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高中数学必修四的知识点-学而思高中数学压轴题秘籍

2020年10月8日发(作者：叶立培)

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
直线方程（一）
教学内容

1. 巩固直线方程的基本概念和性质；
2. 会应用这些性质解题。
（以提问的形式回顾）
?
?
点方向式方程
?
?
直线的方程
?
点法向式方程
?
?
一般式方程
?
??
?
?
直线的倾斜角（定义、取值范围、与斜率的关系）
?
 坐标平面上的直线
?
直线的倾斜角和斜率
?
?
直线的斜率?? 直线的点斜式方程
?
?
?
平行
?
?
?
两直线的位置关系
?
重合
?
?
相交??两直线的夹角
?
?
?
可以让学生填写，在直线方程部分也可以把点斜式两点式斜截式和截距式补充上去，夹角公式可以把正切的
也补充上去。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
1 10

例1. 当
m
取何值时，三条直线
L 1
:4x?y?4
，
L
2
:mx?y?0
,
L
3
:2x?3my?4
不能构成三角形.
解：（1）当三线交于一点时，不妨设
L
1
、
L
2
相交，易求点
?
将交点代入
L
3
的方程，求得
m=?1
或
m=
?4 m
??
4
,
?
，
4?m4?4m
??
2
.
3
（2）当三条直线中至少有两条平行（或重合）时，
①
L
1
与
L
2
平行（或重合），求得
m=4
；
②
L
1
与
L
3
平行（或重合），求得
m=?
③
L
3
与
L
2
平行（或重合），
m
无解.
综上所述，当三条直线不能构成三角形时，
m
值可以是
?1或
1
；
6
21
或
?
或4.
36 试一试：若直线:
L
1
:x+y?1=0
，
L
2:2x?y+2=0
，
L
3
:ax+y+1=0
不能构成三角形 ,求实数
a
的值.
解：（1）当三线交于一点时，由
L
1
、
L
2
相交，易求交点，将交点代入
L
3
的方程，求得a=7
.
（-,）
（2）当三条直线中至少有两条平行（或重合）时：
①
L
1
、
L
2
平行（或重合），求得
a=1
；
②
L
1
、
L2
平行（或重合），求得
a=?2
；
综上所述，当三条直线不能构成三角形时，
a
值可以是1或7或－2.

例2.
m
为何值时，直线
L
1
:(m?2)x?y?m ?0
，
L
2
:3x?my?m?6?0
，互相垂直.
【答案】
方法1：解：
L
1
的法向量
n
1
?(m?2,1)
，
L
2
的法向量
n
2
?(3, m)
.

令
n
1
?n
2
=0
，则
3
?
m?2
?
+m=0
，解得
m=
14
33
3
.
2
3
.
2
方法2：解：L
1
的方向向量
d
1
?(?1,m?2)
，
L
2
的法向量
d
2
?(?m,3)
.
令
d
1
?d
2
=0
，则
m+3
?
m?2
?
=0
，解得
m=

试一试：
1.若直线
L
1
:ax?3y?5?0 , L
2
:2x?4y?3?0
互相垂直，求
a
的值？
【答案】6.

3
?
的位置关系是（）
）
2
A
.平行；
B
.相交；
C
.垂直；
D
.重合.
【答案】
C
.
2.直线
L
1
:x?1?cos ?
y?c?0
，
L
2
:xsin
?
?y1+ cos
?
?0
(
?
＜
?
＜

3. 若
a、b、c
是△
ABC
的三条边，则直线
L
1
: xsinA?ay?c?0
，
L
2
:bx?ysinB?sinC?0
的位置关系是
（）
A
.平行；
B
.相交；
C
.垂直；
D
.重合.
【答案】
C
.

1 10

4.若直线
L
1
:kx?(1?k)y ?3?0
,
L
2
:(k?1)x?(2k?3)y?2?0
互相垂直，则
k
的值为 .
【答案】－3或1（提示：当斜率不存在的时候不能忽略）.

2x?3y?2?0
与
l
2
：3x?4y?2?0
的交点且与直线
4x?y?4 ?0
平行的直线方程。例3. 求过
l
1
：
【答案】：设过
l
1
与
l
2
交点的直线方程为
(2x?3y?2)? ?
(3x?4y?2)?0
即
(2?3
?
)x?(?3?4 ?
)y?2?2
?
?0

因为所求直线与
4x?y?4?0
平行
(*)

2?3 ?
?3?4
?
14
，解得
?
??

?
19
41
14
将
?
??
代入(*)，得
19
所以
所求直线方程为
4x?y?66?0

【批注】：一般情况下，过直线
a
1
x?b
1
y?c
1
?0 和
a
2
x?b
2
y?c
2
?0
的所有直线可以用以下形式表示：
(a
1
x?b
1
y?c
1 )?
?
(a
2
x?b
2
y?c
2
? 0)?0
（不包括
a
2
x?b
2
y?c
2
?0
）

试一试：求过
l
1
：x?y?1?0
与
l
2
：x?y?3?0
的交点且与直线
x?3y?4?0
垂直的直线方程。
【答案】：设过
l
1
与
l
2
交点的直线方程为
(x?y?1)?
?
(x?y?3)?0(*)

即
(?
?1)x?(
?
?1)y?3
?
?1?0

因为所求直线与
x?3y?4?0
垂直
所以
(
?
?1)?3(
?
?1)?0
，解得
?
?2

将
?
?2
代入(*)，得
所求直线方程为
3x?y?5?0

例4.已知△ABC的顶点A(3,?1 )AB边上的中线所在直线的方程为6x?10y?59?0，
?B的平分线所在的直线方程为x?4y ?10?0,求BC边所在的直线方程

1 10

解设B点坐标为（a,b)则AB中点坐标为(
而B必在?B的平分线上则
a?3b?1
,) 又AB中点必在其中线所在的直线上，
22

b?1
?
a?3
?10?-59?0
?
a?10
?
6?

?
解得
?
所以点B的坐标为（10,5）
22
b?5
?
?
?
a?4b?10?0
方法一设直线BC所在的直线方程为y-5?k(x-10)即bx-y?5-10k?0
又? B的平分线为x-4y?10?0知BA和平分线的夹角与BC和平分线夹角相等
6?4
6?2 826
?由此得到k?-或k?（舍，直线BC与BA重合）
97
85?17
17k
2
?1
2
所以直线BC的方程为2x?9y-65?0

方法二设A关于 ?B平分线对称的点A
1
(x
0
,y
0
)易得A
1
必在直线BC上，
由AA
1
与平分线垂直且线段AA
1
中点再平分线上得
?
y
0
?1
1
???1?
?
x
0
?34

?
解得x
0
?1,y
0
?7于是A
1
(1，7)
?
x
0
?3
?4?
y
0
?1
?10?0
? ?22
x?1y?7
由点方向式方程得BC直线为?,即2x?9y?65?0
?92

试一试：
-1）
1. 已知等腰直角三角形斜边所在的直线方程
3x-y?5?0,顶点坐标为（4，
，求两直角边所在的直线方程
答案：根据夹角为45°余弦公式易得
x?2y?6?0或2x?y?7?0

2. 已知△ABC的顶点坐标为B(-4，-1）、C（2，-2），垂心H（0，1），求顶点A的坐标
17

答案：（A，）
84

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 已知A(–2, 3), B(3, 2)，过点P(0, –2)的直线l与线段AB没有公共点，则直线l斜率的取值范围
是 .
【答案】：
(?
54
,).

23
2
2. 已知
A(?3sin
?
,cos
?
)
, B(0,1)是相异的两点, 则直线AB倾斜角的取值范围是____________.
1 10

【答案】：
(0,
?
5
]?[
?
,
?
)

66
3. 若两条直线
l1
：a
1
x?b
1
y?3，l
2
：a
2
x?b
2
y?3
相交于点
P(1,2)
，试求经过点A(a
1
，b
1
)
与
B(a
2
，b 2
)
的
直线方程。
【答案】：将
l
1
与 l
2
的交点
P(1,2)
代入
l
1
与
l
2
的方程，得
a
1
?2b
1
?3
，
a
2
?2b
2
?3

根据以上两式的结构特点易知：点
A(a
1
，b
1
)
与
B(a
2，b
2
)
的坐标都适合方程
x?2y?3
，
故经过点
A
、
B
的直线
l
的方程为
x?2y?3

4. 当
a
为何值时，三条直线
?
a?2
?x?y?3
，
3
?
a?1
?
x?2y?10
，
?
4a?5
?
x?3y?1
相交于一点；
【答案】：解法一：
?
a?2
?
x?y?3
与
3
?
a?1
?
x?2y?10
的交点是
(
代入
?
4a?5?
x?3y?1
，解得
a?3

411?a
,)

a?1a?1
a?2
解法二：考虑三条直线的系数行列式
D?3a?3
1
2
?3
?10?0
，解得 a?3

?14a?5?3
【批注】：一般情况下，三条直线
a
1
x?b
1
y?c
1
?0
、
a
2
x?b
2
y?c
2
?0
及
a
3
x?b 3
y?c
3
?0

a
1
考虑
D?a
2
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2

c
3
a
3
（1）若
D?0
，则三条直线有三个不同的交点
（2）若
D?0
，则三条直线要么交于一点，要么其中至少两条互相平行或重合

5. 求过点
P(?5,?4)
且分别满足下列条件的直线方程：
(1)与两坐标轴围成的三角形面积为
5
；
(2)与
x
轴和
y
轴分别交于
A
、
B
两点，且
AP:BP?3: 5

【答案】：解法一：设所求的直线方程为
由直线过点
P(?5,?4) ，得
又
xy
??1
．
ab
?5?4
??1
，即
4a?5b??ab
．
ab
1
a?b?5
，故
ab?10
．
2
1 10

5
?
?
4a?5b??ab,
?
a?5
?
a??
联立方程组
?
解得
?
．
2
或
?
b??2
ab?10,
?
?
??
b?4
故所求直线方程为
xy
xy
??1
和
??1
，即：
5
4
5?2
?
2
8x?5y?20 ?0
和
2x?5y?10?0
．
解法二：设所求直线方程为
y?4 ?k(x?5)
，它与两坐轴的交点为
(
4?5k
,0)
，
(0,5k?4)
．
k
由已知，得
14?5k
5k?4??5，即
(5k?4)
2
?10k
．
2k
当
k? 0
时，上述方程可变成
25k
2
?50k?16?0
，
8
2
，或
k?
．
5
5
由此便得欲求方程为
8x?5y?20?0
和
2x?5y?10?0
．
解得
k?
AP3
??
．
PB5
设点
A 、
B
的坐标分别为
(a,0)
，
(0,b)
． (2)解：由
P
是
AB
的分点，得
?
?
3．
5
32
由定比分点公式得
a??8
，
b??
．
3
再由截距式可得所求直线方程为
4x?3y?32?0
．
当P
是
AB
的内分点时，
?
?
3
当点
P
是
AB
的外分点时，
?
??
．
5
8
由定比分点公式求得
a??2
，
b?
．
3
22
6. 已知直线
l
1
:ax?2y?2a?4?0 ，
l
2
:2x?ay?2a?4?0
，其中
0?a?2
，当
l
1
、
l
2
与两坐标轴围成
一个四边形，且该四边形的面积最小时，求
l
1
和
l
2
的方程；
【答案】：
l
1
:x?4y?6?0
，
l
2
:8x ?y?18?0

本节课主要知识点：直线的方程，倾斜角斜率，两直线位置关系。

1 10

【巩固练习】
1. 若方程
(2m ?m?3)x?(m?m)y?4m?1?0
表示一条直线，则实数
m
满足（）
A．
m?0

C．
m?1

2
22
B．
m??

2
3

2
3
，
m?0

2

D．
m?1
，
m??
答案： C
2m?m?3,m?m
不能同时为
0

2. 直线
xcos
?
?ysin
?
?a?0
与
xsin
?
? ycos
?
?b?0
的位置关系是（）
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．与
a,b,
?
的值有关
答案：B
cos
?
?sin
?
?sin
?
?(?cos
?
)?0

3. 已知点
A(2,3),B(?3,?2)
，若直线
l
过点P(1,1)
与线段
AB
相交，则直线
l
的斜率
k的取值范围是（）
A．
k?
3
3
B．
?k?2

4
4
C．
k?2或k?
3
D．
k?2

4
3
,k
l
?k
PA
,或k
l
?k
PB

4
4. 设直线l的方程是2x+By－1=0，倾斜角为
?
.
（1）试将
?
表示为B的函数；
答案：C
k
PA?2,k
PB
?
π2π
＜
?
＜，试求B的取值范围；
63
（3）若B∈（－∞，－2）∪（1，+∞），求
?
的取值范围. （2）若
（1）若B=0，则直线l的方程是2x－1=0，∴
?
?
π ；
2
21
x?
，
BB
22
∴当B＜0时，
??0,
?
?arctan(?)
，
BB
22
而当B＞0时，
??0,
?
?
?
?arctan(?)

BB
若B≠0，则方程即为
y??
1 10

2
?
?arctan(B?0)
?B
?
?
?
即
?
?f(B)?
?
(B?0)

2
?
2
?
?
?arctan(B?0 )
?
B
?
（2）若
?
?
π
，则B=0，
2
若
?
?
3
π
，则
tan
???3
或
tan
?
?
，
3
2
即?
223
??3(B?0)或??(B?0)

BB3
2
3
3
. ∴－2
3
＜B＜0或0＜B＜ 综上，知－2
3
＜B＜
2
3
.
3
2
（3）若B＜－2，则－＜1，
B
∴
0?tan?
?1,0?
?
?
若B＞1，则
?
?
4
；
2
??2
，
B
∴
0?tan
?
? ?2,
?
?arctan2?
?
?
?

综上，知 ?
?arctan2?
?
?
?
或
0?
??
?
4

5. 过点(2,1)作直线
l
分别交x,y轴正并轴于A，B两点
(1)当ΔAOB面积最小时，求直线
l
的方程;
(2)当|PA|?|PB|取最小值时，求直线
l
的方程
(1)设所求的直线
l
方程为
xy
??1
(a>0,b>0),
ab2
?
21
?
?
?
21
11
21
?
由已知
??1
于是
??
?
ab
?
=,∴S
Δ AOB
=
ab
?4,
2
ab
ab
?
2 ?
4
??
??
211
??
,即a=4,b=2时取等号,
ab2
xy
此时直线
l
的方程为
??1
,即 x+2y─4=0
42
当且仅当
1 10

(2)解法一:设直线
l
:y─1=k(x─2 ),分别令y=0,x=0,得A(2─
则|PA|?|PB|=
(4?4k
2
)(1?
1
,0), B(0,1─2k)
k
y
B
P
11
2
=
)8?4(k?)
?4,当且仅当k
2
= 1,即
22
kk
k=±1时,取最小值,
又k<0,∴k=─1, 此时直线
l
的方程为x+y─3=0
o
?
A
x
解法二: 如图,设
?PAO?
?
，则
PA?
12
?
,PB?(0?
?
?)
， sin
?
cos
?
2
?PA?PB?
24
? ?4

sin
?
cos
?
sin2
?
∴当且仅当sin2θ=─1即
?
?
3
?
时，|PA|?|PB|取最小值4,此时直线
l
的斜率为─1,方程为x+y─3=0
4
【预习思考】
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0
,y
0
) 到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为： .
2. 两条平行线间距离公式
已知两条平行线直线
l
1
和l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0，则
l
1
与
l
2
的距离
为 .
3. 点关于线对称
（
1
）
P(x,y)
关于
x?a
的对称点为

（
2
）
P(x,y)
关于
y?b
的对称点为
 （
3
）
P(x,y)
关于
y?x?b
的对称点为
（
4
）
P(x,y)
关于y?x?b
的对称点为

1 10

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
直线方程（二）
教学内容

1. 掌握点到直线距离公式，平行线距离公式；
2. 会应用直线性质解决综合题目。
（以提问的形式回顾）
1．点到直线距离公式：
点
P(x
0,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为： .
d?
2. 两条平行线间距离公式
已知两条平行线直线
l
1 和
l
2
的一般式方程为
l
1
：
Ax?By? C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2?0
，则
l
1
与
l
2
的距离
为 .
d?
3. 点关于线对称
（
1
）
P(x,y)
关于
x?a
的对称点为

(2a?x,y)

（
2
）
P(x,y)
关于y?b
的对称点为

(x,2b?y)

（
3
）
P(x,y)
关于y?x?b
的对称点为

(y?b,x?b)

（
4
）
P(x,y)
关于 y?x?b
的对称点为

(y?b,x?b)

Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

C
1
?C
2
A?B
22

1 10

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为42 的直线方程。
︱7－(－13)︱
【答案】：∵两平行线间的距离为： = 4
3

2
＋4
2
∴所求直线与平行线的夹角为45
0
，设其斜率为k，则：
3
k－
4
1
︱︱= 1 解得k = －或 k = 7
37
1＋ k
4
1
所求直线方程为：y－1 = 7(x－1) 或 y－1 = － (x－1)
7
即：7x－y－6 = 0 或 x＋7y－8 = 0

试一试：过直线
2x?y?8?0
和
x?y?3?0
的交点
P
做直线
l
，使该直线夹在两平行线
x?y?5?0
和
x?y?2? 0
之间的线段的长为
3
，求
l
的方程；
【答案】：
x?5?0
或
y?2?0

例2. 一条光线从
M
?
5,3
?
点射出后，被直线
l:x?y?1
反射，入射光线与
l
的夹角为
?
，且
tan
??2
，求
反射光线所在的直线方程。
【答案】：设
M
关于l
的对称点为
M
?
，则
M
?
(?2,?4) ，反射光线的反向延长线应过点
M
?

由于入射光线与反射光线同
l
的夹角应该相等，也为
?

设反射光线的斜率为
k
，则
k?1
1
?2
，解得
k? 3
或
1?k
3
所以反射光线：
3x?y?2?0
或
x?3y?10?0

试一试：光线从A
(?3,4)
点射出，到
x
轴上的
B
点后，被
x
轴反射到y轴上的C
点，又被
y
轴反射，这时反
射线恰好过点
D(?1,6)，求
BC
所在直线的方程。
【答案】：作
A
关于
x 轴的对称点
A
?
，
D
关于
y
轴的对称点D
?

则
A
?
(?3,?4)
，
B ?
(1,6)

这样，光线就相当于从
A
?
射出，射到
D
?
点
1 10

BC
即
A
?
D
?，求得：
5x?2y?7?0

例3. 求直线l
1
：x-y-1=0关于直线l
2
：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析由题意，所给的两直线l
1
，l
2
为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对
称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l
1
：x-y-1=0上取点M（1， 0），则易求得M关于
直线l
2
：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l的方程为x-y+3=0.

试一试：试求直线l
1
：x-y-2=0关于直线l
2
：3x-y+ 3=0对称的直线l的方程.
分析两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.
?
x?y?2?0
?
59
?
解由
?
解得l
1
，l
2
的交点
A
?
?,?
?，
?
22
?
?
3x?y?3?0
设所求直线l的斜率为k，
由到角公式得，
3?1k?3
?
，所以k=-7.
1?3?11?3k
由点斜式，得直线l的方程为7x+y+22=0.

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 点
P(m ?n,?m)
到直线
A.
m
2
?n
2
B.
xy
?
=1的距离等于 ( ) A
mn
m
2
?n
2
C.
?m
2
?n
2
D.
m
2
?n
2

2. 已知点
P
?x,y
?
在第一象限，它到
x
轴、
y
轴和直线
x?y?2?0
的距离都相等，
则点
P
的坐标 .
【答案】：
2?2,2?2
或
2?2,2?2

3. 若动点
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)
分别在直线
l
1
：
x?y?7?0和
l
2
：
x?y?5?0
上移动，则
AB
中点
M
到
原点距离的最小值为:
32

4. 与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线有______条. 2
????
1 10

5．直线l过原点，且平分
?
ABCD的面积，若B(1, 4)、D(5, 0)，则直线l的方程是．
y?
6．当
0?k?
2
x

3
1
时，两条直线
kx?y?k?1
、
ky?x?2k
的交点在象限．二
2
7．过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；
y?2x,
或
x?y?3?0

8. 自点
A(?3 ,3)
发出的光线
l
射到
x
轴上，被
x
轴反射，其反射光线所在直线与圆
x?y?4x?4y?7?0
相
切，则光线
l
所在直线方程为_________
22
【答案】：光线
l
所在的直线与圆
x?y?4x?4y?7?0
关于x轴对称的圆相切,求得
3x?4y?3?0 或
22
4x?3y?3?0

9. 一条光线经过点
P(2, 3)
，射在直线l：
x?y?1?0
上，反射后穿过点
Q(1,1)
.
(1)求光线的入射线方程； (2)求这条光线从
P
到
Q
的长度.
【答案】：（1）
5x?4y?2?0
（2）
41

10. △ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，
∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.
解：设
B(x
0
,y
0
)
则
AB
的中点
M(

x
0
?3y
0
?1
x?3y?1
,)
在直线
CM
上,则
6?
0
?10?
0
?59?0
,
22
22
即
3x
0
?5y
0
?55 ?0
…………………①,
又点
B
在直线
BT
上,则
x
0
?4y
0
?10?0
…………………②
联立①②得
B(10,5)
,
?K
AB
?
5?(?1)6
?
,
10?3761
1
?
?K
BC
74
,得
K??
2

4
?
有
BT
直线平分
?B
,则由到角公式得
BC
116
9
1?K
BC
1??
447
?BC
的直线方程为:
2x?9y?65?0
.

