高中数学复习典型题专题训练20---导数的概念与几何意义

高中数学复习典型题专题训练20












板块一.导数的概念
与几何意义
知识内容

1．函数的平均变化率：
一般地，已知函数
y?f(x)
，
x
0
，
x
1
是其定义域内不同的两点，记
?x?x
1
?x
0
， < br>?y?y
1
?y
0
?f(x
1
)?f(x
0
)?f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
f(x< br>0
??x)?f(x
0
)
?y
则当
?x?0
时，商称作函数
y?f(x)
在区间
[x
0
,x
0
??x]
（或
[x
0
??x,x
0
]
）的
?
?x?x

平均变化率．
注：这里
?x
，
?y
可为正值，也可为负值．但
?x?0
，
?y
可以为
0
．

2．函数的瞬时变化率、函数的导数：
设函数
y?f(x)
在
x
0
附近有定义，当自变量在
x?x
0
附近改变量为< br>?x
时，函数值相应的改变
?y?f(x
0
??x)?f(x
0
)
．
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
如果当
?x
趋近于
0
时，平均变化率趋近于一个常数
l
（也就是说平均变化率
?
?x?x
与某个常数
l
的差的绝对 值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数
l
称为函数
f(x)
在点< br>x
0
的
瞬时变化率．
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
“当
?x
趋近于零时，
趋近于常数
l
” 可以用符号“
?
”记作：
?x
f(x??x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x
0
)
“当
?x?0
时 ，
0
或记作“
lim
符号“
?
”读作“趋近于”．
?l
”，
?l
”，
?x?0
?x?x
函数在
x< br>0
的瞬时变化率，通常称为
f(x)
在
x?x
0
处的 导数，并记作
f
?
(x
0
)
．
这时又称
f(x)
在
x?x
0
处是可导的．于是上述变化过程，可以记作
f (x
0
??x)?f(x
0
)f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
“当
?x?0
时，
?f
?
(x
0
)
”或“
lim?f
?
(x
0
)
”．
?x?0
?x?x

3．可导与导函数：
如果
f(x)< br>在开区间
(a,b)
内每一点都是可导的，则称
f(x)
在区间
(a,b)
可导．这样，对开区间
(a,b)

内每个值
x
，都对应一个确定的导数
f
?
(x)
．于是，在区间
(a,b)< br>内，
f
?
(x)
构成一个新的函数，我
们把这个函数称为函数
y?f(x)
的导函数．记为
f
?
(x)
或
y?
（或
y
x
?
）．
导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．

4．导数的几何意义：
设函数
y?f(x)
的图象如图所示．
AB
为过点
A(x
0
,f(x
0
))
与
B(x
0
??x,f(x
0
??x))
的一条割线．由此割线的斜率是?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，可知曲线割线的 斜率就是函数的平均变化
?
?x?x

O
x
x
0
y
D
B
C
A
1
x

率．当点
B
沿曲线趋近于点
A
时，割线< br>AB
绕点
A
转动，它的最终位置为直线
AD
，这条直线
AD
叫做此曲线过点
A
的切线，即
f(x
0
??x)?f (x
?
lim
0
)
x?0
?x
?
切线AD
的斜率．
由导数意义可知，曲线
y?f(x)
过点
(x< br>0
,f(x
0
))
的切线的斜率等于
f
?
( x
0
)
．


典例分析

题型一：极限与导数
【例1】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为
?
，则
?
的取值范围是（ ）
A．
(0?，180?)
B．
(0?，60?)
C．
(60?，90?)
D．
(60?，180?)


【例2】
在正
n
棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）
A．
?
?
n?2
?
n
π
，
π?
?
?
B．
?
?
n?1
?n
π
，
π
?
?
?
C．
?
?
?
0，
π
?
2
?
?
D．
?
?
n?2
?
n
π
，
n?1
n
π
?
?
?


