?x
2
,请仔细观察曲线

在点P处 的切线
fx)
与线段MP的位置变化趋势,并解答以下问题:
(t,x
2< br>]
,线段MP与曲线
(fx)
(i)若对任意的
m?
均有异于 M,P的公共点,试确定
t的最小值,并证明你的结论;
fx)
(i)若存在点Q(n,f(n))(x
1
?n?m)
,使得线段PQ与曲线

有异于P,Q的公
共点,请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)。
P36

21. 已知函数
f(x)?x?ax?bx?1

a,b?R

(1)若
a?b?0

2
32
fx)
(i)当< br>a?0
时,求函数

的极值(用a表示);


(ii) 若

有三个相异零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若
fx)
存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由;
(2)函数

图象上点A处的切线
l
1


的图象相交于另一点B,在点B处的切线
fx)f x)

l
2
,直线
l
1

l
2< br>的斜率分别为
k
1

k
2
,且
k
2
?4k
1
,,求a,b满足的关系式。
P38

22. 已知函数
f(x)?x
3
?
5
2
x?ax?b
的图 象是曲线C。
2
?
x
0

?
x)
fx< br>0
)?x
0

f(?0
(1)设函数

的导 函数为
f(
,若存在唯一的实数
x
0
,使得

fx )
同时成立,求实数b的取值范围;
(2)已知点A为曲线C上的动点,在点A处作曲线C的 切线
l
1
与曲线C交于另一点B,
l
2
的斜率分别为
k
1

k
2
问:在点B处作曲线C的切线
l
2< br>,设切线
l
1
,是否存在常数
?

使得
k< br>2
?
?
k
1
?若存在,求出
?
的值;若不存 在,请说明理由。
P40

?
x)
23. 已知函数
f( x)?x?ax?bx?1(a?0,b?R)
有极值,且导函数
f(
的极值点是的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(fx)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:
b?3a

2
32
?
x)
(3)若


f(
这两个函数的所有极值之和不小于
?
fx )
7
,求a的取值范围。
2
P45

24. 已知函数
f(x)?x?x

3
fx)(t,f(t))
处的切线方程; (1)求曲线
y?(
在 点
M
fx)?a?b?(fa)
(2)设
a?0
,如果过点
N
可作曲线
y?(
的三条切线,证明:。
(a,b)
P47

25. 已知函数
f(x)?2x?3x

3
fx)
(1)求
(< br>在区间
[?2,1]
上的最大值;
fx)
(2)若过点
P< br>存在3条直线与曲线
y?(
相切,求t的取值范围;
(,1t)


(3)问过点
A

B

C
分别存在几条直线与曲 线
y?(
相切?(只
fx)
(210,)(0,2)
(?1,2)< br>需写出结论)
P49

26. 已知函数
f(x)?x(x?a)( x?b)
,其中
0?a?b



x?s

x?t
处取得极值,
fx)
其中
s?t

(1)求证:
0?s?a?t?b

(2)若
a?b?22
,求证:过原点且与曲线
y?(
相切的两条直线不可能垂直。
fx)
P51

fx)?x?x
,其图象记为曲线C。 27. (1)已知函数

①求函数

的单调区间;
fx)
②证明 :若对于任意非零实数
x
1
,曲线C与其在点
P
1
(x1
,f(x
1
))
处的切线交于另
一点
P
2< br>(x
2
,f(x
2
))
,曲线C与其在点
P
2
,的切线交于另一点
P
3
(x
3
,f(x
3))
,线段
3
P
1
P
2

P
2
P
3
与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为
S
1
S
2
,则
32
S
1
为定值;
S
2< br>(2)对于一般的三次函数
g(x)?ax?bx?cx?d(a?0)
,请给出类似于 (1)②的
正确命题,并予以证明。
P53

28. 已知函数
f(x)?e?xlnx?e

(1)求曲线
y?(
在点
(1,f(1))
处的切线方程;
fx)
(2)是否存在正整数m,使得

上恒成立?若存在,求出m
fx) ?mx?e
在区间
(0,??)
的最大值并给出推导过程;若不存在,请说明理由。
x2
P55

29. (2011·高考课标全国卷)已知函数
f( x)?
的切线方程为
x?2y?3?0

(1)求a,b的值;
(2)如果当
x?0
,且
x?1

f(x)?
alnxb< br>fx)
在点
(1,f(1))

?
,曲线
y?(x?1x
lnxk
?
,求k的取值范围。
x?1x
P58


30. (2010·高考新课标全国卷)设函数
f(x)?e?1?x?ax

(1)若
a?0
,求

的单调区间;
fx)
(2 )若
x?0
时,
(fx)?0
,求a的取值范围。
x2
P60

31. (2016·宁德模拟)已知函数
f(x)??
(1)求函数

的单调区间;
fx)
(2)若
a?1
,求证:
(2a?1)f(x)?3e
a?3
a
2
x?(a?1)x?lnx

2

P62

32. 已知函数
f(x)?1?e

(1)证 明:当
x??1
时,
f(x)?
(2)设当
x?0
时,f(x)?
?x
x

x?1
x
,求a的取值范围。
ax?1
P65

33. 已知函数
f(x)?
实数a的值。
ln(x?1)
fx)?1
恒成 立,求
?ax
。若对任意
x??1

x?0
,均有

e
x
?1
P66

34. (2013·高考全国卷Ⅱ)已知函数
f(x)?e?ln(x?m)