1 10

本节课主要知识点：点到直线距离，平行线间距离，对称问题。

【巩固练习】
1. 点
?
cos
?
,sin
?
?
到直线
x?cos
?
?y?sin
?
?p?0
的距离是___________
【答案】：
p?1
.
2. 将一张坐标纸折叠一次，使点
(0,2)
与点
(4,0)
重合，且点
(7,3)
与点
(m,n)
重合，则
m?n
的值是_ _____。
【答案】：
44

5
3. 设
a?b?k(k?0,k为常数)
，则直线
ax?by?1
恒过定点．
11
kk
4. 过直线
2x?y?8?0
和
x?y?3 ?0
的交点
P
做直线
l
，使该直线夹在两平行线
x?y?5 ?0
和
x?y?2?0
之间的线段的长为
3
，求
l
的方程；
【答案】：
x?5?0
或
y?2?0

【答案】：
(,)

5. 求经过点
P(1,2)
的直线，且使
A(2,3)
，
B(0,?5)
到它的距离相等的直线方程
解：
x?1
显然符合条件；当
A(2,3)
，
B(0,?5 )
在所求直线同侧时，
k
AB
?4

?y?2?4(x?1),4x?y?2?0

4x?y?2?0
，或
x?1

【预习思考】
1. 曲线的方程和方程的曲线的定义是什么？你是怎样理解的？

2. 求曲线的方程的步骤是怎样的？
1 10

3. 求曲线的方程你经常用哪些方法？

4. 圆的标准方程：

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
曲线方程和圆的标准方程
教学内容

1. 理解曲线方程的概念；
2. 会应用圆的标准方程解题。
1 10

（以提问的形式回顾）
1. 曲线的方程和方程的曲线的定义是什么？你是怎样理解的？
一般地，如果某曲线
C
与方程
F(x,y)?0
之间有以下两个关系：
① 曲线
C
上的点的坐标都方程
F(x,y)?0
的解；
② 以
F(x,y)?0
方程的解为坐标的点都是曲线
C
上的点，此时，把方程
F (x,y)?0
；

叫做曲线
C
的方程，曲线
C
叫做方程
F(x,y)?0
的曲线.
此处的定义比较抽象，理解的时候可以认为曲线和方程谁大就可以了，如果曲线大说明满足方程的点都在曲
线上，但曲线上的点不一定都满足方程；反过来方程大说明曲线上的点都满足方程，但以方程的解为坐标的
点不一定都在曲线上。
2. 求曲线的方程的步骤是怎样的？（以提问为主，让学生回答）
① 建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步骤省略)；
② 设曲线上任意一点的坐标为
?
x,y
?
；
③ 根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
④ 用坐标
x,y
表示这个等式(方程)，并化简；
⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

3. 求曲线的方程你经常用哪些方法？（老师引导，让学生回答）
①
直接法：直接根据动点满足的几何条件或等量关系列出等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，
这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法．
②
代入法：找到所求曲线上点的坐标与已知曲线上点的坐标之间的关系，通过建立的关系，把原来的
曲线方程转化为所求的曲线方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法．
4. 圆的标准方程：
?
x?a
?
?(y?b)
2
?r
2
，C
?
a,b
?
为圆的圆心，
r?0
为圆的半径.

2
1 10

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 已知坐标满足方程
F(x,y)?0
的点都在曲线
C
上，则下列命题中正确的是( )
?
A
?
曲线C上的点的坐标都满足方程
F(x,y)?0

?
B
?
不在曲线C上的点的坐标有些满足方程
F
?
x,y
?
?0

?
C
?
凡坐标不满足方程
F(x,y)?0
的点都不在曲线
C
上

?
D
? 不在曲线
C
上的点的坐标必不满足方程
F(x,y)?0

解：由曲线的方程的定义可知,曲线
C
上的点的坐标不一定都满足方程
F
?x,y
?
?0
，故
A
错；不在曲线
C
上
的点一定不适合
F
?
x,y
?
?0
，故
B
错；坐标不适合方程
F
?
x,y
?
?0
的点可能在曲线 C
上，故
D
错；正确答
案
D
.

试一试：如果曲线C上任意一点的坐标都是方程
F(x,y)?0
的解，则下列命题正确的是（）
A. 曲线C的方程是
F(x,y)?0

B. 曲线C上的点都在方程
F(x,y)?0
的曲线上
C. 方程
F(x,y)?0
的曲线是C
D. 以方程
F(x,y)?0
的解为坐标的点都在曲线C上
解：曲线C上任意一点的坐标都是方程
F(x,y)?0
的解，说明方程比曲线大，即方程的解为坐标的点不一定
在曲线C上，故选B.
例2. 已知定线段
AB
，且
AB?4
，动点
C
满足
AC?BC?0
，求动点
C
的轨迹方程．
解：以线段
AB
所在的直线为
x
轴，线段
AB
的垂直平分线为
y
轴，建立平面直角坐标系，则
A
，
B
两点的
坐标分别为
?
?2,0
?
，
?
2,0
?
．设
C
?
x,y
?
是轨迹上任意一点，则有
AC?(x?2,y )
，
BC?(x?2,y)
.
由
22
AC?BC?0
，可得
?
x?2
??
x?2
?
?y?y?0
．整理得
x?y?4
.
（通过典型例题的讲解，让学生总结和掌握利用直接法求解曲线的轨迹方程的5个步骤，同时强调
哪一步最重要，及每步需注意的问题.）
1 10

试一试：直角三角形
ABC
中，斜边
A B?4
，
求直角定点
C
的轨迹方程．
解：以线段
AB所在的直线为
x
轴，线段
AB
的垂直平分线为
y
轴，建立平面直角坐标系，则
A
，
B
两
点的坐标分别为
?
?2,0
?
，
?
2,0
?
．设
C
?
x,y
?
是轨迹上任意一点，则有
AC?(x?2,y)
，
BC? (x?2,y)
．
由于
AC?BC?0
，即
?
x?2
??
x?2
?
?y?y?0
.化简得
x
2
?y 2
?4
?
x??2
?
.
(强调求解曲线的轨迹方程时，一定要结合实际意义和题目的已知条件写出自变量的取值范围.)
例3. 已知
?ABC
的顶点
A(2,0)
、
B(10,2 )
，顶点
C
在直线
x?2y?8?0
上移动，求
?ABC 重心
G
的轨迹.
x
1
?2?10
?
x?,
?
?
3
解:设
G
，
C
两点的坐标分别为 ?
x,y
?
，
?
x
1
,y
1
?
则
x
1
?2y
1
?8?0
.由重心坐标公式，得
?
?
y?
y
1
?0?2
.
?
3
?
?
x
1
?3x?12,
由上式可得
?
所以
(3x?12)?2
?
3y?2
?
?8?0
．化简得x?2y?8?0
?
x?6
?
．
y?3y?2.
?
1

试一试：
1. 已知
A( 2,?1)
，
B(?1,1)
，
O
为坐标原点，动点
P满足
OP?mOA?nOB
，其中
m、n?R
，且
2m
2
?n
2
?2
，求动点
P
的轨迹方程.
?
x?2m?n
解：设
P
点坐标为
?
x,y
?
，则由
P
满足
OP?mOA?nOB
，可得
?
，于是
y??m?n
?
?
m?x?y
22
22
，由因为
2 m
2
?n
2
?2
，所以
2
?
x?y
?
?
?
2y?x
?
?2
化简得
x?2y?2．
?
?
n?2y?x
2. 已知定点
M(1,1)
，动点
P
满足条件
|MP|?1
，点
Q
与点
P
关于直线
y??x
对称，求点
Q
的轨迹.
解：设
Q,
P
两点的坐标分别为
?
x,y
?
，
?
x
1
,y
1
?
则由点
Q
与点
P
关于直线
y??x
对称，可得
?
222
?
x
1??y
,又因
?
y
1
??x
2
为动点
P
满足条件
|MP|?1
，所以
?
x
1
?1
?
?
?
y
1
?1
?
?1
,所以点
Q
的轨迹方程为
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?1
.

例4. 已知
O
为坐标原点，
A点坐标为
?
6,8
?
，求以
OA
为直径的圆.
解：设圆的标准方程为
?
x?a
?
?(y?b)
2
?r 2
，由已知可得：
OA?10
，∴
r?5
，线段
O A
中点坐标为
?
3,4
?
，
2
即为待求圆的圆心， ∴圆的方程为
?
x?3
?
?(y?4)
2
?25

试一试：过点A（-1，1）和B（1，3），圆心在
x
轴上的圆的标准方程为：
解：圆经过A、B，则圆心在线段AB的中垂线
x?y?2?0
上，又圆心在
x
轴上，所以圆心为两直线的交点
1 10

2

22
C（2，0），半径为CA的长
10
，所求圆的方程为
(x?2)?y?10
．

例5. 已知直线
l
:
x?y?5?0
，圆
C
:
?
x?2
?
?
?
y?2
?
?1
，求直线
l
被圆
C
所截得的线段的长.
解：直线
l
被圆
C
所截得的线段的长为
2
. 试一试：已知直线
l
:
x?y?b?0
被圆
C
:
x?y?25
所截得的弦长为
8
，求
b
的值.
解：
b??32

22
22
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 已知两点P
1
（4，5）和P
2
（6，3），则以P
1
P2
为直径的圆的方程___________．
【答案】
(x?5)?(y?4)?2

2. 圆心在
y
轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程为 .
22
【答案】
x?(y?2)?1

22
3.
直线
3x?y?23?0
截圆
x
2
?y
2
?4
得的劣弧所对的圆心角为
.
【答案】
?

3
4.
圆
x
2
?y
2
?1
上的点到直线
3x?4y?25?0
的距离的最小值是
.
【答案】
4
5. 已知直角坐标平面上一点
Q(2,0)
和圆C
：
x?y?1
，动点
M
到圆
C
的切线长等于圆
C
的半径与
|MQ|
的和．求动点
M
的轨迹方程。解：设
MN
切圆
C
于
N
，又圆的半径
|ON|
?1
，
∴
|OM|?|NM|?|ON|?|NM|?1
， 2
∴
|MN|
?|OM|?1
，由已知
|MN|
?|MQ|?1
．
2222
22
设
M(x,y)
，则 x?y?1?(x?2)?y?1
，
22
∴
2x?3?(x?2)? y
，即
3x?y?8x?5?0
(x?
22
2222
343
)
．可化为
9(x?)
2
?3y
2
?1　　(x? )

232

6. 已知△ABC的顶点
B(?3，，0)C(1， 0)
，顶点
A
在抛物线
y?x
2
上运动，求
△AB C
的重心
G
的轨迹方程．
1 10

?3?1?x
0
?
x?，
?
x?3x?2，

①
?
0
?
3
解：设
G(x，y)
，
A(x
0
，y
0
)
，由重心公式，得
?

∴
?
y
?
y?
0
，
?
y
0?3y． ②
?
3
?
2
又
∵A(x0
，y
0
)
在抛物线
y?x
2
上，
∴ y
0
?x
0
． ③
4
将①，②代入③，得
3y?(3x?2)
2
(y?0)
，即所求曲线方程是
y?3x
2
?4x?(y?0)

3
7. 已知圆
C
和
y轴相切，圆心在直线
x?3y?0
上，且被直线
y?x
截得的弦长为27
，求圆
C
的方程。
解：设圆心为
(3t,t),
半径为
r?3t
，令
d?
3t?t
2
?2t

22222
而
(7)?r?d,9t?2t?7,t??1

?(x ?3)
2
?(y?1)
2
?9
，或
(x?3)
2 ?(y?1)
2
?9

本节课主要知识点：曲线方程的定义，轨迹方程的求解方法，圆的标准方程。

【巩固练习】
1. 圆心在直线
2x?y?3
上，且圆心到两坐标轴距离相等的圆的标准方程为（） C
A．
(x?3)?(y?3)?9

B．
(x?1)?(y?1)?1

C．
(x?3)?(y?3)?9
或
(x?1)?(y?1)?1

D．
(x?3)?(y?3)?9
或
(x?1)?(y?1)?1

2. 点
M
是曲线
(x?1)?(y?2)?1
上的动点，
O
为坐标原点，又点
M
是线段
OP
中点，求动点
P
轨迹
方程。
22
2222
2222
22
22
1 10

【答案】：设点
P(x,y)
，则
M(,)
，
依题意，点
M
在曲线上，代入，得：
(
所以
(x?2)?(y?4)?4

3. 求圆
A:(x?1)?(y?2)?1
关于点
M(3,4)
的对称圆方程 【答案】：解法一：圆心
A(1,2)
关于点
M
的对称点为
( 5,6)
，
所以对称后的圆心为
(5,6)
，半径不变，圆：
(x ?5)?(y?6)?1

解法二：设对称后圆上任一点
(x,y)
，
则它关于
M
的对称点
(6?x,8?y)
应在原来的圆上
所以
(6?x?1)?(8?y?2)?1
，即
(x?5)?(y?6)?1

4. 求过点
A(2,4)
向圆
x?y?4
所引的切线方程. 解：显然
x?2
为所求切线之一；另设
y?4?k(x?2),kx?y?4?2 k?0

22
22
22
22
22
22
xy
22
xy
?1)
2
?(?2)
2
?1
，
22
而
4?2k
3
?2,k?,3x?4y?10?0
 4
k
2
?1
?x?2
或
3x?4y?10?0
为所求。

【预习思考】
1. 圆的一般方程：
(1) 圆的一般方程由圆的标准方程展开整理得到，它是以为圆心，

2

2

22
以为半径的圆；当
D?E? 4F?0
时，
x?y?Dx?Ey?F?0

表示点
?
?
?
DE
?
,?
?
；当D
2
?E
2
?4F?0
，
x
2
?y 2
?Dx?Ey?F?0
没有图形.
2
??
2
(2) 圆的一般方程的特点：
2
①
x
2
和
y
项的系数

且不为

；

②不含

项；

③
D?E?4F
22
0
；

222
2. 点和圆的位置关系的判断方法：已知
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
，

1 10

（1）几何法：

（2）代数法：

3. 直线和圆的位置关系的判断方法：
（1）几何法：

（2）代数法：

1 10

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
圆的方程综合
教学内容

1. 掌握圆的一般方程和参数方程，并能应用其性质解题；
2. 掌握点与圆，直线与圆的位置关系及应用。
（以提问的形式回顾）
1. 圆的一般方程： .
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0D
2
?E 2
?4F?0

(1) 圆的一般方程由圆的标准方程展开整理得到，它是以为圆心，
?
?,?
?

2
??
2

以

表示点
?
?
为半径的圆；当
D?E?4F?0
时，
x?y?Dx?Ey?F?0

22
??
?
DE
?
22
D
2
?E
2
?4F

2
?
DE
?
,?
?
；当
D
2
?E
2
?4F?0
，
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
没有图形.
2
??
2
(2) 圆的一般方程的特点：
2
①
x
2
和
y
项的系数

且不为

；

相同

，零

②不含

项；
xy
③
D?E?4F
22
0
；
>
222
2. 点和圆的位置关系的判断方法：已知
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
，

（1）几何法：
1 10

设点M（x
0
,y
0
)到圆心（a,b)的距离为d.
d?r ? 点在圆外
d?r ? 点在圆上
d?r ? 点在圆内

（2）代数法：

( x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?
r
2
，点在圆外；
(x
0
?a)
2
?(y0
?b)
2
?
r
2
，点在圆上；
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?
r2
，点在圆内.

3. 直线和圆的位置关系的判断方法：
（1）几何法：设已知圆的圆心到已知直线的距离为
d
，
当
d?r
时，直线圆相离；当
d?r
时，直线与圆相切；当
d?r
时，直线与圆相交.

（2）代数法：把已知圆的方程与已知直线的方程联立方程组，得到关于
x
或
y
的一元二次方程，利用判别
式
?
来讨论直线和圆的位置关系，即
??0
时直线和圆相交；
??0
时直线和圆相离；
??0
时直线和圆相切.

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 求圆
(x?1)?(y?2)?1
关于直线
l:x?y?1?0
对称的圆的方程。
【答案】：解法一：对称后的圆心为
(a,b)
，它与原来的圆心
(1,2)
关于直线
l
对称
22
?
a?1b?2
??1?0
?
a?3
?
所以
?
2
解得
?

2
b?0?
?
?
(a?1)?(b?2)?0
所以对称后圆心
(3,0)
，半径不变，仍为
1

所以方程为：
(x?3)?y?1

解法二：原来的圆心
(1,2)
关于
l
对称后的圆心为
(2 ?1,1?1)
也就是
(3,0)

半径不变，方程为
(x?3)?y?1

试一试：求曲线
x?y?1
关于
x?3
对称的曲线方程
1 10

22
22
22

【答案】：设所求曲线上任一点
(x,y)
，则
(x,y)
关于
x?3
的对称点(6?x,y)
应在
x?y?1
上
22
?
(6?x)
2
?y
2
?1
，即
(x?6)
2
?y2
?1

【批注】：一般的
f(x,y)?0
关于
x? a
的对称曲线可用此方法求，求得：
f(2a?x,y)?0

例2. 已知圆的方程为
x?y?6x?8y?0
。设该圆过点
(3,5) 的最长弦和最短弦分别为
AC
和
BD
，则四
边形
AB CD
的面积为。

解：圆的标准方程为
?
x?3 ?
?
?
y?4
?
?25
，由已知可得：四边形的面积
s?
22
22
1
又因为过点
(3,5)
ACBD ，
2
的最长弦为直径，所以
AC?10
，又因为
BD
一定与
AC
垂直，结合垂径定理可得
BD?46
，所以
s?

11
ACBD??10?46?206
.
22
22
试一试：已知
AC
，
BD
为圆
O:x?y?4
的两条相互垂直的弦，垂直为
M(1,2)
，则四边形
ABCD
面
积的最大值为。
答案：5

例3. 如果实数满足
(x?2)?y?3
,求
2
22
y
的最大值、2x-y的最小值
x
【答案】：（1）问题可转化为求圆
(x?2)?y?3
上一点到原点连线的斜率
k?
由原点向圆
(x?2)?y?3
作切线,其中切线斜率的最大值即为
设过原点的直线为 y=kx,即kx-y=0,
22
2
y
的最大值, 由图形性质可知,
x
y
的最大值
x
?
y
?
由
?3
,解得
k?3
或
k??3
?
??
?3
 ?
x
?
max
k
2
?1
22
（2） x,y满足
(x?2)?y?3
,
?2k?0
y
2
1-3-2
-1
?
?
x??2?3cos
?
?
?
?
?
y?3sin
?
o
-1
-2
1
x

?2x?y??4?23cos
?
?3sin
???4?15sin
?
?
?
?
?

?
?
2x?y
?
min
??4?15

试一试：如果实数
x、y
满足方程
x?y?4x?1?0
，求 22
?
1
?
y
22
的最大值和最小值；
?2
?
y?x
的最小值；
?
3
?
x?y
的最大值和最小值。
x
1 10

解：（
1
）

y
22
的最大值
3
和最小值
?3
；
?
2
?
y?x
的最小值
?2?6
；

?
3
?
x ?y
的最大值
2?3
和最
x
小值
2?3
.

22
例4. 已知圆
C
的方程为
x?y?4
.
(1)直线
l
过点
P(1,2)
，且与圆
C
交于 A、B
两点，若
AB?23
，求直线
l
的方程；
( 2)过圆
C
上一动点
M
作平行于
x
轴的直线
m，设
m
与
y
轴的交点为
N
，若向量
OQ?OM ?ON
，
求动点
Q
的轨迹方程．
【答案】：(1)①当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，其
距离为23满足题意；
②当直线l不垂直于x轴时，
设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
设圆心到此直线的距离为d，
则23＝24－d
2
，得d＝1.
|－k＋2|
3
∴1＝
2
，k＝，
4
k＋1
故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.
综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
(2)设点M的坐标为(x
0
，y
0
)(y
0
≠0)，
Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y
0
)．
∵
OQ?OM?ON
，
∴
(x,y)?(x
0
, 2y
0
)
，即
x
0
?x,y
0
?
2
0
2
0
y
.
2
2
y
2
＋y
2
＝4，∴
x??4(y?0)
．又∵
x?y?4
x
00
4
2
x
2
y
2
??1(y?0) ． ∴Q点的轨迹方程是
416
试一试：
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 若圆x
2
＋ y
2
－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为
【答案】：2或0
1 10

2
，则a的值为 .
2

2. 直线
3
x－y＋m＝0与圆x
2
＋y
2
－2 x－2＝0相切，则实数m等于 .
【答案】：－3
3
或
3

3. 自点
A(?3,3 )
发出的光线
l
射到
x
轴上，被
x
轴反射，其反射光线所在直线与圆
x?y?4x?4y?7?0
相
切，则光线
l
所在直线方程为_________
22
【答案】：光线
l
所在的直线与圆
x?y?4x?4y?7?0
关于x轴对称的圆相切,求得
3x?4y?3?0
或
22
4x?3y?3?0

4. 已知直线l：kx-y-3k=0；圆 M：x
2
+y
2
-8x-2y+9=0，
(1)求证：直线l与圆M必相交；
(2)当圆M截l所得弦最长时，求k的值。
【答案】：(1)证明：直线l可化为：y=k(x-3)，过定点A(3,0)，又圆M：(x-4)
2
+(y-1)
2
=8而
2
|AM|=
(3?4)?1=
2
<2
2
，所以点A在圆M内，于是直线l与圆M必相交。
(2)要使圆M截l所得弦最长，则l过圆心M，把点(4,1)代入直线方程得k=1。

5. 设
P
?
x,y
?
在圆
x
2
?
?
y?1
?
?1
上，则
2
?
x?2?
?y
2
的最小值为
解：由距离公式的概念可知
的距离为5
，所以可知
22
?
x?2
?
?y
2
即为圆上的点与点
?
2,0
?
的距离，又因为点
?
2,0 ?
与圆的圆心
?
0,1
?
5?1
.
?
x?2
?
?y
2
的最小值为
6. 已知圆
x?y?x?8y?m?0
与直线
x?2y?6?0
相交于
P
、 Q
两点，定点
R(1,1)
，若
PR?QR
，求
实数
m
的值．
【答案】：设
P(x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
，
?
x
2
?y
2
?x?8y?m?0
2
由
?
，消去
y
得：
5x?4m?60?0
， ①
?
x?2y?6?0
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴
60?4m?0
，
m?15
，
?
x
1
?x
2
?0
?
由韦答定理：
?
，
4
x
1
x
2
?m?1 2
?
5
?
y?1y
2
?1
???1
，即 (x
1
?1)(x
2
?1)?(y
1
?1)(y2
?1)?0
， ∵
PR?QR
，∴
k
PR
k
QR
??1
，∴
1
x
1
?1x
2
?1
即
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?y
1
y
2
?(y
1
?y
2
)?2?0
， ②
xx
xxxxxx
3
∵
y
1
?3?
1
,y
2
?3?
2
，∴
y
1
y
2
?(3?
1
)( 3?
2
)?9?(x
1
?x
2
)?
12
? 9?
12
，
22
22244
554

y
1
?y
2
?6
，代入②得：
x
1
x
2?5?0
，即
(m?12)?5?0
，
445
∴
m? 10
，适合
m?15
，所以，实数
m
的值为
10
。
7. 如图，圆
x?y?4
与
y
轴的正半轴交于点B，P是圆上的动点，P点在
x
轴上的投影是D，点M满足
1 10

22

DM?
1
DP
。
2
（1）求动点M的轨迹C的方程。
（2）过点B的直线
l 与M点的轨迹C交于不同的两点E、F，若
BF?2BE
，求直线
l
的方程。
【答案】：（1）
设
M(x,y),P(x
0
,y0
)
，则题意
DP?x
轴且M是DP的中点，
所以
?
y

B
M
O
D
P

?
x
0
?x

?
y
0
?2y

x

22
22 又P在圆
x?y?4
上，所以
x
0
?y
0
? 4
，即
x
2
x?(2y)?4
，即
?y
2
?1

4
22
（2）方法一：当直线
l
的斜率不存在时，
B (0,2),E(0,1),F(0,?1)
，不满足题意。

设直线
l
方程为
y?kx?2
，代入椭圆方程得：
(1?4k)x?16 kx?12?0

△
?(16k)?48(1?4k)?0?k?
22222
3

4

16k
?
x?x??
2
?
?
12
1?4k
设
E(x
1
,y1
),F(x
2
,y
2
)
，则
?