【例3】
对于任意?
?
?
?
?
0，
π
?
2
?< br>?
都有（ ）
A．
sin(sin
?
)?cos?
?cos(cos
?
)
B．
sin(sin
?
)?cos
?
?cos(cos
?
)

C．< br>sin(cos
?
)?cos
?
?cos(sin
?
)
D．
sin(sin
?
)?cos
?
?cos (sin
?
)


【例4】
若
lim
f (x)
x?0
x
?1
，则
lim
f(2x)
x?0
x
?
________．

【例5】
若
lim
f(x?1)
x?1
x?1
?1
，则
lim
f(2 ?2x)
x?1
x?1
?
_______．

【例6】
设
f(x)
在
x
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?3?x
?
0
可导 ，则
?
lim
x?0
?x
等于（ ）
A．
2f
?
?
x
0
?
B．
f
?
?
x
0
?
C．
3f
?
?
x
0
?
D．
4f
?
?
x
0
?


【例7】
若
f(x
0
?2?x)?f(x
0
)< br>?
lim
x?0
3?x
?1
，则
f
?
(x
0
)
等于（ ）
A．
2
3
B．
3
2
C．
3
D．
2


【例8】
设
f(x)
在
x< br>处可导，
a，b
为非零常数，则
lim
f(x?a?x)?f(x?b ?x)
?x?0
?x
?
（ ）．
A．
f
?
(x)
B．
(a?b)f
?
(x)
C．
(a?b)f
?
(x)
D．
f
?
(x)


【例9】
设
f?
(3)?4
，则
lim
f(3?h)?f(3)
h?0
2h
?
（ ）
A．
?1
B．
?2
C．
?3
D．
1


【例10】
若
f
?
(a)?2
，则当
h
无限趋近于
0
时，
f(a?h)?f(a)
2h
?
______．

【例11】 < br>已知函数
f(x)?x
2
?8x
，则
f(1?2?x)?f( 1)
?
lim
x?0
?x
的值为 ．

2

【例12】
已知
f(x)?
1f(2??x )?f(2)
，则
lim
的值是（ ）
?x?0
x?x
11
A．
?
B．
2
C． D．
?2

44
2

【例13】
若
f(x?1)?f(1)?2x? x
，则
f
?
(1)?
_______．

[f( x
0
??x)]
2
?[f(x
0
)]
2
【 例14】
已知函数
f(x)
在
x?x
0
处可导，则
lim?
（ ）
?x?0
?x
2
A．
f
?
(x
0
)
B．
f(x
0
)
C．
[f
?
(x
0
)]
D．
2f
?
(x
0
)f(x
0
)


3n?2
【例15】
计算
lim?
________．
n??
4n?3

n
2
?2n
【例16】
lim?
_______．
n??
2n
2
?3

*
【例17】
将直线
l
2
:nx?y?n?0
、
l
3
:x?ny?n?0
（
n?N
，
n≥2
）
x
轴、
y
轴围成的封闭图形的面积
记为
S
n< br>，则
limS
n
?
．
n??

【例18】
lim
?
1?
n??
?
?
A．

5
3

111
?
?
2
?
L?
n
?
?
（ ）
333
?
3
B．C．
2

2


D．不存在
【例19】
如图，在半径为
r
的圆内作 内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接
正六边形，如此无限继续下去．设
S
n
为前
n
个圆的面积之和，则
limS
n
?< br>（ ）
n??
r
O
8
A．
2πr
2
B．
π
r
2
C．
4πr
2
D．
6πr
2

3


【例20】
li m
?
x?1
12
??
?
?
?
______ ．
22
x?3x?2x?4x?3
??
1
n(n?a?n)
?1
，则常数
a?
_______．

【例21】
若
lim
n??

【例22】
lim
x?
π
(x?π)cosx
x?
π
?
_____．

【例23】
lim
1?2?3?
L
?n
?
_________
n??
n
2
?
1
?
2
?
?
?< br>________．
xx(x?2)
??