(1)设< br>x?0


的极值点,求m的值,并讨论

的单调性;
fx)fx)
(2)当
m?2
时,证明
(fx)?0

x
P70

35. 证明:
e?2x?xlnx

x2
P71

36. 求证:
e?(1?e)x?xlnx?1

x
P74

37. 已知函数
f(x)?e?1?ln(x?1)

ax
fx)
(1)若函数

在区间上单调递增,求a的取值范围;
(?1,??)
fx)?2ax
。 (2)若
0?a?1
,且
x?0
,求证:


P76

38. 证明:
x
2
e
x
?lnx?1?0

ln2?0.6931
e?1.649
)。
P79

39. 已知函数
f(x)?alnx?
11
?
2

x2x
(1)讨论函数

的单调性;
fx)
(2)证明:
(x?1)(e
?x
?x)?2lnx?
2

3
P81

40. (★★★)已知函数
f(x)?lnx?a(1?x)

(1)讨论

的单调性;
fx)
(2)当

有最 大值,且最大值大于
2a?2
时,求a的取值范围。
fx)
P82

(2x?4ax)lnx?x
。 41. (★★★)设函数
f(x)?
(1)求函数

的单调区间;
fx)
(2)若不等式
(fx)?0

x?1
恒成立,求a的取值范围。
22
P83

42. 已知函数
f(x)?e
2x
?2f(0)e
x
?f
?
(0)x

fx)
(1)求

的单调区间;
(x)?e?x
恒成立,求a的取值范围。 (2)当
x?0
时,
af
x
P84

43. 设函数
f(x)?lnx?
m

x
x
零点的个数;
3
f(b)?f(a)
(2)若对任意
b?a?0

?1
恒成立,求m的取值范围。
b?a
P87

x
44. 已知函数< br>f(x)??ax?b
在点
(e,f(e))
处的切线方程为
y??a x?2e

lnx
(1)讨论函数
g(x)?f
?
(x) ?
(1)求实数b的值;
(2)若存在
x?[e,e]
,满足
f( x)?
2
1
?e
,求实数a的取值范围。
4


P88

fx)?ae
的图象与y轴的交点为A,函数
g(x)?ln
45. 设a为 正实数,函数

x
x
的图象与x
a
轴的交点为B,若点A到 函数

的图象上的任意一点的线段长的最小值为
|AB|

gx)
(1)求a的值;
(2)对任意
x?0

x?1< br>,
x?m
?x
恒成立,求实数m的取值范围。
g(x)
P89

46. 已知函数

对任意
x?
恒成立,
fx)?x?xlnx
,若
k?Z
,且
(kx?2 )?(fx)
(2,??)
求k的最大值。
P91

47. 已知 对任意的
x?0
,不等式
xe
2x
?kx?lnx?1?0
恒成立,求实数k的取值范围。
P93

x
2
48. 已知函数
f(x)?ln(1?x)?

1?x
2
(1)求函数

的单调区间;
fx)
( 2)若不等式
(1?)
n?a
?e
对任意的
n?N
都成立( 其中e是自然对数的底数),求a
的最大值。
1
n
*
P96

fx
0
)?0
,49. 设函数
f(x)?e(2x?1)?ax? a
,其中
a?1
,若存在唯一的整数
x
0
使得
(< br>则a的取值范围是()
A.
[?
x
3
,1)

2e
B.
[?
33
,)

2e4
C.
[
33
,)

2e4
D.
[
3
,1)

2e
P102

50. 已知函数
f(x)?e
2x
?ax

fx)
(1)讨论

的单调性;
fx)?ax?1
,求a的取值范围。 (2)当
x?0
时,

2
P104

??)
51. 若对任意的
x?[0,
,不等式
(x?1)ln(x?1)?
值范围。 1
2
求实数a的取
ax?ax?0
恒成立,
2
P105


52. (2015·高考山东卷)设函数
f(x)?ln(x?1 )?a(x?x)
,其中
a?R


(1)讨论函数

极值点的个数,并说明理由;
fx)
(2)若< br>?x?0

(fx)?0
成立,求a的取值范围。
2
P108

53. (2017·全国二模)已知函数
(fx)?sinx

x
2
(1 )当
x?0
时,证明:
f
?
(x)?1?

2< br>(2)若当
x?
时,
f(x)?
(0,)
?
2
f(x)
?ax
恒成立,求实数a的取值范围。
f
?
(x)
P109

54. 已知
x?0
时,
e?aln(1?x)?1?0
恒成立,求实数a的取值范围。
x
P110

55. 已知函数
f(x)?
sinx

2?cosx
(1)求

的单调区间;
fx)
fx)?ax
,求a的取值范围。 (2)如果对任意
x?0
,都有

P112

fx)?ln ax?bx
在点
(1,f(1))
处的切线是
y?0
。 56. 已知函数

fx)
(1)求函数

的极值;
mx
2
1?e
x(m?0)
恒成立时,求实数m的取值范围。 (2)当
x
?f(x)?
ee
P113

x
3
?mx
。 57. 已知函数
f(x)?sinx?
6
fx)??)
(1)若


[0,
上单调递增,求实数m的 取值范围;
??)
(2)若对
?x?[0,
,不等式
sinx?c osx?e?2
恒成立,求实数a的取值范围。
ax
P114

fx)?lnx

(gx)fx)
58. 已知函数



的反函数。


(1)求证:当
x?0
时,
f(x?1)??
2
1
2
x?x

2
gx)?g(?x)?2g(mx)
(2)若

对任意
x ?R
恒成立,求实数m的取值范围。
P117

59. 隐极值点代换之降次
(2012·高考大纲全国卷)已知函数
f(x)?
(1)讨论

的单调性;
fx)
(2)设

有两个极值点
x
1

x
2
,若过两点
(x
1
,f(x1
))

