新高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)

2020年高考数学（理）
函数与导数
12 导数及其应用 导数的概念及运算
【考点讲解】

一、具体目标：1
.
导数概念 及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.
y?x，
2< br>.
导数的运算：（1）根据导数定义，求函数
y?c，y?x，
y?
2
1
的导数；
x
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
【考点透析】
【备考重点】
(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；
(2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.
二、知识概述：
1．由
f'( x)?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)
可以知道，函数的导数是函数的瞬时 变化率，函数的瞬时变化率是平
?x
均变化率的极限.
2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
原函数

f(x)＝c(c为常数)

导函数
f′(x)＝0
f
?
x
?
?x
n
?
n?Q
?

f
?
x
?
?sinx

f
?
x
?
?cosx

f
?
?
x
?
?nx
n?1

f
?
?
x
?
?cosx

f
?
?
x
?
??sinx

f
?
?
x
?
?a
x
lna

f
?
x
?
?a
x

f
?
x
?
?e
x

f
?
?
x
?
?e
x

f
?
?
x
?
?
1

xlna
f
?
x
?
?log
a
x

1

1）基本初等函数的导数公式













2）导数的运算法则
f
?
x
?
?lnx

f
?
?
x
?
?
1

x
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（和或差的导数是导数的和与差）
（2） [ f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（积的导数是，前导后不导加上后导前不 导）
（3）
?
?
f(x)
?
f'(x)?g(x)?g' (x)?f(x)
(g(x)≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方
'?
?
2
g(x)
?
g(x)
?
的商）
(4) 复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导 数间的关系为y
x
′＝y
u
′·u
x
′，即y对x的导数等 于y对u
的导数与u对x的导数的乘积．
3．函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数几何意义 函数f(x)在点x
0
处的导数f′(x
0
)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点(x
0
，f(x
0
))处的切线的斜率(瞬时速度就是位
移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x
0
)＝f′(x
0
)(x－x
0
)．
【温馨提示】1.求函数
f(x)
图象 上点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线方程的关键在于确定 该点切线处的斜率
k
，由
导数的几何意义知
k?f'(x
0
)
，故当
f'(x
0
)
存在时，切线方程为
y?f(x0
)?f'(x
0
)(x?x
0
)
.
2

2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数表示曲线在点
P(x
0
,f(x
0))
处切
线的斜率，因此，曲线
y?f(x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求 出函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，即曲线
y?f( x)
在点
P(x
0
,f(x
0
))
处切线的斜率；
第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程
y?y
0
?f'( x
0
)(x?x
0
)
；如果曲线
y?f(x)
在< br>点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线平行于y轴(此 时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为
x?x
0
.
【提示】 解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切
点处的导 数值等于切线的斜率．




【真题分析】

1.

【
2019
年高考全国Ⅲ卷】已知曲线
y?ae?x lnx
在点（
1
，
ae
）处的切线方程为
y=2x+b，则（

）

A
．
a?e，b??1
B
．
a=e
，
b=1 C
．
a?e
?1
，b?1
D
．
a?e
?1
，
b??1

x
【解析】 本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有
a
，
b
的等式， 从而求解，属于常考
x
题型
.
∵
y
?
?ae?ln x?1,
∴切线的斜率
k?y
?
|
x?1
?ae?1?2< br>，
?a?e
?1
，

将
(1,1)
代入y?2x?b
，得
2?b?1,b??1
.
故选
D
．< br>
【答案】
D
2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y=2sinx+cosx在点(π，-1)处的切线方程为（ ）
A．
x?y???1?0

C．
2x?y?2??1?0

B．
2x?y?2??1?0

D．
x?y???1?0

【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再
求导，然后列出切线方程．
3

Qy
?
?2co sx?sinx,
?y
?
x?
π
?2cosπ?sinπ??2,< br>则
y?2sinx?cosx
在点
(?,?1)
处的切线方程为
y?(?1)??2(x??)
，即
2x?y?2??1?0
．故选
C．

【答案】
C
32
3.
【
2018
年高考全国Ⅰ卷】设函数
f(x)?x?(a?1)x?ax
.
若
f(x)
为奇函数，则曲线
y?f(x)
在点
(0,0)
处的切线方程为（< br>
）

A
．
y??2x
B
．
y??x
C
．
y?2x
D
．
y?x

【解析】因为函数
所以
故选D.
【答案】D



4.【2017年高考浙江】函数y=f(x) 的导函数
y?f
?
(x)
的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 （ ）
是奇函数，所以
，所以曲线在点
，解得，所以，
，化简可得
，
. 处的切线方程为