【例24】
lim
?
x?0

3

【例25】
lim
x?1
?
__________．
x?1
x
2
?3x?4

【例26】
lim?
x?2
1
??
4
?
?
?
（ ）
2
?
x?4x?2
?
11
A．
?1
B．
?
C．
44
D．
1


【例27】
lim
x?1
xx?x
?
．
x?1

【例28】
设函数
f(x)?a
1
si nx?a
2
sin2x?L?a
n
sinnx
，其中
a1
，a
2
，L，a
n
?R，n?N
?
，已知对 一切
x?R
，有
f(x)≤sinx
和
lim
sinx?1
，求证：
a
1
?2a
2
?L?na
n≤1
．
x?0
x

【例29】
如图，函数
f(x)
的图象是折线段
ABC
，其中
A，
4)，(2，0)，(6 ，4)
，则
B，C
的坐标分别为
(0，
f(f(0))?
；函数
f(x)
在
x?1
处的导数
f
?
(1)?< br> ．
y
4
3
2
1
A
CO
B
1
23456
x


【例30】
如图，函数
f(x)
的图象是折线段
ABC
，其中
A，B，C的坐标分别为
?
0，4
?
，
?
2，0
?
，
?
6，4
?
，
则
f(f(0))?
；
lim
y
4
3
2
1
?x?0
f(1?? x)?f(1)
（用数字作答）
?
．
?x
A
C
O
B
1
23456
x

y
y

）
y
【例31】
下列哪个图象表示的函数在
x?1
点处是可导的（
y
O
1
xO
1
xO
1
x
O
1
x
A.B.
2
C.
D.

【例32】
函数
f(x) ?2x?1
在闭区间
[1，1??x]
内的平均变化率为（

）
A．
1?2?x
B．
2??x
C．
3?2?x
D．
4?2?x


【例33】
求函数
y?x
2
?1
在
x
0
到
x
0
??x
之间的平均变化率．

【例34】
若函数
f(x)?
2
，则当
x??1
时，函数的瞬时变化率 为（ ）
x
4

A．1 B．
?1
C．2 D．
?2


【例35】
求函数
f(x)??x?x
在
x??1
附近的 平均变化率，在
x??1
处的瞬时变化率与导数．
2

【例36】
求函数
f(x)?x?2x
3
在
x?1
附近的平均变化率， 在
x?1
处的瞬时变化率与导数．
1
3
t
，则当
t?3
s时的瞬时速度是_______．
9

【例37】
已知某物体的运动方程是
s?9t?

【例38】
已知某物体的运动方程是
s?
2t?3
2
，则
t?3
时的瞬时速度是_______．
?2t
t
2


【例39】
已知物体的运动方程是
s?t
2
?
3
，则物体在时刻
t?4
时的速度
v?
____，加速度
a ?
．
t

【例40】
物体运动方程为
s?
A．2


1
4
t?3
，则
t?2
时瞬时速度为（ ）
4
B．4 C．6 D．8
【例41】
一质点做直线运动 ，由始点起经过
t
1
s后的距离为
s?t
4
?4t
3
?16t
2
，
4
则速度为零的时刻是（ ）
A．4s末 B．8s末 C．0s与8s末 D．0s，4s，8s末

【例42】
如果某物体做运动方程为
s?2( 1?t)
的直线运动（
s
的单位为
2
t
的单位为s）m，， 那么其在
1.2
s
末的瞬时速度为（ ）
A．
?0.88
ms B．
0.88
ms C．
?4.8
ms D．
4.8
ms


【例43】
求
y?x
在
x?x
0
处的导数．






题型二：导数的几何意义
【例44】
已知曲线
y?x?
1
?
5
?
上一点
A
?
2，
?
，用斜率定义求：
x
?
2
?
⑴ 过点
A
的切线的斜率；⑵ 过点
A
的切线方程．


【例45】
已知曲线
y?
1
上一点
A(1，2)
，用斜率定义求：
x
⑴过点A的切线的斜率；⑵过点A的切线方程．
x?