(x
2
,f(x
2
))
的直 线l与x轴
fx)
的交点在曲线
y?(
上,求a的值
fx)
1
3
x?x
2
?ax

3
P118

60. 隐极值点代换之幂函数代换指、对函数。
x
fx)?e?ax?2
。 (2012·高考课标全国卷)设函数

(1)求

的单调区间;
fx)
?
x)
(2)若
a?1
,k为整数,且当
x?0时,
(x?k)f(?x?1?0
,求k的最大值。
P122

fx)?e
61. (2015·高考全国卷I)设函数

2x
?alnx

?
x)
(1)讨论

的导函数
f(
零点的个数;
fx)
(2)证明:当
a?0
时,
f(x)?2a?aln
2

a
P123

62. 隐极值点代换之代换参数
已 知函数
f(x)?x?aln(1?x)
有两个极值点
x
1

x
2
,且
x
1
?x
2

2
fx)
(1)求a的取值范围,并讨论

的单调性;
(2)证明:
f(x
2
)?
1?2ln2

4
2
P124

fx)?0
恒成立,63. 已知函数f(x)?e?mx?2(x?1)?b
,若对任意的
x?0

m?0< br>有

求满足条件的最小整数b的值。
x
P125


64. 已知函数
f(x)?2e?(x?a)?3
,当
x? 0
时,
(fx)?0
恒成立,求a的取值范围。
x2
P127

65. 已知函数
f(x)?ae
x
?
a?1
?2(a?1)(a?0)

x
(1)当
a? 1
时,求

在点
(1,f(1))
处的切线方程;
fx)
(2)若对于任意的
x?
,恒有
(fx)?0
成立,求a的取值范围 。
(0,??)
P128

66. 设函数
(fx)?lnx,是否存在实数a,使得
f(
2ax
)?f(e
ax
)?f() ?0
对任意正实数x
x2a
恒成立?若存在,求出满足条件的实数a;若不存在,请说 明理由。
P129

67. 设函数
f(x)?(x?a)lnx

a?R

2
fx)
(1)若
x?e

y?(
的极值点,求实数a的值;
fx)?4e
成立,求实数a的取值范围。 (2)若对任意的
x?(0,3e]
,恒有

2
P131

68. 已知函数
f(x)?xe
x
?
lnx

x
(1)求证:函数

有唯一零点;
fx)
(2)若?x?

xe?lnx?1?ax
恒成立,求a的取值范围。
(0,??)
x
P132

69. (2016·高考全国卷Ⅱ)( 1)讨论函数
f(x)?
x?2
x
e
的单调性,并证明当
x ?0
时,
x?2
(x?2)e
x
?x?2?0

e
x
?ax?a
(x?0)
有最小值。设
(1)gx)
(2 )证明:当
a?[0,
时,函数
g(x)?
的最小值为
2
x
,求函数

的值域。
(ha)ha)
P135

70. (2016·山期末)已知函数
f(x)?
lnxax

g (x)?x(lnx??1)

x2
fx)
(1)求
y?(
的最大值;


( 2)当
a?[0,]
,时,函数
y?g(x)(x?
的最小值为
(< br>,
gx)
(0,e])
有最小值。记

ha)
求函数 的值域


ha)
1
e
P136

71. (2017·福建模拟)已知函数
f(x)?xcosx?(a?1)sinx

x?[0,
?
]
,其中
3
?
23
?< br>?a?

43
(1)证明:当
x?[0,]
时,
(fx)?0

?
2
(2)判断

的极值点个数,并说明理由;
fx)< br>(3)记

的最小值为

,求函数

的值域。
fx)
ha)ha)
P138

72. 证明:
e
x
?ln(x?2)?
1

6
P139

73. 证明:
e?lnx?2

x
P141

74. 证明:
e?lnx?2.3

x
P143

75. 已知函数
f(x)?
1
2< br>x

g(x)?alnx

2
h(x
1
) ?h(x
2
)
?2
x
1
?x
2
hx)?( fx)?g(x)
(1)设

,若对任意两个不相等的正数
x
1
x
2
,都有
恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若在[1,e]
上存在一点
x
0
,使得
f
?
(x< br>0
)?
取值范围。
1
?g(x
0
)?g
?
(x
0
)
成立,求实数a的
f
?
(x
0< br>)
P145

76. 已知函数
f(x)?
a
?xl nx

g(x)?x
3
?x
2
?3

< br>x
2]
,使得
(gx
1
)?g(x
2
)?M
成立,求满足上述条件的最大整数(1)如果存在
x
1
,x
2
?[0,
M;
fs)?g(t)
(2)如果对任意的
s,t?[,
成立,求实数a的取值范围。
2]
都有

1
2


P146

77. 已知函数
f(x)?
lnx?1
x
,函数
g(x) ?(x?k)e?k(k?Z)

?x
1
?(0,??)

x
?x
2
?(0,??)
,不等式
5(fx
1
)? g(x
2
)?0
成立,求k的最大值。
P147

78. (2017·资阳模拟)已知函数
(fx)?ln(x?1)?ax

(1)当
a??1
时,求证:
(fx)?0

(2)对任 意
x
2
?ex
1
?0
,存在
x?
,使(?1,??)
成立,求a的取值范围。
f(x
2
?1)?f(x1
?1)a(x
2
?1)?f(x)
?
x
2
? x
1
x
2
P149

79. 已知函数
f(x)? x?(1?a)x?a(a?2)x(a?R)

g(x)?
32
191是否存在实数a,
x?

