投资内部收益率公式数量关系容斥问题

2020年10月8日发(作者：水华)
对于容斥问题，解题的关键是首先找到题目中存在的各个集合，然后理清各集合之间的
关系，再 通过两大核心方法解决，两大核心方法为：
1、将所有区域都变为一层
2、结合文氏图解题
容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三
者容斥， 接下来中公教育专家进行一一讲解。
一、两者容斥问题
例：大学四年级某班有50名同学， 其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30
人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥 运会志愿者的同学是多少？
A.6 B.7 C.8 D.9
中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关
系：





第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。
A表示是奥运会自愿者
B表示是全运会志愿者
I表示是全班人数
X表示全运会且奥运会志愿者
Y表示非奥运会且非全运会志愿者
第三步：根据题意 建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的
面积变为一层，做到不重不漏的原则 。
I＝A＋B-X+Y，所以X=A＋B+Y-I=7(利用尾数法）。
结论：两者容斥问 题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将
两个集合相加的时候，2层部分多计 算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三两
容斥问题的公式为：

全集I=A+B-X+Y
（I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部
分）
二、三者容斥问题
三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同，首先来看第一种：
例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89 人看
过甲片 ，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也
没有看过，则只 看过其中两部电影的人数是多少人？
A、69 B、65 C、57 D、46
中公解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系



第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。
A表示看甲片的人
B表示看乙片的人
C表示看丙片的人
X表示看过甲乙丙三种片子的人
Y表示三部电影都没看过的人
I表示总共接受调查的人数
O、P、Q表示看过两部片子的人
第三步：根据题意建 立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的
面积变为一层，做到不重不漏的原则。
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63 -2×24+20-125=尾数是6
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层 、2层、3层三种情况，
当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全 集，需要将
重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：

I=A+B+C-O- P-Q-2X+Y
（I表示全集，A、B、C代表三个集合，O、P、Q表示两个只有两层的区域，X 表示三
层的区域，Y代表圆之外的部
分）
三、容斥极值问题

例：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有10 0道题，且小明做对了
68题，小刚做对了58题。问两人都最对的题目至少有几题？


例：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题？


依此类推……