【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系 ：若导函数图象与
x
轴的交点为
x
0
，且图象在
x
0
两侧
附近连续分布于
x
轴上下方，则
x
0
为原函 数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数
f
?
(x)
的 正负，得出原函数
f(x)
的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且
x?0
位于增区间内，因此
选D．
【答案】D
2x
5.【2019年高考全 国Ⅰ卷】曲线
y?3(x?x)e
在点
(0，0)
处的切线方程为_____ _______．
4

x2x2x
【解析】
y
?
?3(2x?1)e?3(x?x)e?3(x?3x?1)e,
所以切线的斜率
k? y
?
|
x?0
?3
，

则曲线
y?3(x ?x)e
在点
(0,0)
处的切线方程为
y?3x
，即
3x ?y?0
．

【答案】
3x?y?0

6.【变式】【20 18年理数全国卷II】曲线
y
2x
0
?
处的切线方程为_____ _____．
?2ln
?
x?1
?
在点
?
0，< br>【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后< br>根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：
y
?
?
2
2
，所以切线的斜率为
k??2
，切线方程为
x?1
0?1
y?0? 2
?
x?0
?
，即
y?2x
.
【答案】
y



?2x

x
在点
(0,1)
处的切线方程为
__________.
2
1111
【解析】∵
y
?
??sinx?
，∴
y
?
|
x?0
??sin0???
，故所求的切线方程为
y ?1??x
，
2222
7.
【
2019
年高考天津文数】
曲线
y?cosx?
即
x?2y?2?0
.
【答案】
x?2y?2?0

8
．【
2018
年高 考天津文数】已知函数
f(x)=e
x
lnx
，
f′(x)
为
f(x)
的导函数，则
f′
（
1
）的值为
___ _______
．

【解析】由函数的解析式可得
即的值为e.
，则.
【答案】
e

9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标 系
xOy
中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点
（-e，-1 )(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 .
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然 后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标
.
设点
A
?
x
0
,y
0
?
，

则
y
0
?lnx< br>0
.
又
y
?
?
11
1
(x?x0
)
，

，当
x?x
0
时，
y
?
?
，则曲线
y?lnx
在点
A
处的切线为
y? y
0
?
x
0
x
0
x
5

即
y?lnx
0
?
x?e
?1
，将点
?< br>?e,?1
?
代入，得
?1?lnx
0
??1
，即< br>x
0
lnx
0
?e
，

x
0
x
0

考察函数
H
?
x?
?xlnx
，当
x?
?
0,1
?
时，
H
?
x
?
?0
，当
x?
?
1,???
时，
H
?
x
?
?0
，且
H
?
?
x
?
?lnx?1
，
当
x?1
时，< br>H
?
?
x
?
?0,H
?
x
?
单调递增，注意到
H
?
e
?
?e
，故
x
0
lnx
0
?e
存在唯一的实数根
x
0
?e
，

此时
y
0
?1
，故点
A
的坐标为< br>?
e,1
?
.
【答案】
(e, 1)

10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线




【解析】本 题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：
1
?
处的切线的斜率为
?2
，则
a?
________．
f
?
x
?
?
?
ax?1
?
e
x在点
?
0，
f
?
?
x
?
?ae
x
?
?
ax?1
?
e
x
，则
f
?
?
0
?
?a?1??2
，所以
a??3
，故答案 为-3.
【答案】
?3

【变式】已知函数错误!未找到引用源。的图像在 点错误!未找到引用源。的处的切线过点错误!未找到引用
源。，则 错误!未找到引用源。 .
【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.
∵
错误!未找到引用源。
，∴
错误!未找到引用源。
，即切线斜率
错误!未找到引用源。
，
又∵
错误!未找到引用源。
，∴切点为（1，错误!未找到引用源。
），∵切线过（2,7），∴
错误!未找到引用源。
，解得错误!未找到引用源。1.
【答案】1
11
．【
2017
年高考天津文数】已知
a?R
，设函数
f(x)?ax?lnx
的图象在点 （
1
，
f(1)
）处的切线为
l
，则
l
在
y
轴上的截距为
___________
．