63
?
x
1
)2]< br>,使得
f(?2ax
1
?g(x
2

,1]

x
2
?[0,
存在
x
1
?[?1
成立? 若存在,求出a的取值范
围;若不存在,说明理由。
P150

4x
2
?7
80. 已知函数
f(x)?

x?[0,1]

2?x
fx)
(1)求

的单调区间和值域;
1]
,总存在(2)设
a?1
,函数
g(x)?x?3ax?2a

x ?[0,1]
。若对于任意
x
1
?[0,
x
0
?[ 0,1]
,使得
(fx
1
)?(gx
0

成立,求 a的取值范围。
32
P151

81. 已知函数
f(x)?e
mx
?x
2
?mx

fx)
(1)证明:

在上单调递减,在上单调递增;
(0,?? )
(??,0)
,1]
,都有
|(fx
1
)?(fx
2
)|?e?1
,求m的取值范围。 (2)若对于任意
x
1
,x
2
?[?1
P154

82. 已知
x?3
是函数
f(x)?(x?ax?b)e
23?x
(x?R)
的一个极值点。
fx)
(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求

的单调区间;


(2)设
a?0

g(x)?(a
2
?
求a的取值范围。
25
x
4]
使得
|(fx
1
) ?g(x
2
)|?1
成立,
)e
。若存在
x
1,x
2
?[0,
4
P156

x
2
(m?0)
。 83. 已知函数
f(x)?
x?m< br>(1)若存在
x?0
使

,求实数m的取值范围;
fx)? xln(x?m)
(2)证明:存在实数
x
0
,当
x?x
0
时,
(fx)?2lnx

P157

84. 已知f(x)?(x?a)?e

g(x)?
x
1
2
x?b x


2
(1)当
a?3
时,若函数


(0,f(0))
处的切线与函数

相切,求实数b的值;
fx) gx)
(2)当
a?0

b?a?1
时,记

。证 明:当
0?a?
hx)?(fx)?ag(x)
1
时,存在
4
x
0
?(lna,??)
,使得
(hx
0
)?0

P159

fx)?ln(x?1)?x

(gx)?xlnx
。 85. 已知函数

fx)
(1)求函数

的最大值;
(2)设< br>0?a?b
,证明
0?g(a)?g(b)?2g(
a?b
)?(b? a)ln2

2
P161

86. (2018·朝阳一模)已知函数
f(x)?
(1)当
a?2
时,
lnx?1
?ax

x
fx)
(i)求曲线
y? (
在点
(1,f(1))
处的切线方程;
fx)
(ii)求函数

的单调区间;
fx)??1
。 (2)若
1?a?2
,求证:

P163

87. 已知函数
f(x)?(ax?x?a)e(a?R)

2?x
fx)
(1)若
a?0
,函数

的极大值为
3
,求实数a的值;
e


(2)若对任意的
a?0



x?[0,
上恒成立,求实数b的取值范
fx)?bln(x?1)??)
围。
P165

88. 已知函数
f(x)?
1
2
x?alnx

2
1< br>(1)若函数


[,
上单调递增,求实数a的取值范围;
fx)
??)
2
(2)若函数

有两个零点,求实数a的取值范围, 并说明理由;
fx)
(3)设正实数
m
1

m
2
满足
m
1
?m
2
?1
,当
a?0
时求证:对任意的两个正实数
x
1

x
2

fm< br>1
x
1
?m
2
x
2
)?m
1
(fx
1
)?m
2
(fx
2

总有
(< br>成立;
fx
1
)?(fx
2
)?(fx
3

(4)当
a?2
时,若正实数
x
1

x
2

x
3
满足
x
1
?x
2
?x< br>3
?3
,求


最小值。
P167

89. 已知函数
f(x)?e?x?1

(1)设

,对 任意
x
1
,x
2
?R(x
1
?x
2
)
,恒有
gx)?(fx)?(f?x)
立。求实数m的取值范围;
(2 )若正实数
m
1

m
2
满足
m
1
?m
2
?1

x
1
,x
2
?R(x
1
?x
2
)
。试证明:
x
g(x
2
)? g(x
1
)
?m

x
2
?x
1
( fm
1
x
1
?m
2
x
2
)?m
1
(fx
1
)?m
2
(fx
2

;并进一步 判断:当正实数
m
1
,m
2
,L,m
n
满足
m
1
?m
2
?L?m
n
?1(n?N,n?2)
,且
x
1
,x
2
,L,x
n
是互不相等的实数时, 不等式
f(m
1
x
1
?m
2
x
2
?L?m
n
x
n
)?m
1
f(x
1
)?m
2
f(x
2
)?L?m
n
f(x
n
)是否仍然成立。
P170

