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导数复习课
1.记定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x).如果存在x
0
∈[a,
b],使得f(b)-f(a)=f′(x
0
)(b-a
)成立,则称x
0
为函数f(x)在区间
[a,b]上的“中值点”.那么函数f(x
)=x
3
-3x在区间[-2,2]上
“中值点”的个数为
.
2.问题“求方程
3
x
?4
x
?5
x
的解”有如下的思路:方程
3
x
?4
x
?5
x<
br>可
3
)
x
?(
4
)
x
?1
,变为
(
5
考察函数且函数
f(x)
f(x)?(
3
)
x
?(
4
)
x
可知,
f(2)?1
,
5
55
在
R
上单调递减,∴原方程有唯一解
x?2
.仿照此解法可得到不等
式:
x
6
?(2x?3)?(2x?3)
3
?x
2
的解是 .
3.已知函数
f(x)?
1
x
2
?2ex?3e
2
lnx?b
,若函数F(
x) = f
’
(x) +
2
a
x
有最小
值m,且m>2e,则实数a的取值范围是
.
4.已知函数
f(x)?(a?1)lnx?ax
2
?1
(1)讨论
f(x)
的单调性;
(2)设
a??1.
如果
对任意
x
1,
x
2
?(0,??),f(x
1
)?
f(x
2
)?4x
1
?x
2
,求a的
取值
范围。
5.如图所示:一吊灯的下圆环直径为4m,圆心为O,
通过细绳悬挂在天花板上,圆
环呈水平状态,并且
B
C
与天花板的距离
(即OB)
为2m,在
圆环上设置三个
等分点A
1
,A
2
,A
3
。点C为
OB
上一点(不包含端
点O、B),同时点C与点A
1
,A
2
,A
3
,B均用细
A
1
O
绳相连接,且细绳
CA
1
,CA
2
,CA
3
的长度相等。
A
2
设细绳的总长为
y
(1)设∠CA
1
O =
?
(rad),将y表示成θ的函数关系式;
A
3
(2)请你设计
?
,当角θ正弦值的大小是多少时,细绳总长y最
小,并指明此时
BC应为多长。
6.已知函数,
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)
是否存在实数,使当时恒成立?若存在,
.
求
出实数a;若不存在,请说明理由。
7.已知函数
f
?
x
?
?lnx?mx?m
,
m?R
(1)求函数
f
?
x
?
的单调区间;
(2)若函
数
f
?
x
?
?0
在
x?
?
0,?
?
?
上恒成立,求实数
m
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,
任意的
0?a?b
,证明:
8.设
g
n
(x)?
f
(x)
f
?
b
?
?f
?
a
?
1<
br>.
?
b?aa
?
1?a
?
是定义在
(0,
??)
的可导函数,且不恒为0,记
f(x)
若对定义域内的每一个
x
,总有
g
n
(x)?0
,则称
f(x)
为
(n?
N
*
)
.
n
x
“
n
阶负函数”;若对定义
域内的每一个
x
,总有
?
g
n
(x)
?
?
≥0
,则称
f(x)
为
“
n
阶不减函数”(
?
g
n
(x)
?
?
为函数
g
n
(x)
的导函数).
(1)若
f(x)?
a
?
1
?x(x?0)
既是“1
x
3
x
阶负函数”,又是“1阶不减函数”,求实数
a
的取值范围;
(2)对任给的“2阶不减函数”
f(x
)
,如果存在常数
c
,使得
f(x)?c
恒成立,试
判断
f(x)
是否为“2阶负函数”?并说明理由.
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