【例46】
函数
f(x)
的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
5

y
O
123
x

A．
0?f
?
(2)?f
?
(3)?f(3)?f(2)
B．
0?f
?
(3)?f(3)?f(2)?f
?
(2)

C．
0?f
?
(3)?f
?
(2)?f(3)?f(2)< br> D．
0?f(3)?f(2)?f
?
(2)?f
?
(3)


【例47】
求函数
f(x)?ax?
a
x
(a ?0)
的图象上过点
A
(a，a
2
?1)
的切线方程．

【例48】
曲线
y?x
3
?x
2
?1
在点
P(?1，?1)
处的切线方程是（ ）
A．
y?x?1
B．
y?x?2
C．
y?x
D．
y?x?1


【例49】
求曲线
y?
1< br>x
在点
(1，1)
的切线
l
1
方程，与过点
(?2，0)
的切线
l
2
的方程．

【例50】
函数
y??
1
x
在点
?
?
1
?
2
，?2
?
?
?
处的切线方程为（ ）
A．
y?4x
B．
y?4x?4
C．
y?4(x?1)
D．
y?2x?4


【例51】
已知曲线
y?
1
4
x
2
的一 条切线的斜率为
1
2
，则切点的横坐标为_______．

【例52】
曲线
y?x
3
?2x?4
在点
(1， 3)
处的切线的倾斜角为（ ）
A．
30?
B．
45?
C．
60?
D．
120?


【例53】
过点
(1，1)
作曲线
y?x
3
的切 线，则切线方程为__________．

【例54】
曲线
y?
x
x?2
在点
(1，?1)
处的切线方程为__ ．

【例55】
若曲线
y?x
2
?1
与
y ?1?x
3
在
x?x
0
处的切线互相垂直，则
x
0
等于（ ）
3
A．
36
3
6
B．
?
36
6
C．
2
3
D．
2
3
或
0


【例56】
设曲线< br>y?
x?1
x?1
在点
(3，2)
处的切线与直线
a x?y?1?0
垂直，则
a?
（ ）
A．2 B．
1
2
C．
?
1
2
D．
?2


【例57】
设曲线
y?ax
2在点
(1，a)
处的切线与直线
2x?y?6?0
平行，则
a?
（ ）
A．
1
B．
1
2
C．
?
1
2
D．
?1



【例58】
若曲线
y?x
4
的一条切线
l
与直线
y?4x?8
平行，则
l
的方程为______________．

6

【例59】
若曲线
y?x
的一条 切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0
C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

2
4

【例60】
设
P
为曲线
C
：
y?x?x?1
上一点，曲线
C
在点
P
处的切线的斜率 的范围是
[1，
则点
P
纵
3]
，
坐标的取值范围是 _______．

【例61】
设
P
为曲线
C
：
y?x?2x?3
上的点，且曲线
C
在点
P
处切线倾斜角 的取值范围为
?
0，
?
4
2
?
?
?
?
?
，
则点
P
横坐标的取值范围为（ ）
A．
?
?1，?
?

2
??

【例62】
曲线
y?
?
1
?

0
?
B．
?
?1，

1
?
C．
?
0，
D．
?
，1
?

?
1
?
2
?
?
x
1
?
处的切线方程为（ ） 在点
?
1，
2x?1
A．
x?y?2?0
B．
x?y?2?0
C．
x?4y?5?0

2
D．
x?4y?5?0


【例63】
设函数
f(x)?g(x)?x
，曲线
y?g(x)
在点
(1，g(1))
处的切线方程为
y?2x?1
，则曲线
y?f(x)
在点
( 1，f(1))
处切线的斜率为（ ）
11
A．
4
B．
?
C．
2
D．
?