90. 已知函数
f(x)?f
?
(1)e
x?1
?f(0)x?
1
2
x

2
fx)
(1)求函数

的解析式及单调区间;
(2)若 不等式
(fx)?
1
2
x?ax?b
恒成立,求
(a?1) b
的最大值。
2
P172

fx)?lnx?ax?b
,其中
a,b?R
。 91. 已知函数

fx)
(1)求

的单调区间;


(2)若
a?1

b?[0,2]
,且存在实数k,使得对任意实数
x?[1,e]
,恒有
(fx)?kx?xlnx?1
成立,求
k?b的最大值。
P174

92. 已知函数
f(x)?lnx?x?ax
有两个极值点m,n,且
m?[,

fm)?(fn)
1]
,求

取值范围。
2
1
2
P175

fx)?e

g(x)?ln
93. 已知函数

x
x1
,使得
(0,??)
?
,对任意的
a?R
,存在b?
22
,求
b?a
的最小值。
(fa)?g(b)
P176

94. 已知函数
f(x,t)?e
2x
?2t(e
x
?x)?x
2
?2t
2
?1

t?R

x?R

fx,t)


的最小值。
P179

95. 已知函数
f(x)?
1?x
x
?e

1?x
2
(1)求

的单调区间;
fx)
fx< br>1
)?(fx
2
)(x
1
?x
2
)
时,
x
1
?x
2
?0
。 (2)证明:当

P180

96. 已知函数
f(x)?(x?2)e?a(x?1)
有两个零点
(1)求a的取值范围;
x2
fx)
(2)设
x
1

x
2


的两个零点,证明:
x
1
? x
2
?2

P182

(x
1
,0)( x
2
,0)
fx)?e?ax?a
,其图象与x轴交于
A
9 7. 已知函数


B
两点,且
x
1
?x
2

(1)求a的取值范围;
x
?
x)fx)
(2)证 明:
f
?
(x
1
x
2
)?0

f (
为函数

的导函数)。
P183

gx)?lnx?bx
。若函数
(gx)
98. 已知函数

有两个不同的零点
x
1

x
2

(1)求实数b的取值范围;
2
(2)求证:
x
1
x
2
?e

P186


99. 已知函数
f(x)?x
2
?4x?5?
a

e
x
(1)若

在R上是单调递增函数,求a的取值范围;
fx)
(2)设
g(x)?ef(x)
,当
m?1
时,若
g(x
1
)?g(x
2
)?2g(m)
,且
x
1< br>?m?x
2
,求证:
x
x
1
?x
2
?2m

P188

100. 已知函数
(fx)?xlnx
g(x)?
x
,记
F

(x)?(fx)?g(x )
e
x
(1)求证:
F
在区间内有且仅有一个实根;
(x )(,1??)
(2)用
min{a,b}
表示a,b中的最小值,设函数
m (x)?min{f(x),g(x)}
,若方程

内有两个不相等的实根
x
1
,x
,记
F

m(x)?c
在区间
(, 1??)(x)(,1??)
2
x
1
?x
2

内的 实根为
x
0
。求证:
x
1
?x
2
?x0

2
2
P191

gx)?(fx)?ax?bx
,其中

101. 已知

的图象在
(1,g(1))
处的切线平
fx)?lnx


gx)
行于x轴。
(1)确定a与b的关系;
(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2
(2)设斜率为k的直线与

的图象交于
A

B,求证:
fx)
11
?k?

x
2
x
1
P192

102. 已知函数
F(x)?
(1)当
p
?lnpx
,(
p?0
)。
x
11
?p?
时,求
F
零点的个数;
(x)2
e
(2)在(1)的条件下,记这些零点分别为
x
i
(i?1 ,2,L,k)
,求证:
111
??L??2e

x
1
x
2
x
k
P194

103. 已知函数
f(x)?lnx

g(x)?ax?
b
?c

x


(1,??)
(1)当
b?3?a
时,若对任意< br>x
0
?
和任意
a?
,总存在不相等的正实数
x
1

(0,3)
x
2
,使得
(gx
1
) ?g(x
2
)?(fx
0

,求c的最小值;
(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)(x
1?x
2

(2)当
a?1
时,设函数
y?(

y?g
图象交于
A

B

fx)(x)
点 。求证:
x
1
?x
2
?x
2
?b?x
1< br>?x
2
?x
1

P196

104. 已知函数

在点
(1,f(1))
处的切线斜率为1。
fx)?xlnx?mx
,且曲线
y?(fx)
(1)求实数m的值; (2)设
g(x)?f(x)?
a
2
x?x?a
在其定义域内有 两个不同的极值点
x
1

x
2
,且
2
1?
??
(x
1
?x
2

,已知
?
? 0
,若不等式
e?x
1
?x
2
恒成立,求
?
的取值范围。
P197

fx)?ae?x?bx
。 105. 已知函 数

(1)设
b?0
,若函数
y?(
在R上有且只有一个零 点,求a的取值范围;
fx)
(2)设
b?2
,且
a?0
,点是曲线
y?(
上的一个定点,是否存在实数
(m,n)fx)
x2
x
0
(x
0
?m)
,使得
f(x
0
)? f
?
(
x
0
?m
)(x
0
?m)?n成立?证明你的结论。
2
P199

