江苏高考导数专题复习

x
22
（－?，－
3
） －
3

0
2
（－
3
，1）
－
1 （1，＋?）
f?（x） ＋
f（x）
?
0 ＋
极大值
?
极小值
?
22
所以函数f（x）的递增区间是（－?，－
3）与（1，＋?），递减区间是（－
3
，1）
1222
（2）f（x） ＝x3－
2
x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，当x＝－
3
时，f（x）＝
27
＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，解得c?－1或c?2

【题型六】利用导数研究方程的根
1
3
??
1．已知平 面向量
a
=(
3
,－1).
b
=(
2
,
2
).
??
???
?
???
?
yy
（1）若存在不同时为零的实数k和t，使
x
=
a
+(t2－3)
b
，=-k
a
+t
b
，
x
⊥，
试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况.
????
?
?< br>????
y
x?y
xaba
解：(1)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t
b
)=0.
??
?
2
?
2
a?b
ab
整理后得-k+[t-k(t2-3)] + (t2-3)·=0
1
??
?
2
?
2
∵
a?b
=0，
a
=4，
b
=1，∴上式化为-4k+t(t2-3) =0，即k=
4
t(t2-3)
11
(2)讨论方程
4
t (t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=
4
t(t2-3)与直线y=k的交
点个数.
3
3
于是f′(t)=
4
(t2-1)=
4
(t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变 化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
t
f′(t)
F(t)
(-∞,-1)
+
↗
-1
0
极大值
(-1,1)
-
↘
1
0
极小值
(1,+ ∞)
+
↗
1
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=
2
.

1
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－
2

1
函数f(t)=
4
t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
11
(1)当k＞
2
或k＜－
2
时, 方程f(t)－k=0有且只有一解；
11
(2)当k=
2
或k=－
2
时,方程f(t)－k=0有两解；
11
(3) 当－
2
＜k＜
2
时,方程f(t)－k=0有三解.



【题型七】导数与不等式的综合
3
a?0,函数f(x)?x?ax
在
[1,??)
上是单调函数. 1．设
（1）求实数
a
的取值范围；
（2）设
x
0
≥1，
f(x)
≥1，且
f(f(x
0
))?x
0
，求证：
f(x
0
)?x
0
.
2
??
解：（1）
y?f(x)?3x?a,
若
f(x)
在
?
1,??
?
上是单调递减函数，则须
y
??0,即a?3x
2
,
这样的实数a不存在.故
f(x)
在?
1,??
?
上不可能是单调递减函数.
2
若
f(x )
在
?
1,??
?
上是单调递增函数，则
a
≤3x
，
2
?
?
x?1,??,故3x?3
.从而0x?f(x
0
)
，则（2）方法1、可知
f(x)
在
?< br>1,??
?
上只能为单调增函数. 若1≤
0
f(x
0)?f(f(x
0
))?x
0
矛盾,
若1≤
f(x< br>0
)?x
0
,则f(f(x
0
))?f(x
0
),即x
0
?f(x
0
)
矛盾，
故只有
f(x< br>0
)?x
0
成立.
33
f(x)?u,则f(u)?x?x?ax?u,u?au?x
0
,
两式相减得
00
00
方法2：设，
32
(x
0
?u
3
)?a(x
0< br>?u)?u?x
0
?(x
0
?u)(x
0
?x
0
u?u
2
?1?a)?0,?x
0
≥1,u≥1，
2 2
?x
0
?x
0
u?u
2
?3,又0?a?3，
?x
0
?x
0
u?u
2
?1?a?0

3
f(x)?(x
2
?)(x?a)
2
2．已知
a
为实数，函数
（1）若函数
f(x)
的图象 上有与
x
轴平行的切线，求
a
的取值范围
（2）若
f'(?1)?0
，（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间 < br>（Ⅱ）证明对任意的
x
1
、x
2
?(?1,0)
，不 等式
|f(x
1
)?f(x
2
)|?
5
16
恒成立
?f(x)?x
3
?ax
2
?
解：
33 3
x?a?f'(x)?3x
2
?2ax?
22
，
2

?
函数
f(x)
的图象有与
x
轴平行的切线，
?f'(x)?0
有实数解
???4a
2
?4?3?
9
333
?0
a
2
?
（??，?2]?[2，??）
2
222
a
，，所以的取值范围是
9
3931
?0
a?< br>?f'(x)?3x
2
?x??3(x?)(x?1)
4
，
2 222
，
1
1
f'(x)?0,?1?x??
2
；由
2
< br>?f'(?1)?0
，
?3?2a?
由
f'(x)?0,x??1或
x??
1
1
(?1,?)
(??,?1),(?,??)?f(x)
的单调递增区间是
2