12
?
x?x?
12
?
1?4k
2
?由
BF?2BE
知E是BF中点，所以
x
2
?2x
1 
解得
k?
2

315
273
2
满足
k?
，所以
k??

10
204
315
x?2

10

即所求直线方程为：
y??
注：解题过程中若不验证斜率不存在或△符号时，扣分。
方法二：设
E(x
0
,y
0
)
，由
BF? 2BE
知E是BF中点，又
B(0,2)
，所以
F(2x
0
,2y
0
?2)
，因
E,F
都在
22
?
x ?4y?4
?
00
22
椭圆
x?4y?4
上，所以
?
2

2
?
?
x
0
?4(y
0 ?1)?1
解得：
x
0
??
157
,y
0
?

48
1 10

若
E(?
157
y?2
31 5
,)
，则
k?
0

??
48
x
0
10
315
x?2

10

所以直线
l
方程为：
y??

本节课主要知识点：圆的一般方程，圆的参数方程，直线与圆的关系及应用。

【巩固练习】
1. 对于任意实数
k
，直线
(3k?2)x?ky ?2?0
与圆
x?y?2x?2y?2?0
的位置关系是_________

2.
P
为圆
x?y?1
上的动点，则点
P到直线
3x?4y?10?0
的距离的最小值为_______.

3. 若曲线
y?1?x
2
与直线
y?x?b
始终有交点，则
b
的取值范围是___________；

4. 若实数
x,y
满足方程
x?y?4
，求
3x?4y
的最大值.
解：
3x?4y
的最大值
10
.

5. 若圆 x?(y?1)?1
上任意一点
(x,y)
都使不等式
x?y?m?0
恒成立，求实数
m
的取值范围。
解：
m?1?2

【预习思考】
1 10

22
22
22
22

1、椭圆的定义：

2、椭圆的图像与性质：

图像
y
F
1

O
F
2

x
标准方程
范围
顶点
对称性
焦点

2
a
长轴长，
2b
短轴长，
2c
焦距，
a?b?c

222
a
，
b
，
c
的意义

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
椭圆（一）
教学内容

1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的几何性质；
2. 能应用椭圆性质解题。
1 10

（以提问的形式回顾）
1. 椭圆的定义：平面上到两定点的
F
1
、
F
2
的距离之和等于常数
2a
（
2a?|F
1
F
2
|
）的点的轨迹，叫做椭圆。
定点
F
1
、
F
2
是焦点，
|F
1
F
2
|
是椭圆的焦距，
2a
是椭圆的长轴长。
（若2a?|F
1
F
2
|
，则动点的轨迹是线段；若
2a? |F
1
F
2
|
，则轨迹不存在）
2. 椭圆的图像与性质：
y

图像
F
1

O
F
2

x
标准方程
x
2
y
2
??1(a?b?0)

a
2
b
2
范围
顶点
对称性
焦点
?a?x?a(?b?y?b)

(?a,0)
，
(0,?b)

关于
x
、
y
轴和原点对称
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)

a
，
b
，
c
的意义

2a
长轴长，
2b
短轴长，
2c
焦距，
a
2
?b
2
?c
2

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过
A(3,?2)
和
B(?23,1)
两点的椭圆方程．
分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为
mx
2
?ny
2
?1
(
m?0
，
n?0
)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
解：设所求椭圆方程为
mx?ny?1
(
m?0
，
n?0
)．
1 10

22

由
A(3,?2)
和
B(?23,1)
两点在椭圆上可得
22
?
11
?
m?(3)?n?(?2)?1,
?
3m?4 n?1,
即所以，．
m?n?
?
?
22
155
?
12m?n?1,
?
?
m?(?23)?n?1?1,
x
2
y
2
??1
．故所求的椭圆方程为
155
x
2
y
2
试一试：经过点
(3,2)
且与椭圆
??1
有相同焦点的椭圆的方程是．
94
x
2
y
2
??1
. 【参考答案】：
1510

x
2
y
2
例2. 已知椭圆的标准方程是
2
＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F
1
，F
2
，且F
1
F
2
＝8，弦AB过点F
1
，则△AB F
2
a25
的周长为________．
答案：441

x
2
y
2
试一试：已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，P是椭圆上的一点，Q是PF
1
的中点，若OQ＝1，
1 69
则PF
1
＝________.
答案：6

x
2
y
2
例3. 设F
1
、F
2
是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF
1
∶PF
2
＝2∶1，则 △PF
1
F
2
的面积等于
94
________．
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF
1
＋PF
2
＝2a ＝6.又PF
1
∶PF
2
＝2∶1，∴PF
1
＝4，PF 2
11
＝2，由2
2
＋4
2
＝(25)
2 可知△PF
1
F
2
是直角三角形，故△PF
1
F2
的面积为PF
1
·PF
2
＝×2×4＝4.答案：4
22

x
2
y
2
试一试：已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，点P在椭圆上，若P、F
1
、F 2
是一个直角三角形
169
的三个顶点，则点P到x轴的距离为
解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF
1
F
2
或∠PF 2
F
1
为直角.由a=4，b=3得c=
7

由椭圆定义及勾股定理得：|y
P
|=
9
.
4
x
2
y
2
??1
的焦点
F
1
、
F 2
，点
P
为其上的动点，当∠
F
1
P
F2
为钝角时，点
P
横坐标的取值范例4. 椭圆
94
围是 .

1 10

【答案】：
(?3
55
,3)

55
此题可以用余弦定理，也可以用向量夹角公式，还可以用特殊情况直角求出坐标，通常此题可以向学生引出
何时这个角最大，以及如何证明。
x
2
?y
2?1
上的动点，定点
A
的坐标为
(2,0)
，求
|PA |
的取值范围；试一试：若点
P
是椭圆
9
【答案】：
[

例5. 求椭圆
x?4y?8
的内接矩形面积
S
的最大值，并求出此时矩形的四个顶点的坐标。
22
2
,5]

2
x
2
y2
??1
的内接矩形
ABCD
，由于椭圆与矩形的对称性，可设
A
?
x
0
,y
0
?
【答案】：设椭圆
8 2
?
x
0
?0,y
0
?0
?
，
S
ABCD
?4x
0
y
0

x
0
2
y
0
2
??1
因为点
A
在椭圆上，
?
82

x
02
y
0
2
x
0
2
y
0
21
1???2?x
0
y
0
?x
0
y
0
?2

82162
x
0
2
y
0
2
1
?4x
0
y
0
?8
，当且仅当
???即 x
0
?2且y
0
?1
时，取等号
822
所以
S
ABCD

?S
max
?8
此时四个顶点的坐标为
A
?
2 ,1
?
,B
?
?2,1
?
,C
?
?2,? 1
?
,D
?
2,?1
?

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
x
2
y
2
??1
表示椭圆，求实数
m
的取值范围； 1. 已知方程
4?m6?m
【答案】：
(?6,?1)(?1,4)

2. 已知点
A(?2,0)
、
B(2,0)
两点，
P是坐标平面上的动点，且
|PA|?|PB|?6
，
O
是坐标原点，则 |PO|
的
取值范围是；
1 10

【答案】：
[5,3]

x
2
?
?y
2
?1
的两个焦点,点
P
在椭圆上,且满足
?F
1
PF
2
?
,则
?F
1
PF
2
的面积等于__. 3. 设
F
1
、
F
2
是椭圆
4
2
【答案】：1
x
2
y
2
? ?1
内有两点
A
?
1,3
?
,B
?
3,0
?
,P
为椭圆上一点,则
PA?PB
的最大值为 . 4. 已知椭圆
2516
【答案】：15
x
2
y
2
5. 已知F
1
、F
2
是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．
10064
π
(1)若∠F
1
PF
2
＝，求△F
1
PF
2
的面积；
3
(2)求PF
1
·PF
2
的最大值．
解：(1 )设PF
1
＝m，PF
2
＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义得m＋n ＝20.在△F
1
PF
2
中，由余弦定理得PF
2
1
＋
π
22
PF
2
PF
2
·cos∠F
1
PF
2
＝F
1
F
2
cos＝12
2
.∴m
2
＋n
2
－mn＝144，即(m＋n)
2
－3m n＝
2
－2PF
1
·
2
，即m＋n－2mn·
3 25611
π
12563
144.∴20
2
－3mn＝144 ，即mn＝.又∵S△F
1
PF
2
＝PF
1
·PF
2
·sin∠F
1
PF
2
＝mn·sin，∴S△F
1PF
2
＝××
3223232
643
＝.
3
PF
1
＋PF
2
?
2
?
20
?
( 2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF
1
＋PF
2
＝20.∵PF
1
＋PF
2
≥2PF
1
·PF
2
，∴PF
1
·PF
2
≤
?
2
??
＝
?
2
?
2
＝100，当且仅当PF＝PF＝10时，等号成立．∴PF·
121 PF
2
的最大值是100.
6. 设椭圆
C:x?2y?2b
（常数
b?0
）的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，
M,N
是直线
l:x?2b
上的两个动点，
222
FM?F
2
N?0
．
1
（1）若
F
1
M?F
2
N?25
，求
b
的值；
（2）求
MN
的最小值．

解：设
M(b,y
1
)
，
N(b,y
2
)

则
F
1
M?(3b,y
1
),F
2
N?(b,y2
)
，
由
FM?F
2
N?0
得
y 1
y
2
??3b
①
1
（1）由
F
1
M?F
2
N?25
，得
2

(3b)
2
?y
1
2
?25
②
1 10

2
b
2
?y
2
?25
③
由 ①、②、③三式，消去
y
1
,y
2
，并求得
b?2
．
x
2
y
2
??1
．（2）【解法一】易求椭圆 C
的标准方程为：
42
2
MN?(y
1
?y
2
)
2
?y
1
2
?y
2
?2y
1
y
2
??2y
1
y
2
?2y
1
y
2
??4y
1
y
2
?12b
2

2
所以，当且仅当
y
1
??y
2
?3b
或
y
2
??y
1
?3b
时，
MN
取最小值
23b
．
9b
4
【解法二】MN?(y
1
?y
2
)?y?
2
?6b
2?12b
2
，
y
1
2
22
1所以，当且仅当
y
1
??y
2
?

3b
或
y
2
??y
1
?3b
时，
MN
取最小值
23b
．

本节课主要知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质及其应用

【巩固练习】
x
2
y
2
1. 方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．
25－m16＋m
9
答案：2

x
2
y
2
2. 过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．
94
x
2
y
2
答案：＋＝1
1510

x
2
y
2
??1
上运动，点
Q
、
R
分别在圆
(x?1)
2
?y
2
?1
、
( x?1)
2
?y
2
?1
上运动，求3. 点
P
在椭圆
43
1 10

|PQ|?|PR|
的取值范围。
【答案】：
[2,6]

4. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，两个焦点为
F
1
、
F
2
，椭圆上一点P到两焦点
F1
、F
2
的距离分别为
4525
、
，过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
33

解：由
PF
1
?
4525
、
PF
2
?
，
33
4525
?
得
2a?
，即
a?5
.
33
由条件可知
PF
2
∥
y
轴，且
∠PF
1
F
2
?30
，
∴
2c=PF
1
?cos30=
510
255
22
，即
c=
，
c ?
，
b ?
.
33
33
x
2
3y
2
y
2
3x
2
??1
或
??1
. ∴椭圆的方程为
510510
x
2
y
2
??1
左焦点，
P
为椭圆上的动点.则
PF
1
?PA
的最小值为多少？ 5. 若点
A
的坐标，
F
1
是椭圆
（1,1）
95
【答案】
6?2
.

【预习思考】
1. 如何判断直线与椭圆的位置关系？

2. 直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦，那
么直线与椭圆相交的弦长公式是什么？

x
2
y
2
3. 设直线
l
与椭圆
2
?
2
?1
相交于
A(x
1，y
1
)
、
B(x
2
，y
2
)
两点，设
AB
的中点为
M(x
0
，y
0
)
，用中点
ab
M(x
0
，y
0
)
的坐标，表示直线AB的斜率
k
AB
?
4. 练习：
.
x
2 y
2
??1
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距离是（1）椭圆
164
1 10

（）

A．3

B．
11
C．
22
D．
10

x
2
?
?y
2
?1
，过左焦点
F
作倾斜角为的直线交椭圆于
A
、
B
两点，求弦
AB
的长。（2）已知椭圆：
9
6

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
椭圆（二）
教学内容

1. 掌握直线与椭圆的位置关系，并能够应用韦达定理解题；
2. 会应用椭圆性质解决综合题目。
（以提问的形式回顾）
1. 如何判断直线与椭圆的位置关系？
直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离，判断直线与椭圆的位置关系，可以利用直线方程与椭圆方
程联立，看联立后方程解的个数：
（1）
??0
，无解则相离；
（2）
??0
，一解则相切；
（3）
??0
，两解则相交。

2. 直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题，直线与椭圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦，那
么直线与椭圆相交的弦长公式是什么？
直线与椭圆相交的弦长公式：
AB?1?kx
1
?x
2
.
1 10

2

x
2
y
2
3. 设直线
l
与椭圆
2
?
2
?1
相交于
A(x
1
，y
1
)、
B(x
2
，y
2
)
两点，设
AB
的中点为
M(x
0
，y
0
)
，用中点
ab
M (x
0
，y
0
)
的坐标，表示直线AB的斜率
k
A B
?
4. 练习：
b
2
x
0
.
?
2

ay
0
x
2
y
2
??1
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距离是（1）椭圆
164
A．3
答案：D
B．
11
C．
22
D．
10

（）
x 2
?
?y
2
?1
，过左焦点
F
作倾斜角为的直线交椭圆于
A
、
B
两点，求弦
AB
的长。（2）已知椭圆：
9
6
x
2
1
?y
2
?1
联立消去
y
得：
4x
2
?122x?15?0
。
(x ?22)
与由题意知：
l:y?
9
3
设
A(x
1 ,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)，则
x
1
,x
2
是上面方程的二实根，由违达定理，
x
1
?x
2
??32
，
x
1
?x
2
?
15
，
4
x
M
?
x
1
?x
2
32
??
又因为
A、B、F
都是直线
l 上的点，
22
所以
AB?1??|x
1
?x
2
|?

1
3
22
?(x
1
?x
2
)
2 ?4x
1
x
2
?18?15?2

33
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
x
2
y
2 ??1
的焦点为
F
1
、
F
2
，在直线
L：x?y?6?0
上找一点
M
.求以
F
1
、
F
2
为焦点，通例1. 已知椭圆
95
过点
M
且长轴最短的椭圆方程.
0)
和
F
2
(2，0)
. 解：方法一：由已知可得
F
1
(?2，
x
2
y
2
设椭圆方程
2
?
2
?1(m＞n＞0）
.
mn
?
x
2
y
2
?1
?
?
2222222
联立方程
?
m
2
n
2
，整理得
(m?n）x?12mx?36m?mn?0
.
?
x?y?6?0
?
1 10

22
由
m=n?4
得
(2m-4）x?12mx?40m?m?0
.
22224
不难判断椭圆长轴最短就是椭圆与直线
L
的公共点
M
到两焦点
F
1
、
F
2
的距离和最小.
所以直线应与椭圆相切，当且仅当△=0.
 ?=144m?4(2m?4)(40m?m)?0
，即
(m?20)(m?4)?0 .
∴
m?20
和
m?4
（舍去）.
22
422422
x
2
y
2
??1
. ∴
2016
方法二：由椭圆长轴最短得
MF
1
?MF
2
最小，即直线
l
上的点
M
使
MF
1
?M F
2
最小.
'
根据平面几何的对称原理知
MF
的最小值是的长，
FF
?MF
12
12
'
其中
F
2
是
F
2
关于直线
L
的对称点，
不妨设
F
2
(x
0
,y
0
)
，
由
F
2
(2,0）
与
F
2
关于
x ?y?6?0
轴对称，
1
1
?
y
0
?(?1)? ?1
?
?
x
0
?6
?
x?2
1
则有
?
0
解得
?
，即
F
2
(6,4)
.
?
y
0
?4
?
x
0
?2
?
y
0
?6?0
?
?22
则所求椭圆长轴=
F
1
F
2
=
∴
a?20
，
b?16
. 2
2
1
?
6+2
?
2
+4
2
=45
即
2a=45
.
x
2
y
2
??1
. 椭圆方程为
2016

试一试：已知点
P
是交点在
x
轴上的椭圆上一点，点
P到两焦点
F
1
、
F
2
的距离分别是
43
和
23
，
?F
1
PF
2
的平分线交
x 轴于点
Q
.求椭圆
C
的标准方程.
（1,0）
x
2
y
2
+?1
. 【答案】
2718

y
2
?1
交于
A,B
两点，
M
是
AB
中点，
O
为原点。例2. 已知直线l:y?kx?b
与椭圆
C:x?
3
2
（I）当直线
l
与直线
x?y?0
平行（不重合）时，求直线
OM
的斜率；
(k
2
?3)
2
（II）若
OM?1
，证明
b?
，并求线段
AB
长取最大值时，直线
l
的方程
k
2
?9
2
?
2
x?
?
?
1
解析：（I）令
A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
，则：
?
?
x
2
?
2
? ?
两式相减得
y
1
2
?1
3

2
y
2
?1
3
y
1
?y
2
3(x?x)
??
12
?3k
OM
??1?k
OM
?3

x
1
?x
2
y
1
?y
2
1 10

?
y?kx?b
2bk6b
?
（II）由
?
2
y
2

?(3?k
2
)x
2
?2bkx?b
2
?3?0?x
1
?x
2
??
2
,y
1
?y
2
?
2
k?33?k
?1
?
x?
3
?
?bk3b
?M(,),
22
3?k3?k
(3?k
2
)
2
OM?1?b?
2
,?12(3?k
2
?b
2
)?0
k?9
时AB
max
?2

1
AB?62??2?k??3,b??3 16
(k
2
?1)?
2
?10
(k?1)
2
此时
l:y??3x?3

x
2
y
2
b
2
试一试：已知直线
l
交椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
）于
A,B
两点，
M
为
A, B
中点，求证
k
AB
?k
OM
??
2
 a
ab
【解析】：设
A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，中点
M(x
0
,y0
)

?
x
1
2
y
1
2??1
?
?
a
2
b
2
代入方程，得
?
2

2
?
x
2
?
y
2
? 1
?
?
a
2
b
2
两式相减，得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)(y
1?y
2
)(y
1
?y
2
)
??0
 22
ab
?
x
1
?x
2
?2x
0 由于
M
为
A,B
中点，有
?
，
y?y?2 y
20
?
1
?
(x
1
?x
2
)x
0
(y
1
?y
2
)y
0
??0

22
ab
11
y
1
?y
2
y
0 ????0

22
abx
1
?x
2
x
0
两边同除以
(x
1
?x
2
)x
0
，得
b
2
11
即
2
?
2
?k
AB?k
OM
?0
，
?k
AB
?k
OM
??
2

a
ab

x
2
y
2
例3. 已知椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
，左右焦点分别为
F
1,F
2
，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等
ab
边三角形，直线l
经过点
F
2
，倾斜角为
45?
，与椭圆交于
A,B
两点．
｜F
1
F
2
|?22
，求椭圆方程；（1）若
1 10