106. 已知函数
f(x)?e
x
?
1
2
x?ax

2
fx)
(1)若函数

在R上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)如果函数
g(x)?f(x)?(a?)x
2
恰有两个不同的极值点< br>x
1

x
2
,证明:
1
2
x
1
?x
2
?ln2a

2
P200

(x
1
?x
2

107. 已知函数
f(x)?e ?x?ax
有两个极值点
x
1

x
2


(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:
e
1
?e
2
?4

xx
x2
P201

fx)?e?ax?b
,其中
a,b?R

e?2.71828???
。 108. 已知函数

x


(1)当
b??a
时,求

的极小值;
fx)
?
x)
(2)当
a?0
,设
f(


的导函数,若函数

有两个不同的零点
x
1

f x)fx)
b??a
时,
x
2

(x
1
? x
2

,求证:
f(3lna)?f
?
(
2x1
x
2
)

x
1
?x
2
P203

109. 已知函数
f(x)?lnx?ax?(2?a)x(a?0)
。若函数
y?(
的图象与x轴交 于A,
fx)
2
?
x
0
)?0
。 B两点,线段A B中点的横坐标为
x
0
,证明:
f(
P204

f x
1
)?(fx2)
fx)?xe
。如果
x
1
?x
2
,且

110. 已知函数

。证明:
x
1
?x
2
?2

?x
P204

(x
1
,y
1
)(x2
,y
2

111. 已知函数


B
两点。求证:
fx)?xlnx
与直线
y?m
交于
A
0? x
1
?x
2
?
1

2
e
P205

112. 已知函数
h(x)?ln(x? 1)
,对任意
x
1
,x
2
?(?1,??)
?x
1
?x
2
?
,证明:不等式
x
1
? x
2
?x
1
x
2
?x
1
?x
2< br>?1

h(x
1
)?h(x
2
)
P205

fx)?lnx?ax
。若函数
y?(fx)
113. 已知函数

图象在
x?1
处的切线平行于x轴,且
A(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2
fx)

B
是函数
y?(
的图象上任意两个不同的点 ,设直线AB
的斜率为k,证明:
11
?1?k??1

x
2
x
1
P206

fx)?ln(x?1)
114. 已知函数


g(x)?
n?(fn)
的大小,并加以证明。 x
*
。设
n?N
,比较
g(1)?g(2)?L?g(n)
1?x
P207

115. 已知函数
f(x)?ln(1?x)?
x(1?
?
x)

1?x
fx)?0
,求
?
的最小值; (1)若
x?0时,


(2)设数列
?
a
n
?
的通项
a
n
?1?
1111
??L?
,证明:
a< br>2n
?a
n
??ln2

23n4n
2
?ln(2n?1)?2(n?N
*
)

?
i?1
2i?1
n
P208

116. 已知函数

。证明:
fx)?x?ln(x?1)
P209

117. 已知
f(x)?x
2
?2x?sin
证明:
x< br>1
?x
2
?2x
0

?
2
fx< br>1
)?(fx
2


x

x?(0,1)< br>在
x?x
0
处取得极小值,若

P210

fx)?4x?x
。 118. 已知函数

(1)求

的单调性;
fx)
(2)设曲线< br>y?(
与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为
y?g

fx)(x)
求证:对于任意的正实数x,都有


fx)?g(x)1
a
(3)若方程
(fx)?a
有两个正实数根
x
1< br>,
x
2
,且
x
1
?x
2
,求证:< br>x
2
?x
1
???4
3

3
4
P212

119. 已知函数
f(x)?(x?b) (e?a)(b?0)

(?1,f(?1))
处的切线方程为
x
( e?1)x?ey?e?1?0

(1)求a,b的值;
fx)?m
有两 个实数根
x
1

x
2

x
1
?x
2
),证明:
x
2
?x
1
?1?
(2)若 方程

m(1?2e)

1?e
P215

120. 已知函数
f(x)?x?
1
?alnx(a?R)

x
fx)
(1)讨论函数

的单调性;
fx)
( 2)若

有两个极值点
x
1

x
2
,记过 点
A(x
1
,f(x
1
))

B(x
2< br>,f(x
2
))
的直线斜率为k。
问:是否存在a,使得
k? 2?a
?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由。
P217

121. 已知函数
f(x)?ax?(2a?1)x?lnx

2
fx)
(1)当
a?0
时,求函数

的单调区间;


(2)设

有两个极值点
x
1

x
2< br>(x
1
?x
2
)
,且不等式
gx)?(fx)?2a x
,若
(gx)
gx
1
)(?g(x
2
)?
?
(x
1
?x
2

恒成立,求实数
?
的 取值范围。
P219

122. 已知函数
f(x)?lnx?x?ax(a?R)

(1)求函数

的单调区间;
fx)
(2)设函数
存在两个极值点
x
1

x
2
,且
x
1
?x
2
,若
0?x
1
?
fx)
2
1
,求证:
2
f(x
1
)?f(x
2
)?
3
?ln2

4
P221

123. 已知函数
f(x)??
1
2
x?ax?lnx(a?R)

2
(1)求函数

的单调区间;
fx)
(2)若函数f( x)有两个极值点
x
1

x
2
(x
1
?x
2
)
,求证:
4f(x
1
)?2f(x
2
)?1?3ln2

P223

124. 已知函数
(fx)?lnx?mx

fx)
(1)求函数

的单调区间;
(2)当
m??32
1
时,设
g(x)?f(x)?x
2
的两个极值点
x
1

x
2
(x
1
?x
2
)恰为
2
2
h(x)?2lnx?ax?x
2
的零点,求
y?(x
1
?x
2
)h
?
(
x
1
?x
2
)
的最小值。
2
P225