【解析】由题 可得
f(1)?a
，则切点为
(1,a)
，因为
f
?
(x)?a?
1
，所以切线
l
的斜率为
f
?
(1 )?a?1
，

x
切线
l
的方程为
y?a?(a? 1)(x?1)
，令
x?0
可得
y?1
，故
l
在< br>y
轴上的截距为
1
．

【答案】
1

6

12.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系
xOy
中，P是曲线
y?x?
线
x?y?0
的距离的最小值是 .
【解析】由
y?x?
4
(x?0)
上的一个动点，则点P到直 x
444
(x?0)
，得
y
?
?1?
2
，设斜率为
?1
的直线与曲线
y?x?(x?0)
切于
xxx(x
0
,x
0
?
4
4
)
，由
1?
2
??1
得
x
0
?2
（
x
0
??2
舍去），

x
0
x
0
4
∴ 曲线
y?x?(x?0)
上，点
P(2,32)
到直线
x?y?0< br>的距离最小，最小值为
x
故答案为
4
．

【答案】
4




2?32
1?1
22
?4
.
13.【2017福建4月质 检】已知定义在
R
上的函数
f
?
x
?
满足
f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
?2
，且当
x?1
时，
f
?
x
?
?
xe
x?2
，则曲线
y?f
?
x
?
在
x ?0
处的切线方程是__________．
【解析】本题考点是考点：1、函数的对称性；2、解析式；3、导数的几何意义．
.因为< br>f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
?2
，所以函数关于点（1,1）对称，
x?1
时，取点
(x,y)
， 关于（1,1）对称点
是
(2-x,2?y)
代入
x?1
时， f
?
x
?
?
x
e
x?2
，可得
2?y?
2?x2?xx?1
， 可得，所以 ，
y?2?y'?
e
?x
e
?x
e
?x
令
x?0,y'??1,y?0
所以切线方程为
x?y?0
.
【答案】
y??x

【变 式】（1）【2016高考新课标Ⅲ文数】已知为偶函数，当
错误!未找到引用源。
时，错误!未找到引用源。
，则曲线在处的切线方程式
错误!未找到引用源。
错误!未 找到引用源。
错误!未找到引用源。
__________________________ ___.
【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．
当
错误!未找到引用源。
时，
错误!未找到引用源。
，则
错误!未找到引用源 。
．又因为
错误!未找到引用源。
为偶函数，所以
错误!未找到引用源。，
所以
错误!未找到引用源。
，则切线斜率为
错误!未找到引用源。< br>，所以切线方程为
错误!未找到引用源。
，即
7

．
错误!未找到引用源。
【答案】
错误!未找到引用源。

【变式】（ 2）【2016高考新课标3理数】已知
f
?
x
?
为偶函数，当x?0
时，
f(x)?ln(?x)?3x
，则曲线
y?f
?< br>x
?
在点
(1,?3)
处的切线方程是______________ _．
【解析】考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．
当
x?0
时，
?x?0
，则
f(?x)?lnx?3x
．又因为
f( x)
为偶函数，所以
f(x)?f(?x)?lnx?3x
，所
以
f
?
(x)?
1
?3
，则切线斜率为
f
?
( 1)??2
，所以切线方程为
y?3??2(x?1)
，即
y??2x?1< br>．
x
【答案】
y??2x?1

【变式】（3）【2015 高考陕西，文15】函数
错误!未找到引用源。
在其极值点处的切线方程为_________ ___.
【解析】本题考点是函数的极值与导数的几何意义.
错误!未找到引用源。
，令
错误!未找到引用源。
，此时
错
误!未找到引用源。
.函数错误!未找到引用源。
在其极值点处的切线方程为
错误!未找到引用源。
.
【答案】
错误!未找到引用源。




14.【 2018年理北京卷】设函数
（Ⅰ）若曲线
y
（Ⅱ）若
f
?
x
?
?
?
ax
2
?
?
4a?1
?
x?4a?3
?
e
x
．
，f
?
1
??
处的切线与
x
轴平行，求
a
；
?f
?x
?
在点
?
1
f
?
x
?
在< br>x?2
处取得极小值，求
a
的取值范围．
【解析】本题考点导数的运算法则，并利用导数的几何意义、函数的极值求待定的参数问题.
（Ⅰ）因为
f
?
x
?
?
?
ax
2
?
?
4a?1
?
x?4a?3
?
e
x
，对 函数求导可得：
f
?
?
x
?
?
?
2ax?
?
4a?1
?
?
e
x
?
?
ax< br>2
?
?
4a?1
?
x?4a?3
?
e
x
?
?
ax
2
?
?
2a?1
?
x?2
?
e
x
.
又因为
y
所以有
，f< br>?
1
??
处的切线与
x
轴平行，有
f
??
1
?
?
?
1?a
?
e
，
?f
?
x
?
在点
?
1
f
?
?1
?
?
?
1?a
?
e?0
，即
a?1
，此时
f
?
1
?
?3e?0,
所以
a的值是1.
f
?
?
x
?
?
?
ax< br>2
?
?
2a?1
?
x?2
?
e
x< br>?
?
ax?1
??
x?2
?
e
x
. （Ⅱ）由（Ⅰ）得
讨论：若
a
当
x?