2
；单调减区间为
易 知
f(x)
的最大值为
f(?1)?
2514927
f(?)?f( 0)?
8
，
f(x)
的极小值为
216
，又
8
2749
m?
8
，最小值
16

?f(x)
在
[?1，0]
上的最大值
M?
?
对任意
x
1
,x
2
?(?1,0)
，恒有







|f(x
1
)?f(x
2
)|?M ?m?
27495
??
81616

【题型八】导数在实际中的应用
1．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱 ，上部的形状是侧棱长为3m的
正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心
o< br>1
的距离为多少时，帐篷的体积
最大？
解：设OO1为
xm
，则
1?x?4

3
2
?(x?1)
2
?8?2x?x
2
，（单位：
m
） 由题 设可得正六棱锥底面边长为：
6?
故底面正六边形的面积为：
333
?(?( 8?2x?x
2
)
22
2
8?2x?x)
=
2m
4
，（单位：）
1
3
33
(16?12x?x3
)
V（x）?(8?2x?x
2
)
[(x?1)?1]
?
m
3
）
3
2
2
帐篷的体积为：（单位： V'（x）?
求导得
3
(12?3x
2
)
2
。
（x）?0
，解得
x??2
（不合题意，舍去）令
V'
，< br>x?2
，
（x）?0
，
V（x）
当
1?x?2时，
V'
为增函数；
（x）?0
，
V（x）
当
2?x?4
时，
V'
为减函数。
∴当
x?2
时，
V（x）
最大。
答：当OO1为
2

2．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量
y
（升）关于行驶速度
x
（千
m
时，帐篷的体积最大， 最大体积为
163
m
3
。
y?
米小时）的函数解析式可以 表示为：
13
x
3
?x?8(0?x?120).
12800080

已知甲、乙两地相距100千米。
（I）当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
100< br>?2.5
解：（I）当
x?40
时，汽车从甲地到乙地行驶了
40小时，
13
(?40
3
??40?8)?2.5?17.5
8 0
要耗没
128000
（升）。

100
（II）当速度为
x
千米小时时，汽车从甲地到乙地行驶了
x
小时，设耗油 量为
h(x)
升，

131001
2
80015
h(x)?(x
3
?x?8).?x??(0?x?120),
12800080x1 280x4
依题意得






x8 00x
3
?80
3
h'(x)???(0?x?120).
640x
2
640x
2

令
h'(x)?0,
得
x?80.

当
x?(0,80)
时，
h'(x)?0,h(x)
是减函数；
当
x?(80,120)
时，
h'(x)?0,h(x)
是增函数。
?
当
x?80
时，
h(x)
取到极小值
h(80) ?11.25.

因为
h(x)
在
(0,120]
上只有一个极值，所以它是最小值。
答：当汽车以40千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以
80 千米小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。


【题型九】导数与向量的结合
?
31
?
13
a?(，?) ,b?(，).
2222
若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，1．设平面向量
，
使
x?a?(t?k)b,y??sa?tb,且x?y

（1）求函数关系式
S?f(t)
；
2
，??
?
上是单调函数，求k的取值范围。 （2）若函数
S?f (t)
在
?
1
a?(
解：（1）
??
3113??
,?),b?(,).
a?b?1，a?b?0
2222

??????
又x?y,x?y?0，得
????
2
?
a?
?
b
?
?sa?tb）?0，
?
（t?k）（
?
2
?
2
??
22
即?sa?（tt?k）b-（t?st?sk）a? b?0。
??s?（t
2
?k）t?0，故s?（ft）?t
3
?k t。

（2）
f
?
（t）?3t
2
?k且f（t） 在
?
1，??
?
上是单调函数，

??
?0
则在
?
1,??
?
上有
f(t)?0或f（t）
222
?
f(t)?0?3t?k?0?k?3t? k?(3t)
min
?k?3
； 由
22
?
f(t)?0?3t?k?0?k?3t
由。
22
因为在t∈
?
1,??
?
上
3t
是增函数，所以不存在k ，使
k?3t
在
?
1,??
?
上恒成立。故k的取
值范围是
k?3
。