125. 已知函数
f(x)?alnx?x

2
fx)?0
根的个数; ( 1)当
x?[1,e]
时,讨论方程

(2)若
a?0
,且 对于任意的
x
1
,x
2
?[1,e]
,都有
|f( x
1
)?f(x
2
)|?|
的取值范围。
11
? |
,求实数a
x
1
x
2
P227

126. 已知函数
f(x)?
1
2
x?(2a?2)x?(2a? 1)lnx

2
fx)
(1)讨论函数

的单调性; < /p>


(2)对任意的
a?[,2]

x
1
,x2
?[1,2](x
1
?x
2
)
恒有
1
2
|f(x
1
)?f(x
2
)|?
?
|
11
?|(
?
?0)
,求实数
?
的取值范围。
x
1
x
2
P229

127. 已知函数
f(x)?
1?2lnx

2
x
(1)求

的单调区间;
fx)
gx)?a x?2lnx
,则

(2)令

gx)?1
时有两个不同的 根,求a的取值范围;
(3)存在
x
1
,x
2
?(1,? ?)

x
1
?x
2
,使
|f(x
1
)?f(x
2
)|?k|lnx
1
?lnx
2
|
成立,求k
的取值范围。
2
P231

128. 已知函数
f(x)?(x?1)e
x
?
a
2
x

2
(1)函数

的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明 理由;
fx)
(2)求最大的整数a,使得对任意
x
1
?R

x
2
?(0,??)
,不等式
f(x
1
?x< br>2
)?f(x
1
?x
2
)??2x
2
,恒成 立。
P233

129. 已知函数
f(x)?ax?
b
?c(a?0)
的图象在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?x?1
x
(1)用a表示出b,c;
(2)若

上恒成立,求a的取值范围;
fx)?lnx

[1,??)
(3)证明:
1?
111n
?????ln(n?1)?(n ?1)

23n2(n?1)
P235

130. 已知函数
f(x)?x?ln(x?a)
的最小值为0,其中
a?0

(1)求a的值;
fx)?kx
成立,求实数k的最小值;
??)
(2)若对任意的
x?[0,
,有

(3)证明:
2
?< br>2i?1
?ln(2n?1)?2(n?N)

*
i?1
n
2
P237


fx)?e?ex
。 131. 已知函数

(1)求函数

的最小值;
fx)
(2)求证 :
e
1111
1???
L
??
23n?1n
x?n?1(n?N
*
)

P238

132. 已知函数
f(x)?e?ax?1(a?0)

(1)求函数

的最小值;
fx)
(2)若
(fx)?0
对任意的
x?R
恒成立,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,证明:
()
n
?()
n
?L?(
x
1
n
2
n
n?1
n
n
n
e
)?()?(n?N
*
)

nne?1
P239

133. 已知函数
f(x)?2aln(1?x)?x(a?0)

(1)求

的单调区间和极值;
fx)
lgelgelge
(2)求证:
4lge???L??lg[e
23n
P240

134. 已知函数
f(x)?
(1?n)
n
n
2
(n?1)](n?N
*
)

1?ln(1?x)
(x?0)

x
fx)
(1)试判断函数

在上的单调性并证明你的结论;
(0,??)
(2)若
f(x)?
k
恒成立,求整数k的最大值;
x?1
2n?3
(3)求证:
(1?1?2)(1?2?3)L[1?n(n ?1)]?e

P242

fx)?sinx
。 135. 函数

fx)?1?ax?cosx

[0,
?
]
上恒 成立,求实数a的取值范围; (1)若

(2)证明:
f(
2
?< br>(n?1)
?
32(n?1)

)?f()?
L
? f[]?
2n?12n?12n?14(2n?1)
?
P244

?
x)
?
x)fx)?ln(x?1)gx)?xf(fx)
136. 设函数




x?0
,其中
f(


的导函数。


()?g(x)()?g(g
n
(x))

n?N
*
,求
g()
(1)
g

g< br>n?
的表达式;
1
x
1
x
n
x
( 2)若

恒成立,求实数a的取值范围;
fx)?ag(x)
(3)设n?N
,比较
g(1)?g(2)?L?g(n)

n?(
的大 小,并加以证明。
fn)
*
P247

137. 对于函数

,若存在
x
0
?R
,使得
f(x
0
) ?x
0
成立,则称
x
0


的不动点。如
fx)fx)
x
2
?a
1
(b,c?N
*
)
有且仅有两个不动点0,2,且

果函数
f(x)?
f?2)??

bx?c
2
(1)试求函数

的单调区间;
fx)< br>(2)已知各项不为1的数列
?
a
n
?
满足
4Sn
?f(
1?1n?11
)?1
,求证:
?ln??

a
n
a
n?1
na
n
(3)在(2)中,设
b
n
??
1
T
n
为数列
?
b
n
?
的前n项和,
T
2008
?1?ln2008?T
200 7
。,求证:
a
n
P249

138. 已知函数
f(x)?ae
2x
?(a?2)e
x
?x

(1)讨论

的单调性;
fx)
(2)若

有两个零点,求a的取值范围。
fx)
P253

139. 已知函数
f(x)?ax?sinx?
3
?
?
?3
且在
[0,]
上的最大值为。
222
fx)
(1)求函数

的解析式;
fx)(0,< br>?