（2）对（1）中椭圆，求
?ABF
1
的面积；
（3）
M
是椭圆上任意一点，若存在实数
?
,
?
，使得
OM?
?
OA?
?
OB
，试确定
?
,
?
的关系式．

解（1）由已知，可得
c?2
，
a?3b
，
3
，
b?1
，
222
∵
a?b?c
，∴
a?
x
2
?y
2
?1
. ∴
3
（2）设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2 ,y
2
)
，直线
l:y?x?2
，
2
代入椭圆方程得
4x?62x?3?0
，
x
1
?x
2
?
32
3
，
x
1
x
2
?
， 2
4
|x
1
?x
2
|?
∴
S
?
?
66
，
|y
1
?y
2
|?|x
1
?x
2
|?
，
22
16
?22??3
.
22
（3）由已知椭圆方程为
x
2
?3y
2
?3b
2
①，
右焦点
F
的坐标为
(2b,0)
，
直线
AB
所在直线方程为
y?x?2b
②，
由①②得：
4x
2
?62bx?3b
2
?0
，
3 2
3b
2
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
?
，
b
，
x
1
x
2
?
2
4
设
M(x,y)
，由
OM?
?
OA ?
?
OB
得，
x?
?
x
1
?
?
x
2
，
y?
?
y
1
?
?
y
2
，
∵点
M
在椭圆上，
∴
(
? x
1
?
?
x
2
)
2
?3(
?
y
1
?
?
y
2
)
2
?3b2
，
22
?3y
2
)?2
??
(x
1
x
2
?3y
1
y
2
)?3b
2
，整理得：
?
2
(x
1
2
?3y
1
2 )?
?
2
(x
2

x
1x
2
?3y
1
y
2
?x
1
x
2
?3(x
1
?2b)(x
2
?2b)?4x
1
x
2
?32b(x
1
?x
2
)?6b
2
?0
③，
22
?3y
2
?3b
2
⑤，又点
A,B
在椭圆上，故
x
1
2
?3y
1
2
?3b
2
④，
x
2
由③④⑤式得
?
2
?
?
2
?1
．
x
2
y
2
试一试：已知椭圆
C:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的左、右焦点分别为
F
1 ，
F
2
，点
M
?
0,2
?
是椭圆的一个顶点，
ab
△
F
1
MF
2
是等腰直角三角形．

（
1
）求椭圆
C
的方程；

1 10

（
2
）设点
P
是椭圆
C
上一动点，求直线
PM
的中点
Q
的轨迹方程；

（
3
）过点
M
分别作直线
MA
，
MB
交椭圆于
A
，
B
两点，设两直线的斜率分别为
k
1
， k
2
，且
k
1
?k
2
?8
，
探究：直线
AB
是否过定点，并说明理由．

【正确答案】
（
1
）由已知可得
b?2
，
a?
2
?
2b
?
2
?8
，

x
2
y
2

所求椭圆方程为
??1
．

84
（
2
）设点
P
?
x
1
,y
1
?
，
PM
的中点坐标为
Q
?
x,y
?
，

x
2
y
2

则
??1

84
由
x?
0?x
1
2?y
1
，
y?
得
x
1
?2x
，
y
1
?2y?2代入上式

22
x
2
x
2
2
2
得
?(y?1)?1?
?
y?1
?
?1
2
2
（
3
）若直线
AB
的斜率存在，设
AB
方程为
y?kx?m
，依题意
m??2
．

设
A
?
x
1
,y
1
?，
B
?
x
2
,y
2
?
，
 ?
x
2
y
2
?1
?
?
222

得
?
1?2k
?
x?4kmx?2m?8?0
．

由
?
84
?
y?kx?m
?
4km
2m 2
?8
则
x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
?
．

2
2
1?2k
1?2k
y
1
?2y
2?2
??8
，

由已知
x
1
x
2所以
kx
1
?m?2kx
2
?m?2
??8
，

x
1
x
2
x
1
?x
2
?8
．

x
1
?x
2
即
2k?
?
m?2
?
所以
k?
mk1
?4
，整理得
m?k?2
．
m?22
1
?
1
?
k?2
，，即
y?k
?
x?
?
?2
．

2
?
2
? 故直线
AB
的方程为
y?kx?
1 10

?
1
?
所以直线
AB
过定点
?
?,?2
?
．

?
2
?
若直线
AB
的斜率不存在，设
AB
方程为
x?x
0
，

设
A
?
x
0
,y
0
?
，
B
?
x
0
,?y0
?
，

y
0
?2?y
0
?2
??8
，

由已知
x
0
x
0
得
x
0
??
11
?
1
?
．此时
AB
方程为
x??
，显然过点
?
?,?2
?
．

22
?
2
?
?
1
?
综上，直线
AB
过定点
?
?,?2
?
．

?
2
?

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
x
2
y
2
1. 直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程.
43
【答案】：设A（x
1
，y
1
）、B（x
2
， y
2
），
x
1
2
y
1
2
则+=1，
43
22
x
2
y
2
+=1.
43
①－②，得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)
+=0.
43
∴

①
②
y
1
?y
2
3
x?x
2
=－·
1
.
x
1
?x
24
y
1
?y
2
又∵M为AB中点，
∴x
1 +x
2
=2，y
1
+y
2
=2.
∴直线l的斜率为－
3
.
4
3
（x－1），
4
∴直线l的方程为y－1=－
即3x+4y－7=0.

x
2
y
2
??1
. 2. 已知椭圆
164
1 10

（1）若它的弦
AB
被
M
平分，求
AB
所在直线方程；
（1,1）
（2）求过点
M
的弦的中点
P
的轨迹方程. （1,1）
解：（1）方法一（参数法）：设直线
AB
的方程为
y-1 ?k(x-1)
.
?
y?1=k(x?1)
?
（1?4k
2
）x
2
?8k(k?1)x?4(k?1)
2
?16?0
. 由
?
x
2
y
2
得
?1
?
?
?
164
（x
1
,y
1
)
、
B （x
2
,y
2
)
，设
A
?
?
? ＞0
?
8k(k?1)
?
则
?
x
1
?x 2
?
.
2
1?4k
?
?
4k
2 -8k-12
?
x
1
?x
2
?
1?4k2
?
因为
M
为
AB
中点，
x?x
2
4k(k?1)
则
1
??1
.
21?4k
2
1
解得
k??
，代入
??55＞0
.
4
则
AB
的方程为
x?4y?5?0
.

（x
1
,y
1
)
、
B（x
2
,y
2
) ，而他们都在椭圆上，方法二（点差法）：设
A
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
??1，?? 1
. 则
164164
x
1
2
?x
2
2 y
1
2
?y
2
2
??0
. 两式做差得： 164
y
1
?y
2
?
?
x
1
?x
2
?
整理得.
=
x
1
?x
24
?
y
1
+y
2
?
又
M
为 AB
中点，
∴
x
1
+x
2
=2
，
y
1
+y
2
=2
.
y
1
?y
2
?1
=
.
x
1
?x
2
4
1
即直线斜率为
?
.
4
所以直线方程为
x?4y-5?0
.
（x 1
,y
1
)
、
B（x
2
,y
2)
，中点
P（x,y)
，（2）设
A
代入得
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
??1，??1
. 则
164164
x
1
2
?x
2
2
y
1
2
?y
2
2 ??0
，两式做差得
164
y?y
2
?
?
x
1
?x
2
?
整理得
1
. =
x
1
?x
2
4
?
y
1
+y
2
?
又
P
为
AB
中点，
∴
x
1
+x
2
=2x
，
y
1
+y
2
=2y
.
1 10

又
A、B、M、P
四点共线，
则
k
AB
?k
MP
即
∴
y
1
?y
2
y?1
=
.
x
1
?x
2
x?1
y?1?2x
=
.
x?18y
22
整理得
x?4y?x?4y=0
.

P
的轨迹方程为
x?4y?x?4y=0
.
 22
10
x
2
y
2
,OP?OQ
,求椭圆方程。 3. 已知直线
y?x?1
交椭圆
2
?
2
?1
于
P,Q
两点，
PQ?
2
ab
【答案】：设椭圆方程为 mx?ny?1
?
m?0.n?0,m?n
?

22
?
mx
2
?ny
2
?1
?mx
2
?n?
x
2
?2x?1
?
?1

?
?
y?x?1
整理得：
?
m?n
?
x
2
?2nx?n?1?0
①
x
1
?x
2
?
?2nn?1
,x
1 x
2
?,
设
P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?
OP? OQ,OPOQ?0

m?nm?n
?x
1
x
2
? y
1
y
2
?0,即x
1
x
2
?
?
x
1
?1
??
x
2
?1
?
?0, 有m?n?2

方程①变形为：
2x?2nx?n?1?0,x
1
? x
2
??n,x
1
x
2
?
2
n?1
,

2

3
?
1
?
n?n?
?
105
??
2
或
?
2

PQ?,?x1
?x
2
?,
有
4n
2
?8n?3?0
得，
??
22
?
m?
1
?
m?
3
??
?2?2
x
2
3y
2
y
2
3x2
??1或??1
所以椭圆方程为
2222

本节课主要知识点：直线与椭圆的位置关系，点差法的应用

1 10

【巩固练习】
1. 已知
△ABC
的顶点
A，B
在椭圆
x?3y?4
上，
C
在直线 l：y?x?2
上，且
AB∥l
．
（Ⅰ）当
AB
边通过坐标原点
O
时，求
AB
的长及
△ABC
的面积；（Ⅱ）当
?ABC?90
，且斜边
AC
的长最大时，求
AB所在直线的方程．
解：（Ⅰ）因为
ABl
，且
AB
边通过点 (0，0)
，所以
AB
所在直线的方程为
y?x
．
22
(x
2
，y
2
)
．设
A，B
两点坐标分别为
(x
1
，y
1
)，
?
x
2
?3y
2
?4，
由
?
得
x??1
．
?
y?x
所以
AB?2x
1
?x
2
?22
．
又因为
AB
边上的高
h
等于原点到直线
l
的距离．
所以
h?2
，
S
ABC
?
1
ABh?2 ．
2
（Ⅱ）设
AB
所在直线的方程为
y?x?m
，
?
x
2
?3y
2
?4，
由
?
得 4x
2
?6mx?3m
2
?4?0
．
?
y ?x?m
因为
A，B
在椭圆上，所以
???12m
2
?64 ?0
．
3m
2
?4
3m
(x
2
，y2
)
，则
x
1
?x
2
??
设
A，B
两点坐标分别为
(x
1
，y
1
)，
，
x
1
x
2
?
，
4
2
32?6m
2
所以
AB?2x
1
?x
2
?
．
2 又因为
BC
的长等于点
(0，m)
到直线
l
的距离，即
BC?
222
2?m
2
．
所以
AC?AB?B C??m
2
?2m?10??(m?1)
2
?11
．
所以当
m??1
时，
AC
边最长，（这时
???12?64?0
）
此时
AB
所在直线的方程为
y?x?1
．
1 10

x
2
y
2
??1
长轴的左右端点，点
F
是椭圆的右焦点，点
P
在椭圆上，且位2. 如图所示，点
A,B
分别是椭圆
3620
于
x
轴上方，
PA?P F

（1）求点
P
的坐标
（2）设
M
是椭圆长轴
AB
上的一点，
M
到直线
AP
的距离等于
MB，求椭圆上的点到点
M
的距离
d
的最
小值。
y
P
A
F
B
x

【答案】：（1）设P
?
x,y
?
，由点
P
在椭圆上，且位于
x 轴上方，
PA?PF
，
A
?
?6,0
?
,F
?
4,0
?
，
k
AP
?
yy
 ,k
PF
?
x?6x?4
?
x
2
y
2
3
?
x?
??1
?
?
?
3620
?
?
35
?
2
?
?
3
?
则
?
因为
P
位于
x
轴上方，故
P
? ,
5
y
?
22
?
?
y
3
? ?1
?
y??
?
?
?2
?
x?6x?4
m ?6
（2）直线
AP
方程为
x?3y?6?0
，设点
M?
m,0
?
，则
M
到直线
AP
的距离为，于是
2
m?6
?m?6
，又
?6?x?6
，解得
m?2

2
设椭圆上的点
?
x,y
?
到点
M
的距离为
d
，则
54
?
9
?
 d?
?
x?2
?
?y?x?4x?4?20?x
2
?
?
x?
?
?15

99
?
2
?
2
2
22
2
由于
?6?x?6
，故当
x?
9
时，
d
取最小值
15

2

【预习思考】
1. 双曲线的定义：

1 10

2. 双曲线的图像与性质：

y
图像
F
1

O
F
2

x
标准方程
范围
顶点
对称性
焦点

a
，
b
，
c
的意义
渐近线

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
双曲线（一）
教学内容
1 10

1. 理解双曲线的定义；
2. 掌握双曲线的标准方程和几何性质；
（以提问的形式回顾）
1. 双曲线的定义：平面上到两定点的
F
1
、
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
）的点的轨
迹，叫做双曲线。定点
F
1
、
F
2
是焦点，
|F
1
F
2
|
是双曲线的焦距。
（当
a?0
时，若
2a?|F
1
F
2
|
，则动点的轨迹是两条射线；若
2a?|F
1
F
2
|
，则轨迹不存在。当
a?0 时，动点
的轨迹是一条直线）
2. 双曲线的图像与性质：

y
图像
F
1

O
F
2

x
标准方程
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)

a
2
b
2
范围
顶点
对称性
焦点
x??a
或
x?a

(?a,0)

关于
x
、
y
轴和原点对称
F
1
(?c,0)
、
F
2
(c,0)
 2
a
实轴长，
2b
虚轴长，
2c
焦距，
c? a?b

222
a
，
b
，
c
的意义
渐近线
x
2
y
2
a
y??x
（由
2
?
2
?0
得出）
ab
b
1 10

3. 特殊双曲线
（一）等轴双曲线
定义：若
a?b
即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线。
方程：
x?y?a
或
y?x?a
。
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：
y??x
；（2）渐近线互相垂直.注意以上几个性质与定义式彼此等
价；（3）等轴双曲线方程可以设为：
x?y?
?
(
?
?0)
，当
?
?0
时焦点在
x
轴，当
?
?0
时焦点在
y
轴上。
（二）共轭双曲线
定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
22 222222
x
2
y
2
x
2
y
2 y
2
x
2
y
2
x
2
方程：（1） 2
?
2
?1
的共轭双曲线为
2
?
2
?1
；
2
?
2
?1
的共轭双曲线为
2
? 2
?1
；
abbaab
ba
x
2
y
2
y
2
x
2
（2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为
2
?
2
??1
或
2
?
2
??1
；
abab
性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点
P
?
3，
?
，
Q
?
? ?
15
?
?
4
?
?
16
?
，5
?
且焦点在坐标轴上；
3
??
（2）
c?6
，经过点（－5，2），焦点在
x
轴上；
x
2
y
2
2
。
??1
有相同焦点，且经过点
32，
（3）与双曲线
164
??
x
2
y2
??1
解：（1）设双曲线方程为
mn
?
9225
??1
?
?
m??16
?
m16n
∵
P
、
Q
两点在双曲线上，∴
?
解得
?
 25625
n?9
?
?
??1
?
?
9mn ?x
2
y
2
??1
∴所求双曲线方程为
169说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
1 10

y
2
??1
（其中
0?
?
?6
）（2） ∵焦点在
x
轴上，
c?6
，∴设所求双曲线方程为：
?
6?
?
∵双曲线经过点（－5，2），∴
x
2
25
?
?
4
?1

6?
?
x
2
?y
2
?1
∴
? ?5
或
?
?30
（舍去）∴所求双曲线方程是
5
说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
x
2
y
2
?? 1
?
0?
?
?16
?
（3）设所求双曲线方程为：
16?
?
4?
?
2
，∴∵双曲线过点
32，
??
184
??1
∴
?
?4
或
?
??14（舍）
16?
?
4?
?
x
2
y
2 ??1
∴所求双曲线方程为
128
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
有公共焦点的双曲线系方程为
??1后，便有了以上巧说明：（1）注意到了与双曲线
16416?
?
4?
?
妙的设法．
（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方
面．
试一试：
x
2
y
2
1. 若双曲线
C
:
2
?
2
?1
的焦距为
10
,点
P(2,1)
在
C
的渐近线上,则
C
的方程为 .
ab
x
2
y
2
??1
答案：
205
2. 若双曲线的渐近线方程为
y??3x
,它的一个焦点是 (10,0)
,则双曲线的标准方程是 .
y
2
答案：
x??1

9
2
x
2
y
2
例2. 已知双曲线
2?
2
?1
?
a?0,b?0
?
，
P
为双曲线上任一点，
?F
1
PF
2
?
?
,求
F
1
PF
的面积。

ab
【答案】：已知双曲线的定义，有
PF
1
?PF
2
?2a
，而在
F
1
PF
中，由余弦定理有

PF
1
?PF
2
?2PF
1
PF
2
cos
?
?F
1
F 2
222
?4c
2

?
?
PF
1 ?PF
2
?
2
?2PF
1
PF
2
? 2PF
1
PF
2
cos
?
?4c
2

1 10

即
4c
2
?a
2
?2PF
1
PF
2
?
1?cos
?
?

??
所以
S

F
1
PF
? 1sin
??
PF
1
PF
2
sin
?
?b
2
?b
2
cot

21?cos
?
2
x
2
?y
2
?1(n?1)
的两焦点为
F
1
,F
2
,P
是此双曲线上的一点，且满足
|PF
1|?|PF
2
|
＝试一试：双曲线
n
2n?2
，求?PF
1
F
2
的面积。
x
2
?y
2
?1
上，设
?F
1
PF
2
?
?
，由焦点三角形的面积公式可知对于椭【解析】由题可以得出点P在椭圆
n?2
圆
S?t an

22
（x+5）?y
2
?4,（x?5）?y2
?4
中的一个内切，另一个外切. 例3. 设圆C与两圆
?
2
，对于双曲线
S?cot
?
2
，则必有
?
?
? 2
，所以
?PF
1
F
2
的面积等于
1
。

（1）求C的圆心轨迹L的方程.
（2）已知点
M(
标.

（1）解：设C的圆心的坐标为
(x,y)
，由题设条件知
35 45
，)，F（5，0），
且P为L上动点，求
MP?FP
的最大值及此时点 P的坐
55
|(x?5)
2
?y
2
?(x?5)
2
?y
2
|?4,

x
2
?y
2
?1.
化简得L的方程为
4

（2）过M、F的直线l方程为
y??2(x?5)
，将其代入L的方程得：
15x
2
?325x?84?0

解得：
x
1?
652514525
65145
,?),T
2
(,)

,x
2
?
，故交点为
T
1
(
551515
515
1 10

因为
T
1
在线段MF外，
T 2
在线段MF内，所以
MT
1
?FT
1
?MF?2 ，
MT
2
?FT
2
?MF?2
，所以最大值是2.

y
2
?1
上求一点，使它到直线
5x?y?1 ?0
的距离最短，并求此最短距离．试一试：在双曲线
x?
9
2
x xyy
x
2
y
2
【答案】：过双曲线
2
?
2
?1
上一点
M
?
x
0
,y
0
?
的切线方程为
0
2
?
0
2
?1.

ab
ab
设所求点为
P(x
0
,y
0
)
，则过该点的双曲线的切线
x
0
x?
y
0
y
?1 应平行于直线
5x?y?1?0
。
9
y
0
2
9
2
?1
，由
k切
=5
，得
y
0
?x
0
代入双曲线方程
x
0
?
9
5
解之得关于原点对称的两点
P
与P
2
(?
1
(,)
59
44
59
，
,?)
44
59
适合题意。
,?)
44
由于5x?y?1?0
不关于原点对称，因而仅有
P
2
(?
?
d
min
?
259
??1
326
44
.
?
2
26
5?1
例4. 双曲线的中心为原点
O
，焦点在
x
轴上，两条渐近线分别为
l
1
，l
2
，经过右焦点
F
垂直于
l
1
的直线分别
AB、OB
成等差数列，且
BF
与
FA
同向．交
l
1
，l
2
于
A，B
两点．已知
OA、
（1）求双曲线中
c
的值；
a
222
（2）设
AB
被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（1）设
OA?m?d
，
AB?m
，
OB?m?d
，由勾股定理可得：
(m?d)?m?(m?d)
，
得： d?
1bAB4
m
，
tan?AOF?
，
tan?A OB?tan2?AOF??
，
4aOA3
2
b
a
?4
，解得
b
?
1
,则
c
?
5
．由倍角公式
?
2
a2
3
a2
?
b
? 1?
??
?
a
?
x
2
y
2
a
（2）过
F
直线方程为
y??(x?c)
,与双曲线方程
2
?
2
?1
联立，
ab
b
1 10

将
a?2b
，
c?5b
代入，化简有
15
2
85
x?x?21?0
，
4b
2 b
2
?
?
a
?
2
?
?
a ?
2
，
4?1?
??
x
1
?x
2
?
?
1?
??
?
?
(x?x)?4x
1 x
2
?
12
??
?
b
?
?
?
?
b
?
?
?
?
?
325b
? 2
28b
2
?
?
,解得
b?3
，
?4
将数值代入，有
4?5
?
??
??
5
???
15
?
??
x
2
y
2
??1
。故所求的双曲线方程为
369

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
y
2
?1
的焦点到渐近线的距离为
22
，则实数
k
的值为___8_____ 1. 若双曲线
x?
k
2
x
2
2
2、若点O和点
F(?2,0)
分别是双曲线
2
?y?1(a>0)
的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则
a
OP?FP
的取值范围为。
[3?23,??)

x
2
y
2
x
2
y
2
3. 若双曲线
C
1
:
2
?
2
?1(a
1
?0 ,b
1
?0)
和双曲线
C
2
:
2
?
2
?1(a
2
?0,b
2
?0)
的焦点相同，且
a
1
?a
2
a
1
b
1
a
2
b
2
给出下列四个结论：
2222
①
a
1
?a
2
?b
2
?b
1
； ②
a
1
b
2
?
；
a
2
b
1
③双曲线
C
1
与双曲线
C
2
一定没有公共点； ④
a
1
?a
2
?b
1
?b
2
；
其中所有正确的结论序号是（）
A
． ①②
B
．①③
C
．②③
D
． ①④
【答案】：B
4. 已知双曲线方程为
16x?9y?144
，
F
1
,F
2
是两个焦点，
P
是双曲线上一点，
⑴求焦点坐标及两渐近线夹角；
⑵若
PF
1
?PF
2?32
，求
?F
1
PF
2
的大小；
⑶若?F
1
PF
2
?
?
，求
?F
1
PF
2
的面积；
1 10

22

【答案】：（1）
?
?5,0?
，
arctan
2
244
?
?
（2），（3 ）
b
2
?cot

?
?
?2arctan
，
7322
y
2
?1
。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P
1
及
P
2
，求线段
P
1
P
2
的中点P的轨迹方程．给定双曲线
x?

