2020高一数学必修一：函数的概念及其表示(1对1讲义)

函数的概念及其表示
一、知识梳理

1．函数的概念
(1)函数的定义：
一般地，设
A
，
B
是两个非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系
f
，使
对于集合
A
中的任意一个数< br>x
，在集合
B
中都有唯一确定的数
f
(
x
) 和它对应；那
么就称
f
：
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数．记作
y
＝
f
(
x
)，
x
∈
A
.
(2)函数的定义域、值域：
在 函数
y
＝
f
(
x
)，
x
∈
A中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义< br>域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函数值，函数值的集合{
f< br>(
x
)|
x
∈
A
}叫做函数的
值域．显然， 值域是集合
B
的子集．
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数
相等，这是判断两函数相等 的依据．

2．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．映射的概念
设
A
，
B
是两个非空的集合， 如果按照某一个确定的对应关系
f
，使对于集
合
A
中的任意一个元素
x
，在集合
B
中都有唯一确定的元素
y
与之对应，那么称< br>对应
f
：
A
→
B
为集合
A
到集合< br>B
的一个映射．
4．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取 值区间，有着不同的对应关系，
这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的 是一个
函数．
5．区间的概念


（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．

（1）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做闭区间，表示为
?
a,b
?
；
（2） 满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做开区间，表示为
?
a,b
?
；
（3）满足不等式
a?x?b
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示 为
?
a，b
?
；
（4）满足不等式
a?x?b
的 实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为
?
a,b
?
；

说明：
① 对于
?
a,b
?
，
?
a,b< br>?
，
?
a，b
?
，
?
a,b
?都称数a和数b为区间的端点，其中
a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；
② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：
不等式表示法：3?
x3?x?7
?
；区间表示法：
?
3，7< br>?
；
③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在
图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区
间内的端点；
④ 实数集 R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-
∞”读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”，还可以把满足x
?
a, x>a,
x
?
b, x(-∞,b)。（见演示）
【例题精讲】
题型一、函数概念
例1、设集合
M
＝{
x
|0≤
x
≤2}，
N
＝{
y
|0≤
y≤2}，那么下面的4个图形中，能表
示集合
M
到集合
N
的函数 关系的是________．


例2、下列函数中哪个与函数
y
=
x
是同一个函数？
（1）
y?(x)
2
； （2）
y?
3
x
3
； （3）
y?x
2

例3、下列各组，函数
f(x)
与
g(x)
表示同一个函数的是（ ）
A．
f(x)
=1，
g(x)
=
x
0
x
2
B．
f(x)
=
x
，
g(x)
=
x
0
C．
f(x)
=
x
2
，

g(x)
=
(x)
4
D．
f(x)
=< br>x
3
，
g(x)
=
(
3
x)
9

例4、已知函数
f(x)
=2
x
－3，求：
（1）
f(0)
，
f(2)
，
f(5)
；
（2）
f[f(x)]
；
（3）若
x
∈{0，1，2，3}，求函数的值域。


例5、已知
a
、
b
为实数，集合
M
＝{，1}，
N
＝{
a,
0}，
f
：
x
→
x
表示 把
M
中的元
素
x
映射到集合
N
中仍为
x< br>，则
a
＋
b
等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
b
a


同步练习：
试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）
f
（
x
）=
x
2
，
g
（
x
）=
3
x
3
； （2）
f
（
x
）=




（3 ）
f
（
x
）=
2n?1
x
2n?1
，g
（
x
）=（
2n?1
x
）
2
n－1
（
n
∈N
*
）；






x?0,
?
1
|x|
，
g
（
x
）=
?

?1x?0;
x
?

（4）
f
（< br>x
）=
x
x?1
，
g
（
x
）=x
2
?x
；






（5）
f
（
x
）=
x
2
－2
x< br>－1，
g
（
t
）=
t
2
－2
t－1








题型二：求函数的定义域
例1、求下列函数的定义域：
①
f(x)?
③
f(x)?
1?
4?x?1
②
f(x)?
1
1
1?
1
x
1
3x?7< br>2
x
2
?3x?4

x?1?2
(x?1)
0
x?x
④
f(x)?

⑤
y?







x?2?3?
3

例2、若函数
y?ax
2
?ax?




1
的定义域是R，求实数a 的取值范围
a

例3、已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。






例4、已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域。






11
例5、若函数
y?f(x)
的定义域为[?1，1]，求函数
y?f(x?)?f(x?)
的定义
44
域








【总结】
求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的
实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式
子都有意义的实数集合 ；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

题型三：求函数的值域
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点
分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)
求由 常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
?
0)的定义域为R，值域为R；

反比例函数
y?
k
(k?0)
的定义域为 {x|x
?
0}，值域为{y|y
?
0}；
x
二次函数< br>f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
的定义域为R，
2
当a>0时，值域为{
y|y?
(4ac?b)
}；
4a
2
(4ac?b)
} 当a<0时，值域为{
y|y?
4a
②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：
f(x)?ax
2
?bx?c,x?(m,n)
的形式；
③分式转化法（或改为“分离常数法”）
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求
值域；
k< br>⑥基本不等式法：转化成型如：
y?x?(k?0)
，利用平均值不等式公式
x
来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域
⑨逆求法（反求法）：通过 反解，用
y
来表示
x
，再由
x
的取值范围，通过
解 不等式，得出
y
的取值范围；常用来解，型如：
y?