42是偶函数．若曲线
y?f
?
x
?
在点
?
1，f
?
1
?
?
处的切线的斜率为
1
，则该曲线在点
【例64】
设
f
?
x
?
?
?1， f
?
?1
?
?
处的切线的斜率为 ．

【例65】
函数
y?sinx
的图象上一点
?
?
π3
?
，
?
32
?
?
处的切线的斜率为（ ）
??
A．1

B．
3

2
C．
2

2
D．
）
1

2
【例66】
曲线
y?ln(2x?1)
上的点到直线
2 x?y?3?0
的最短距离是（
A．
5


B．
25
C．
35
D．0
3
【例67】
在平面直角坐标系
xoy
中，点
P
在曲线
C:y?x?10x?3
上，且在第二象限内，已知曲线
C
在
点
P
处的切线的斜率为2，则点
P
的坐标为 ．

【例68】
抛物线
y?x?bx?c
在点
(1,2)
处的 切线与其平行线
bx?y?c?0
间的距离为________．
2

【例69】
若
y?0
是曲线
y?x?bx?c
bc
的一条切线，则
()
3
?()
2
?
（ ）
32
A．
?1
B．0 C．1 D．2
3
2

【例70】 < br>函数
y?x(x?0)
的图像在点
a
k
，a
k
?
2
?
处的切线与
x
轴交点的横坐标为
a
k?1
，其中
k?N
*
，若
a
1
?16
，则a
1
?a
3
?a
5
的值是 ．


【例71】
已知点
P
在曲线
y?
A．
?
0，
?

4
?

?
?
π?
4
上，
?
为曲线在点
P
处的切线的倾斜角，则
?
的取值范围是（ ）
e
x
?1
?
ππ
??
π3π
??
3π
?
B．
?
，
?
C．
?
，
?
D．
?
，
π
?< br>?
42
??
24
??
4
?

7

【例72】
曲线
y?
x
在点
(?1，?1)
处的切线方程为（ ）
x?2
A．
y?2x?1
B．
y?2x?1
C．
y??2x?3

?
1
2
D．
y??2x?2


【例73】
若曲线
y?x
1
?
??
在点
?
a，a
2
?
处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，
??
则
a?
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8

【例74】
函数
f(x)?lnx
的图象在点
?
e,f( e)
?
处的切线方程是 ．
，则
x
1
? x
2
Lx
n
等于
D．
1


【例75】
设曲线
y?x
n?1
1)
处的切线与
x
轴的交点的横坐标为
x
?
n?N
?
在点
(1，< br>*
n
（ ）
1
A．
n

B．
1

n?1
C．
n

n?1

【例76】
直线
y?kx?1
与曲线
y?lnx
相切，则
k?
（ ）
A．
0
B．
?1
C．
1
D．
?1


【例77】
已知 直线
y?x?1
与曲线
y?ln
?
x?a
?
相切， 则
a
的值为（ ）
A．
1


B．
2
C．
?1

3
D．
?2

【例78】
在平面直角坐标系
xOy
中，点< br>P
在曲线
C
：
y?x?10x?3
上，且在第二象限内，已知 曲线
C
在点
P
处的切线的斜率为
2
，则点
P
的坐标为____ ．

【例79】
若存在过点
(1，0)
的直线与曲线
y?x
15
x?9
都相切，则
a
等于 （ ）
4
25217257
A．
?1
或
?
B．
?1
或 C．
?
或
?
D．
?
或
7

6444644
3
和
y?ax
2
?

【例80】
已知函数
g(x)?f(x)?
1
2
又
P
点的横坐标为
5
，则
x
的图象在
P
点处的切线 方程为
y??x?8
，
5
f(5)?f
?
(5)?
________．

【例81】
设曲线
y?
1?cosx?
π
?
1
?
处的切线与直线
x?ay?1?0
平行，则实数
a
等于（ ） 在点
?
，
sinx
?< br>2
?
A．
?1
B．
1
C．
?2
D．
2


【例82】
已知函数
f(x)?log
a
x
和
g(x)?2loga
(2x?t?2)(a?0，a?1，t?R)
的图象在
x?2
处的切 线互相
平行，则
t?
_______．

【例83】
⑴ 曲线
y?x?2x?4x?2
在点
(1，?3)
处的切线方程是____．
32
⑵曲线
y?x
3
?2x
2
?4x?2
过点
(1，?3)
的切线方程是_________．