2
2
y
1
2
y
2
2
?1
，
x
2
??1 ．解析：设
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
代入方程得
x?
22
2
1
两式相减得
(x
1
?x 2
)(x
1
?x
2
)?
1
(y
1 ?y
2
)(y
1
?y
2
)?0
。
2
2y
y
1
?y
2
·?0
。
2x
1
?x
2
又设中点P（x,y），将
x
1
?x
2
?2x
，
y
1
?y
2
?2y
代入，当
x
1
?x
2
时得
2x?
又
k?
y
1
?y
2
y?1
22
?
，代入得
2x?y?4x?y?0
。
x
1
?x
2
x ?2
当弦
P
1
P
2
斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是
1
4(y?)
2
8(x?1)
2
?1
。
?
77
2

本节课主要知识点：双曲线的标准方程，双曲线的几何性质及应用

【巩固练习】
x
2
y
2
?1
?
a?0
?
的渐近线方程为
3x?2y?0
，则正数
a
的值为___2_______ 1. 设双曲线
2
?
a9
2、双曲线
mx?y?1
的虚轴长是实轴长的2倍，则
m?
。
?
22
1
4
y
2
P
2
分别是左、
?1
上一点，
P
3.
P
为双曲线
x?
右焦点，若
PF
则△PF
1
F
2
的面积是（）
1，
1
?P F
2
?3:2
，
12
2
A
．
63
；
B
．
123
；
C
．12；
D
．24 ．
【答案】
C

1 10

4. 已知
?ABC
的底边BC长为 12，且底边固定，顶点A是动点，使
sinB?sinC?
1
sinA
，求点A的轨迹
2
【分析】：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化
为边的关系，注意有关限制条件
【答案】：以底边BC 为
x
轴，底边BC的中点为原点建立
xoy
坐标系，这时
1
B(?6,0),C(6,0)
，由
sinB?sinC?sinA
得
2
1
b?c?a?6
,即
|AC|?|AB|?6

2
x
2
y
2
??1(x??3)

所以，点A的轨迹是以
B(?6,0),C(6,0)
为焦点，2
a
=6的双曲线的左支其方程为：
927

【预习思考】
1. 直线与双曲线的位置关系有哪些？如果直线与双曲线只有一个公共点，能否说明?=0？

2. 练习
3
x
2
y
2
x
，左焦点为F ，过
A(a,0),B(0,?b)
的直线为
l
，原点已知双曲线
2
?
2
?1
的渐近线方程为
y??
3
ab
到直线
l
的距离是
3
.

2
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
y?x?m
交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数
m
，使得以CD为直径的圆经过双
曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

1 10

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
双曲线（二）
教学内容

1. 掌握直线与双曲线的位置关系，并能够应用韦达定理解题；
2. 会应用双曲线性质解决综合题目。
（以提问的形式回顾）
1. 直线与双曲线的位置关系有哪些？如果直线与双曲线只有一个公共点，能否说明?=0？
有相交，相切，相离三种位置关系，但是有一个公共点并不一定是?=0，还可能是平行于渐近线的直线与双曲
线相交，此时也只有一个交点。下面的四种情况可以让学生了解。
x
2
y
2
过双曲线
2
?
2
?1
＝1外一点
P(x
0
,y
0
)
的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：
ab
①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两
条切线共四条；
1 10

②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两
条切线，共四条；
③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；
④P为原点时不存在这样的直线

2. 练习
3
x
2 y
2
x
，左焦点为F，过
A(a,0),B(0,?b)
的直线为
l
，原点已知双曲线
2
?
2
?1
的渐近线方程为
y??
3
ab
到直线
l
的距离是
3
. 
2
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
y?x?m
交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数
m
，使得以CD为直径的圆经过双
曲线的左焦点F。若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

解：（1）∵
b
?
a
3

,
3
原点到直线AB：
x
?
y
?1
的距离，
d?
abab
a
2
?b
2
?
ab3

?.
c2
?b?1,a?3.
故所求双曲线方程为
x
2
2
-y?1

3

（2）把
y?x?m代入x
2
?3y
2
?3
中消去y，整理得
2x
2
?6mx?3m
2
?3?0
.
3m
2
?3
x
1
x
2
?,

F(?2,0),

2
设
C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
??3m,
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以
FC? FD?0

可得
(x
1
?2)(x
2
?2)? y
1
y
2
?0
把
y
1
?x
1
?m,
解得：
m?3?2

2
解
??0
，得
m?2
，
?m?3?2
满足
??0
，
?m?3?2

y
1
?x
1
?m
代入，
1 10

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
x
2
y
2
例1. 已知双曲线C：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的一个焦点是
F
2
(2,0)
，且
b?3a
。
ab
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点 F
2
的直线
l
的一个法向量为
(m,1)
，
当直线
l
与双曲线C的右支相交于
A,B
不同的两点时，
22
求实数
m
的取值范围；并证明
AB
中点
M
在曲线
3(x?1)?y?3
上。

22
22222
【解析】：（1）
c?2

c?a?b

?4?a?3a

?a?1,b?3

y
2
?1
。
?双曲线为x ?
3
2
?
y??mx?2m
?
2222
（2）l:

m(x?2)?y?0
由
?
2
y
2
得
(3?m)x?4mx?4m?3?0

x??1
?
3
?
422
22
由
??0
得
4m?(3?m)(4m?3)?0
，
12m?9?3m?0
，
即m?1?0恒成立

2
4m
2
?0
2
?
x
1
?x
2
?02
又
?

m
2
?3

?m?3

?m?(??,?3)?(3,??)

4m?3?
x
1
?x
2
?0
?0
m
2
?3
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
x
1
?x
2
y
1?y
2
2m
2
2m
3
?6m
?
2??
2
?2m?
2

2
2
m?3
m?3m?3
2m
2
6m
?AB中点M(
2
,?
2
)

m?3m?3
2m
2
36m
2
(m
2
?3)
2
36m
2
m
4
?6m2
?9?12m
2
2
?
3(
2
?1)?
2
?3?
2
?
2
?3??3
22222
m?3( m?3)(m?3)(m?3)(m?3)
?M在曲线3(x?1)
2
?y
2
?3上
。

试一试：给定双曲线
x?2
p
?1
，过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q
1
及Q
2
，且
2
点B是线段Q
1
Q
2 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在说明理由。
1 10

【答案】：假设所求的直线m存在，其方程为y=k（x-1）+ 1代入双曲线方程整理得：
(2?k
2
)x
2
?(2k
2 ?2k)x?k
2
?2k?3?0
①
2k
2
?2k
设Q
1
(x
1
y1
),Q
2
(x
2
y
2
),则
x1
,x
2
必是方程①的两根即
x
1
?x
2
?

2
k?2
x 1
?x
2
2k
2
?2k
?2
若B是Q
1
、Q
2
的中点，就有
?1
，而
x
1?x
2
?2
∴应有
2
2
k?2
∴ k应满足
(2k?2k)?4(2?k)(?k?2k?3)?0
②
2222
2k
2
?2k
?2
③
2
k?2
由③
?
k=2代入②得，－8＜0，即k=2不满足
∴①无解，故这样的直线M不存在。

y
2
例2. 已知点
F
1
，
F
2
为双曲线
C:x?
2 ?1
?
b?0
?
的左、右焦点，过
F
2
作垂直于
x
轴的直线，在
x
轴上方
b
2
222
交双曲线于点
M
，且
?MF
1
F
2
?30
，圆
O
的方程为
x?y?b
．
（1）求双曲线
C
的方程；
（2）过圆
O
上任意一点Q
?
x
0
,y
0
?
做切线
l
交双曲线
C
于
A
，
B
两个不同的点，
AB
中点为
M
，
求证：
AB?2OM
；
（3）过双曲线C
上一点
P
作两条渐近线的垂线，垂足分别是
P
1
， P
2
，求
PP
1
?PP
2
的值．

【解析】（1）设
F
2
，
M
的坐标分别为
(1?b
2
,0),
?
1?b
2
,y
0
?
?
y?0
?

0

y
0
2
2
2
因为点
M
在双曲线
C
上，所以
1?b?
2
?1
，即
y
0
?b
，所以
MF
2
?b

b
2
22
在
Rt
△
MF
2
F
1
中，
?MF
1
F
2
?30
，
MF
2
? b
，所以
MF
1
?2b

由双曲线的定义可知：
MF
1
?MF
2
?b?2

2

y
2
?1
故双曲线
C
的方程为：
x?
2
2
（2）①当切线
l
的斜率存在
设
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，切线 l
的方程为：
y?kx?n
?
k??2
?

1 10

代入双曲线
C
中，化简得：
2?k2
x
2
?2knx?n
2
?2?0

所以 AB?1?k?x
1
?x
2
?1?k?
22
????
8n
2
?8k
2
?16
?
2?k
?
2
2

221?k
2
2
?k?4
因为直线
l
与圆
O
相切，所以
?2
，代入上式，得
AB?
2
2 2?k
1?k
n
设点
M
的坐标为
?
x
M
,y
M
?
，则
x
M
?
22
x
1
?x
2
kn2n
，
?y?kx?n?
MM22
22?k2?k
2?1?k
2
?
kn
??
2n
?
2
所以
OM?
?
???k?4

???
22
2
2?k
?
2?k
??
2?k
?
即
AB?2OM
成立
②当切线
l
的斜率不存在时，
A
?
2,?2
，
B
??
2,2
或A?2,?2
，
B?2,2

?????
此时
AB?2 2
，
OM?2
，即
AB?2OM
成立
（3）由条件可知：两条渐近线分别为
l
1
：
2x?y?0
；
l
2
:2x?y?0

设双曲线
C
上的点
P
?
x
0
,y
0
?
，
则点
P到两条渐近线的距离分别为
PP
1
?
2x
0
?y
0
3
?
，
PP
2
?
2x
0
?y
0
3

所以
PP
1
?PP
2
?
2x
0
?y
0
3
?
2x
0
?y 0
3
2
2x
0
2
?y
0
2
3

y
2
?1
上，所以
2x
0
2
?y
0
2
?2
因为
P
?
x
0
,y
0
?
在双曲线
C
：
x?
2
故
PP
1
?PP
2
?
2x
0
2
?y
0
2
3
?
2

3
2?2?1?
?
?1
?
3?3
?
1
3
设
PF
1
和
PF
2
的夹角为 ?
，则
cos
?
?
所以
PF
1
?P F
2
?PF
1
?PF
2
?cos
?
?【点评】：熟练应用韦达定理、弦长公式。
试一试：已知两定点
F
1
? 2,0,F
2
212
??

339
???
2,0
，满足条件
PF
2
?PF
1
?2
的点
P 的轨迹是曲线
E
，直线
?
y?kx?1
与曲线
E交于
A,B
两点，如果
AB?63
，且曲线
E
上存在点
C
，使
OA?OB?mOC
，求
m
的
1 10

值和
?ABC
的面积
S
?
。
解：由双曲线的定义可知，曲线
E
是以
F
1
?2,0,F
2
22
???
2,0
为焦点的双曲线的左支，且
c?
?
2,a?1
，易知
?
y?kx?1
，
b?1
，故曲线
E
的方程为
x?y?1
?
x?0
?
，设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y2
?
，由题意建立方程组
?
22
x?y?1
?
消去
y
，得
1?k
2
x
2
?2kx?2?0
，又已知直线与双曲线左支交于两点
A,B
，有
??
?
1?k 2
?0
?
2
2
?
??
?
2k
?
?8
?
1?k
?
?0
?
?
，解得
?2?k??1
，
?
x?x?
?2k
?0
12
?
1?k
2
?
?2
?
x
1
x
2
??0
?
1?k
2
?
又∵
AB?1? k?x
1
?x
2
?1?k?
2
2
?
x1
?x
2
?
22
2
2
2
?4x
1
x
2

22
?2
?
?2k
?
?2
?1?k
2
?
?
?4?
2
?
2
1?k
?
1?k
?
2
?
1?k
??
2? k
?
，依题意得
?
1?k
??
2?k
?
2?6
?
1?k
?
?
1?k
?
2
2
3
，
整理后得
28k
4
?55k
2
?25? 0
，∴
k
2
?
5
55
或
k
2?
但
?2?k??1
，∴
k??
，
2
7 4
故直线
AB
的方程为
5
x?y?1?0
，设
C ?
x
c
,y
c
?
，由已知
OA?OB?mO C
，
2
?
x
1
?x
2
y
1?y
2
?
,
?
，
?
m?0
?
，
m
??
m
得
?
x
1
,y
1 ?
?
?
x
2
,y
2
?
?
?
mx
c
,my
c
?
，∴
?
mx
c
,my
c
?
?
?
2k
2k
2
2 ??
又
x
1
?x
2
?
2
??45 ，
y
1
?y
2
?k
?
x
1
?x
2
?
?2?
2
?2?
2
?8
，∴点 C
?
?45
,
8
?

?
mm
?
k?1k?1
k?1
??
将点
C
的坐标代入曲线
E
的方程，得
8064
??1
，得
m??4
，但当
m??4
时，所得的点在双曲线的右支
m
2
m
2
上，不合题意，∴
m?4
，
C
点的坐标为
?5,2
，
C到
AB
的距离为
2
?
?
?5
?
?2? 1
??
5
?
5
?
2
??
?1
? 2
?
2
1
，∴
?ABC
的面
?
3
积
S?

11
?63??3
。
23
例3. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是
F
1
?
?3,0
?
，一条渐近线的方程是
5x?2y?0
．
（1）求双曲线C的方程；
1 10

（2）若以
k
?
k?0
?为斜率的直线
l
与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐 标轴围成的三角形的面积为
81
，求
k
的取值范围．
2x
2
y
2
（1）解：设双曲线
C
的方程为
2 ?
2
?1
（
a?0,b?0
）．由题设得
ab?
a
2
?b
2
?9
2
?
x
2
y
2
?
?
a?4
??1
．，所以双曲线方程为 ?
b5
，解得
?
2
45
?
?
b?5
?
?
2
?
a
（2）解：设直
线
l
的方程为
y?kx?m
（
k?0
）．点
M(x
1
, y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)
的坐标满足方程组
?
y?kx?m
?
2

?
xy2
?1
?
?
?
45
x
2
(kx?m)
2
??1
，整理得
(5?4k
2
)x
2
? 8kmx?4m
2
?20?0
．将①式代入②式，得
45
2
此方程有两个一等实根，于是
5?4k?0
，且
??(?8km)?4(5?4k) (4m?20)?0
．
222
整理得
m?5?4k?0
． ③ 由根与系数的关系可知线段
MN
的中点坐标
(x
0
,y
0
)
满足
22
x
1
?x
2
4km5m
，．
?y? kx?m?
00
25?4k
2
5?4k
2
5m14km从而线段
MN
的垂直平分线方程为
y???(x?)
．
22 5?4kk5?4k
9km9m
此直线与
x
轴，
y
轴的交点坐标分别为
(
，
,0)(0,)
．
22
5?4k5 ?4k
x
0
?
(5?4k
2
)
2
19km 9m81
2
由题设可得
|
，
k?0
．
|?||?
．整理得
m?
|k|
25?4k
2
5?4k
22
(5?4k
2
)
2
?5?4k
2
?0
，整理得
(4k
2
?5)(4k
2
?|k|?5)?0
，
k?0
．将上式代入③式得
|k|
解得
0?|k|?
5 5
或
|k|?
．
2
4
5
4
(? 555
,0)(0,)(,??)
．
224
所以
k
的取值范围是
(??,?)

1 10

x
2
y
2
例4. 双曲线C:
2
?
2
?1
上一点
(2,3)
到左，右两焦点距离的差为2．
ab
（1）求双曲线的方程；
（2）设
F
1
,F
2
是双曲线的左右焦点，
P
是双曲线上的点，若
|PF
1
|?|PF
2
|?6
，
求
?PF
1
F
2
的面积；
（3）过
? ?2,0
?
作直线
l
交双曲线
C
于
A,B 两点，若
OP?OA?OB
，是否存在这样的直线
l
，使
OA PB
为
矩形？若存在，求出
l
的方程，若不存在，说明理由．
（1）
x?y?1

（2）妨设
P
在第一象限，则
?
22
?
|PF
1
|?|PF
2
|?2
? |PF
1
|?4,|PF
2
|?2

?
|PF1
|?|PF
2
|?6
?cos?F
1
PF
2
?
37
,?sin?F
1
PF?,?S
?
?7
44
22
（3）若直线斜率存在，设为
y?k(x?2)
，代入
x?y?1

得
(1?k)x?4kx?4k?1?0(k??1)

若平行四边形
OAPB
为矩形，则
OA?OB

2222
k
2
?1
?0
无解
?x
1x
2
?y
1
y
2
?0
?
2
k ?1
若直线垂直
x
轴，则
A(?2,3),B(?2,3)
不满足．
故不存在直线
l
，使
OAPB
为矩形．

?
??
?
1. 已知
i,j
是x,y轴正方向的单位向量，设
a?
?
x?2
?
i?yj
a
=
(x?2 )i?yj
,
b?
?
x?2
?
i?yj
b
=,且满
足
a?b?2

（1）求点P(x,y)的轨迹E的方程.

（2）若直线
l
过点
F
2
?
2,0
?
且法向量为
n?(t,1)
，直线与轨迹
E
交于
P、Q
两点．点
M
?
?1, 0
?
,无论直线
l
绕
1 10

?
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

点
F
2
怎样转动，
MP?MQ
是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数
t
的取值范
围；
y
2
?1(x?1)
，解：（1）方程为
x?
3
2
（2）设直线
l
的方程为
t(x?2)?y?0
或
y? ?t
?
x?2
?

?
y??t(x?2)
?
2222
由
?
2
y
2
得
(t?3)x?4tx? 4t?3?0

x??1
?
3
?
设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)

?
t
2
?3?0
?
4222
?
??16t?4( t?3)(4t?
2
3)?36?36t?0
4t
由条件得
?

?
x
1
?x
2
?
2
?0
t? 3
?
?
4t
2
?3
x
1
x
2?
2
?0
?
t?3
?
解得
t
2
?3
即
t?(??,?3)?(3,??)

MP?MQ?(x
1
?1)(x
2
?1)?y
1
y
2

?x 1
x
2
?x
1
?x
2
?1?t
2 ?
x
1
?2
??
x
2
?2
?

