高中数学概念教学的实践与研究-论文微课在高中数学
导数概念与运算
知识清单
1.导数的概念
函数y=f(x),如
果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)-f(x),比值
?y
叫做函
数
?x
y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即
?y
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
=。如果当
?x?0
时
,有极限,
?x?x
?x
我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做
f(x)在点x处的导数,记作f’(x)或y’|。
即f(x)=
lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
=
l
im
。
?x?0
?x
?x
说明:
求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤:
(1)求函数的增量=f(x+)-f(x);
(2)求平均变化率
?y
f(x
0
??x)?f(x
0)
=;
?x
?x
?y
。
?x?0
?x(3)取极限,得导数f’(x)=
lim
2.导数的几何意义
函数y=f(x
)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。也就是说,
曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。相应地,切线方程为y-y=
f(x)(x-x)。
3.几种常见函数的导数:
①
C
?
?0;
②
x
n
??
?
?nx
n?1
;
③
(sinx)
?
?cosx
;
④
(cosx)
?
??sinx
;
11
; ⑧
?
log
a
x
?
?
?log
a
e
.
xx
⑤
(e
x
)
?
?e
x
;
⑥
(a
x
)
?
?a
x
lna
;
⑦
?
lnx
?
?
?
4.两个函数的和、差、积的求导法则
法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),
即:
(
u?v)
'
?u
'
?v
'
.
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以
第二个函数的导数,即:
(uv)
'
?u
'
v?uv
'.
若C为常数,则
(Cu)
'
?C
'
u?C
u
'
?0?Cu
'
?Cu
'
.即常数与函数的积的导数等于
常数乘以函数的导数:
(Cu)
'
?Cu
'
.
法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的
平方:
??
‘=
?
u
?
?
v
?
u
'v?uv'
(v0)。
2
v
形如y=f
?
?
(
x
的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y'|= y'|
·u'
|
导数应用
知识清单
1.
单调区间:一般地,设函数
y?f(x)
在某个区间可导,
如果,则
f(x)
为增函数;
如果
(x)?0
,则
f(x)
为减函数;
如果在某区间内恒有
(x)?0
,则
f(x)
为常数;
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左
侧切线的斜率为正,右侧
为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
3.最值:
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数?在(a,b)内的极值;
②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b);
③将函数? 的各极值与?(a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
课前预习
1.求下列函数导数
(1)
y?x(x?
2
1
1
1
?
3
)
(2)
y?(x?1)(?1)
x
x
x
xx
x
2
(3)
y?x?sincos
(4)y=
22
sinx
2.若曲线
y?x
4
的一条切线与直线
x?4y?8?0
垂直,则的方程为
3.过点(-1,0)作抛物线
y?x
2
?x?1
的切线,则其中一
条切线为
4.曲线
y?
1
和
y?x<
br>2
在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是
。
x
5.
f(x)?x
3
?3x
2
?2
在区间
?
?1,1
?
上的最大值是
典型例题
一 导数的概念与运算
例1:如果质点A按规律s=2t
3
运动,则在t=3 s时的瞬时速度为
变式:定义在D上的函数
f(x)
,如果满足:
?x?D
,常数M?0
,
都有
|f(x)|
≤M成立,则称
f(x)
是D上的有界函数,其中M称为函数的上界.
(1)若已知质点的运动方程为
S(t)?1
?at
,要使在
t?[0,??)
上的每一时刻的瞬时速度是以M=1
t?1
为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
x
3
?1例:求所给函数的导数:
y?x?log
2
x;
y?xe; y?
。
sinx
3nx
变式:设
f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,
f
?
(x)g
(x)?f(x)g
?
(x)
>0.
且g(3)=0.则不等式f(x)g(
x)<0的解集是
例2:已知函数
y?xlnx
.(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数在点
x?1
处的切线的
方程.
变式1:已知函数
y?e
x
.
(1)求这个函数在点
x?e
处的切线的方程;
(2)过原点作曲线y=e
x
的切线,求切线的方程.
变式2:函数y=ax+1的图象与直线y=x相切,则a=
例3:判断下列函数的单调性,并求出单调区间:
2
(1)f(x)?x
3
?3x; (2)
f(x)?sinx?x,x?(0,
?
);
(3)f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1.
变式1:函数
f(x)?x?e
?x
的一个单调递增区间是
变式2:已知函数
y?
1
3
x?x
2
?ax?5
3
(1)若函数的单调递减区间是(-3,1),则的是
.
(2)若函数在
[1,??)
上是单调增函数,则的取值范围是
.
例4:求函数
f(x)?
求函数
f(x)?
1
3
x?4x?4
的极值.
3
1
3
x?4x?4
在
?
0,3
?
上的最大值与最小值..
3
变式1:已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx
在点处取得极大值,其导函数y?f'(x)
的
图象经过点
(1,0)
,
(2,0)
,如图所示.求:
(Ⅰ)的值;(Ⅱ)
a,b,c
的值.
变式2:若函数
f(x)?ax
3
?bx?4
,当
x?2
时,函数
f(x)
极值
?
(1)求函数的解析式;
(2)若函数
f(x)?k
有3个解,求实数的取值范围.
变式3:已知函数
f(x)?x?
值范围。
实战训练
1. 已知曲线
S
:
y
=3
x
-
x
及点
P(2,?2)
,则过点
P
可向
S
引切线的条数为
3
4
,
3
3
1
2
x?2x?c
,对x?〔-1,2〕,不等式f(x)?c
2
恒成立,求c的取
2
2. y
=2
x
-3
x
+
a
的极大值为6,那么<
br>a
等于
3
3. 函数
f
(
x
)=
x
-3
x
+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是
32
4.设
l
1
为曲线
y
1
=si
nx
在点(0,0)处的切线,
l
2
为曲线
y2
=cos
x
在点(
?
,0)处的切线,则
l
1
与
l
2
的夹角为
2
___________.
3232
5. 设函数
f
(
x
)=
x
+
ax
+
bx
-1,若当
x
=1时,有极值为1,则函数g(
x
)=
x
+
ax
+
bx
的单调递减区间<
br>为 .
6.(07湖北)已知函数
y?f(x)
的图
象在点
M(1,f(1))
处的切线方程是
y?
1
x?2
,
则
f(1)?f
?
(1)?
2
7
.(07湖南)函数
f(x)?12x?x
3
在区间
[?3,3]
上
的最小值是
实战训练B
1.(07海南)曲线
y?e
x
在点
(2,e
2
)
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2.(07江苏)已知二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
的导数
为
f'(x)
,
f'(0)?0
,对于任意实数都有
f(x)?0<
br>,
则
f(1)
的最小值为
f'(0)
π
,则下列命题正确的是( )
2
23
B.
sinx?x
C.
sinx?x
ππ
3.(07江西)若
0?x?
A.
sinx?
2
x
π
D.
sinx?
3
x
π4.(07全国一)曲线
y?
1
3
?
4
?
x?
x
在点
?
1,
?
处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
3
?
3
?
1
x
2
5.(07全国二)已知曲线<
br>y?
的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为
2
4
6. (
07北京)
f
?
(x)
是
f(x)?
1
3
x?2x?1
的导函数,则
f
?
(?1)
的值是
3
8.(07广东)函数
f(x)?xlnx(x?0)
的单调递增区间是
9.(07江苏)已知函数
f(x)?x
3
?12x?8
在区间[?3,3]
上的最大值与最小值分别为
M,m
,则
M?m?