【例84】 已知曲线
y?
1
3
4
4)
的切线方程是_______ ．
x?
，则过点
P(2，
33
3

【例85】
已知曲线
s
：
y?3x?x
及点
P(2，?2)
， 则过点
P
可向
s
引切线的条数为_____．

8

【例86】
曲线
y?
1
和
y?x
2
在它们的交点处的两条切线与
x
轴所围成的三角形的面积是______．
x
1
x
2

【例87】
曲线
y?e在点
(4，e
2
)
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
B．
4e
2
C．
2e
2
D．
e
2

1
，则
6
9
A．
e
2

2

【例88】
曲线
y?x
3
a
3)(a?0)
处的切线与
x
轴、直线
x?a
所围成的三角形的面 积为在点
(a，
a?
．

【例89】
曲 线
y?
1
3
?
4
?
x?x
在点
?
1，
?
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
3
?
3
?
1
2
1
2
A． B． C． D．
93
93
2

【例90】
求曲线
y?2x?1
的斜率等于
4
的切线方程．

【例91】
若曲线
f(x)?ax
3
?lnx
存在垂直于
y
轴的切线，则实数
a
取值范围是_____________．

?
π2
?
P，
【例92】
曲线
y?cosx在点
?
?
42
?
?
处的切线方程是 ．
??

【例93】
函数
y?cos2x
在点
?
?
π
?
，0
?
处的切线方程是（ ）
?
4
?
A．
4x?2y?π?0
B．
4x?2y?π?0
C．
4x?2y?π?0
D．
4x?2y?π?0

2

线方程是（ ）
A．
y?2x?1


4
【例94】
已知函数
f(x)
在
R
上满足
f
?
x
?
? 2f
?
2?x
?
?x?8x?8
，则曲线
y?f
?
x
?
在点
1，f
?
1
?
??
处的 切

3
B．
y?x

2
C．
y?3x?2
D．
y??2x?3

【例95】
已知曲线
C
：
y?3x?2x?9x?4
，求曲线
C
上横坐 标为
1
的点的切线方程．

【例96】
已知抛物线
y? ax?bx?c
通过点
P(1，1)
，且在点
Q(2，?1)
处与直 线
y?x?3
相切，求实数
a
、
2
b
、
c
的值．

【例97】
曲线
y?x(x?1)(2?x)
有两条平行于直线
y?x
的切线，求此二切线之间的距离．

【例98】
已知曲线
f(x)?x?2x?1
，求经过点
P(2，1)
且与曲线
f(x)
相切的直线
l
的方程．
32

【例99】
已知曲线
y?x?x?2
在点
P
0
处 的切线
l
1
平行直线
4x?y?1?0
，且点
P
0
在第三象限，
3
⑴求
P
0
的坐标；⑵若直线
l? l
1
，且
l
也过切点
P
0
，求直线
l的方程．

【例100】
已知函数
f(x)?x?(1?a)x?a (a?2)x?b
(a，b?R)
．
32
若函数
f(x)
的图象过原点，且在原点处的切线斜率是
?3
，求
a
，
b
的 值．

【例101】
已知函数
f(x)?e
x
?a?e
?x
（
a?R
）的导函数是
f
?
(x)
， 且
f
?
(x)
是奇函数，若曲线
y?f(x)
3
的 一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）
2
9

A．
ln2
B．
?ln2
C．
ln2
ln2
D．
?