例1、求函数
y?x?21?x
的值域





例2、（选）求函数
y?x?3?5?x
的值域






例3、求
y?x?3?x?1
的值域

-1
-4
y
4
ax?b
,x?(m,n)

cx?d
0
1

3
x

例4、求函数
y?









3
x
例5、求函数
y?
x
的值域
3?1
x?1
的值域。
x?2





x
2
?1
例6、 函数
y?
2
的值域
x?1







例7、 求函数
y?





例8、函数
y?x?


5
的值域
2x
2
?4x?3
1
?1
的值域
x

x
2
?2x?2
(x??1)
的值域 例9、求函数
y?
x?1





题型四：函数解析式的求法
例1、已知函数
f(x)
=4x+3，g(x) =x
2
,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].





例2、若
f(x?1）?x?2x
,求f(x)





1
?
1
?
例3、 (1)已知
f?
x
＋
?
＝
x
2
＋
2
，求< br>f
(
x
)的解析式；
x
?
x
?
(2)已知
f
(
x
)是二次函数，且
f
(0)＝0，
f
(
x
＋1)＝
f
(
x
)＋
x
＋1，求
f
(
x
)．






例4、 已知f(x)满足
2f(x)?f(
1
)?3x
，求
f(x)
；
x

【课堂练习】
1．下列函数中，与函数
y
＝
1
3
定义域相同的函数为( )
x

1ln
x
A．
y
＝ B．
y
＝ C．
y
＝
x
e
x

sin
xx
D．
y
＝
sin
x
x



2、已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x
2
)的定义域。





3、已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。








4、求下列函数的值域：
（1）
y??x
2
?4x?2
，
x?[0,3)
；
x
2
(x?R)
； （2）
y?
2
x?1
（3）
y?x?2x?1
．

5、若
f
(
x
)对于任意实数
x
恒有2
f
(
x
)－
f
(－
x
)＝3
x
＋1，则< br>f
(
x
)＝( )
A．
x
－1
C．2
x
＋1



6、已知
f< br>(
x
)＝
x
2
＋
px
＋
q
满足
f
(1)＝
f
(2)＝0，则
f
(－1)＝_____ ___.


7、二次函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋1)－
f
(
x
)＝2
x
，且
f
(0)＝1.
(1)求
f
(
x
)的解析式；
(2)解不等式
f
(
x
)>2
x
＋5.





小结
1、求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实
际问题有意义；






B．
x
＋1
D．3
x
＋3
（3）已知
f(x)
的定义域求
f[g(x)]
的定义域或已知
f[g(x)]
的定义域求
f(x)
的定
义域：
①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定
义域；
②若已知
f(x)
的定义域
?
a,b
?
，其复合函数f
?
g(x)
?
的定义域应由
a?g(x)?b
解

出
2、求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别 式法、图象法、换元法
等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等< br>断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法
有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不

3、求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知
f(x)
求
f[g(x)]
或已知
f[g(x)]求
f(x)
：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4）
f(x)
满足某个等式，这个等式除
f(x)
外还有其他未知量，需 构造另个等
式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。



【巩固练习】
1、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴
y
1
?
(x?3)(x?5)
，
y
2
?x?5
； ⑵< br>y
1
?x?1x?1
，
y
2
?(x?1)(x?1)
；
x?3
⑶
f(x)?x
，
g(x)?x
2
； ⑷
f(x)?
3
x
4
?x
3
，
F(x)? x
3
x?1
；
⑸
f
1
(x)?(2x?5)2
，
f
2
(x)?2x?5
.
A. ⑴、⑵ B. ⑵、⑶ C. ⑷ D. ⑶、⑸

2、已知集合
A?
?
1,2,3,k
?
,B?
?
4,7,a
4
,a
2
?3a
?
，且
a?N
*
,x?A,y?B

使
B
中元素
y?3x?1
和
A
中的元素
x
对应，则
a,k
的值分别为（ ）
A.
2,3
B.
3,4
C.
3,5
D.
2,5


3、设
M
={
x
|－ 2≤
x
≤2}，
N
={
y
|0≤
y
≤2} ，函数
f
（
x
）的定义域为
M
，值域为
N
，
则
f
（
x
）的图象可以是

y
2
o
y
2
y
2
2
x
- 2
o
2
x
-2
y
2
o
2
x
-2
A
2
x
-2
o
BCD




4、若函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为< br>M
＝{
x
|－2≤
x
≤2}，值域为
N
＝{
y
|0≤
y
≤2}，则
函数
y
＝
f
(
x
)的图象可能是( )．



5、已知集合< br>A
＝[0,8]，集合
B
＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从
A
到
B
的映射的是( )
1
A．
f
：
x
→
y
＝
x

8
1
C．
f
：
x
→
y
＝
x

2


6、(安徽高考)下列函数中，不满足
f
(2
x
)＝2
f
(
x
)的是( )
A．
f
(
x
)＝|
x
|



(x?0)
?
x
2
?1
7、若函数
y?
?
则使函数值为10的
x
的集合为 。
(x?0)
?
2x


8、已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式



1
B．
f
：
x
→
y
＝
x

4
D．
f
：
x
→
y
＝
x

B．
f
(
x
)＝
x
－|
x
| C．
f
(
x
)＝
x
＋1
D．
f
(
x
)＝－
x