?(t
2
?1)x
1
x
2
?(2t
2
?1)(x
1
?x
2
)?1?4t
2

? ?
4t
4
?7t
2
?38t
4
?4t
2 2
??1?4t
==0
22
t?3t?3

2. 已知双曲线
x?y?2
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，过点
F
2
的动直线与双曲线相交于
A，B
两点．
（1）若动点
M
满足
FM
，求点
M
的轨迹方程；
?F
1
A?F
1
B?FO
11
（其中
O 为坐标原点）
22
CB
为常数？若存在，求出点
C
的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在
x
轴上是否存在定点
C
，使
CA ·
0)
，
F
2
(2，0)
，设
A(x
1
，y
1
)
，
B(x
2
，y
2
)
．解：由条件知
F
1
(?2，
解法一：（1）设
M(x ，y)
，则则
FM?(x?2，y)
，
F
1
A?(x
1
?2，y
1
)
，
1
F
1
B?(x 2
?2，y
2
)，FO?(2，0)
，由
FM?F
1
A?F
1
B?FO
111
得
1 10

?
x?2?x
1
?x
2
?6，
?
x
1
?x
2
?x?4，
?
x? 4y
?
即
?
于是
AB
的中点坐标为
?
， ?
．
?
?
22
?
?
y?y
1?y
2
?
y
1
?y
2
?y
y
y?y
2
y
y
2
当
AB
不与
x
轴垂直时，
1
，即
y
1
?y
2
?(x
1?x
2
)
．
??
x?8
x
1
?x 2
x?4
?2
x?8
2
2222
又因为
A， B
两点在双曲线上，所以
x
1
?y
1
?2
，
x
2
?y
2
?2
，两式相减得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?(y
1
?y 2
)(y
1
?y
2
)
，即
(x
1 ?x
2
)(x?4)?(y
1
?y
2
)y
．
将
y
1
?y
2
?
y
(x
1
?x
2
)
代入上式，化简得
(x?6)
2
?y
2
?4
．
x?8
当
AB
与
x
轴垂直时， x
1
?x
2
?2
，求得
M(8，0)
，也满足上述方程．
所以点
M
的轨迹方程是
(x?6)?y?4
．（2）假设在
x
轴上存在定点
C(m，0)
，使
CACB
为常数．
当
AB
不与
x
轴垂直时，设直线
AB
的方程是
y?k(x?2)(k??1)
．
代入
x?y?2
有
(1?k)x?4kx?(4k?2)?0
． 222222
22
4k
2
4k
2
?2
则x
1
，x
2
是上述方程的两个实根，所以
x
1
?x
2
?
2
，
x
1
x
2
?
2
，
k?1
k?1
于是
CACB?(x
1
?m )(x
2
?m)?k(x
1
?2)(x
2
?2)

2
?(k
2
?1)x
1
x
2
?(2k2
?m)(x
1
?x
2
)?4k
2
?m
2

(k
2
?1)(4k
2
?2)4k
2
(2k
2
?m)
22
???4k?m

22
k? 1k?1
2(1?2m)k
2
?24?4m
2
??m?2(1?2m )??m
2
．
22
k?1k?1
因为
CACB
是与
k
无关的常数，所以
4?4m?0
，即
m?1
，此时CACB
=
?1
．
?2)
，当
AB
与x
轴垂直时，点
A，B
的坐标可分别设为
(2，2)
，
(2，
?2)??1
．此时
CACB?(1，2)(1，
故在
x 轴上存在定点
C(1，0)
，使
CACB
为常数．

1 10

3. 已知点
M(?2,0),N(2,0)
，动点
P
满足条件
PM?PN?22
，记动点
P
的轨迹为W
。
（1）求
W
的方程；
（2）过
N(2,0) 作直线
l
交曲线
W
于
A,B
两点，使得
|A B|?
2
2
，求直线
l
的方程。
（3）若从动点
P
向圆
C
：
x?(y?4)?1
作两条切线，切点为
A、
B
，令|PC|=d,
试用d来表示
PA?PB
，并求
PA?PB
的取值范围。
解：（1）由
PM?PN?22
，知点
P
的轨迹是以
M(?2,0) ,N(2,0)
为焦点，
实轴长为
22
的双曲线。
即设
2a?22,2c?4?a?
2
22
2,c?2,b?2

2
所以所求的
W
的方程为
x?y?2

（2）若 k不存在，即x=2时,可得A(2,
2
)，B(2,-
2
),|AB|=2
2
满足题意；
若k存在，可设l:y=k(x-2)
?
y?k (x?2)
联立
?
2
，
?
(1?k
2
)x
2
?4k
2
x?4k
2
?2?0

2?
x?y?2
?
1?k
2
?0
?
k?R
且
k??1
由题意知
?
?
??0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则|AB|= ?
1?k
2

|a|
即
8k
2
?8
|1?k
2
|
1?k
2
=2
2
? k=0 即l：y=0
所以直线l的方程为 x=0或y=0
2
?
1
?
?
(d
2
?1)(d
2
?2)?
（3）
PA?PB?PAPBcos?APB?(d?1)(1?2sinAPO
?
)
?(d?1)
?
1?2
??
?
?

2
d
?
d
?
??
??
22
2又
d?x?(y?4)?y?2?(y?4)?2y?8y?18?2(y?2)?10?10
2222222
(d
2
?1)(d
2
?2)2
2
?d??3
-----
d
2
?10
则
PA ?PB
?
22
dd
f(d)?d
2
?
221
?
10,??
?3?f(d)?10??3?7
在是增函数，
2?
d105
?
则所求的
PA?PB
的范围为
?
7,??
?
。
?
1
?
5
?
?

1 10

本节课主要知识点：直线与双曲线综位置关系，双曲线性质综合

【巩固练习】
y
2
?1.
1. 已知双曲线的方程为
x?
3
2
（1）求以
A
（2，1）为中点的弦所在直线的方程；
（2）以点
B
（1，1）为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在直线的方程；若不存在，请说明理由.
y
1
2
y
2
22
?1,x
2
??1.
解：（1）设
P
1
( x
1
,y
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
是弦的两个端点，则有
x?
33
2
1
两式相减得
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2)?
(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2 )
?0.
①
3
∵A（2，1）为弦
P
1
P
2
的中点，∴
x
1
?x
2
? 4,y
1
?y
2
?2
，代入①得
4(x
1?x
2
)?
2(y
1
?y
2
)
. ∴
k
p
1
p
2
?6
.故直线
P 1
P
2
的方程为
y?1?6(x?2),即6x?y?11?0

3
（2）假设满足条件的直线存在，同（1）可求
3x?y?2?0.

?
?
3x?y?2?0
2
?
由
x
2
?
y
?1
得
6x
?
?
3

【预习思考】
2
?12x?7?0.
∵△=
12
2
?4?6?7?0,

∴所求直线与双曲线无交点. ∴以B(1,1)为中点的弦不存在.
1. 对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？

x
2
y
2
??1
表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 2. 讨论
25?k9?k
1 10

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
椭圆与双曲线
教学内容

1. 巩固复习椭圆与双曲线的性质；
2. 能综合运用椭圆与双曲线的性质解题。
（以提问的形式回顾）
1. 对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？

可以从定义，焦点三角形面积公式，与直线的位置关系等等很多角度去总结。
x
2
y
2
??1
表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 2. 讨论
25?k9?k
分析：由于
k?9
，
k?25
，则
k
的取值范围为
k?9
，
9?k?25
，
k?2 5
，分别进行讨论．
解：（1）当
k?9
时，
25?k?0
，
9?k?0
，所给方程表示椭圆，此时
a?25?k
，
b?9? k
，
1 10

22

，（4，0）．
c
2
? a
2
?b
2
?16
，这些椭圆有共同的焦点（－4，0）
（ 2）当
9?k?25
时，
25?k?0
，
9?k?0
，所给方程表示双曲线，此时，
a?25?k
，
b?9?k
，
22
c
2
?a
2
?b
2
?16
，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）
k?25
，
k?9
， k?25
时，所给方程没有轨迹．

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、
x
2
PN的斜率都存在，并记为k
PM
、k
PN 时，那么k
PM
与k
PN
之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C ′：
2
－
a
y
2
=1写出具有类似特性的性质，并加以证明 .
2
b
y
2
x
2
【答案】：类似的性质为若MN 是双曲线
2
－
2
=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点， ab
当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k
PM
、k
PN
时，那么k
PM
与k
PN
之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为（m，n），
则点N的坐标为（－m，－n），
m
2
n
2
其中
2
－
2
=1.
ab
又设点P的坐标为（x，y），
由k
PM
=
y?ny?n
，k
PN
=，
x?mx?m
y?ny?n
y
2
?n
2
得k
PM ·k
PN
=·=，
x?mx?m
x
2
?m
2
将y
2
=
b
2
222
b
2
22
x－b，n=
2
m－b，代入得
2
aa
b
2k
PM
·k
PN
=
2
.
a
【评注】：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双
曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.

1 10

x
2
?y
2
?1
中心为
O
，右顶点为
M
，过定点
D(t,0)(t??2)
作直线
l
交椭圆于
A
、
B
两点. 试一试：已知椭圆
4
（1）若直线
l
与
x
轴垂直，求三角形
OAB
面积的最大值；
（2）若
t?
6
，直线
l
的斜率为
1
，求证：
?AMB?90
；
5
（3）直线
AM
和
BM
的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.
解：设直线
l
与椭圆的交点坐标为
A(x
1
,y
1
)、B(x
2
, y
2
)
.
x
2
1
?y
2
?1 可得：
y??
（1）把
x?t
代入
4?t
2
，
4
2
则
S
?OAB
?OD?AD?
1
?t?4?t
2
?1
，当且仅当
t??2
时取等号
2
6
?
y?x?
?
4448
?
5
2
（2）由
?
2
得
125x?240x?44?0
，
x
1
x
2
?
，
x
1
?x
2
?
12525
?
x
?y
2
?1
?
?4
6
??
6
??
636
x?x?
x
1
x
2
?
?
x
1
?x
2
?
?????
12
y
1
y
2
5
??
5?
525

?
??
?
x
1
x
2
?2
?
x
1
?x
2
?
?4
? x
1
?2
??
x
2
?2
??
x1
?2
??
x
2
?2
?
所以
kAM
k
BM
4464836
???
?64
??1??AMB?90

?
12552525
?
4448
64
?2??4
1255
（3）直线
AM
和
BM
的斜率的乘积是一个非零常数.
当直线
l
与
x
轴不垂直时，可设直线方程为：
y?k(x?t)
，
?
y?k(x?t)
?
22222
(4k?1)x?8ktx?4kt?4?0
由
?
x
2
消去整理得
y
2
?
?y?1
?4
?
? ??0
?
8k
2
t
?
则
?
x
1
?x
2
?
① 又
2
4 k?1
?
?
4k
2
t
2
?4
?
x
1
x
2
?
4k
2
?1
?
所以k
AM
k
BM
?
y
1
?k(x
1?t)
②
?
y?k(x?t)
?
22
y
1
y
2
k
2
(x
1
x
2
?t(x
1
?x
2
)?t
2
)
t?2
? ??(常数)

(x
1
?2)(x
2
?2)x
1 x
2
?2(x
1
?x
2
)?44(t?2)
1 10

?
x?t
11
?
22
当直线
l
与
x
轴垂直时，由
?
x
2
得两交点
A(t,4?t),B(t,?4?t)
，
2
22
?
? y?1
?4
显然
k
AM
k
BM
?

t?2
.所以直线
AM
和
BM
的斜率的乘积是一个非零常数.
4(t?2)
x
2
2
例
2.
椭圆
C1
:?y
2
?1
，
x
轴被曲线
C
2 ?x?b
截得的线段长等于
C
1
的长半轴长．

4
（
1
）求实数
b
的值；

（
2
）设
C
2
与
y
轴的交点为
M
，过坐标原点
O
的直线
l
与
C
2
相交于点
A
、
B
，直线
MA
、
MB
分别与
C
1
相
交与
D
、
E
，证明：
MD?ME?0
；

解：（
1
）由题意知：半长轴为
2
，则有
2b?2
∴
b?1

（
2
）
①
由题意知，直线
l
的斜率存在，设为
k
，则直线
l
的方程为
y?kx
．

?
y?kx
由
?
得
x
2
?kx?1?0
，

2
?
y?x?1
设
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，则
x
1
， x
2
是上述方程的两个实根，于是
x
1
?x
2
?k
，
x
1
x
2
??1
．

又点
M
的坐标为
?
0,?1
?
，所以
 K
MA
?K
MB
2
y
1
?1y
2 ?1
?
kx
1
?1
??
kx
2
?1
?
kx
1
?x
2
?k
?
x
1?x
2
?
?1
?k
2
?k
2
?1???????1

x
1
x
2
x
1
? x
2
x
1
?x
2
?1
故
MA?MB
，即
MD?ME
，故
MD?ME?0

例3. 已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知
A(?3,0)
,
B(3,0)
,
P
是椭圆C上异于A
、
B
的任意一点，直线
AP
、
BP
分别交y 轴于
M
、
N
,
求
OM?ON
的值；
（3 ）在（2）的条件下，若
G(s,0)
,
H(k,0)
,且
GM?H N
，
(s?k)
，分别以OG、OH为边作两正方形，求
1 10

3
，焦点坐标分别为
F
1
(?2,0)
,
F
2
(2,0)
。
5

此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。
a3
?,c? 2,a
2
?b
2
?c
2
解：（1）、
b

5
?a
2
?9,b
2
?5
x
2
y
2
??1
。所以椭圆C的标准方程为
95
（2）设
P( x
0
,y
0
)
，直线
PA:y?
y
0(x?3)

x
0
?3
PB:y?
y
0
(x?3)

x
0
?3
令x=0，得：
OM?(0,
?3y
0 3y
0
)

)
，
ON?(0,
x0
?3
x
0
?3
所以：
OM?ON
=
5
，
（3）
GM?(?s,
3y
0
?3y
0
)

)
，
HN?(?k,
x
0
?3
x
0
?3

222
又
GM?HN
?GMHN?sk?5?0
两正方形的面积和为
s?k?s?
25
?10
当且仅当
s
2
?k
2
?5
时，等式成立。
2
s
?
两正方形的面积和的最小值为10，此时G
(?5,0)
、H
(5,0)
。
x
2
y
2
例4. 已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
，短轴两个端点为
A,B
，且四边形
F
1
AF
2
B
ab
是边长为2的正方形。
（1）求椭圆方程；
（2）若
C,D
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
M
满足
MD?CD
，连接
CM ，交椭圆于点
P
。证明：
OM?OP
为定值；
（3）在（2 ）的条件下，试问
x
轴上是否存在异于点
C
的定点
Q
，使得以
MP
为直径的圆恒过直线
DP,MQ
[来源学科网]
??
的交点，若存在，求出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由。
x
2
y
2
??1
。解：（1）
a?2,b?c, a?b?c
，
?b?2
，
?
椭圆方程为
42
222
2
（2）
C(?2,0),D(2,0)
，设
M(2,y
0
),P(x
1
,y
1
)
，则
OP?(x
1
,y
1
),OM?(2,y
0
)
。
直线
CM
：
??
y
x?2
y?y
0
1
?
，即
y?
0
x?y
0
，
4y
0
42
1 10

代入椭圆
x?2y?4
得
2
y
0
1
2
1
2
(1?)x
2
?y
0
x?y
0
?4?0
。
822
22
22
8y
0
4(y
0
?8)2(y
0
?8)
?y?，。
?x
1
(?2)?,?x??
1
1
2
22
y
0
?8
y
0
?8y
0
?8
2 2(y
0
?8)8y
0
?OP?(?
2
,
2
)
，
y
0
?8y
0
?8
?
[来源学科网ZXXK]

222
4(y
0
?8)8y
0
4y
0
?32
。
?OP?OM??
2
?
2?
2
?4
（定值）
y
0
?8y
0
?8 y
0
?8
??
（3）设存在
Q(m,0)
满足条件，则MQ?DP
。
2
4y
0
8y
MQ?(m?2,?y 0
)
，
DP?(?
2
,
2
0
)，
y
0
?8y
0
?8
?
?
22 4y
0
8y
0
则由
MQ?DP?0
得
?
2
(m?2)?
2
?0
，从而得
m?0
。
y
0
?8y
0
?8
??
?
存在
Q(0, 0)
满足条件。
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
x
2
y
2
2
)
，1. 已知椭圆
E
的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)
，长轴是短轴的2倍，且椭圆
E
过点
(2,
斜率为
k
的
2
ab
直线
l
过点
A(0,2)
，
n
为直线
l
的一个法向量，坐标平面上的点
B
满足条件
n?AB?n
．
（1）写出椭圆
E
方程，并求点
B
到直线
l
的距离；
（2 ）若椭圆
E
上恰好存在3个这样的点
B
，求
k
的值． ?
a?2b
1
?
22
解：（1）由题意得
?
2
解得
a?4,b?1

?
2
?
2
2
?1
b
?
a
x
2
?y
2
?1
∴椭圆
E
方程为：
4
直线
l
的方程为 y?kx?2
，其一个法向量
n?(k,?1)
，设点B的坐标为
B( x
0
,y
0
)
，由
AB?(x
0
,y0
?2)
及
n?AB?n
得
kx
0
?y
0
?2?1?k
2

1 10

∴
B(x
0
,y
0
)
到直线
y?kx?2
的距离为
d?
kx
0
?y0
?2
1?k
2
?1

（2）由（1）知，点B 是椭圆
E
上到直线
l
的距离为1的点，即与直线
l
的距离为 1的二条平行线与椭圆
E
恰
好有三个交点。
设与直线
l
平行的直线方程为
y?kx?t

?
y ?kx?t
?
22222
x?4(kx?t)?4(1?4k)x?8ktx?4t? 4?0
由
?
x
2
得，即
2
?y?1
? ?
4
??64k
2
t
2
?4(1?4k
2 )(4t
2
?4)?16(1?4k
2
?t
2
)……①
t
2
?1
当
??0
时，
k?
……② 4
2
又由两平行线间的距离为1，可得
t?2
1?k
2
?1
……③
t
2
?1
2
把②代入③得
(t?2) ?1?
，即
3t?16t?13?0
，
(3t?13)(t?1)?0

4
2
即
t?1
，或
t?
13
3
当
t?1
时，代入②得
k?0
，代回③得
t?1或
t?3

当
k?0
，
t?3
时，由①知
??0

此时两平行线
y?1
和
y?3
与椭圆
E
只有一个交点，不合题意；
当
t?
210
1313
1
时，代入②得
k ??
，代回③得
t?
或
t?

3
33
3 210
1
，
t?
时，由①知
??0

33
210132101
x?
和
y??x?
，与椭圆
E 有三个交点，
33
33
当
k??
此时两平行线
y? ?
∴
k??
210

3
x
2
y
2
??1
的两焦点分别为
F
1
、F
2
，
P 是椭圆在第一象限内的一点，并满足
PF
1
?PF
2
?1，过
P
2. 已知椭圆
42
，2)
作倾斜角互补的两条直线PA、PB
分别交椭圆于
A、B
两点．（1）求
P
点坐标；（2）当直线
PA
经过点
(1
时，求直线
AB
的方程；(3)求证直线
AB
的斜率为定值．
[解]（1）由题可得
F
1
(?2,0)
，
F
2
(2,0)
，设
P
0
(x
0
,y
0
)(x
0
?0,y
0
?0)
则
PF?(?2?x
0
,?y
0
)
，
1
x
0
2
y0
2
??1
，（1分）∵点
P(x
0
,y
0 )
在曲线上，则
PF
2
?(2?x
0
,?y
0
)
，∴
PF
1
?PF
2
?x
0
?y
0
?2?1
，
42
解得点
P
的坐标为
(2,1)
．
，2)
时，则
PA
的斜率为
?1
，因两条直线
PA、PB
的倾斜角互补，故
PB
的斜率（2）当直线
PA
经过点
(1
为
1
，
22
1 10

?
?
y?1??x?2
?3x
2
?4(2?1)x?2?42?0
得，
x
1
?2,x
2 ?
2?4
由
?
x
2
y
2
3
??1
?
?
42
2?4
，故
y?
22?1
，
2?4
，
y??
22?1
即
x
A
?
（2分）同理得
x
B
?
AB
3333
2
x ?
2
∴直线
AB
的方程为
y?
23
(3) 依题意，直线
PA、PB
的斜率必存在，不妨设
BP
的方程为：
?
?
y?1?k(x?2)
y?1?k(x?2)(k?0)
．由
? x
2
y
2
得
??1
?
?
42 (2k
2
?1)x
2
?4k(2k?1)x?4k
2
?42k?2?0
，（2分）设
B(x
B
,y
B
)
，则
4k(2k?1)22k
2
?4k?222k
2
?4k?2 2?x
B
?
，
x
B
?
，同理
xA
?
，
2k
2
?12k
2
?12k
2
?1
42k
8k
y?y??k(x?x?22)?
则
x A
?x
B
?
，同理．
ABAB
2k
2 ?1
2k
2
?1
所以：
AB
的斜率
k
AB
?