?
1
?
1
?
，则当
x?
?
,2
?
时，
f
?
?
x
?
?0
；
2
?
a< br>?
?
2,??
?
时，
f
?
?
x?
?0
．所以
f
?
x
?
在
x?2处取得极小值．
8

11
??
2
)时，
x?2?0
，
ax?1?x?1?0
，所以
f
?
?
x
?
?0
．所以2不是 若
a?
，则当
x?0，
22
?
1
?
??
?
．
f
?
x< br>?
的极小值点．综上可知，
a
的取值范围是
?
，
?< br>2
?
【答案】(1)

a
的值为1 (2)
a
的取值范围是
?
15.
【
2019
年高考北京文数】
已知函数
f(x)?
?
1
?
，??
?
.
?
2
?
1
3
x?x
2
?x
．
4
（
Ⅰ
）求曲线
y?f(x)
的斜率为
1< br>的切线方程；

（
Ⅱ
）当
x?[?2,4]
时，求证 ：
x?6?f(x)?x
；





（
Ⅲ
）设
F(x)?|f(x)?(x?a)|(a?R)
，记
F(x )
在区间
[?2,4]
上的最大值为
M
（
a
），当
M
（
a
）
最小时，求
a
的值．

1
3
33
令
f
?
(x)?1
，即
x
2
?2x?1?1
，得
x?0
x?x
2
?x
得< br>f
?
(x)?x
2
?2x?1
．
444
88 888
或
x?
．又
f(0)?0
，
f()?
，所以 曲线
y?f(x)
的斜率为1的切线方程是
y?x
与
y?

?x?
，
3327273
64
即
y?x
与
y?x?
．
27
13
（Ⅱ）令
g(x)?f(x)?x,x?[? 2,4]
．由
g(x)?x
3
?x
2
得
g'(x) ?x
2
?2x
．令
g'(x)?0
得
x?0
或44
8
x?
．
g'(x),g(x)
的情况如下：
3
【解析】（Ⅰ）由
f(x)?
x

?2

(?2,0)

0


8
(0,)

3
8

3

8
(,4)

3
?

4

g'(x)


?

?


g(x)

?6

Z

0

]

?
64

27
Z

0

所以
g(x)
的最小值为< br>?6
，最大值为
0
．故
?6?g(x)?0
，即
x? 6?f(x)?x
．
9

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当
a??3
时，
M(a)?F(0)?|g(0)?a|??a?3
；
当
a? ?3
时，
M(a)?F(?2)?|g(?2)?a|?6?a?3
；
当< br>a??3
时，
M(a)?3
．综上，当
M(a)
最小时，a??3
．
【答案】（Ⅰ）
y?x
与
y?x?




64
；
（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）
a??3
.
27
【模拟考场】

1.设
f(x)
是可导函数，且lim
?x?0
f(x
0
?2?x)?f(x
0
)?2,则f
?
(x
0
)?
( ).
?x
C．0 D．－2 A．
1

2
B．－1
【解析】因为
f
?
?
x
0
?
?
lim?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，由题意可知
?x
?2f
?
(x
0
)??2lim
?x?0【答案】B
f(x
0
?2?x)?f(x
0
)
?2,
所以有
f
?
(x
0
)??1
.
?2?x
2.曲线
f(x)?x?x?3
在点
P
处的切线平行于直线
y?2x?1
，则
P
点的坐标为（ ）
A．
(1,3)
B．
(?1,3)
C．
(1,3)
和
(?1,3)
D．
(1,?3)

2
【解析】因
f'(x)?3x?1
， 令
f'(x)?2
，故
3x?1?2?x?1
或
?1
，所以
P(1,3)
或
(?1,3)
，经检验，
2
3
点< br>(1,3)
，
(?1,3)
均不在直线
y?2x?1
上，故选 C．
【答案】C.
3. 已知函数
f(x)
的导函数为
f
?
(x)
，且满足
f(x)?2xf
?
(e)?lnx
， 则
f
?
(e)?
（ ）
10

A．
e
B．
?1
C．
?e
?1
D．
?e

【解析 】本题主要考查导数的运算法则，因为
f
?
(x)?2f
?
(e)?
11
，所以
f
?
(e)?2f
?
(e)?
，解得
xe
1
f
?
(e)????e
?1
，故选C ．
e
【答案】C
4.设直线l
1
，l
2
分别是函数f(x)= 图象上点P
1
，P
2
处的切线，l
1
与l
2
垂直相交于点P，
错误!未找到引用源。
且l
1
，l
2
分别与y轴相交于点A ，B，则△PAB的面积的取值范围是( )




A.(0,1) B. (0,2) C. (0,+∞) D. (1,+ ∞)
【解析】考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值 范围.
设（不妨设），则由导数的几何意义易得切线
错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。
错误!未找到引用源。
k
1
k
2
??1,?x
1
x
2
?1,?x
2
?.?
切线的斜率分别为由已知得x
1
错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
的方程分别为，切线的方程为
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。错误!未找到
1
，即.
引用源。
错误!未找到引用源。

分别令
错误! 未找到引用源。
得
A
?
0,?1?lnx
1
?
,B
?
0,1?lnx
1
?
.