(2)判断函数

在内的零点个数,并加以证明。
P255

140. 已知函数
f(x)?ax?x?lnx
。 < br>2
fx)
(1)若
?1?a?0
,求证:函数

有且 只有一个零点;
fx)
(2)若函数

有两个零点,求实数a的取值范围。
P258

fx)?e?2
,其中
e?2.7188???
是自然对数的底数。 141. 已知函数

x


(1)证明:当
x?0
时,
f(x)?x?1?lnx

(2)设m为整数,函数
(gx)?(fx) ?lnx?m
有两个零点,求m的最小值。
P259

142. 已知函数
f(x)?e?
x
2
x

4
?
x)
?
x)
(1)设

(其中
f(

(< br>的导函数),判断

在 上
gx)(?x?1)f(fx)gx)
(?1,??)
的单调性;
(2) 若
F(x)?ln(x?1)?af(x)?4
无零点,试确定正数a的取值范围。
P261

143. 已知函数
f(x)?e
ax
?
?
lnx(a?0,0?
?
?)

(1)求证:函数

有两个极值点;
fx)
(2)若
?e?a?0
,求证:函数

有唯一零点。
fx)
1
e
P263

x
2
1
??alnx(a?0)
。 144. 已知函数
f (x)?
6x
fx)
(1)若

在区间
(0,3]
内单调递减,求a的取值范围;
fx)
(2)若

在内有且只有一个零点< br>x
0
,记
[x
0
]
表示不超过
x
0
的最大整数,求
(0,??)
[x
0
]
的值。
P265

145. 已知函数
f(x)?(1?k)x?klnx?k?1(k?0)

(1)讨论函数

的单调性;
fx)
fx)gx)fx)
(2)设函数

的导函数为

,若函数

恰有两个零点x
1

x
2
,证明:
g(
x
1
?2x
2
)?0

3
x2
P268

146. 已知函数
f(x)?e?ax?bx?1

gx)fx)gx)
(1)设

是函数

的导函数,求函数

在区间< br>[0,1]
上的最小值;


(2)若
()
在区间内有零点,求a的取值范围。
f1?0
,函数
(fx)
(01,)
P270

147. 已知函数
f(x)?
1
2
其中
a?0
。 设两曲线


(fx)gx)
x?2ax

g(x)?3a
2
lnx?b

2
有公共点,且在该点处的切线相同。
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求证:


fx)?g(x)
P272

148. 已知函数
f(x)?ax

g(x)?2lnx


(1)求
F
的单调区间,若
F(x)
有最值,请求其最值;
(x)?(fx)?g(x)
(2)是否存在正常数a,使



的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处
fx)gx)
有共同的切线?若存在,求出a的值 ,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在,请
说明理由。
2
P274

149. (2017·春丹阳市校级期中)已知函数
f(x)?x?
x
1

x
x
3
(1)函数
F(x)?f(e)?k(x?)
,其中k为实数 ,对
?x?
,有
F(x)?0
,求k
(01,)
6
的最大值;
x
2
?2lnx
(2)若
g(x)?
(a为正 实数),试求函数



在其公共点处是否存
fx)gx)
a
在公切线,若存在,求出符合条件的a的个数,若不存在,请说明理由。
P276

150. (2016·高考全国卷Ⅱ)若直线
y?kx?b
是曲线
y?ln x?2
的切线,也是曲线
的切线,则
b?
__________。
y?ln(x?1)
P278

151. 已知函数
y?aln(x ?1)(x?0)
与函数
y?
2x
(x?0)
有且只有一条公切线, 则
x?2
a?
__________。
P279

2x
152. 若曲线
C
1
:y?ax(a?0)
与曲线< br>C
2
:y?e
存在公共切线,则a的取值范围为()


e
2
A.
[,??)

8
e
2
B.
(0,]

8
e
2
C.
[,??)

4
e
2
D.
(0,)

4
P282

153. 已知k为非零实数,函数
f(x)?kx< br>,
g(x)?lnx

F(x)?f(x)?g(2kx)?1

(1)求函数
F
的单调区间;
(x)
(2)若直线l与函数
y?(

y?g
的图象都相切,则称直线l是函数
y?(

fx)(x)fx)
的公切线,已知函数
y?(

y?g
有 两条公切线
l
1

l
2

y?g(x)fx)(x)
(i)求k的取值范围;
(ii)若a,b(
a ?b
)分别为直线
l
1

l
2

y?(< br>图象的两个切点的横坐标,求
fx)
证:
F
?
(
2< br>a?b
)?0

2
P285

154. 已知函数

是在上处处可导的函数若
x?f
?
(x)?f(x)
在< br>x?0
上恒成立。
fx)
(0,??)
(1)求证:函数
g (x)?
f(x)
在上是增函数;
(0,??)
x
fx
1
)?(fx
2
)?(fx
1
?x
2

(2 )当
x
1
?0

x
2
?0
时,证明:

(3)已知不等式
ln(1?x)?x

x??1

x?0
时恒成立,求证:
1111n
2222
ln2?ln3? ln4?L?ln(n?1)?(n?N
*
)

2222
234(n?1)2(n?1)(n?2)

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