3. 已知双曲线
C
的中心在原点,
D
?
1,0
?
是它的一个顶点,
d?
(1,2)
是它的一条渐近线的一个方向向量.
（1）求双曲线
C
的方程;
（2）若过点(
?3,0
)任意作一条直线与双曲线
C
交于
A,B
两点 (
A,B
都不同于点
D
),求
DA?DB
的值;
y
A
?y
B
2
为定值．
?
x
A
?x
B
2
x
2
y
2
（3）对于双曲线?
:
2
?
2
?1(a?0,b?0,a?b)
,
E
为它的右顶点,
M,N
为双曲线
?
上的两点(
M,N 都不同
ab
于点
E
),且
EM?EN
,求证:直线 MN
与
x
轴的交点是一个定点.
x
2
y
2
解:(1)设双曲线C的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0) ,则
a?1
,
ab
y
2
b
2
?1
又
?2
,得
b?2
,所以,双曲线C的方程为
x?
2
a
(2) 当直线
AB
垂直于
x
轴时,其方程为
x??3
,
A, B
的坐标为(
?3
,
4
)、(
?3
,
?4
),
DA?(?4,4),DB?(?4,?4)
,所以
DA?DB
=0 当直线
AB
不与
x
轴垂直时,设此直线方程为
y?k(x?3 )
,
由
?
?
y?k(x?3)
22
?
2x?y?2
得
(2?k)x?6kx?9k?2?0
.
2222
1 10

6k
2
?9k
2
?2
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2 )
,则
x
1
?x
2
?
,
x
1
?x
2
?
,
2?k
2
2?k
2
故
DA?DB?(x
1
?1)(x
2
?1 )?y
1
y
2
?(x
1
?1)(x
2
?1 )?k
2
(x
1
?3)(x
2
?3)

?(k
2
?1)x
1
x
2
?(3k
2
?1 )(x
1
?x
2
)?9k
2
?1

? 9k
2
?26k
2
2
2
?(k?1)
+
( 3k?1)
+
9k?1
=0 .综上,
DA?DB
=0
22
2?k2?k
2
(3) 设直线
MN
的方程为:
x?my?t
,
?
x?my?t
22222222
(bm?a)y?2bmty?b(t?a)?0
, 由
?
22
,得
2222
?
bx?ay?ab
?2b
2
mtb
2
(t
2
?a
2
)
设
M( x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
,则
y
1
?y
2
?
22
,
y
1
y
2
?
22
,
bm?a
2
bm?a
2
由
EM?EN
,得
(x
1
?a)(x
2
?a)?y
1
y
2
?0
,
( my
1
?t?a)(my
2
?t?a)?y
1
y
2
?0

22
即
(1?m)y
1
y
2?m(t?a)(y
1
?y
2
)?(t?a)?0
, b
2
(t
2
?a
2
)2b
2
mt(1?m)
22
?m(t?a)
22
?(t?a)
2
? 0
,
22
bm?abm?a
2
a(a
2
?b 2
)
化简得,
t?
或
t?a
(舍), 22
a?b
a(a
2
?b
2
)
所以,直线MN
过定点(,0)
a
2
?b
2

本节课主要知识点：椭圆与双曲线性质的综合应用

1 10

【巩固练习】
x
2
y
2??1
的右焦点
F
,与椭圆相交于1. 在平面直角坐标系
xOy
中,方向向量为
d?(1,k)
的直线
l
经过椭圆
189
A
、
B
两点
(1)若点
A
在
x
轴的上方 ,且
|OA|?|OF|
,求直线
l
的方程;
(2)若
k ?1
,
P(6,0)
,求△
PAB
的面积;
(3)当k
(
k?R
且
k?0
)变化时,试求一点
C(x
0
,0)
,使得直线
AC
和
BC
的斜率之和为
0
.
解： (1)由题意
a?18
,
b?9
得
c? 3
,所以
F(3,0)

2
2
|OA|?|OF|且点
A
在
x
轴的上方,得
A(0,3)

k??1
,
d?(1,?1)

直线
l
:x?3y?0
,即直线
l
的方程为
x?y?3?0

?
1?1
(2)设
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
,当
k?1
时,直线 l
:
y?x?3

?
x
2
y
2
?1
?
?
将直线与椭圆方程联立
?
18
, 9
?
y?x?3
?
消去
x
得,
y?2y?3 ?0
,解得
y
1
??3
,
y
2
?1

2
11
|y
1
?y
2
|?4
,所以
S
?PAB
??|PF|?|y
1
?y
2
|?? 3?4?6

22
(3)假设存在这样的点
C(x
0
, 0)
,使得直线
AC
和
BC
的斜率之和为0,由题意得,
直线
l
:
y?k(x?3)
(
k?0
)
?
x
2
y
2
?1
?
?
2222
,消去
y
得,
(1?2k)x?12kx?18(k?1)?0

?
189
?
y?k(x?3)
?
?
12k
2x?x
2
?
?
?
1
1?2k
2

??0
恒成立,
?
2
?
x?x?
18(k?1) 12
?
1?2k
2
?
k
AD
?
y 1
y
2
,
k
BD
?

x
1
?x
0
x
2
?x
0
1 10

k
AD
?k
BD
?
y
1
y
2
?

x
1
?x
0
x
2
?x
0
?
k(x
1
?3)k(x
2
?3)
k(x
1
?3)(x
2
?x
0
)? k(x
2
?3)(x
1
?x
0
)
???0

x
1
?x
0
x
2
?x
0
(x1
?x
0
)(x
2
?x
0
)
所以2kx
1
x
2
?k(x
0
?3)(x
1
?x
2
)?6kx
0
?0

36k(k
2 ?1)
12k
3
(x
0
?3)
??6kx
0
?0

1?2k
2
1?2k
2
解得
x 0
?6
,所以存在一点
(6,0)
,使得直线
AC
和
BC
的斜率之和为0
【预习思考】
1. 直线
2x?3y?1?0
的一个方向向量为___________；
2. 经过直线
x?y?1?0
与直线
2x?y?2?0
的交点，且与直线
3x? 4y?12
平行的直线的一般式方程为
___________；
3. 已知两定点 A（1,3），B（-3,1），动点P（x，y）满足
OP?
?
OA?
? OB
，如果
?
?
?
?1
，则动点P的坐
标所满足的直线方程为___________；
4. 过点（3，-2）且与椭圆
4x?9y? 36
有相同焦点的椭圆的标准方程是___________ .
22
x
2
y
2
??1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，直线l过点
F
1
交双曲线的左支于A、B两点，且5. 已知双曲线6436
AB?m
，则
?ABF
2
的周长为_________ __；

教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
期中备考复习
教学内容
1 10

1. 巩固复习直线方程，曲线方程以及椭圆与双曲线知识；
2. 查缺补漏，为期中备考助力。
（以提问的形式回顾）
1. 直线
2x?3y?1?0
的一个方向向量为___________；（（3,2））
2. 经过直线
x?y?1?0
与直线
2x?y?2?0
的交点，且与直线
3x?4y?12
平行的直线的一般式方程为
___________；（3x?4y?3?0
）
3. 已知两定点A（1,3），B（-3,1），动点P（x， y）满足
OP?
?
OA?
?
OB
，如果
?
?
?
?1
，则动点P的坐
标所满足的直线方程为___________；（ y=5-2x）
x
2
y
2
??1
） 4. 过点（3，- 2）且与椭圆
4x?9y?36
有相同焦点的椭圆的标准方程是___________；（ 1510
22
x
2
y
2
??1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，直线l过点
F
1
交双曲线的左支于A、B两点，且5. 已知双曲线
6436
（32+2m）
AB?m ，则
?ABF
2
的周长为___________；

此处可以简单梳理一下知识点，包括直线方程，曲线方程，圆，椭圆双曲线等。根据学生的具体情况展开讲
解。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 已知
?ABC
三边所在的直线方程分别为
l
AB
:18x?6y?17?0
,
l BC
:14x?7y?15?0
,
l
AC
:5x?10y? 9?0
,求
?ABC
的三个内角的大小.
1 10

解
?
k
BC
?2
,
k
AC
??
又
tan?ABC?
1
?
,
k
AB
??3
?
k
BC
?k
AC
??1
,故
BC?AC
,
?BCA?

22
kBC
?k
AB
?
?
?1
??ABC?
,
?ACB?
,
44
1?k
BC
?k
AB
所以 ?ABC
的三个内角的大小分别为

???
,,
.
442
2
例2. 曲线
C
是平面内到直线
l
1:x??1
和直线
l
2
:y?1
的距离之积等于常数
k (k?0)
的点的轨迹，
设曲线
C
的轨迹方程
f(x,y)?0
．
（1）求曲线
C
的方程
f(x,y)?0
；
（2）定义：若存在圆
M
使得曲线
f(x,y)?0
上的每一点都落在圆
M
外或圆
M
上，则称圆
M
为
曲线
f(x,y)?0
的收敛圆．判断曲线
f(x,y)?0
是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，
请说明理由．
答案：
（1）设动点为
(x,y)
，则由条件可知轨迹方程是
x?1?y?1?k
；
（2）设
P
为曲线
C
上任意一点，可以证明
则点
P
关于直线
x??1
、点
(?1,1)
及直线
y?1
对称的点仍在曲线
C
上
根据曲线
C
的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，
则该收敛圆的方程是
(x?1)?(y?1)?r(r?0)

2
?
?
(x?1)(y?1)?k (1)
讨论：
x?? 1,y?1
时
?
最多一个有一个交点
r
满足条件
222 ?
?
(x?1)?(y?1)?r(2)
222
2
k
4
?2k
2
（1）代入（2）得
r?(x?1)?
2
(x?1)
22
曲线
f(x,y)?0
存在收敛圆
222
收敛圆的方程是
(x?1)?(y?1)?r(0?r?2k)

x
2
y
2
??1
长轴的左右端点，
F
是其右焦点。点
P
在椭圆上，位于
x
轴上方，例3. 点
A
、 B
分别是椭圆
3620
且
PF?PA
.
（1）求点
P
的坐标；
（2）点
M
是椭圆长轴
A B
上的点，
M
到直线
AP
的距离等于
|MB|
，求椭圆上的点到点
M
距离的最小值.
1 10

解：（1）由已知可设
P(x,y)
，其中
?6?x?6
，
y?0

则
PA?(?6?x,?y )
，
PF?(4?x,?y)
，由
PF?PA
得
PA?PF ?0
，
?
x
2
?2x?24?y
2
?0
?
2
则
?
，所以
2x?9x?18?0
，
x 2
y
2
??1
?
3620
?
解得
x ?
353
3
)
或
x??6
（舍），
?P(,
22
2
3y?6?0
（2）设
M(m,0)
，其中
?6?m?6
,又
l
AP：
x?
则
|m?6|
?|6?m|
,得
m?2
，即
M(2,0)

2
设椭圆上一点
Q(x,y)
，其中 ?6?x?6
，则
|MQ|?
得
|MQ|?x?4x?4?y?x?4 x?4?20?
2222
(x?2)
2
?y
2

5
2
49
x?(x?)
2
?15

992
所以当
x?

9
时
|MQ|
有最小值
15
.
2
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 过点
P( 3,1)
,与向量
d?(2,?3)
平行的直线的点方向式方程为_________ _____.
2. 直线
3(x?1)?2(y?1)?0
的一个法向量为
(m,m?2)
,则
m
的值是________.
3. 若三点
A(2,?1)
、
B(3,1)
、
C(?1,t)
共线,则
t
的值为_________.
1 10

4. 直线
l
过
(?m,3)
、
(5,?m)
,且直线
l
的倾斜角为
?
?arctan2
,则
m
的值是_____.
5. 若直线
l
的倾斜角?
?
?
22
?
??
??
?
3
?
?
,
?
?
?
,
?
,则其斜率
k
的取值范围是_________.
4
?
2
??
24
?
6. 圆
(x?1)? (y?3)?16
关于直线
x?y?1?0
对称的圆的方程是__________.
7. 与圆
x?y?25
外切于点
P(4,3)
且半径为1的圆的标准方程为_____________.
22
x
2
y
2
? ?1
表示焦点在
y
轴上的椭圆,则
m
的取值范围是________ _. 8. 方程
2
m?2m3
x
2
y
2
??1 上任意一点,
F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,则
co s?F
1
PF
2
的最小值为___________. 9. 设
P
是椭圆
94
x
2
y
2
10. 圆x?y?r
经过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点
F
1
,F
2
,且与该椭圆有四个不同的交点,设
Pab
222
是其中的一个交点,若
?PF
1
F
2
的面积为26,椭圆的长轴为15,焦距为
2c
,则
a?b?c?________ ____.

11. 直线
xcos
?
?ysin
?
?2
与曲线
x?3y?6
有公共点,其中
?
?
?
0,
?
?
,则
?
的取值范围是____________.
22
x
2
y
2
??1
的切线
PM
、PN
，切点分别为
M
、
N
，当12．过直线
l:5x? 7y?70?0
上的点
P
作椭圆
259
点
P
在直线
l
上运动时，直线
MN
恒过定点
Q
（＿，＿）．

13. 方程
x?y?4mx?2y?5m?0
表示圆的充要条件是 ( )
22
111
?m?1
； (B)
m?
或
m?1
； (C)
m?
； (D)
m?1

444
?
14. 已知直线
2x?y?2? 0
和
mx?y?1?0
的交角为，那么
m
的值为 ( )
4
1111
(A)
?or?3
； (B)
or3
； (C)
?or3
； (D)
or?3

3333
(A)
15. 当曲线
y?1? 4?x
2
与直线
y?k(x?2)?5
有2个相异交点时，实数
k 的取值范围是（）
(A)
?
?
5
??
53
??
5
??
3
?
,??
?
； (B)
?
,
?
； (C)
?
0,
?
； (D)
?
,1
?

?
12
??
124?
?
12
??
4
?
22
16. 点
P
在椭圆
7x?4y?28
上，则点
P
到直线
3x?2y?1 6?0
的距离的最大值为（）
(A)
24813
； (B)； (C)； (D)
1313
1313
1 10

答案：
1
、
x?3y?1
22
?
；
2
、
6
；
3
、
-7
；
4
、
-7
；
5
、
?
??,?1
??
?
1,??
?
；
6
、
?
x?2
?
?
?
y?2
?
?16

2?3
22
1
?
?
??
3
?
24
??
1 8
??
0,?
?
,
?
????
?1,0?2,3 7
、
?
x?
8 9 10 11
?
；、；、；、；、；
?y??1
13?26
???
????
44
9
????
5
??
5
??
12
、
?

?
259
?
,?
?
；
13--- 16
：
BCDA
1410
??
x
2
y
2
??1
上的一个动点，过点
P
作椭圆的切线与圆
O
: x
2
?y
2
?12
相交于
M,N
两点，圆1 7. 设
P
为椭圆
43
O
在
M,N
两点处的切线相交于点
Q
.
（1）求点
Q
的轨迹方程；（2）若
P
是第一象限内的点，求
?OPQ
面积的最大值.

解设
P( x
0
,y
0
),Q(x
1
,y
1
)

2
x
0
y
2
x
2
y
2??1
①
??1
上，
?
（1）
?P
在椭圆
43
43
2
椭圆在
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程为
x
0
xy
0
y
??1
②
4322
又QM、QN为过点Q所引的圆O：
x?y?12
的两条切线，
所以切点弦MN所在直线方程为
x
1
x?y
1
y?12
③
y
0x
0
22
xy
1
xy
其中②③表示同一条直线方程，于是
4
?
3
?
，得
x
0
?
1
,y
0
?
0
代入①，得
1
?
1
?1，故点Q
3648
x
1
y
1
12
34
x
2
y
2
??1
. 的轨迹方程为
3648
（2）过
P
作
PA?x
轴，过
Q
作
QB?x
轴，
A(x
0
,0),Q(3x
0
,4y
0
),B(3 x
0
,0)
，
S
?OPQ
?S
?OBQ
?S
?OPA
?S
PABQ
?
?
?
2222
1
x
0
y
0
，
2
xyx?y
0
xy
又
1?
0
?
0
?2
0
?
0 0

4312
3
?x
0
y
0
?3
，当且仅当
x
0
?y
0
??
12
时，等号成立.
7
1 10

?S
?OPQ
的最大值为

3
.
2
x
2
y
2
18. 已知
F
1
、F
2
为为双曲线
C：
2
?
2
?1
的两个焦点，焦距
F
1
F
2
=6
，过左焦点
F
1
垂直于
x
轴的直线，
ab
与双曲线
C
相交于
A,B
两点，且
?ABF
2
为等边三角形.
（1）求双曲线
C
的方程；
（2）设
T
为直线
x ?1
上任意一点，过右焦点
F
2
作
TF
2
的垂线交双曲线
C
与
P,Q
两点，求证：直线
OT
平分线
段
PQ
（其中
O
为坐标原点）；
（3）是否存在过右焦点
F
2
的直线
l
，它与双曲线
C
的两条渐近线分别相交于
R,S
两点，且使得
?F
1
RS
的面积
为
62 ？若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，请说明理由.
y
A
F
1
O
F
2
x
B

x
2
y
2
a?3
，∴
??1
；解：（1）
c?3
，∵等边三角形，∴
AF
2
?43
， AF
1
?23
，
36
（2）设
P(x
1,y
1
)
，
Q(x
2
,y
2
)
，中点为
T
?
(x
0
,y
0
)
，然后点差法，
即得
2(x
1
?x
2
)y
1
?y
2
13?12
，
??k
PQ
????
(y
1
?y
2
)x
1
?x
2
k
PF
2
y
T
y
T
y
0
y
T
??kOT
，即点
T
?
与点
T
重合，所以
T
为
PQ
中点，得证；
x
0
1
∴
k
OT ?
?
（3）假设存在这样的直线，设直线
l:x?my?3
，
R(x
R
,y
R
)
，
S(x
S
,y
S
)

联立
?
??
32?32
?y?2x
?
y??2x
得
y
R
?
；联立
?
得
y
S
?
；
1?2m1?2m
??
?
x?my?3
?
x?my?3

S
F
1
RS
1
??6?(y
R
?y
S
)?62
，即
(y
R
?y
S
)?22
；
2
∴

3232
??22
，该方程无解，所以不存在这样得直线
l

1?2m1?2m
1 10

本节课主要知识点：直线方程，曲线方程，圆椭圆以及双曲线

【巩固练习】
y
2
x
2
??1
的焦距与实数?
无关，那么它的焦点坐标是；1. 如果圆锥曲线（
(0,?7)
）
?
?52?
?
22
2. 已知双曲线
C
1
:2x?y?8,
双曲线
C
2
满足：①
C
1
与C
2
有相同的渐近线，②
C
2
的焦距是
C
1
的焦距的两
y
2
x
2
??1
）倍，③
C
2
的焦点在
y
轴上，则
C
2
的方程是；（
3216
x
2
y
2
1
3. 已知
P 是以
F
1
,F
2
为焦点的双曲线
2
?
2
?1
上一点，
PF
1
?PF
2
?0,
且
tan?PF
1
F
2
?,
则此双曲线的渐
ab 2
y
2
?0
）近线方程是；（
x?
4
2
x
2
y
2
??1
上，且点
M
到左焦点的距离为7，则它到右焦点的距离为（ A ） 4. 已知点在双曲线
916
13
A、
1
B、
22
13或1
D、
非以上答案
C、
x
2
y
2
??1
的交点个数为5. 若直线 mx?ny?4
和圆
x?y?4
没有交点，则过点
(m,n)
的直线与椭圆
49
（ B ）
至多一个
B、
2个
A、
一个
D、
0个
C、
x
2
?y
2
?1
6. 已知一个椭圆的椭圆方程为
4
（1）若动直线
y?x?t
与椭圆交于A，B两点，求弦
A B
的最大值；
（2）求点P（0，1）与该椭圆上点的最大距离；
（3）若点M在圆
x?(y?4)?1
上移动，点N在该椭圆上移动，求
MN
的最大值．
1 10

22

解析：（1）当t=0时，
AB?22

(2)
PQ
2?x
2
?(y?1)
2
??3y
2
?2y?5,PQ 2
MAX
?
16

3
2
(3)
NO ?1?MN?NO?1,NO
2
?x
2
?(y?4)
2
?? 3y
2
?4y?8,NO
max
?
28
,
,
3
MN
max
?
221
?1

3
【预习思考】
1. 抛物线的定义：
2. 抛物线标准方程：

3.练习
1. 抛物线
y?4x
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）
A．
2
17

16
2
B．
15

16
C．
7

8
D．0
2. 过抛物线
y?4x
的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）
A．有且仅有一条

B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
抛物线（一）
教学内容

1. 理解抛物线的定义及几何性质
2. 会应用抛物线的性质解答综合题目。
1 10

（以提问的形式回顾）
1. 抛物线的定义：平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
（
F
不在
l
上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，
定点
F
叫做抛物线的焦点，定直线
l 叫做抛物线的准线。
2. 抛物线标准方程： y
2
=2px, y
2
= -2px, x
2
=2py, x
2
= -2py (p>0)

3.练习
1. 抛物线
y?4x
上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（） B
A．
2
17

16
2
B．
15

16
C．
7

8
D．0
2. 过抛物线
y?4x
的焦点作直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
此题的方法是求通径，坐标和等于通径只有一条，小于有两条，大于没有。

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
例1. 设
F
为抛物线
y?4x
的焦点．
（1）过焦点
F
的直线交抛物线于
A
，
B
两点，若
AB?10
，则
AB
的中点
P
到
y
轴的距离等于．
解：由题意，焦点
F(1,0)
，准线为
x??1
，设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，过A,B
向
y
轴作垂线交于
A',B'
，
则P到y轴的距离可转化为：

2
1111
（往定义方向化归）
(AA'?BB')?(x
1?x
2
)?[(x
1
?1)?(x
2
?1)?2]?( AF?BF?2)?4
．
2222
（2）点
A
?
2,2?
，若点
P
在抛物线上移动，则
PA?PF
的最小值是____ ______．
解：过
P
向准线作垂线交于
P'
，则
PA ?PF?|PA|?|PP'|
，所以
显然，当
P,A,P'
三点共线时，距离之和最小，此时距离为
|AP'|?2?1?3
．
PA?PF
最小值为3 .
（三点共线的时候取到最值，可联想到直线一节中，两个定点到定直线
l
上动点的距离之和、之差的最值求法，
那里能掌握了，这里应该转化起来很轻松）

1 10

2
试一试：设
F
为抛物线
y?4x
的焦点．
（1 ）点
B
?
2,3
?
，若点
P
?
x
0
,y
0
?
在抛物线上移动，则
x
0
?PB
的最小值是__________．
解：过
P
向准线作垂线交于
P'
，
则
x
0
?PB?(x
0
?1?|PB|)?1?|PP'|?|PB|?1?|PF|?| PB|?1
，
显然当
P,F,B
三点共线时，距离之和最小，此时
x
0
?PB?|PF|?|PB|?1?|BF|?1?10?1
．
（还是转化，就看学生有没有这个转化化归的意识）
（2）直线
l
1
:4x?3y?6?0
、直线
l
2
:x??1
，若点
P 在抛物线上移动，则
P
到
l
1
和
l
2
的距离之和的
最小值是__________．
解：由抛物线定义， P
到
l
2
的距离即为
|PF|
，过
F
向
l
1
作垂线交抛物线于
P
点，
此时的
P
点即为最小值点，
所以
F
到直线
l1
的距离为2，所以
P
到两直线距离之和最小值为2.
（类型同上，这里可以让学生自己表达对题意的理解，即可跳过，下同）
（3）若动弦
PQ
在抛物线上移动，但其中点横坐标始终是4，则
PQ
的最大值为_______ __.
解：设中点坐标为
M(4,y
0
)
，
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
， 显然，有
|PQ|?|PF|?|QF|?x
1
?1?x
2
? 1?2?4?2?10
，所以
PQ
最大值为10.
（这里用到两个思想：1 ，不共线时，两边之和大于第三边；2，共线时，两边的和等于刚才的“第三边”）
（4）若点
P
在抛物线上移动，点
Q
在
(x?1)
2
?y
2
?
1
上移动，则
PQ
的最小值为_____.
9
解：圆心即为焦点
F(1,0)
，所以
|PQ|
取到最小值时，
P, Q,F
一定共线，且
Q
一定在
P
和
F
之间，过
P
向准线作垂线交于
P'
，所以
|PQ|?|PF|?
11
?|PP'|?
，显然
P
在顶点时最小，
33
所以
|PQ|
min
?1?

