江苏高考数学导数练习题

导数复习课
1．记定义在R上的函数y＝f(x)的导函数为f′(x)．如果存在x
0
∈[a，
b]，使得f(b)－f(a)＝f′(x
0
)(b－a )成立，则称x
0
为函数f(x)在区间
[a，b]上的“中值点”．那么函数f(x )＝x
3
－3x在区间[－2，2]上
“中值点”的个数为 ．

2．问题“求方程
3
x
?4
x
?5
x
的解”有如下的思路：方程
3
x
?4
x
?5
x< br>可
3
)
x
?(
4
)
x
?1
，变为
(
5
考察函数且函数
f(x)
f(x)?(
3
)
x
?(
4
)
x
可知，
f(2)?1
，
5
55
在
R
上单调递减，∴原方程有唯一解
x?2
.仿照此解法可得到不等
式：
x
6
?(2x?3)?(2x?3)
3
?x
2
的解是 ．

3．已知函数
f(x)?
1
x
2
?2ex?3e
2
lnx?b
，若函数F( x) = f
’
(x) +
2
a
x
有最小
值m，且m＞2e，则实数a的取值范围是 ．
4.已知函数
f(x)?(a?1)lnx?ax
2
?1

（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）设
a??1.
如果 对任意
x
1,
x
2
?(0,??),f(x
1
)? f(x
2
)?4x
1
?x
2
,求a的
取值
范围。
5.如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，
通过细绳悬挂在天花板上，圆 环呈水平状态，并且
B
C
与天花板的距离
(即OB)
为2m，在 圆环上设置三个
等分点A
1
，A
2
，A
3
。点C为
OB
上一点（不包含端
点O、B），同时点C与点A
1
，A
2
，A
3
，B均用细
A
1
O
绳相连接，且细绳 CA
1
，CA
2
，CA
3
的长度相等。
A
2
设细绳的总长为
y

（1）设∠CA
1
O =
?
(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
A
3

（2）请你设计
?
，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最
小，并指明此时 BC应为多长。

6．已知函数，
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)
是否存在实数，使当时恒成立？若存在，
.
求 出实数a;若不存在，请说明理由。



7.已知函数
f
?
x
?
?lnx?mx?m
，
m?R

（1）求函数
f
?
x
?
的单调区间；
（2）若函 数
f
?
x
?
?0
在
x?
?
0,? ?
?
上恒成立，求实数
m
的取值范围；
（3）在（2）的条件下， 任意的
0?a?b
，证明：
8．设
g
n
(x)?
f (x)
f
?
b
?
?f
?
a
?
1< br>.
?
b?aa
?
1?a
?
是定义在
(0， ??)
的可导函数，且不恒为0，记
f(x)
若对定义域内的每一个
x
，总有
g
n
(x)?0
，则称
f(x)
为
(n? N
*
)
．
n
x
“
n
阶负函数”；若对定义 域内的每一个
x
，总有
?
g
n
(x)
?
?
≥0
，则称
f(x)
为
“
n
阶不减函数”（
?
g
n
(x)
?
?
为函数
g
n
(x)
的导函数）．
（1）若
f(x)?
a
?
1
?x(x?0)
既是“1
x
3
x
阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数
a
的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”
f(x )
，如果存在常数
c
，使得
f(x)?c

恒成立，试 判断
f(x)
是否为“2阶负函数”？并说明理由．