2
2

【例102】
已知函数
f(x)?x?bx?cx ?d
的图象过点
P(0，
f(?1))
处的切线方程为
2)
，且在点
M(?1，
6x?y?7?0
．求函数
y?f(x)
的解析 式．
2
32

【例103】
已知直线
l
1为曲线
y?x?x?2
在点
(1，0)
处的切线，
l
2
为该曲线的另一条切线，且
l
1
?l
2
，
⑴求直线
l
2
的方程；
⑵求由直线
l
1
、
l
2
和
x
轴所围成的三角形的面积．

【例104】
设函数
f(x)?ax?
b
，曲线
y?f( x)
在点
(2，f(2))
处的切线方程为
7x?4y?12?0
．
x
⑴求
y?f(x)
的解析式；
⑵证明：曲线
y?f(x )
上任一点处的切线与直线
x?0
和直线
y?x
所围成的三角形面积 为定
值，并求此定值．

【例105】
设函数
f(x)?ax?
1
f(2))
处的切线方程为
y?3
．
(a，b?Z)< br>，曲线
y?f(x)
在点
(2，
x?b
⑴求
y?f( x)
的解析式；
⑵证明：曲线
y?f(x)
的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
⑶证明：曲线
y?f(x)
上任一点的切线与直线
x?1
和直线
y? x
所围三角形的面积为定值，并
求出此定值．

【例106】
已 知抛物线
C
1
：
y?x?2x
和
C
2
：< br>y??x?a
，如果直线
l
同时是
C
1
和
C
2
的切线，称
l
是
C
1
和
22
C
2
的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
⑴则
a
取什么值时，
C
1
和
C
2
有且仅有一条公切线？写出此公 切线的方程．
⑵若
C
1
和
C
2
有两条公切线，证 明相应的两条公切线段互相平分．

【例107】
设
t?0
，点
P(t，0)
是函数
f(x)?x
3
?ax
与
g( x)?bx
2
?c
的图象的一个公共点，两函数的图象
在点
P
处有相同的切线．试用
t
表示
a，b，c
．
2

【例108】
已知曲线
C
1
：
y?x
与
C
2
：
y??(x?2)
2
，直线
l
与
C
1
，C
2
都相切，求直线
l
的方程．

【例109】
已知函数
f(x)?x?x
．
3
⑴求曲线
y?f(x)
在点
M(t，f(t))
处的切线方程；
⑵求曲线
y?f(x)
过点
P(?2，?6)
的切线的方程． ⑶设
a?0
，如果过点
(a，b)
可作曲线
y?f(x)
的三条切线，证明：
?a?b?f(a)
．
⑷求过任一点
N(a，b)< br>能作的曲线
f(x)?x
3
?x
的切线的条数．



【例110】
如图，在平面直角坐标系
xOy
中，过
y
轴正方向上一点
C(0，
与抛物线
y?x
c)
任作一直线，
2
相
交于
A，B
两点，一条垂直于
x
轴的直线，分 别与线段
AB
和直线
l:y??c
交于点
P，Q
，
⑴若
OA?OB?2
，求
c
的值；
⑵若
P
为线段
AB
的中点，求证：
QA
为此抛物线的切线；
⑶试问⑵的逆命题是否成立？请说明理由．
uuuruuur
10

y
B
C
A
O
l
x
P
Q

【例111】
证明如下命题：

命题：设
C(0，c)
是
y
轴正半轴上的一动点，过
C
的动直线与抛物线
x
2?2py(p?0)
交于
A，B
两点，则过
A，B
的抛物线的两 切线的交点的轨迹方程为
y??c
，且轨迹上任一点的横
坐标一定是该点对应的切点弦
AB
中点的横坐标．

【例112】
设
Q
为直 线
y??c(c?0)
上任意一点，过
Q
作抛物线
x?2py
(p?0)
的两条切线，切点分别为
2
A，B
，
求证：直线AB
必过定点
C(0，c)
，且线段
AB
的中点的横坐标一定对 应于
Q
点的横坐标．

【例113】
已知函数
f
?
x
?
?2lnx?x
．
⑴写出函数
f
?
x
?
的定义域，并求其单调区间；
⑵已知曲线
y?f
?
x
?
在点
?
x
0< br>，f
?
x
0
?
?
处的切线是
y?kx?2< br>，求
k
的值．

【例114】
求曲线
y?
1
上的点到直线
x?y?1?0
的距离的最小值．
x?2
11