又与的交点为
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
，故选A.
错误!未找到引用源。
【答案】A
5.已知曲线
错误!未找到引用源。
在点
错误!未找到引用源。
处的切线与曲线 相切,则
错误!未找到引用源。
a= ．
【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.
由
错误!未找到引 用源。
可得曲线
错误!未找到引用源。
在点处的切线斜率为2,故切线
错误! 未找到引用源。
方程为
错误!未找到引用源。
,
11

与
错误!未找到引用源。
联立得
错误!未找到引用源。
,显然
错误!未找到引用源。
,所以由
错误!未找到引用
源。
.
【答案】8
6.在平面直角坐标系xoy
中，若曲线
y?ax?
2
b
（
a,b
为 常数）过点
P(2,?5)
，且该曲线在点
P
处的切线
x
与 直线
7x?2y?3?0
平行，则
a?b?
.
2< br>【解析】本题考点是导数与切线斜率．曲线
y?ax?
bbb
过点
P( 2,?5)
，则
4a???5
①，又
y'?2ax?
2
，< br>x2x
所以
4a?
?
a??1,
b7
??
② ，由①②解得
?
所以
a?b??3
．
42
?
b??2,
【答案】
?3





7.设曲线
y?e
在点
(0，1)
处的切线与 直线
x?2y?1?0
垂直，则
a?
．
【解析】 由已知可知曲线的切线斜率为2，又
Qf
?
(x)?ae
，
?f?
(0)?a?2.

【答案】2
8.
【
2017< br>年高考全国Ⅰ卷文数】曲线
y?x?
【解析】设
y?f(x)
，则f
?
(x)?2x?
所以曲线
y?x?
2
2
a x
ax
1
在点（
1
，
2
）处的切线方程为
______________
．

x
1
，所以
f
?
(1)?2?1?1
，
x
2
1
在点
(1,2)
处的切线方程为
y?2?1?(x? 1)
，即
y?x?1
．

x
【答案】
y?x?1

9.曲线
f(x)?x
过 点
P(?1,0)
处的切线方程是_____________.
【解析】由题意可 知，
2
f
?
?
x
?
?2x
，设直线与曲线 相切于点
?
x
0
,y
0
?
，所求的曲线的切线的斜 率为
y
0
?0y
0
2
，因为
?
x
0
,y
0
?
在曲线上，所以有
y
0
?x
0
，即有
??
x
0
?1x
0
?1
k?2x< br>0
，所以有
2x
0
12

?
y0
?x
0
2
?
y
0
解这个方程组可得：
x
0
?0,x
0
??2
，所以有
k?0，或k??4.所求切线方程为
?
?
2x
0
?
x?1
?0
y?0或4x?y?4?0
.
【答案】
y?0，4x?y?4?0

10.
f(x)?
2
3
x?x
2
?ax?1
己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的 横坐标都大于零，则实数a的取
3
值范围为 ．
【解 析】由题意可知原三次函数的导函数是二次函数，并且曲线存在两条斜率为3的切线，说明导函数有
两个 零点，
f
?
?
x
?
?2x
2
?2x?a< br>，方程有
2x
2
?2x?a?3
有两个不等正实根，所以有
1 7
?
a?3
?
?0
，可得
3?a?
.
2 2
??4?8
?
a?3
?
?0
，并且有
x
1
?x
2
?1,x
1
x
2
?
【答案】(3,)




7
2
11.某山区外围有两 条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路
l
2，山区边 界曲线为C，计划修建的公路为l，如的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为
l
1
，
l
2
的距离分别为5千米和40千米，点N到
l< br>1
，l
2
的距离分图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到
l1
，
l
2
所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假 设曲线C符合别为20千米和2.5千米，以
l
1
，
函数
y?
a
（其中a，b为常数）模型.
x
2
?b
y
l
1
C

M
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式
f
?
t
?
，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

【解析】本题考点为利用导数求函数最值，导数几何意义.
O

l

P

N
l
2
x

13