12
（可以类比到圆中的最值问题，另外，两个点都在动时，不妨先固定一个）
?
．
33
22
例2. 已知动点
M
的坐标满足方程
5x?y?|3x?4y?12|
，则动点
M
的轨迹是（）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
解：由题意得：
x?y?
22
|3x?4y?12|22
3?4
即动点
M(x,y)
到直线
3x?4y?12?0 的距离等于它到原点（0，0）的距离，
由抛物线定义可知：动点
M
的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线
3x?4y?12?0
为准线的抛物线．
∴选C．
1 10

，

（要注意先让学生做，看不出几何意义的让他再看下本节的知识梳理，如果选对了，让他准确的表述出
抛物线的定义，然后让他做巩固练习，体会抛物线定义的准确性）

试一试：
1．动点
P(x,y)
满足 (x?2)
2
?(y?1)
2
?
x?y?3
2
，问点P的轨迹形状？
解：代数式的几何意义可看作：动点
(x,y)
到（2，- 1）的距离等于到定直线
x?y?3?0
的距离，
且（2，-1）不在定直线上，所以P点的轨迹为抛物线．
2．动点
P(x,y) 满足
(x?2)
2
?(y?1)
2
?
x?y?32
，问点P的轨迹形状？
解：代数式的几何意义可看作：动点
(x,y)
到（2，-1）的距离等于到定直线
x?y?3?0
的距离，
且（2，-1）在定直线上，所以P点的轨迹为一条过（2，-1）且与直线
x?y?3?0
垂直的直线．
（让学生体会这两个小题的区别，并再次总结抛物线的定义，必须强调点不在直线上，让学生回答如果点在直线上会怎样？那么椭圆、双曲线的定义又是如何准确表述的？）

2
例3.
A,B
是抛物线
y?2px(p?0)
上的两点，且
OA?OB，
（1）求
A,B
两点的横坐标之积和纵坐标之积；
解：设直线AB 的方程为
x?my?b
，（避免讨论斜率不存在的情况时，建议这样设直线）
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
?
x?my?b
?y
2
?2pmy?2pb?0，所以
y
1
?y
2
?2pm,y
1
y
2
??2pb
，联立
?
2
?
y?2px
y
1
2
y
2
2
(y
1
y
2
)2
2
2
???b
则
x
1
?x
2
?my
1
?b?my
2
?b?2(pm?b)
，
x
1
x
2
?

2
2p2p4p
由
OA?O B?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，所以
b?2p
．
所以横坐标之积为
b
，纵坐标之积为
?4p
．
（2）求证：直线
AB
过定点；
解：直线
AB
方程即为 x?my?2p
，所以直线恒过定点
(2p,0)

（3）求弦
AB
中点
P
的轨迹方程；
2
2
?
x?p(m
2
?2)
2
解：由中点坐标公式得
P(p( m?2),pm)
，令
?
，消去
m
，得
y?p(x?2p)
，
?
y?pm
2
即点
P
的轨迹方程为
y ?p(x?2p)
．（参数消去法，也是求轨迹的一个重要方法）
（4）求
?AOB
面积的最小值；
1
解：由于AB直线恒过定点 (2p,0)
，所以
S
?AOB
??2p?|y
1
? y
2
|
，
2
222424
所以
S
?AO B
?p?[(y
1
?y
2
)?4y
1
y
2
]?4p(m?4)?16p
，当
m?0
时取到最小值，
2
所以
?AOB
面积的最小值为
4p
．（注意往韦达的式子上去转化）
（5）
O
在
AB
上的射影
M
轨迹方程．
1 10

2

解：设直线AB过的顶点为
G(2p,0) ，设
M(x,y)
，则直线
OM?
直线
AB
，即OM?MG
，
所以
(x,y)?(2p?x,?y)?0?(x?p)?y?p
，
即射影 M的轨迹方程为
(x?p)?y?p
．（定点坐标的使用，在这里提供了很大的便利）
这道题的5个结论让学生理解记忆，特别是前面3个结论。
例4. 已知抛物线
y? 2px(p?0)
的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于
x
轴上方的点，A到抛物线
准线的距离等于5．过A作AB垂直于
y
轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；
（2）过M作
MN?FA
，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心， MB为半径作圆M，当
K(m,0)
是
x
轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．
解：（1）抛物线
y?2px
的准线为
x??
22
222
222
2
pp
，于是
4??5
=5， ∴
p?2
．
22
∴抛物线方程为
y?4x
．（简单问题，一带而过）
（2）∵点
A (4,4)
，由题意得
B(0,4),M(0,2)
，
43
；
MN?FA
，∴
k
MN
??
， 34
4384
则
FA
的方程为
y?(x?1)
，MN
的方程为
y?2??x
，解方程组得
x?,y?
，
3455
84
∴N的坐标
(,)
．
55
又∵F(1,0)
，∴
k
FA
?
（3）由题意得圆M的圆心是点(0,2)
，半径为2，
当
m?4
时，直线AK的方程为
x? 4
，此时，直线AK与圆M相离．
当
m?4
时，直线AK的方程为
y?
圆心
M(0,2)
到直线AK的距离
d?
4
(x?m)
，即为
4x?(4?m)y?4m?0
，
4?m
2m?8
16?(m?4)
2
，令
d?2
，解得
m?1
．
∴当
m?1
时， AK与圆M相离；当
m?1
时， AK与圆M相切；当
m?1
时， AK与圆M相交．

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 抛物线
y?8x
的焦点为
F
，
A(4,?2)
为一定点，在抛物线上找一点
M
，当
|MA|?|MF|
为最小时，则M
1 10

2

点的坐标 ___ ，当
||MA|?|MF||
为最大时，则
M
点的坐标．解：过
M
向准线作垂线交于
M'
，则
|MA|?|MF|?|M A|?|MM'|
，所以当
A,M,M'
三点共线时，距离之
11
，所以此时
M(,?2)
．
22
当
M,A,F
三点共线时，
||MA|?|MF||
取到最大值，此时直线
AF
：
y??x?2
，
?
y??x?2
联立
?
2
，得
M(6 ?42,?4?42)
或
(6?42,?4?42)
．
?
y?8x
和最小，此时
M
的纵坐标为-2，代入抛物线得横坐标为

2．过抛物线y=ax
2
(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
等于（）
A．2
a
B．
11
?
pq
1

2a
C．4
a
D．
4

a
解答：设直线斜率为k，直线方程为
y?kx?
1
，联立抛物线方程得
4a
a
2
1?2k
2
1
y?y??0
，设交点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
）
222
k2k16ka
2k
2
?11
11
,y
1
y
2
?
则
y
1
?y
2
?
，交点为，准线为，所以：
(0,)y??
2
2a16a
4a4a
4a(y
1
?y
2
)?211114k
2
?4
????4a??4a?4a

22
1
pq
y?
1
16ayy?4a(y?y)?11?2(2k?1)?1 1212
y
2
?
1
4a4a
∴选C．也可以采用特值法，用平行于x轴的直线。
（这道题前面的知识梳理推导过，不妨让学生自己独立再演算一次，体会这三点：①到点的距离转化为到准
线的距离；②距离问题转化为韦达的式子代入化简；③计算的快速、准确性．）
3．抛物线
y?2x
截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是．
解：设弦为AB，
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
， AB中点为
(x,y)
，
2
222
则
y
1
?2x
1
，
y 2
?2x
2
，
y
1
?y
2
?2(x
1
?x
2
)
．
2
∴
y
1
?y
2
1
?2(x
1
?x
2
)?2?2x?2 ，∴
x?
．
x
1
?x
2
2
111 1
2
代入
y?2x
得
y?
，轨迹方程是
x?(y? )
．
2222
11
答案：
x?(y?)
（这里
y
的范围不要忘记了加上去）
22
将
x?
4. 已知抛物线
y?2px(p?0)
,过动点
M(a,0)
且斜率为1的直线
l
与该抛物线交于不同的两点
A,B
，且
1 10

2

AB?2p
。
(1)求
a
的取值范围
(2)若线段
AB
的垂直平分线交
x
轴于点
N
，求
△NAB
面积的最大值
【解析】：(1)设直线
l
的方程为：
y?x?a
，
代入抛物线方程得
(x?a)?2px
，即
x?2(a?p)x?a?0

22
2
?4ap?2p?p
即
4ap??p

?A B?2?4(a?p)?4a?2p
，
222
22
又
p?0
，
a??
p
。
4
(2)设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
AB
的中点
C(x,y)
,
由(1)知，
y
1
?x
1
?a
，
y
2
?x
2
?a
，
x1
?x
2
?2a?2p

则有
x?
x
1
?x
2
y?yx?x?2a
?a?p,y?
12
?
12
?p

222
∴线段AB的垂直平分线的方程为
y?p??(x?a?p)
,
从而N点坐标为
(a?2p,0)

点N到AB的距离为
|a?2p?a|
?2p

2
1
?2?4(a?p)
2
?4a
2
?2p?2p2ap?p
2

2
p
当
a
有最大值
?
时，
S
有最大值为
2p
2
。
4
从而
S
△NAB
?
5. 已知点A（2，8），B（x 1
，y
1
），C（x
2
，y
2
）在抛物线 y?2px
上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重
合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.
2

1 10

2
[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线
y?2px
上，有
8?2p?2
，
2
解得p=16. 所以抛物线方程为
y?32x
，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的
A F
定比分点，且
?2
，设点M的坐标为
(x
0
,y
0
)
，则
FM
2?2x
0
8?2y
0
? 8,?0
，解得
x
0
?11,y
0
??4
，
1?21?2
2
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：
y?4?k(x?11)(k?0).

y?4?k(x?11),
消x得 ky
2
?32y?32(11k?4)?0
，由
?
?
2
?
y?32x
所以
y
1
?y
2
?32
，由（2）的结论得
y
1
?y
2
??4
，解得
k??4.

2
因此BC所在直线的方程为：
4x?y?40?0.

k

本节课主要知识点：抛物线的标准的方程及性质。

【巩固练习】
1. 在抛物线
y?4x
上求一点，使该点到直线
y?4x?5
的距离最短，该点的坐标是____________.
答案：
(,1)

22
2. 已知抛物线
C
的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：
x
?
y
?1
的右焦点重合，则抛物线 C
的方程是．
72
2
1
2
答案：
y
2
12x

2
3. 已知抛物线
x?2py?0
?
p?0
?
上的点到它的准线的距离的最小值为
1
，
2
⑴求抛物线焦点
F
的坐标；
⑵若过
M
?
0,?1
?
的直线
l
与抛物线交
A,B
两点，
O
为坐标原点，且
OA,OB
斜率之和为
1
，求直线
l
的方程.
【答案】：⑴
?
0,?
?
?
1
??
，⑵
x?y?1?0

2
?
1 10

【预习思考】
1.
直线与抛物线只有一个交点，能判断直线与抛物线相切吗？

2. 练习：若
AB
是过抛物线
y?2px
?
p?0
?
的焦点 F
的弦。设
A
?
x
1
,y
1
?,B
?
x
2
,y
2
?
，
2
证明：（1）
AB?x
1
?x
2
?p;
（2）设直线
AB
的倾斜角为
?
，则
AB?

2p
。
sin
2
?
教育1对3辅导教案
学员姓名：学科教师：
年级：辅导科目：
授课日期
主题
××年××月××日时间 A B C D E F段
抛物线（二）
教学内容

1. 理解抛物线的定义及几何性质
2. 会应用抛物线的性质解答综合题目。
（以提问的形式回顾）
1.
直线与抛物线只有一个交点，能判断直线与抛物线相切吗？

不能，如果直线平行于对称轴，也有一个交点。要让学生注意解题的时候分类。
2. 练习：若
AB
是过抛物线
y?2px
?
p?0
?
的焦点 F
的弦。设
A
?
x
1
,y
1
?,B
?
x
2
,y
2
?
，
2
证明：（1）
AB?x
1
?x
2
?p;
（2）设直线
AB
的倾斜角为
?
，则
AB?
1 10

2p
。
sin
2
?

证明：（1）由抛物线的定义知
AF?x
1
?
pp
,BF?x
2
?,

22
?AB?AF?BF?x
1
?x
2
?p
（2）若
?
?90
0
,则x
1
?x
2
?
若
?
?90,设AB:y?k
?
x?
2
0
p2p

,
由（1）知
AB?2p?
2
sin
2
?
p
?
2
?
,与y?2px
联立，得
2
?
?
?
p
?
k
2
p
2
?
222
k
?
x?
?
?2px?kx?k?2px??0
2
?
4
?
2
??
pk
2
? 22pk
2
?1
?x
1
?x
2
?,?AB?x1
?x
2
?p?
，而
k?tan
?
，
k
2
k
2
2p1?tan
2
?
2p
?A B??

22
tan
?
sin
?

????
??
（采用教师引导，学生轮流回答的形式）
2
例
1.
若
AB
是过抛物线
y?2px
?
p?0
?
的焦点
F
的弦。设
A
?
x1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，

p
2
2
求证：（
1
） x
1
x
2
?
；（
2
）
y
1
y
2
??p

4
证明：（1）若
AB
的斜率不存在时，
p
2
p
依题意
x
1
?x
2
?,
?x
1
x
2
?

4
2
若
AB
的斜率存在时，设为 k,
则
AB:y?k
?
x?
2
?
?
p
?
2
?
，与
y?2px
联立，得
2
?
p
?
k
2
p
2
?
222
k
?
x?
?
?2px?kx?k?2px??0

2
?4
?
2
??
p
2
p
2
?x
1
x
2
?.
综上：
x
1
x
2
?.

44
1 10

yy
22
42
（2）
?x1
?
1
,x
2
?
2
，
?y
1
y
2
?p?y
1
y
2
??p,

2p2p
但
y
1
y
2
?0,?y
1
y2
??p

注意证明是讨论斜率是否存在问题

试一试：过抛物线
y=4x
焦点的直线依次交抛物线与圆
(x-1)+y=1
于A、B、C 、D四点，则
222
22
2
AB?CD=
____________ _
y
A
B
O
D
C
x

解析：借助圆的半径和抛物线焦点弦，会得到
AB?CD?x
1
?x
2
，其中
x
1
、x
2
分别是
A
、
B
两点的横坐标

答案：1

例2. 设抛物线C：
y?2px(p?0)
的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
（1）若
p?2
，求线段
AF
中点M的轨迹方程；
2
（2）若直线AB的方向向量为
n?(1,2)
，当焦点为
F ?
?
1
?
,0
?
时，求
?OAB
的面积；
2
??
（3）若M是抛物线C准线上的点，求证：直线
MA,MF,MB
的斜率成等差数列．

解：(1) 设
A(x
0
,y
0
)
， M(x,y)
，焦点
F(1,0)
，
x
0
?1?
x?
?
?
x
0
?2x?1
?
2则由题意
?
，即
?

y
y?2y
?
0
?
y?
0
?
?2
2
所求的轨迹方程为
4 y?4(2x?1)
，即
y?2x?1

2
2
(2)
y?2x
，
F(,0)
，直线
y?2(x?)?2x?1
，
2
1 10

1
1
2

?
y
2
?2x
2
由
?
得，
y?y?1?0
，
?
y?2x?1
AB?1?
15
1
y?y?
d?
，，
12
2
2
k
5
S
?OAB
?
15

dAB?
24
(3)显然直线
MA、MB、MF
的斜率都存在，分别设为
k
1
、k
2
、k
3
． 点
A、B、M
的坐标为
A(x
1
,y
1
)、 B(x
2
,y
2
)、M(-
设直线AB：
y?k
?
x?
p
,m)
．
2
?
?
p
? 2p
22
，代入抛物线得
y?y?p?0
，
?
2
?
k
222
所以
y
1
y
2
??p
，又
y
1
?2px
1
，
y
2
?2 px
2
，
p
y
1
2
p1
p
y 2
2
pp
4
pp
22
??y
1
?p
?
，
x
2
??
因而
x
1
??????y
1
2
?p
2

?
22
22 p22p
22p22py
1
22y
1
??
?
p2
?
2y??m
??
2
y
y
1
?my
2
?m
2p
?
y
1
?m
?
?1
?
??
2m

???
因而
k
1?k
2
?
2222
pp
p
py?ppy?p
? ???
11
x
1
?x
2
?
22
2
1
而
k
3
?
0?m2m
??
，故
k
1
?k
2
?2k
3
．
p
?
p
?
p
?
?
?
?
2
?
2
?

例3. 我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点
称为切点．解决下列问题：已知抛物线
x?2py
(p? 0)
上的点
(x
0
,
2
3)
到焦点的距离等于4，直线
l：y?kx?b
与抛物线相交于不同的两点
A(x
1
,y1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，且
x
2
?x
1
?h
（
h
为定值）．设线段
AB
的中点为
D
，与直线
l：y?kx?b
平行的抛物线的切点为 C
．.
（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用k
、
b
表示出
C
点、
D
点的坐标，并证明CD
垂直于
x
轴；
（3）求
?ABC
的面积，证明 ?ABC
的面积与
k
、
b
无关，只与
h
有关 .

1 10

解：（1）
?
3?
p
?4，得
p?2
，抛物线方程为
x
2
?4y
．
2
焦点坐标
F(0,1)
，准线方程为
y??1
． ?
y?kx?b
（2）由
?
2
?x
2
?4kx ?4b?0
，得
x
1
?x
2
?4k
，
x 1
?x
2
??4b
点
D(2k,2k
2
?b )

?
x?4y
设切线方程为
y?kx?m
，由
?
切点的横坐标为
2k
，得
C(2k,
2
2
?y?kx?m
2
?
x?4y
?x
2
?4kx?4m?0
,得
??16k
2
?16m?0
，
m??k
2，
k
2
)
……8分由于
C
、
D
的横坐标相同，
?
CD
垂直于
x
轴．
22
（3）
h?x
2
?x
1
h
2
?16k
2
．
?（x
1
?x
2
)?4x
1
x
2?16k?16b
，
?
b?
16
S
?ABC
1 1h
3
22
?CD?x
2
?x
1
?h2k?b?k ?
．
2232
?ABC
的面积与
k
、
b
无关，只与
h
有关．
（本小题也可以求
AB?1?k?h
，切点到直线
l
的距离
d?

例4. 已知曲线
?
: y?4x
，直线
l
经过点
(0,2)
且其一个方向向量为d?(1,k)
.
（1）若曲线
?
的焦点
F
在直线 l
上，求实数
k
的值；
（2）当
k??1
时，直线
l
与曲线
?
相交于
A
、
B
两点，求
|AB|
的值；
（3）当
k
（
k?0
）变化且直线 l
与曲线
?
有公共点时，是否存在这样的实数
a
,使得点P(a,0)
关于
直线
l
的对称点
Q(x
0
,y
0
)
落在曲线
?
的准线上. 若存在,求出
a
的值；若不存在，请说明理由.
2
2
2k
2
?k
2
?b
1?k
2
?
h
2
1 61?k
2
）
p
0?2
?1
，所以
F(1,0)
，
k???2
，所以
k??2

2
1?0
x?0y?2
?
（2）当
k??1
时，
d?(1,k)
?( 1,?1)
，直线
l
：
1?1
解：（1）由
y?4x得，
p?2
，即
2
?
y??x?2
将直线
l 与曲线
?
的方程联立得，
?
2
，
?
y? 4x
消去
y
并整理得，
x?8x?4?0
，其中
??0
设
A(x
1
,y
1
)
、
B(x2
,y
2
)
，则
?
2
?
x
1
?x
2
?8

?
x
1
?x
2
?4
1 10

于是
|AB|?(x
1
?x
2
)
2
(1?k
2
)?[(x
1
?x
2)
2
?4x
1
x
2
](1?k
2
) ?(64?16)?2?46

（3）假设存在这样的实数
a
，使得点
P(a,0)
关于直线
l
的对称点
Q(x
0
,y
0
)
落在曲线
?
的准线上，
根据题意可得
k?0
，所以直线
l
：
xy?2
，即
l
：
y?k x?2
，
?
1k
22
由于
k?0
，方程组
?
?
y?kx?2
2
?
y?4x
，消去
y
得，方程
kx?4(k?1)x?4?0
，
22
直线
l
与曲线
?
有公共点，故
??16(k?1)?16k?0
，解得
k?
1
1
，所以
0?k?

2
2
x
0
?a
?
y
0
?k??2
?
2
?
2
点
P(a,0)
与
Q(x
0
,y
0
)关于直线
l
：
y?kx?2
对称，则
?

y 1
?
0
??
?
k
?
x
0
?aa(1?k
2
)?4k
1
0?k?
得
x
0?
（）
2
1?k
2
a(1?k
2
)?4k 当点
Q
落在曲线
?
的准线
x??1
上时，
? ?1
，
1?k
2
1
1
k?
4(k?)
k ?4k?1
2

2
，即
a?1
??
所以
a ??1?
2
4
k?1
k
2
?1k
2
?1 2
4k
2
?11
1
1
当
k?
时， a?1
；当
0?k?
时，
??(k?)??1?2
，解得?1?a?1

11
2
2
1?a2
k?k?
2 2
所以
?1?a?1
，所以存在这样的实数
a
，满足题设条件。

3
4
（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）
1. 已知点
A
?
0,2
?
，抛物线
y?2px
?
p? 0
?
的焦点为
F
，准线为
l
，线段
FA
交抛物线于点
B
，过
B
作准
2
线
l
的垂线，垂足为
M
，若
AM?MF
，则
p?
．
【答案】
2

1 10

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