包络线公式电场强度的计算

2020年10月8日发(作者：房芝萱)
6.2.5 电场强度的计算
在本知识点中，我们将给大家介绍使用迭加原理计算场强的方< br>法。重点是微积分的使用。使用微积分计算场强的步骤大致有：
1、建立坐标系：目的是便于表示场强的方向和选择积分的变量；
2、选取元电荷：即对连续带电体进行微分；
3、写出元电荷在考察点的场强大小；
4、分析元电荷在考察点场强的方向：目的是为写分量做准备；
5、写出元电荷在考察点场强的各个分量：目的是为对各个分量
积分做准备；
6、分别对各个分量积分，并在积分过程中选择恰当的积分变量
和统一变量。
【例1】求电偶极子中垂线上任意一点的电场强度。

电偶极子的电场
【 解】如上图所示。设电偶极子的电量分别为+q和-q，用l表示
从负电荷指向正电荷的矢量。设中垂线 上任意一点P相对于+q和-q
的位置矢量分别为r
+
和r
-
，而r
+
=r
-
。+q和-q在P点处产生的场强
分别为




以r表示电偶极子中心到P点距离，则


。在距离电偶极子甚远时，即r＞＞l时，取一级近似有
而P点的总场强为


式中p=ql是电偶极子的电矩，这样上述结果又可以写成


此结果表明，电偶极子在其中垂线上距电偶极子中心较远处各点
的电场强度与电偶极子的电矩成正比， 与该点离电偶极子中心的距
离的三次方成反比，方向与电矩的方向相反。
【例2】试求一均匀 带电直线外任意一点处的场强。设直线长为
L（见下图），电荷线密度（即单位长度上的电荷）为（设） 。
设直线外场点P到直线的垂直距离为
的连线与垂线的夹角分别为和。
，P点与带电直线的上下端点

带电直线外一点的电场
【解】均匀带电直 线可以理解为实际问题中一根带电直棒的抽象
模型，如果我们仅限于考虑离棒的距离比棒的截面尺寸大得 多的地
方的电场，则该带电直棒就可以看作一条带电直线。P点处的场强可
以通过微积分来求解 。
在带电直线上任取一长为的元电荷，其电量
，
和
。以P点到
。元 电荷dq
。因而
带电直线的垂足O为原点，取如图所示坐标轴
在P点的场强dE沿两 个轴方向的分量分别为



，从而（此式在几何上表示，当很小时，

由于
对P点张开的角度与的关系），并且，所以


到，所以 由于对整个带电直线来说，q的变化范围是从


同理可得


P点总场强的大小可以由下式得到


有几种特殊情况，讨论如下：
(1)中垂线上的点 在中垂线上，则有，
将代入，可得

此电场的方向垂直于带电直线而指向远离直线的一方。
（2）无限长直线外任意一点处的场强 真实的生活中没有无限
长，无限长只是一个相对的概念，在本题中无限长的准确描述是
，故有


时，中垂线上的电场此外，在远离带电直线的区域，即当
强度


其中为带电直线所带的总电量。此结果显示，离带电直线
很远处该带电 直线的电场相当于一个点电荷q的电场。
【例3】求均匀带电圆环轴线上的场强。如下图所示，一均匀 带
电细圆环，半径为R，所带总电量为q（设q>0），圆环轴线上场点
P到圆心的距离为x。
【解】 根据微积分的思想，我们把圆环微分成为许多小段，任
一小段dl上的带电量为dq。 设此元电荷dq在P点的场强为dE， dE
沿平行和垂直于轴线的两个方向的分量分别为
荷分 布对于轴线对称，所以圆环上全部电荷的
零，因而P点的场强沿轴线方向，且
和。由于圆环电
分量的矢量和为



均匀带电细圆环轴上的电场
式中积分为对环上全部电荷q积分。设P点与dq的距离为r，由
于


与x轴的夹角，所以 其中q为


此式中的积分值即为整个环上的电荷q，所以


，而。可将上式改写为 考虑到


E的方向为沿着轴线指向远方。
当时，，则E的大小为


此结果说明，远离环心处的电场也相当于一个点电荷q所产生的
电场。当时，，则E的大小为


即在靠近圆心的轴线上场强大小与x成正比。
【例4】试求均匀带点 电圆盘轴线上的场强。设带电圆盘半径为
R（如下图），电荷面密度（即单位面积上的电荷）为
求圆面轴线上距离圆心x处场点P的场强。
（设），

均匀带电圆面轴线上的电场
【解】一带电平板，如果其面积的线度及考察点到平板的距离都
远远大于它的厚度，该带电板就 可以看作一个带电平面。带电圆盘
可看成由许多同心的带电细圆环组成。取一个半径为r，宽度为dr< br>的细圆环（即将圆盘微分成许多圆环），由于此环的面积为，
带有电荷
大小为
，所以由上一例题可知，此圆环电荷在P点的场强


方向沿着轴线指向远 方。由于组成圆面的各圆环的电场dE的方
向都相同，所以P点的总场强为各个圆环在P点场强的大小的 积分，
即


其方向也垂直于圆面指向远方。
当时，


此时相对于x，可将该带电圆盘看作“无限大”带电平面。因此，
可以 说，在一无限大均匀带电平面外的电场是一个均匀场，其大小
由上式给出。
当时，


于是


为圆面所带的总电量。这一结果也说明，在远离带电 式中
圆面处的电场也相当于一个点电荷的电场。
电场强度迭加原理